Câte porții întregi încap într-o cantitate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Partea întreagă și cea fracționară

Numărul porțiilor complete este partea întreagă a câtului dintre cantitate și porție. Exemplu: din $2, 5$ L de soluție umpli flacoane de $0, 3$ L. Câtul este $2, 5 : 0, 3 = 8, 33 \dots$ , iar $[8, 33 \dots] = 8$ , deci se umplu $8$ flacoane. Rămân $2, 5 - 8 \cdot 0, 3 = 0, 1$ L, adică partea fracționară a câtului înmulțită cu o porție. Rotunjirea ar da tot $8$ aici, dar la $8, 7$ ar da $9$ , un flacon care nu se umple.

Definiția lucrează prin încadrare, nu prin tăierea cifrelor de după virgulă: $[x]$ este acel unic întreg $k$ pentru care $k \leq x < k + 1$ . De aceea $[- 4, 3] = - 5$ , singura valoare care respectă încadrarea $- 5 \leq - 4, 3 < - 4$ .

Ce rămâne poartă numele de parte fracționară: ${x} = x - [x]$ , cu $0 \leq {x} < 1$ oricare ar fi numărul real. Descompunerea $x = [x] + {x}$ desparte unitățile complete de rest — chiar gestul cerut atunci când numeri doze, porții sau ambalaje pline.

La un radical, încadrarea se face între două pătrate perfecte: din $25 \leq 35 < 36$ urmează $[35] = 5$ . Afișajul $5, 92$ te-ar trage spre $6$ ; hotărăște încadrarea, nu ecranul.

A lua partea întreagă nu înseamnă a rotunji. La $4, 8$ , prima operație dă $4$ , a doua dă $5$ ; chiar formula rotunjirii la întreg se scrie cu paranteze de parte întreagă, $[x + 0, 5]$ . Un enunț de fizică sau de chimie care întreabă „câte unități complete” cere prima operație, iar „aproximativ câte unități” cere a doua.

Rămân două capcane de laborator: nu rotunji măsurătoarea mai întâi, fiindcă $[7, 96] = 7$ , pe când $[8, 0] = 8$ ; și scrie rezultatul cu unitatea lui, de vreme ce $[3, 47] = 3$ în metri, iar $[347] = 347$ în centimetri.

De reținut

$[x]$ este întregul $k$ cu $k \leq x < k + 1$ , iar ${x} = x - [x] \in [0, 1)$
porțiile complete dintr-o cantitate sunt $[\frac{cantitate}{por ț ie}]$
partea întreagă nu este rotunjire: $[8, 7] = 8$ , rotunjit dă $9$

Greșeala tipică

Se rotunjește câtul în loc să se ia partea întreagă și se numără un flacon care nu se poate umple; pentru porții complete se ia $[x]$ , nu rotunjirea.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $[- 4, 3]$ ?
- a) $- 4$
- b) $- 5$
- c) $4$
- d) $- 4, 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Cauți întregul $k$ cu $k \leq - 4, 3 < k + 1$ . Pe axă, $- 4, 3$ stă între $- 5$ și $- 4$ , deci $k = - 5$ . Varianta a) taie cifrele de după virgulă, ceea ce merge doar la numerele pozitive.
Cât este ${- 4, 3}$ ?
- a) $0, 3$
- b) $- 0, 3$
- c) $0, 7$
- d) $- 0, 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 7$

${x} = x - [x] = - 4, 3 - (- 5) = 0, 7$ . Rezultatul trebuie să fie în $[0, 1)$ , deci variantele negative se exclud dintr-o privire.
Cât este $[35]$ ?
- a) $6$
- b) $5, 92$
- c) $35$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Încadrezi între pătrate perfecte: $25 \leq 35 < 36$ , deci $5 \leq 35 < 6$ și partea întreagă este $5$ . Varianta b) nu e nici măcar un întreg, iar a) vine din rotunjirea afișajului.

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația $[x] = - 2$ ?

Partea întreagă este $- 2$ exact când $- 2 \leq x < - 1$ . Mulțimea soluțiilor este intervalul $[- 2, - 1)$ : de exemplu, $- 2$ și $- 1, 5$ sunt soluții, iar $- 1$ nu este, pentru că $[- 1] = - 1$ .

Cât este partea fracționară a lui $- \frac{7}{3}$ ?

Cum $- \frac{7}{3} = - 2, 33 \dots$ și $- 3 \leq - 2, 33 \dots < - 2$ , partea întreagă este $- 3$ . Atunci ${- \frac{7}{3}} = - \frac{7}{3} + 3 = \frac{2}{3}$ . Rezultatul se află în intervalul $[0, 1)$ , cum trebuie să fie orice parte fracționară. Greșeala frecventă este răspunsul $0, 33$ , obținut tăind cifrele de după virgulă.

Cum rezolv ecuația $[2 x + 1] = 5$ ?

Scrii încadrarea $5 \leq 2 x + 1 < 6$ . Scazi $1$ și obții $4 \leq 2 x < 5$ , apoi împarți la $2$ : $2 \leq x < 2, 5$ . Soluția este intervalul $[2; 2, 5)$ , cu capătul din stânga inclus și cel din dreapta exclus. Verificare la $x = 2, 4$ : $[5, 8] = 5$ , iar la $x = 2, 5$ ar ieși $[6] = 6$ , deci capătul drept nu este soluție.

Câte oscilații complete face un pendul cu perioada de $1, 5$ s în $10$ s?

Împarți durata la perioadă: $10 : 1, 5 = 6, 66 \dots$ Oscilațiile complete sunt $[6, 66 \dots] = 6$ . A șaptea oscilație abia a trecut de jumătate, deci nu se numără, deși rotunjirea ar spune $7$ .

Ce valori poate lua suma $[x] + [- x]$ ?

Dacă $x$ este întreg, suma este $x + (- x) = 0$ . Altfel, suma este $- 1$ : pentru $x = 2, 4$ avem $[2, 4] = 2$ și $[- 2, 4] = - 3$ . Motivul este că, pentru un număr neîntreg, partea întreagă a opusului coboară cu o unitate sub opusul părții întregi. Așadar $[x] + [- x]$ ia doar valorile $0$ și $- 1$ .

Cum rotunjesc un număr la sutimi folosind partea întreagă?

Folosești $\frac{[ 100 x + 0 , 5 ]}{100}$ . Pentru $x = 3, 14159$ : $100 x + 0, 5 = 314, 659$ , partea întreagă este $314$ , iar rezultatul este $3, 14$ . Pentru $x = 2, 006$ obții $[201, 1] = 201$ , deci $2, 01$ . Adunarea lui $0, 5$ înainte de partea întreagă face ca a treia zecimală, când este cel puțin $5$ , să urce sutimile.

Oamenii mai întreabă și: câte porții complete încap · partea întreagă la probleme cu porții · câte flacoane pline se umplu · câte unități complete intră într-o cantitate

Câte porții întregi încap într-o cantitate?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația [x]=−2?

Cât este partea fracționară a lui −37​?

Cum rezolv ecuația [2x+1]=5?

Câte oscilații complete face un pendul cu perioada de 1,5 s în 10 s?

Ce valori poate lua suma [x]+[−x]?