Polinoame în fizică, chimie și biologie (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Până aici ai învățat să calculezi cu polinoame: să le aduni, să le împarți, să le afli rădăcinile. Întrebarea care încheie capitolul e alta și e a unui elev de la profilul științe ale naturii: la ce îmi folosesc? Răspunsul e că un polinom e cel mai simplu obiect matematic cu care se poate descrie o mărime care crește și scade — volumul unui bazin care se schimbă cu lățimea săpăturii, concentrația unui produs de reacție care urcă și apoi se consumă, masa unei culturi care stagnează și apoi pornește. Lecția aceasta, ultima din capitolul de polinoame al clasei a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), te învață cum se construiește un asemenea model, cum se citește și unde se oprește. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 polinoamele apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; la proba MAT_P2 din 2030 ele intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a pe care îl închei acum.

Ai mai modelat o situație practică în gimnaziu, la problemele rezolvate cu ecuații liniare, unde necunoscuta era un număr. Acum necunoscuta este o legătură: nu un număr, ci o formulă care leagă două mărimi măsurate și care trebuie să reziste la verificare.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă un model polinomial și de ce el nu e complet fără unități de măsură și fără intervalul pe care are sens.
Vei ști să scrii un polinom pornind de la o situație — un volum, o concentrație, o cantitate — și să-l aduci la forma desfășurată.
Vei ști să determini un coeficient necunoscut dintr-o singură măsurătoare și să verifici rezultatul.
Vei ști să răspunzi la întrebarea „când atinge mărimea o valoare dată?", rezolvând o ecuație polinomială și alegând dintre rădăcini pe cele cu sens fizic.
Vei ști să compari două modele propuse pentru aceleași date și să-l elimini pe cel care nu se potrivește.
Vei ști de ce un model polinomial nu se folosește departe de intervalul în care a fost măsurat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să modelezi cu un polinom?

Un model polinomial este o funcție polinomială cu coeficienți reali care aproximează o mărime măsurată, însoțită obligatoriu de trei precizări fără de care nu spune nimic: care este variabila și în ce unitate se măsoară, în ce unitate se măsoară valoarea și pe ce interval de valori ale variabilei modelul este valabil.

Cele trei precizări nu sunt formalități de manual: scrierea $P (t) = - 2 t^{3} + 7 t^{2} + 9 t$ nu înseamnă nimic singură, pe când „masa de precipitat, în grame, la $t$ minute de la începutul reacției, pentru $t$ între $0$ și $4, 5$ " înseamnă ceva ce se poate verifica pe cântar. Un model e o afirmație despre lume, deci poate fi și greșit.

2. De unde vin coeficienții unui model?

Din situația însăși, când ea are o descriere geometrică, sau din măsurători, când nu are.

Primul caz e cel mai curat. Un bazin de decantare se sapă cu baza un dreptunghi ale cărui laturi sunt $x$ și $x + 3$ metri, iar adâncimea lui este de $8 - x$ metri — cu cât baza e mai lată, cu atât se sapă mai puțin adânc. Volumul bazinului este atunci

$V (x) = x (x + 3) (8 - x) = - x^{3} + 5 x^{2} + 24 x .$

Polinomul n-a fost ghicit: a ieșit din descrierea bazinului, prin înmulțirea pe care ai învățat-o la operațiile cu polinoame.

Al doilea caz cere o măsurătoare. Dacă știi forma modelului, dar nu și un coeficient, pui în locul lui o literă și folosești o valoare măsurată pentru a-l afla. Pentru $P (t) = - 2 t^{3} + a t^{2} + 9 t$ și măsurătoarea „la trei minute s-au depus $36$ de grame" scrii $P (3) = 36$ , adică $- 54 + 9 a + 27 = 36$ , de unde $9 a = 63$ și $a = 7$ . Litera folosită pentru coeficientul necunoscut nu trebuie să fie una care mai apare în problemă — de aceea am ales $a$ , și nu $t$ sau $P$ .

3. Ce unitate de măsură are un coeficient?

Pe aceea care face ca fiecare termen al modelului să iasă în unitatea mărimii modelate. Ia formula înălțimii unui corp aruncat în sus, $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , unde $h$ este în metri și $t$ în secunde. Termenul $20 t$ trebuie să iasă în metri, iar $t$ e în secunde, deci $20$ se măsoară în metri pe secundă: este o viteză. La fel, $- 5$ se măsoară în metri pe secundă la pătrat: el este jumătate din accelerația gravitațională, luată aici cu valoarea rotundă de $10$ metri pe secundă la pătrat. Termenul liber $1$ este chiar o lungime, înălțimea de la care a pornit corpul.

De aici o verificare care prinde multe greșeli: într-un model, toți termenii trebuie să aibă aceeași unitate, cea a mărimii modelate. Dacă la o sumă un termen iese în grame și altul în grame pe minut, modelul e scris greșit, oricât de frumos ar arăta.

4. Pe ce interval are sens un model?

Pe acela pe care toate mărimile din care e construit rămân posibile. La bazinul de mai sus, cele trei dimensiuni trebuie să fie pozitive: $x > 0$ , $x + 3 > 0$ și $8 - x > 0$ . Prima și a treia dau $0 < x < 8$ , iar a doua nu adaugă nimic. Polinomul $- x^{3} + 5 x^{2} + 24 x$ se poate calcula și în $x = 12$ , dar rezultatul nu descrie niciun bazin.

La modelele care descriu mărimi pozitive, capătul intervalului se află adesea rezolvând o ecuație. Pentru $P (t) = - 2 t^{3} + 7 t^{2} + 9 t$ scriem polinomul ca produs:

$P (t) = - t (2 t - 9) (t + 1) .$

Rădăcinile sunt $- 1$ , $0$ și $4, 5$ . Prima nu e un moment de timp, iar după $4, 5$ minute modelul dă valori negative, adică o masă negativă (precipitatul se redizolvă în exces de reactiv, iar formula nu mai descrie nimic măsurabil). Concluzia: modelul e valabil pe intervalul $[0; 4, 5]$ și atât. Un model nu vine cu domeniul lui scris pe el — îl afli tu, din condițiile fizice.

5. Când atinge mărimea o valoare dată?

Atunci când modelul ia acea valoare, deci când o ecuație polinomială are soluție. Fie $N (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 20$ numărul de indivizi, în mii, al unei culturi, la $t$ ore de la însămânțare, pentru $t$ în intervalul $[0; 5]$ . Când ajunge cultura la $24$ de mii de indivizi?

Rezolvăm $N (t) = 24$ , adică $t^{3} - 6 t^{2} + 9 t - 4 = 0$ . Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber, cu metoda din lecția despre rădăcinile reale și ecuațiile polinomiale: $t = 1$ o verifică. Împărțind prin schema lui Horner, rămâne $t^{2} - 5 t + 4$ , cu rădăcinile $1$ și $4$ . Așadar

$t^{3} - 6 t^{2} + 9 t - 4 = (t - 1)^{2} (t - 4) .$

Ambele momente, $t = 1$ și $t = 4$ , sunt în intervalul de valabilitate, deci amândouă sunt răspunsuri. Ce se întâmplă între ele se citește din valorile modelului: $N (0) = 20$ , $N (1) = 24$ , $N (2) = 22$ , $N (3) = 20$ , $N (4) = 24$ . La $t = 1$ cultura atinge $24$ de mii și coboară înapoi, iar la $t = 4$ revine la aceeași valoare, urcând. Rădăcina dublă din $(t - 1)^{2} (t - 4)$ este chiar semnul algebric al atingerii: acolo modelul ajunge la valoare fără să o treacă.

Pasul hotărâtor este ultimul: dintre rădăcinile ecuației se rețin doar cele din domeniul fizic. O rădăcină negativă la o problemă de timp, sau una aflată dincolo de capătul intervalului măsurat, se scrie și se respinge, motivat. A o trece în răspuns e o greșeală de modelare, nu de calcul.

6. Cum aleg între două modele propuse?

Punându-le la încercare pe date pe care nu au fost construite. Patru cântăriri ale unui precipitat, din minut în minut, au dat $12$ , $15$ , $20$ și $27$ de miligrame. Se propun două modele:

$A (t) = t^{2} + 2 t + 12, B (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 4 t + 12.$

Amândouă trec prin primele trei măsurători: $A (0) = 12$ , $A (1) = 15$ , $A (2) = 20$ și, la fel, $B (0) = 12$ , $B (1) = 15$ , $B (2) = 20$ . La a patra se despart: $A (3) = 27$ , cât s-a măsurat, iar $B (3) = 33$ , cu șase miligrame mai mult. Modelul $B$ se respinge.

Reține procedeul: construiești modelul din câteva date și îl testezi pe una lăsată deoparte. Un model potrivit doar cu datele din care a fost făcut nu a fost verificat niciodată.

7. Până unde pot duce un model?

Nu departe. Cele două modele de mai sus, aproape identice pe primele trei minute, dau la $t = 5$ valorile $A (5) = 47$ și $B (5) = 107$ de miligrame — mai mult decât dublu unul față de celălalt. Cu cât gradul e mai mare, cu atât valorile se depărtează mai repede în afara intervalului măsurat.

De aceea un model polinomial se folosește în interiorul intervalului pe care a fost construit, iar în afara lui doar pe o distanță scurtă. Cultura de mai sus ar număra, după formulă, $N (20) = 5800$ de mii de indivizi — un număr pe care niciun vas nu îl poate susține. Nu polinomul a greșit; noi l-am folosit unde nu avea ce căuta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Modelul construit din desen

Un bazin de retenție are baza un dreptunghi cu laturile de $x$ și $x + 5$ metri, iar adâncimea de $12 - x$ metri. a) Scrieți volumul bazinului ca polinom în formă desfășurată. b) Precizați intervalul valorilor lui $x$ pentru care modelul are sens. c) Calculați volumul pentru $x = 3$ metri.

Rezolvare. a) Înmulțim întâi cele două laturi ale bazei: $x (x + 5) = x^{2} + 5 x$ . Înmulțind cu adâncimea, $(x^{2} + 5 x) (12 - x) = - x^{3} + 7 x^{2} + 60 x$ , deci $V (x) = - x^{3} + 7 x^{2} + 60 x$ , volumul fiind în metri cubi.

b) Toate cele trei dimensiuni trebuie să fie pozitive: $x > 0$ , $x + 5 > 0$ și $12 - x > 0$ , adică $x < 12$ . Condiția a doua e îndeplinită de la sine, deci $x$ ia valori în intervalul $(0; 12)$ .

c) $V (3) = - 27 + 63 + 180 = 216$ , adică $216$ de metri cubi. Control pe forma nedesfășurată: $3 \cdot 8 \cdot 9 = 216$ .

Exemplul 2 — Coeficientul aflat dintr-o măsurătoare

Masa de sediment depus într-un decantor, în grame, la $t$ minute de la pornire, este aproximată de $S (t) = - 4 t^{3} + a t^{2} + 27 t$ , unde $a$ este un număr real. Se măsoară $S (1) = 20$ de grame. a) Determinați $a$ . b) Determinați intervalul de timp pe care modelul dă valori care au sens.

Rezolvare. a) Înlocuim $t$ cu $1$ : $- 4 + a + 27 = 20$ , adică $a + 23 = 20$ . Rezultă $a = - 3$ , iar modelul este $S (t) = - 4 t^{3} - 3 t^{2} + 27 t$ . Verificare: $S (1) = - 4 - 3 + 27 = 20$ de grame. Un coeficient negativ nu are nimic neobișnuit: coeficienții sunt numere reale oarecare.

b) Scoatem factor comun și descompunem: $S (t) = - t (4 t^{2} + 3 t - 27) = - t (4 t - 9) (t + 3)$ . Rădăcinile sunt $- 3$ , $0$ și $2, 25$ . Momentul $- 3$ nu există, iar pentru $t$ mai mare decât $2, 25$ produsul devine negativ, deci masa ar fi negativă. Modelul are sens pe intervalul $[0; 2, 25]$ , adică pe primele două minute și un sfert. Control: $S (2) = - 32 - 12 + 54 = 10$ grame, valoare pozitivă, iar $S (3) = - 108 - 27 + 81 = - 54$ , valoare fără sens fizic.

Exemplul 3 — Când atinge mărimea o valoare dată

Masa de biomasă dintr-un fermentator, în grame, la $t$ ore de la pornire, este aproximată de $B (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 15$ , pentru $t$ în intervalul $[0; 6]$ . Determinați momentele în care biomasa este de $35$ de grame.

Rezolvare. Condiția se scrie $t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 15 = 35$ , adică $t^{3} - 9 t^{2} + 24 t - 20 = 0$ . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii lui $20$ și găsim $t = 2$ , fiindcă $8 - 36 + 48 - 20 = 0$ . Împărțind la $t - 2$ , câtul este $t^{2} - 7 t + 10$ , cu rădăcinile $2$ și $5$ . Ecuația se scrie deci $(t - 2)^{2} (t - 5) = 0$ .

Soluțiile sunt $t = 2$ și $t = 5$ , amândouă în intervalul $[0; 6]$ , deci amândouă sunt răspunsuri: biomasa ajunge la $35$ de grame după două ore și, din nou, după cinci ore. Control: $B (2) = 8 - 36 + 48 + 15 = 35$ și $B (5) = 125 - 225 + 120 + 15 = 35$ .

Exemplul 4 — Unitățile coeficienților

Înălțimea unei mingi aruncate vertical în sus, în metri, la $t$ secunde de la aruncare, este $u (t) = - 5 t^{2} + 25 t + 2$ . a) Precizați unitatea de măsură a fiecărui coeficient. b) Calculați înălțimea la $t = 2$ secunde. c) Determinați momentul în care mingea revine la înălțimea de la care a fost aruncată.

Rezolvare. a) Fiecare termen trebuie să iasă în metri. Termenul liber $2$ este deci o lungime: înălțimea de pornire. Coeficientul $25$ înmulțește un timp în secunde, deci este o viteză, în metri pe secundă, iar $- 5$ se măsoară în metri pe secundă la pătrat — jumătate din accelerația gravitațională, îndreptată în jos.

b) $u (2) = - 20 + 50 + 2 = 32$ , adică $32$ de metri.

c) Înălțimea de pornire este $u (0) = 2$ metri, deci rezolvăm $u (t) = 2$ : $- 5 t^{2} + 25 t = 0$ , adică $- 5 t (t - 5) = 0$ . Soluțiile sunt $t = 0$ , chiar momentul aruncării, și $t = 5$ secunde, momentul căutat.

Exemplul 5 — Două modele pentru aceleași date

La cântărirea unui reziduu, din minut în minut, s-au obținut valorile $10$ , $15$ , $22$ și $31$ de miligrame, pentru $t = 0, 1, 2, 3$ . Se propun modelele $C (t) = t^{2} + 4 t + 10$ și $D (t) = 2 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 10$ . Stabiliți care dintre ele se potrivește cu toate cele patru măsurători.

Rezolvare. Calculăm valorile fiecărui model în cele patru momente.

Pentru $C$ : $C (0) = 10$ , $C (1) = 15$ , $C (2) = 22$ , $C (3) = 31$ — toate patru se potrivesc.

Pentru $D$ : $D (0) = 10$ , $D (1) = 15$ , $D (2) = 22$ , dar $D (3) = 54 - 45 + 24 + 10 = 43$ , în timp ce măsurătoarea a dat $31$ . Diferența de $12$ miligrame este mult peste eroarea unei cântăriri, deci modelul $D$ se respinge.

Primele trei valori nu au despărțit modelele: pe ele se potriveau amândouă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 8 X + 12$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $f (0) = 12$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați $m$ știind că $f (2) = 0$ . c) Pentru valoarea găsită, determinați numerele reale $t$ pentru care $f (t) = 0$ .

Rezolvare. a) Înlocuind $X$ cu $0$ , toți termenii care conțin $X$ se anulează, deci $f (0) = 12$ , indiferent de valoarea lui $m$ .

b) $f (2) = 8 + 4 m - 16 + 12 = 4 m + 4$ . Din $4 m + 4 = 0$ obținem $m = - 1$ .

c) Pentru $m = - 1$ avem $f = X^{3} - X^{2} - 8 X + 12$ . Din punctul b) știm că $t = 2$ este rădăcină, deci împărțim la $t - 2$ și obținem câtul $t^{2} + t - 6$ , cu rădăcinile $2$ și $- 3$ . Așadar $f = (t - 2)^{2} (t + 3)$ , iar numerele căutate sunt $t = 2$ și $t = - 3$ .

Să exersăm

La fiecare problemă de modelare, scrie de la început trei lucruri pe marginea foii: ce mărime se modelează, în ce unitate, și între ce valori se poate mișca variabila. Abia apoi rezolvă. La final, confruntă fiecare rădăcină găsită cu intervalul scris la început și motivează-le pe cele pe care le respingi.

1. Scrie în formă desfășurată polinomul $V (x) = x (x + 4) (10 - x)$ , care dă volumul unui bazin în metri cubi.

2. Pentru modelul de la exercițiul anterior, determină intervalul valorilor lui $x$ pentru care toate dimensiunile bazinului sunt pozitive.

3. Masa unui depozit de sare, în tone, după $t$ zile, este $m (t) = t^{3} - 4 t^{2} + 3 t + 10$ , pentru $t$ în intervalul $[0; 4]$ . Calculează $m (1)$ și $m (3)$ .

4. Pentru modelul de la exercițiul anterior, determină momentele din interval în care masa este de $10$ tone.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un polinom descrie o mărime fizică, atunci fiecare rădăcină reală a lui corespunde unui moment cu sens fizic."

6. Un model are forma $g (t) = - t^{3} + a t^{2} + 12 t$ și se știe că $g (4) = 80$ . Determină numărul real $a$ .

7. Concentrația unei soluții, în grame pe litru, la $t$ minute de la începutul dizolvării, este $c (t) = 2 t^{2} + 15 t + 4$ . Precizează unitatea de măsură a fiecăruia dintre cei trei coeficienți.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + 6 X$ . a) Arată că $f (0) = 0$ . b) Determină toate numerele reale $x$ pentru care $f (x) = 0$ .

9. Concentrația unui produs de reacție, în miligrame pe litru, la $t$ ore, este $c (t) = t^{3} - 8 t^{2} + 19 t$ , pentru $t$ în intervalul $[0; 5]$ . Determină momentele în care concentrația este de $12$ miligrame pe litru.

10. (Problemă aplicată.) Un rezervor are baza un pătrat cu latura de $x$ metri și înălțimea de $9 - x$ metri. a) Scrie volumul ca polinom desfășurat. b) Determină intervalul valorilor lui $x$ . c) Calculează volumul pentru $x = 3$ metri și verifică rezultatul pe forma nedesfășurată.

11. Trei cântăriri au dat $8$ , $12$ și $20$ de grame, la momentele $t = 0, 1, 2$ . Verifică dacă modelul $p (t) = t^{2} + 3 t + 8$ se potrivește cu toate trei.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 6$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $f (2) = 10$ . b) Pentru valoarea găsită, arată că $f (- 3) = 0$ .

13. Pentru modelul $N (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 20$ , valabil pe $[0; 5]$ ore, calculează $N (5)$ și spune cu cât a crescut cultura față de momentul însămânțării. Calculează apoi $N (8)$ și explică într-o frază de ce această valoare nu poate fi folosită.

14. Un elev propune, pentru masa unei probe în grame, modelul $q (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , cu $x$ în intervalul $[0; 6]$ zile. Arată, cu un calcul, de ce modelul nu poate fi corect.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $X^{3} - 3 X^{2} - 6 X + 8 = (X - 1) (X - 4) (X + 2)$ și precizează care dintre rădăcini pot fi momente de timp, dacă variabila este un timp nenegativ.

16. Concentrația unei soluții, în miligrame pe litru, este $c (t) = 2 t^{3} - 18 t^{2} + 40 t$ . Calculează $c (2)$ și $c (4)$ , arată că $c (t) = 2 t (t - 4) (t - 5)$ și precizează pe ce interval modelul dă valori pozitive.

17. Pentru modelul $m (t) = t^{3} - 4 t^{2} + 3 t + 10$ de la exercițiul 3, calculează masa la $t = 4$ zile și spune cu cât diferă față de masa inițială.

18. (Provocare.) Cantitatea de substanță dintr-un vas, în grame, este $f (t) = t^{3} + a t^{2} + b t$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Se știe că $f (1) = 6$ și $f (2) = 4$ . Determină $a$ și $b$ , apoi află intervalul pe care modelul are sens și momentele din el în care vasul este gol.

Răspunsuri și explicații

1. Înmulțim întâi primii doi factori: $x (x + 4) = x^{2} + 4 x$ . Înmulțind cu al treilea, $(x^{2} + 4 x) (10 - x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 40 x$ . Control: pentru $x = 2$ , forma desfășurată dă $- 8 + 24 + 80 = 96$ , iar cea nedesfășurată $2 \cdot 6 \cdot 8 = 96$ .

2. Condițiile sunt $x > 0$ , $x + 4 > 0$ și $10 - x > 0$ . Prima și a treia dau $0 < x < 10$ , iar a doua e îndeplinită de la sine, deci $x$ ia valori în intervalul $(0; 10)$ .

3. $m (1) = 1 - 4 + 3 + 10 = 10$ tone. $m (3) = 27 - 36 + 9 + 10 = 10$ tone. Depozitul are aceeași masă la o zi și la trei zile, deși între cele două momente masa s-a schimbat.

4. Rezolvăm $t^{3} - 4 t^{2} + 3 t + 10 = 10$ , adică $t^{3} - 4 t^{2} + 3 t = 0$ . Dăm factor comun: $t (t^{2} - 4 t + 3) = 0$ , adică $t (t - 1) (t - 3) = 0$ . Soluțiile sunt $t = 0$ , $t = 1$ și $t = 3$ , toate în intervalul $[0; 4]$ , deci toate trei sunt momente valabile.

5. Fals. O rădăcină este un număr care anulează polinomul, atât; dacă are sens fizic sau nu se hotărăște confruntând-o cu domeniul problemei. Contraexemplu din lecție: modelul $P (t) = - t (2 t - 9) (t + 1)$ are rădăcina $- 1$ , care ar însemna un moment cu un minut înaintea începerii reacției, deci se respinge.

6. $g (4) = - 64 + 16 a + 48 = 16 a - 16$ . Din $16 a - 16 = 80$ obținem $16 a = 96$ , deci $a = 6$ . Verificare: $- 64 + 96 + 48 = 80$ .

7. Fiecare termen trebuie să iasă în grame pe litru. Termenul liber $4$ este chiar o concentrație, deci se măsoară în grame pe litru. Coeficientul $15$ înmulțește un timp în minute, deci se măsoară în grame pe litru și pe minut. Coeficientul $2$ înmulțește un timp la pătrat, deci se măsoară în grame pe litru și pe minut la pătrat.

8. a) Toți termenii conțin $X$ , deci $f (0) = 0$ . b) Dăm factor comun: $f = X (X^{2} - 5 X + 6) = X (X - 2) (X - 3)$ . Rădăcinile sunt $0$ , $2$ și $3$ .

9. Rezolvăm $t^{3} - 8 t^{2} + 19 t - 12 = 0$ . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii lui $12$ : pentru $t = 1$ obținem $1 - 8 + 19 - 12 = 0$ . Împărțind la $t - 1$ , câtul este $t^{2} - 7 t + 12$ , cu rădăcinile $3$ și $4$ , deci ecuația se scrie $(t - 1) (t - 3) (t - 4) = 0$ . Momentele sunt $t = 1$ , $t = 3$ și $t = 4$ ore, toate trei în intervalul dat.

10. a) Baza are aria $x^{2}$ , iar înălțimea este $9 - x$ , deci $V (x) = x^{2} (9 - x) = - x^{3} + 9 x^{2}$ metri cubi. b) Cele două dimensiuni trebuie să fie pozitive: $x > 0$ și $9 - x > 0$ , deci $x$ ia valori în intervalul $(0; 9)$ . c) $V (3) = - 27 + 81 = 54$ de metri cubi. Control: $9 \cdot 6 = 54$ .

11. $p (0) = 8$ , ceea ce se potrivește. $p (1) = 1 + 3 + 8 = 12$ , se potrivește și el. Dar $p (2) = 4 + 6 + 8 = 18$ , iar măsurătoarea a dat $20$ . Modelul nu se potrivește cu toate trei, deci trebuie căutat altul.

12. a) $f (2) = 8 + 4 m - 8 + 6 = 4 m + 6$ . Din $4 m + 6 = 10$ obținem $m = 1$ . b) Pentru $m = 1$ , $f = X^{3} + X^{2} - 4 X + 6$ , iar $f (- 3) = - 27 + 9 + 12 + 6 = 0$ .

13. $N (5) = 125 - 150 + 45 + 20 = 40$ de mii de indivizi, iar la însămânțare erau $N (0) = 20$ de mii, deci cultura s-a dublat. La $t = 8$ formula dă $N (8) = 512 - 384 + 72 + 20 = 220$ de mii, dar momentul e în afara intervalului $[0; 5]$ pe care modelul a fost construit și verificat, deci valoarea nu e sprijinită de nicio măsurătoare.

14. Modelul dă valori negative în interiorul intervalului declarat: $q (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ , adică o masă de $- 4$ grame, ceea ce nu există. Un model al unei mărimi care nu poate fi negativă trebuie să rămână pozitiv pe tot intervalul pe care e propus.

15. Desfacem produsul începând cu ultimii doi factori: $(X - 4) (X + 2) = X^{2} - 2 X - 8$ , iar $(X - 1) (X^{2} - 2 X - 8) = X^{3} - 3 X^{2} - 6 X + 8$ , adică exact polinomul dat. Rădăcinile sunt $1$ , $4$ și $- 2$ ; dacă variabila este un timp nenegativ, momentele posibile sunt $1$ și $4$ , iar $- 2$ se respinge.

16. $c (2) = 16 - 72 + 80 = 24$ de miligrame pe litru; $c (4) = 128 - 288 + 160 = 0$ . Descompunerea: $2 t^{3} - 18 t^{2} + 40 t = 2 t (t^{2} - 9 t + 20) = 2 t (t - 4) (t - 5)$ . Pentru $t$ între $0$ și $4$ cei trei factori dau un produs pozitiv, între $4$ și $5$ produsul este negativ, iar după $5$ redevine pozitiv. Ca model al unei concentrații, formula are sens doar pe intervalul $[0; 4]$ .

17. $m (4) = 64 - 64 + 12 + 10 = 22$ de tone, iar masa inițială este $m (0) = 10$ tone. Diferența este de $12$ tone, cu care depozitul a crescut față de momentul de pornire.

18. Din $f (1) = 6$ obținem $1 + a + b = 6$ , deci $a + b = 5$ . Din $f (2) = 4$ obținem $8 + 4 a + 2 b = 4$ , deci $2 a + b = - 2$ . Scăzând prima egalitate din a doua, $a = - 7$ , iar apoi $b = 12$ . Modelul este $f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 12 t = t (t - 3) (t - 4)$ , iar rădăcinile lui sunt $0$ , $3$ și $4$ . Între $3$ și $4$ produsul este negativ — de pildă $f (3, 5) = - 0, 875$ — adică o cantitate negativă, deci modelul are sens doar pe intervalul $[0; 3]$ . Vasul este gol la $t = 0$ și la $t = 3$ ; rădăcina $t = 4$ se respinge, fiind în afara intervalului de valabilitate. Control: $f (1) = 1 - 7 + 12 = 6$ și $f (2) = 8 - 28 + 24 = 4$ .

De reținut

Un model polinomial nu este doar un polinom: are o variabilă cu unitatea ei, o valoare cu unitatea ei și un interval pe care este valabil. Fără cele trei, formula nu poate fi nici folosită, nici contrazisă.
Coeficienții vin fie din geometria situației — cum iese $V (x) = - x^{3} + 5 x^{2} + 24 x$ din descrierea unui bazin — fie dintr-o măsurătoare, care determină o literă necunoscută printr-o ecuație.
Fiecare coeficient are unitatea lui, aleasă astfel încât toți termenii să iasă în unitatea mărimii modelate; e prima verificare a unui model scris.
Întrebarea „când atinge mărimea valoarea $c$ ?" se traduce în ecuația polinomială $P (t) = c$ ; dintre rădăcinile ei se rețin numai cele din domeniul fizic, iar celelalte se resping motivat.
Un model se testează pe o măsurătoare pe care nu a folosit-o și nu se duce departe de intervalul măsurat: două modele apropiate pe trei minute pot da valori de două ori diferite după cinci.

Greșeli frecvente

Treci în răspuns toate rădăcinile ecuației. O ecuație polinomială nu știe nimic despre timp, mase sau concentrații: dă toate numerele care o verifică. La un model, fiecare rădăcină se confruntă cu intervalul de valabilitate, iar cele din afara lui se scriu și se resping, motivat — pas care face parte din răspuns la examen.
Tratezi coeficienții ca pe niște numere goale. În $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , numărul $20$ nu este „o distanță de $20$ ": este o viteză, în metri pe secundă, iar $- 5$ se măsoară în metri pe secundă la pătrat. Când nu poți spune ce unitate are un coeficient, cel mai probabil modelul e scris greșit sau ai amestecat două mărimi.
Verifici modelul numai pe datele din care l-ai construit. Dacă ai folosit trei măsurători ca să găsești trei coeficienți, potrivirea pe acele trei valori e garantată și nu dovedește nimic. Ține deoparte o măsurătoare și testează modelul pe ea; abia acolo se vede dacă legătura e reală.
Accepți un model care dă valori imposibile. O masă, o concentrație sau un număr de indivizi nu pot fi negative. Dacă polinomul propus scade sub zero undeva în intervalul declarat, nu se „ignoră acea porțiune": se restrânge intervalul sau se schimbă modelul.
Folosești modelul mult în afara intervalului măsurat. Un polinom de gradul al treilea crește nemărginit, deci prelungit destul prezice orice. Pe o distanță scurtă, extrapolarea e o estimare; pe una de patru ori mai lungă, o afirmație pe care datele nu o susțin.

Aplică acasă

Ce grad are legătura dintre datele tale? Măsoară o mărime care se schimbă în pași egali — temperatura unei căni de ceai din cinci în cinci minute. Scrie patru valori, calculează diferențele dintre valorile vecine și apoi diferențele acestor diferențe. Dacă primele ies aproape egale, legătura e de gradul întâi; dacă abia a doua serie iese egală, e de gradul al doilea.
Domeniul unui model din manual. Caută în manualul de fizică sau de chimie o formulă polinomială — spațiul parcurs, energia, o concentrație. Scrie pe caiet, pentru ea, cele trei precizări din lecție: variabila cu unitatea ei, mărimea cu unitatea ei și intervalul pe care are sens. Apoi găsește o valoare a variabilei pentru care formula ar da un rezultat imposibil și explică într-o frază de ce apare.
Modelul pe care îl verifici cu apa. Ia un vas dreptunghiular din bucătărie și măsoară-i baza, în centimetri. Toarnă apă din $100$ în $100$ de mililitri și notează de fiecare dată înălțimea apei, în centimetri. Scrie legătura dintre volumul turnat și înălțime ca model — aici, de gradul întâi —, determină-i coeficientul dintr-una dintre măsurători și testează-l pe alta, pe care nu ai folosit-o. La final, scrie ce unitate de măsură are coeficientul obținut și compară-l cu aria bazei pe care ai măsurat-o.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu adaugă nicio tehnică nouă de calcul: valoarea unui polinom, descompunerea în factori și rezolvarea ecuației s-au învățat în lecțiile dinainte. Ce se adaugă e pasul de dinainte și pasul de după calcul: traducerea unei situații într-o formulă și confruntarea rezultatului cu realitatea. Sunt pașii pe care elevii îi sar cel mai des și singurii care deosebesc un calcul corect de un răspuns corect — iar pentru cine se pregătește de biologie, chimie sau medicină, contează mai mult decât viteza de calcul.

De urmărit în caiet: dacă la începutul rezolvării s-au scris unitatea mărimii și intervalul variabilei; dacă rădăcinile din afara intervalului au fost respinse motivat, nu ignorate; dacă rezultatul poartă unitatea de măsură; dacă modelul a fost verificat pe o măsurătoare pe care nu a folosit-o. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Ce unitate are coeficientul lui $t^{2}$ într-un model al unei înălțimi?"; „De ce rădăcina $- 1$ nu poate fi un răspuns la o problemă de timp?"; „Cum afli capătul din dreapta al intervalului pe care un model al unei mase are sens?"; „De ce două modele care se potrivesc pe trei măsurători pot da răspunsuri foarte diferite la a cincea?". Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă de modelare scriind ce mărime, în ce unitate și pe ce interval, și nu trece nicio rădăcină în răspuns fără să o confrunte cu intervalul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28). Ea nu are un rând propriu în lista de conținuturi: este cerută de competența specifică IX.CS.6.3, „modelarea matematică a unor probleme practice utilizând polinoame, în context intra și interdisciplinar (fizică, chimie, biologie)", și încheie domeniul IX.3, „Polinoame cu coeficienți reali". La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) polinoamele apar în domeniul Algebră, iar competențele de modelare sunt evaluate prin cerințe formulate în context practic. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde polinoamele sunt trecute la materia clasei a XII-a și apar la Subiectul al II-lea, la a doua problemă; în modelul oficial de subiect publicat pentru sesiunea 2026 cerințele cu polinoame sunt formulate algebric, fără context aplicativ. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se face modelarea cu polinoame și la mate-info (M1), și la M2? Nu la fel și nu în același an. La științe ale naturii ea încheie capitolul de polinoame din clasa a IX-a și e cerută de programă, cu exemple din fizică, chimie și biologie. La mate-info polinoamele se studiază în clasa a X-a, algebric, iar legătura cu mărimi măsurate apare abia prin studiul funcțiilor. Pentru comparație, la mate-info (M1): graficul funcțiilor polinomiale, în clasa a XII-a.

La ce subiect apar polinoamele la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde a doua problemă este de structuri algebrice sau de polinoame. În sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a XII-a, iar în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 cerințele sunt algebrice: valoarea polinomului într-un punct, divizibilitate, rădăcini. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Cum aflu intervalul pe care un model are sens? Scrii toate condițiile pe care le cere situația — dimensiuni pozitive, timp nenegativ, mărimi care nu pot fi negative — și le rezolvi. Când mărimea modelată nu poate fi negativă, capătul intervalului este de obicei o rădăcină a polinomului, așa că descompunerea în factori îți dă direct răspunsul.

Ce unitate de măsură are un coeficient? Pe cea care face ca termenul lui să iasă în unitatea mărimii modelate. Dacă valoarea e în metri și variabila în secunde, coeficientul lui $t$ este în metri pe secundă, iar coeficientul lui $t^{2}$ în metri pe secundă la pătrat. Regula se verifică termen cu termen și prinde repede un model scris greșit.

Cum verific dacă un model se potrivește cu datele? Calculezi valoarea modelului în momentele în care ai măsurat și compari. Important e să păstrezi cel puțin o măsurătoare pe care nu ai folosit-o la construirea modelului: pe datele din care a fost făcut, potrivirea e garantată și nu dovedește nimic.

Care rădăcină a ecuației este răspunsul problemei? Aceea care se află în intervalul de valabilitate al modelului. Celelalte nu se șterg: se scriu și se resping, cu motivul lor — „momentul $- 1$ ar fi înaintea începerii reacției", „valoarea $12$ este în afara intervalului măsurat". Într-o rezolvare, respingerea motivată face parte din răspuns.

De ce nu pot folosi modelul pentru a prezice pe termen lung? Pentru că un polinom de grad mai mare decât unu crește sau scade tot mai repede pe măsură ce te depărtezi, iar două modele aproape identice pe intervalul măsurat se despart puternic în afara lui. Un model spune ceva de încredere acolo unde a fost verificat; dincolo, el continuă să dea numere, dar acele numere nu mai sunt sprijinite de nicio măsurătoare.