Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La fiecare sută de fete născute vin pe lume, în medie, aproximativ o sută cinci băieți; Organizația Mondială a Sănătății dă acest raport ca valoare naturală a speciei umane. Așadar „băiat” și „fată” sunt două rezultate posibile ale unei nașteri, dar nu sunt la fel de posibile, iar șansa unui băiat nu este exact o jumătate. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, și îți arată când poți calcula o probabilitate numărând cazuri și când trebuie să o afli din date. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile este trecută explicit la conținuturile clasei a X-a.

Vii din lecția despre diagramele arborescente pentru experimente, unde ai scris și ai numărat rezultatele unor experimente în mai multe etape. Aici cele două numere pe care știi deja să le obții — câte rezultate are experimentul și câte dintre ele fac adevărat un eveniment — se împart unul la altul și dau un singur număr, probabilitatea.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii definiția clasică a probabilității și să spui exact ce condiții trebuie îndeplinite ca s-o poți folosi.
Vei ști să recunoști într-un enunț de științe dacă rezultatele sunt egal posibile și să alegi mulțimea lor astfel încât să fie.
Vei ști să folosești proprietățile probabilității ca instrumente de control: încadrarea între $0$ și $1$ , evenimentul sigur, cel imposibil și incluziunea.
Vei ști să compari o probabilitate calculată cu o frecvență relativă măsurată și să explici de ce nu coincid exact.
Vei ști să scrii rezultatul ca fracție, ca număr zecimal și ca procent, cu rotunjirea făcută cinstit.
Vei ști să rezolvi cerința scurtă de probabilitate din forma modelului oficial de bacalaureat M2.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este probabilitatea unui eveniment?

Definiția clasică. Considerăm un experiment aleator care are un număr finit de rezultate posibile, toate egal posibile, și notăm cu $Ω$ mulțimea acestor rezultate. Probabilitatea unui eveniment $A \subseteq Ω$ este raportul dintre numărul rezultatelor care fac evenimentul adevărat și numărul tuturor rezultatelor posibile:

$P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} .$

Rezultatele din $A$ se numesc cazuri favorabile, cele din $Ω$ cazuri posibile; vocabularul l-ai întâlnit la experimentul aleator și evenimentele lui. Definiția are trei condiții, iar fiecare contează: experimentul e aleator (nu știi dinainte rezultatul), $Ω$ e finită (poți număra), iar rezultatele sunt egal posibile (niciunul nu e favorizat).

Un exemplu scurt, pe un obiect pe care nu-l vom mai folosi. Într-un suport stau cincisprezece eprubete, numerotate de la $1$ la $15$ , și asistentul ia una fără să se uite. Evenimentul „numărul eprubetei este multiplu de $4$ ” are cazurile favorabile $4$ , $8$ și $12$ , deci probabilitatea lui este $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ . Observă ordinea gândirii: întâi te asiguri că fiecare eprubetă are aceeași șansă, abia apoi numeri.

2. De ce contează ca rezultatele să fie egal posibile?

Din livada școlii s-au adunat într-o pungă zece fructe căzute: șapte mere, două pere și o prună. Un elev scoate un fruct fără să se uite. Colegul lui spune: „Sunt trei feluri de fructe, deci șansa să fie un măr este o treime.”

Greșeala e în alegerea rezultatelor. Cele trei „feluri” nu au aceeași greutate: sunt șapte mere și o singură prună. Rezultatele cu adevărat egal posibile sunt fructele, nu felurile de fructe, pentru că fiecare fruct are aceeași șansă să fie apucat. Cu $card (Ω) = 10$ , evenimentul „măr” are șapte cazuri favorabile, iar probabilitatea lui este $\frac{7}{10}$ , nu $\frac{1}{3}$ .

Regula de lucru e simplă: când lista ta de rezultate conține grupe de mărimi diferite, coboară până la obiectele individuale — fructe, eprubete, plante, probe — și numără-le pe acelea. Cuvintele „la întâmplare”, „fără să se uite”, „prin tragere la sorți” sau „obiecte identice la atingere” din enunț sunt semnalul că obiectele individuale sunt egal posibile.

3. Ce valori poate lua o probabilitate?

Din definiție rezultă imediat trei proprietăți. Orice eveniment $A$ este o submulțime a lui $Ω$ , deci numărul cazurilor favorabile e cel puțin $0$ și cel mult $card (Ω)$ . Împărțind la $card (Ω)$ , care e pozitiv, obții

$0 \leq P (A) \leq 1.$

La capetele intervalului stau evenimentele pe care le cunoști din lecția despre evenimentul sigur, imposibil și elementar: evenimentul imposibil nu are niciun caz favorabil, deci $P (\emptyset) = 0$ , iar evenimentul sigur le are pe toate, deci $P (Ω) = 1$ .

A treia proprietate privește evenimentele elementare: dacă $Ω$ are $n$ elemente egal posibile, fiecare rezultat singur are probabilitatea $\frac{1}{n}$ , iar cele $n$ probabilități adunate dau exact $1$ .

4. Ce se întâmplă când un eveniment îl include pe altul?

Proteinele organismului uman sunt construite din douăzeci de aminoacizi standard. Nouă dintre ei sunt esențiali pentru adult, adică organismul nu îi poate sintetiza și trebuie luați din hrană. Printre cei nouă se află cei trei aminoacizi cu catenă ramificată: leucina, izoleucina și valina. Alegem la întâmplare unul dintre cei douăzeci de aminoacizi.

Fie $B$ evenimentul „aminoacidul ales este esențial” și $A$ evenimentul „aminoacidul ales are catena ramificată”. Orice aminoacid cu catenă ramificată e esențial, deci $A \subseteq B$ și cazurile favorabile ale lui $A$ se află printre cele ale lui $B$ . Rezultă

$P (A) = \frac{3}{20} \leq \frac{9}{20} = P (B) .$

În general, dacă $A \subseteq B$ , atunci $card (A) \leq card (B)$ și, după împărțirea la același număr, $P (A) \leq P (B)$ . Proprietatea se numește monotonie: un eveniment mai restrâns nu poate fi mai probabil decât unul care îl cuprinde. E un control foarte rapid, fiindcă nu cere niciun calcul: dacă ai obținut o probabilitate mai mare pentru evenimentul inclus, ai greșit o numărătoare.

5. Ce legătură are probabilitatea cu frecvența relativă?

La nașteri, datele din deschidere dau proporția băieților printre nou-născuți:

$\frac{105}{205} \approx 0, 512.$

Numărul acesta nu vine din definiția clasică, ci dintr-o frecvență relativă măsurată pe milioane de nașteri — noțiunea pe care ai folosit-o la frecvențele relative și procente. Când rezultatele nu sunt egal posibile, probabilitatea nu se poate calcula prin numărare, ci se estimează din frecvența relativă a unei serii lungi de observații.

Invers, când rezultatele sunt egal posibile, frecvența relativă dintr-o serie lungă se apropie de probabilitatea calculată, fără să o atingă exact; pe serii scurte abaterile pot fi mari. Programa numește această confruntare „comparație empirică/teoretică”: numărul calculat față de numărul observat, judecați după lungimea seriei.

6. Cum scriu și cum citesc rezultatul?

O probabilitate se poate scrie în trei forme echivalente. Fracția ireductibilă e forma exactă și cea mai sigură: $\frac{9}{20}$ . Numărul zecimal ajută la comparații: $\frac{9}{20} = 0, 45$ . Procentul se obține înmulțind cu o sută: $\frac{9}{20} = 45%$ . Când împărțirea nu se termină, rotunjești la numărul de zecimale cerut și schimbi semnul egal cu semnul de aproximare, $\approx$ . De exemplu, $\frac{7}{12} \approx 0, 58$ și $\frac{7}{12} \approx 58, 33%$ .

O probabilitate de $0, 45$ nu promite nimic pentru o singură încercare: ea spune că, la foarte multe repetări în aceleași condiții, evenimentul apare în aproape $45$ de cazuri din $100$ . Formularea corectă este „în aproximativ $45%$ dintre repetări”, nu „data viitoare”.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Colecția de conuri de rășinoase

Pentru ora de biologie, un elev a adunat într-o cutie $36$ de conuri de rășinoase: $15$ de molid, $12$ de brad și $9$ de larice. Profesorul scoate la întâmplare un con. Calculați probabilitățile evenimentelor $M$ = „con de molid”, $L$ = „con de larice” și $B$ = „con de brad”, ca fracții ireductibile și în procente.

Rezolvare. Rezultatele egal posibile sunt cele $36$ de conuri, deci $card (Ω) = 36$ .

$P (M) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 41, 67%, P (L) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 25%, P (B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \approx 33, 33%.$

Control: cele trei evenimente nu au rezultate comune și împreună acoperă toată cutia, deci $\frac{5}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{5 + 3 + 4}{12} = 1$ .

Exemplul 2 — Găsește greșeala: ardeii din seră

Într-o seră de școală sunt $15$ răsaduri de ardei, toate la fel de dezvoltate: $6$ de ardei iute și $9$ de ardei gras. Pentru o lucrare de laborator se ia la întâmplare un răsad. Un elev scrie: „Probabilitatea ca răsadul să fie de ardei iute este $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .” Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Elevul a împărțit numărul răsadurilor de ardei iute la numărul răsadurilor celelalte, adică a calculat un raport între două categorii, nu o probabilitate. Numitorul corect este numărul tuturor rezultatelor posibile, $6 + 9 = 15$ :

$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%.$

Un semnal de alarmă ar fi fost controlul: dacă ar aplica aceeași rețetă și ardeiului gras, elevul ar obține $\frac{9}{6} > 1$ , ceea ce nu poate fi o probabilitate. Raportul „șase la nouă” descrie compoziția serei, nu șansa.

Exemplul 3 — Citește diagrama: dulapul cu reactivi

Un dulap de laborator conține $40$ de flacoane. Diagrama arată câte flacoane poartă fiecare pictogramă de pericol; presupunem că niciun flacon nu poartă mai mult de o pictogramă. Se ia la întâmplare un flacon. a) Calculați probabilitatea ca flaconul să poarte pictograma „coroziv”. b) Calculați probabilitatea ca flaconul să poarte o pictogramă de pericol. c) Fără calcul, comparați probabilitatea evenimentului „toxic” cu cea de la punctul b).

Cele 40 de flacoane ale dulapului, după pictograma de pericol (fiecare flacon are cel mult o pictogramă).

Rezolvare. Din diagramă, $14 + 9 + 5 + 12 = 40$ , deci toate flacoanele sunt reprezentate și $card (Ω) = 40$ .

a) Sunt $9$ flacoane corozive: $P = \frac{9}{40} = 0, 225 = 22, 5%$ .

b) Au pictogramă $14 + 9 + 5 = 28$ de flacoane: $P = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 70%$ . Cele $12$ flacoane fără pictogramă intră în numitor, chiar dacă nu apar în întrebare: ele sunt rezultate posibile ale extragerii.

c) Orice flacon toxic poartă o pictogramă, deci evenimentul „toxic” este inclus în evenimentul de la b). Prin monotonie, probabilitatea lui nu poate depăși $\frac{7}{10}$ . Calculul o confirmă: $\frac{5}{40} = \frac{1}{8} \leq \frac{7}{10}$ .

Exemplul 4 — Simulare pe calculator: teorie și experiment

Un elev folosește într-un program de calcul tabelar funcția care produce la întâmplare un număr întreg de la $1$ la $8$ , toate valorile fiind egal posibile. După $800$ de rulări a numărat de câte ori a ieșit fiecare valoare:

Valoarea	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Apariții	$97$	$104$	$99$	$106$	$95$	$103$	$98$	$98$

Pentru evenimentele $M$ = „a ieșit un multiplu de $3$ ” și $R$ = „a ieșit un număr prim”, comparați probabilitatea calculată cu frecvența relativă obținută.

Rezolvare. Teoretic, $Ω = {1, 2, \dots, 8}$ are $8$ rezultate egal posibile. Multiplii lui $3$ sunt $3$ și $6$ , iar numerele prime sunt $2$ , $3$ , $5$ și $7$ :

$P (M) = \frac{2}{8} = 0, 25, P (R) = \frac{4}{8} = 0, 5.$

Experimental, $M$ a apărut de $99 + 103 = 202$ ori, iar $R$ de $104 + 99 + 95 + 98 = 396$ de ori:

$f (M) = \frac{202}{800} = 0, 2525, f (R) = \frac{396}{800} = 0, 495.$

Diferențele sunt sub un procent, firești la $800$ de rulări. O altă serie ar da alte frecvențe, pe când probabilitățile rămân $0, 25$ și $0, 5$ .

Exemplul 5 — Model din chimie: sarea formată la întâmplare

Pentru un joc de recapitulare, profesorul de chimie are un plic cu patru cartonașe de cationi, $L i^{+}$ , $A g^{+}$ , $B a^{2 +}$ , $F e^{3 +}$ , și un plic cu trei cartonașe de anioni, $N O_{3}^{-}$ , $S O_{4}^{2 -}$ , $P O_{4}^{3 -}$ . Un elev scoate la întâmplare câte un cartonaș din fiecare plic și scrie formula sării neutre formate. Calculați probabilitatea ca: a) o unitate de formulă a sării să conțină cel puțin patru ioni; b) în formula sării, cationul și anionul să apară o singură dată (raport $1 : 1$ ).

Rezolvare. Un rezultat este o pereche (cation, anion). După regula produsului, sunt $4 \cdot 3 = 12$ perechi, egal posibile, fiindcă fiecare cartonaș are aceeași șansă în plicul lui.

a) Numărul ionilor se află din egalarea sarcinilor. Au cel puțin patru ioni în unitatea de formulă fosfații cationilor cu sarcina $+ 1$ și $+ 2$ , $L i_{3} P O_{4}$ și $A g_{3} P O_{4}$ (câte patru ioni) și $B a_{3} (P O_{4})_{2}$ (cinci), apoi $Fe (N O_{3})_{3}$ (patru) și $F e_{2} (S O_{4})_{3}$ (cinci). Sunt $5$ perechi favorabile: $P = \frac{5}{12}$ .

b) Raportul $1 : 1$ apare când sarcinile ionilor au aceeași mărime: $LiN O_{3}$ , $AgN O_{3}$ , $BaS O_{4}$ și $FeP O_{4}$ . Sunt $4$ perechi favorabile, deci $P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ . Control: cele $12$ săruri se împart în $4$ cu doi ioni, $3$ cu trei ioni și $5$ cu cel puțin patru, iar $4 + 3 + 5 = 12$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Determinați numărul numerelor naturale de două cifre. b) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților cu $1$ mai mare decât cifra zecilor.

Rezolvare. a) Numerele de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$ , adică $99 - 10 + 1 = 90$ de numere.

b) Toate cele $90$ de numere sunt egal posibile. Cifra zecilor $z$ fixează cifra unităților, $z + 1$ , o singură variantă; pentru $z = 9$ ar trebui ca unitățile să fie $10$ , care nu e o cifră. Rămân $z = 1, 2, \dots, 8$ , adică numerele $12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89$ : $8$ cazuri favorabile. Probabilitatea este

$P = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} .$

Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, formulată tot pe numerele naturale de două cifre, cu altă condiție asupra cifrelor; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. Se alege la întâmplare una dintre cele nouă litere ale cuvântului CLOROFILA (fiecare poziție are aceeași șansă). Calculează probabilitatea ca litera aleasă să fie: a) o vocală; b) litera L; c) litera Z.

2. Un profesor de fizică are într-o cutie $45$ de rezistoare: $18$ de $100 Ω$ , $15$ de $220 Ω$ și $12$ de $470 Ω$ . Se ia un rezistor la întâmplare. Calculează probabilitatea ca rezistența lui să fie: a) de $220 Ω$ ; b) mai mare decât $150 Ω$ .

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Cele $60$ de alveole ale unei tăvi de răsaduri sunt numerotate de la $1$ la $60$ , iar un elev alege una la întâmplare. „Probabilitatea ca numărul alveolei să fie multiplu de $3$ este exact de trei ori mai mare decât probabilitatea ca el să fie multiplu de $9$ .”

4. Pentru fiecare situație, spune dacă rezultatele enumerate sunt egal posibile și, deci, dacă definiția clasică se poate aplica: a) se trage la sorți un elev dintr-o urnă cu $25$ de bilețele identice, câte unul pentru fiecare elev; b) se alege la întâmplare o zi a anului 2027 și se notează doar luna în care se află; c) se scoate un cartonaș dintr-un pachet amestecat de $30$ de cartonașe identice pe spate; d) se deschide o carte la întâmplare și se notează prima literă a primului cuvânt de pe pagină.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 20}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $A$ , acesta să fie divizor al numărului $60$ .

6. Scrie ca număr zecimal și ca procent: $\frac{13}{16}$ , $\frac{2}{7}$ , $\frac{11}{15}$ . Când împărțirea nu se termină, rotunjește numărul zecimal și procentul la două zecimale; când se termină, scrie valoarea exactă.

7. Ghivecele unui laborator de botanică sunt etichetate cu o literă din mulțimea ${A, B, C, D, E}$ urmată de o cifră impară. Se alege la întâmplare o etichetă dintre toate etichetele posibile. Calculează probabilitatea ca: a) litera să fie o vocală; b) eticheta să fie exact $A 9$ .

8. Un program generează la întâmplare cifre de la $0$ la $9$ , toate egal posibile. În $500$ de generări, cifra $7$ a apărut de $46$ de ori. Compară frecvența relativă a cifrei $7$ cu probabilitatea ei teoretică și spune dacă rezultatul pune la îndoială funcționarea programului.

9. (Problemă aplicată.) Un laborator de hematologie a analizat într-o săptămână $320$ de probe de sânge; în $72$ dintre ele numărul trombocitelor era sub limita normală. Pentru un control de calitate se alege la întâmplare una dintre cele $320$ de probe. Calculează probabilitatea ca proba aleasă să aibă trombocitele sub limită și scrie rezultatul în procente.

10. Care dintre numerele următoare pot fi probabilitatea unui eveniment? Justifică pentru fiecare: $0, 07$ ; $\frac{9}{8}$ ; $1$ ; $- \frac{1}{4}$ ; $100%$ ; $1, 5%$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $B = {20, 21, 22, \dots, 80}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $B$ , acesta să dea restul $2$ la împărțirea cu $7$ .

12. O colecție de muzeu are $30$ de meteoriți: $12$ sunt metalici, iar ceilalți sunt pietroși. Opt dintre meteoriți au fost găsiți în deșert, iar trei dintre aceștia sunt metalici. Se alege un meteorit la întâmplare. Calculează probabilitățile evenimentelor $A$ = „meteoritul este metalic”, $B$ = „meteoritul a fost găsit în deșert” și $C$ = „meteoritul este pietros și a fost găsit în deșert”, apoi ordonează-le crescător.

13. Clubul de ecologie alege la întâmplare două dintre cele cinci trasee de drumeție din zonă, notate $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , pentru observații de teren. Un coleg spune: „Traseul $A$ fie este ales, fie nu este, deci probabilitatea ca el să fie ales este de una din două.” Calculează probabilitatea corectă și explică unde a greșit colegul.

14. Un test rapid pentru gripă a ieșit pozitiv la $57$ dintre cei $150$ de pacienți cu simptome testați într-o săptămână. Se poate afla probabilitatea ca testul unui pacient nou cu simptome să fie pozitiv cu definiția clasică, folosind rezultatele „pozitiv” și „negativ”? Dacă nu, cum ai obține un număr care să joace rolul acestei probabilități și de ce condiție depinde el?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M = {x \in N ∣ x^{2} < 90}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $M$ , acesta să fie număr prim.

16. Se alege la întâmplare un număr natural $n$ din mulțimea ${1, 2, 3, \dots, 100}$ . Calculează probabilitatea ca $n^{2}$ să aibă ultima cifră $6$ .

17. Un eveniment $A$ al unui experiment cu rezultate egal posibile are $P (A) = 0, 35$ . Care este cel mai mic număr posibil de elemente al mulțimii $Ω$ ? Justifică.

18. (Provocare.) Un experiment are $8$ rezultate egal posibile. Câte evenimente diferite ale lui au probabilitatea exact $\frac{1}{4}$ ? Câte au probabilitatea cel mult $\frac{1}{4}$ ?

Răspunsuri și explicații

1. Literele sunt C, L, O, R, O, F, I, L, A, deci $card (Ω) = 9$ . a) Vocalele sunt O, O, I, A, adică $4$ poziții: $P = \frac{4}{9}$ . b) Litera L apare de două ori: $P = \frac{2}{9}$ . c) Litera Z nu apare, evenimentul e imposibil: $P = \frac{0}{9} = 0$ .

2. $card (Ω) = 18 + 15 + 12 = 45$ . a) $P = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ . b) Rezistențele mai mari decât $150 Ω$ sunt cele de $220 Ω$ și de $470 Ω$ : $15 + 12 = 27$ de rezistoare, deci $P = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$ .

3. Fals. Multiplii lui $3$ de la $1$ la $60$ sunt $3, 6, \dots, 60$ , adică $20$ , iar multiplii lui $9$ sunt $9, 18, 27, 36, 45, 54$ , adică $6$ . Probabilitățile sunt $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ și $\frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ , iar $\frac{1}{3}$ nu este egal cu $3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ .

4. a) Da: bilețelele identice, trase la sorți, fac cei $25$ de elevi egal posibili. b) Nu: lunile au $28$ , $30$ sau $31$ de zile, deci nu sunt egal posibile; egal posibile sunt cele $365$ de zile. c) Da: cartonașele identice pe spate, dintr-un pachet amestecat, sunt egal posibile. d) Nu: literele nu apar la fel de des la începutul cuvintelor, deci literele alfabetului nu sunt rezultate egal posibile.

5. Mulțimea $A$ are $20$ de elemente. Divizorii lui $60$ care nu depășesc $20$ sunt $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20$ , adică $10$ . Deci $P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ .

6. Împărțirea $13 : 16$ se termină: $\frac{13}{16} = 0, 8125 = 81, 25%$ , valori exacte. Pentru $\frac{2}{7} = 0, 285714 \dots$ rotunjim: $\frac{2}{7} \approx 0, 29$ , iar în procente $\frac{2}{7} \approx 28, 57%$ . În sfârșit, $\frac{11}{15} = 0, 7333 \dots \approx 0, 73$ , iar în procente $\frac{11}{15} \approx 73, 33%$ .

7. Cifrele impare sunt $1, 3, 5, 7, 9$ , deci există $5 \cdot 5 = 25$ de etichete egal posibile. a) Vocalele sunt A și E: $2 \cdot 5 = 10$ etichete, $P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ . b) O singură etichetă: $P = \frac{1}{25}$ .

8. Probabilitatea teoretică este $\frac{1}{10} = 0, 1$ , iar frecvența relativă este $\frac{46}{500} = 0, 092$ . Diferența, $0, 008$ , reprezintă patru apariții lipsă la $500$ de generări, o abatere obișnuită pentru o serie de această lungime. Rezultatul nu arată o defecțiune; pentru o concluzie fermă ar fi nevoie de o serie mult mai lungă.

9. Rezultatele egal posibile sunt cele $320$ de probe, iar $72$ sunt favorabile: $P = \frac{72}{320} = \frac{9}{40} = 0, 225 = 22, 5%$ .

10. Pot fi probabilități $0, 07$ , $1$ (evenimentul sigur), $100% = 1$ și $1, 5% = 0, 015$ , fiindcă toate sunt între $0$ și $1$ . Nu pot fi $\frac{9}{8} > 1$ și $- \frac{1}{4} < 0$ .

11. Mulțimea $B$ are $80 - 20 + 1 = 61$ de elemente, nu $60$ . Numerele din $B$ cu restul $2$ la împărțirea cu $7$ sunt $23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79$ (următorul, $86$ , depășește $80$ ), adică $9$ numere. Deci $P = \frac{9}{61}$ .

12. $P (A) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ și $P (B) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ . Meteoriții pietroși găsiți în deșert sunt $8 - 3 = 5$ , deci $P (C) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ . Cu numitorul comun $30$ , $\frac{5}{30} < \frac{8}{30} < \frac{12}{30}$ , adică $P (C) < P (B) < P (A)$ .

13. Un rezultat este o pereche neordonată de trasee: $A B$ , $A C$ , $A D$ , $A E$ , $B C$ , $B D$ , $B E$ , $C D$ , $C E$ , $D E$ , adică $10$ perechi egal posibile. Traseul $A$ apare în $4$ dintre ele, deci $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Colegul a luat drept egal posibile două situații, „ales” și „neales”, care au $4$ , respectiv $6$ perechi.

14. Nu. Cele două rezultate, „pozitiv” și „negativ”, nu au de ce să fie la fel de posibile: proporția lor depinde de cât de răspândită e boala printre pacienții testați. Un număr util îl dă seria observată: $\frac{57}{150} = 0, 38$ , adică în jur de $38%$ . Estimarea e valabilă doar dacă pacienții noi vin din aceeași populație, de exemplu în aceeași perioadă a sezonului de gripă.

15. Din $9^{2} = 81 < 90$ și $1 0^{2} = 100 > 90$ rezultă $M = {0, 1, 2, \dots, 9}$ , cu $10$ elemente (fără să uiți $0$ ). Numerele prime din $M$ sunt $2, 3, 5, 7$ . Deci $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

16. Ultima cifră a lui $n^{2}$ depinde numai de ultima cifră a lui $n$ , iar $n^{2}$ se termină în $6$ exact când $n$ se termină în $4$ sau în $6$ ( $4^{2} = 16$ , $6^{2} = 36$ ). În ${1, \dots, 100}$ sunt $10$ numere terminate în $4$ și $10$ terminate în $6$ , deci $P = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ .

17. $0, 35 = \frac{7}{20}$ , fracție ireductibilă. Dacă $\frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{7}{20}$ , numitorul $card (Ω)$ trebuie să fie multiplu de $20$ . Cel mai mic număr posibil este $20$ , cu $card (A) = 7$ .

18. Un eveniment este o submulțime a lui $Ω$ , iar $P (A) = \frac{card ( A )}{8}$ . Probabilitatea $\frac{1}{4}$ cere $card (A) = 2$ : sunt $C_{8}^{2} = 28$ de evenimente. Probabilitatea cel mult $\frac{1}{4}$ cere $card (A) \leq 2$ : evenimentul imposibil, cele $8$ evenimente elementare și cele $28$ cu două rezultate, adică $1 + 8 + 28 = 37$ .

De reținut

Definiția clasică, $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ , se folosește doar când $Ω$ e finită și toate rezultatele ei sunt egal posibile; fără această condiție raportul nu e o probabilitate.
Când rezultatele se grupează în categorii de mărimi diferite, numeri obiectele individuale (fructe, probe, plante), nu categoriile.
Orice probabilitate e între $0$ și $1$ ; $P (\emptyset) = 0$ , $P (Ω) = 1$ , iar din $A \subseteq B$ rezultă $P (A) \leq P (B)$ .
Frecvența relativă a unei serii lungi se apropie de probabilitatea calculată, fără să o atingă exact; când rezultatele nu sunt egal posibile, probabilitatea se estimează din frecvențe.
Rezultatul se dă ca fracție ireductibilă, ca număr zecimal sau în procente; valorile rotunjite se scriu cu $\approx$ .

Greșeli frecvente

Împarți la „ceilalți” în loc de „toți”. Șase răsaduri de ardei iute și nouă de ardei gras dau probabilitatea $\frac{6}{15}$ , nu $\frac{6}{9}$ . Numitorul e întotdeauna numărul tuturor rezultatelor posibile.
Uiți din numitor rezultatele care nu au nume în întrebare. Flacoanele fără pictogramă nu apar în întrebare, dar pot fi scoase din dulap; dacă le lași afară, numitorul scade și probabilitățile cresc artificial.
Numeri greșit numerele de două cifre. De la $10$ la $99$ sunt $90$ de numere, nu $99$ și nici $100$ : primele nouă numere naturale nenule au o singură cifră.
Confunzi procentul cu numărul zecimal. $0, 4%$ înseamnă $0, 004$ , nu $0, 4$ : în primul caz evenimentul apare cam o dată la două sute cincizeci de repetări, în al doilea de patru ori la zece.
Tratezi o serie scurtă ca pe probabilitate. Dacă pe zece observații evenimentul a apărut de trei ori, $0, 3$ e o estimare nesigură; aceeași frecvență pe o mie de observații ar spune mult mai mult.

Aplică acasă

Vocalele de pe o pagină. Deschide o carte la întâmplare și alege primul rând complet. Numără literele și vocalele, apoi calculează probabilitatea ca o literă aleasă la întâmplare din rând să fie vocală. Repetă pentru încă patru rânduri și compară cele cinci valori: sunt apropiate între ele?
Raftul cu cărți. Numără cărțile de pe un raft de acasă, pe categorii (manuale, dicționare, romane, altele), și calculează probabilitatea ca o carte aleasă prin tragere la sorți a numărului ei de ordine să fie manual. Apoi închide ochii și apucă de zece ori câte o carte de pe raft: sunt cărțile groase și cele subțiri la fel de ușor de apucat? Scrie de ce a doua metodă nu mai dă rezultate egal posibile.
Raportul de sexe în familia ta. Numără băieții și fetele dintre verii, frații și prietenii tăi apropiați. Calculează proporția băieților și compar-o cu $0, 512$ . Discută de ce, pe un grup mic, abaterea poate fi mare.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă cele două numărători pe care elevul le face deja — rezultatele posibile și cele favorabile — într-un singur număr și, mai ales, fixează condiția fără de care raportul nu înseamnă nimic. Accentul cade pe recunoașterea rezultatelor egal posibile în contexte de științe: obiectele individuale (fructe, conuri, probe) sunt egal posibile, categoriile de mărimi diferite nu sunt.

Ce merită urmărit în caiet: descrie elevul un singur rezultat înainte de a număra; pune în numitor toate rezultatele, inclusiv pe cele fără nume în întrebare; verifică încadrarea între $0$ și $1$ și monotonia; scrie semnul de aproximare la valorile rotunjite. Întrebări bune de control: „Care e un rezultat al experimentului?”, „De unde știi că rezultatele sunt la fel de posibile?”. Un semn de înțelegere este ca elevul să spună singur când definiția clasică nu se aplică și să propună în loc o estimare din frecvențe.

Comparația dintre frecvența relativă și probabilitate, cerută de programă ca „empirică/teoretică”, se poate lucra la clasă cu simulări în foaia de calcul, ca în Exemplul 4; aproximările și rotunjirea se sprijină pe lecția de clasa a IX-a despre ordonarea numerelor reale și aproximări. Lecția următoare, despre cazurile favorabile și posibile numărate cu combinatorica, adaugă permutările, aranjamentele și combinările la numărarea cazurilor. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probabilitatea unui eveniment, definiția clasică.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, la capitolul de probabilități al clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate pe numerele naturale de două cifre, rezolvată prin numărarea cazurilor. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția de probabilitate de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Definiția și proprietățile sunt aceleași. La științe ale naturii, lecția pune accent pe recunoașterea rezultatelor egal posibile în situații din laborator și din natură, pe comparația dintre frecvența măsurată și probabilitatea calculată și pe estimarea din date atunci când definiția clasică nu se aplică. Exemplele vin din biologie, chimie și fizică, nu din jocuri de noroc.

La ce subiect apare probabilitatea la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 trece probabilitatea unui eveniment la conținuturile clasei a X-a, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a, iar una dintre ele este o probabilitate pe numerele de două cifre. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Poate să se producă un eveniment cu probabilitatea $0$ ? În definiția clasică, nu: probabilitatea $0$ înseamnă că evenimentul nu are niciun caz favorabil, deci este imposibil. Altfel stau lucrurile cu o frecvență măsurată. Dacă un aparat nou nu s-a defectat în primele $50$ de zile de funcționare, frecvența relativă a defectării este $0$ , dar aparatul se poate defecta în ziua următoare: o serie finită nu dovedește că un eveniment e imposibil.

Care este diferența dintre frecvența relativă și probabilitate? Frecvența relativă e un număr măsurat: de câte ori a apărut evenimentul, împărțit la numărul de observații. Se schimbă de la o serie la alta. Probabilitatea e un număr fix al experimentului, calculat din model sau estimat din serii foarte lungi. Pe serii lungi, frecvența se apropie de probabilitate, dar rămâne o aproximare a ei.

Ce legătură are probabilitatea cu proporția dintr-o populație? Când alegi la întâmplare un individ dintr-o populație finită, fiecare individ are aceeași șansă. Atunci probabilitatea ca individul ales să aibă o însușire este chiar proporția indivizilor care o au. De aceea tabelele de frecvențe din statistică se pot citi direct ca probabilități pentru o alegere la întâmplare.

Poate definiția clasică să dea o probabilitate egală cu un număr irațional? Nu. Definiția clasică împarte două numere naturale, deci rezultatul este întotdeauna un număr rațional între $0$ și $1$ . O probabilitate precum $\frac{1}{π}$ poate apărea în alte modele, cu rezultate care nu se pot număra, dar nu prin numărarea unor cazuri egal posibile, cum se face în această lecție.