Ce nu poate lipsi dintr-un model polinomial complet?

unitatea variabilei, unitatea valorii și intervalul de valabilitate

gradul polinomului, scris explicit

toate rădăcinile reale ale polinomului

Ecuația $$P(t)=c$$ a unui model valabil pe intervalul $$[0,\,8]$$ minute are soluțiile $$t_1=-2$$ și $$t_2=5$$. Ce se scrie în răspuns?

doar $$t=5$$, cu respingerea motivată a lui $$t=-2$$

ambele soluții, pentru că amândouă verifică ecuația

niciuna, ecuația nu are sens fizic

Cum scriu volumul unei cutii ca polinom?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Modele polinomiale

Exprimi fiecare dimensiune cu aceeași variabilă și le înmulțești. Dintr-o foaie de $20$ cm pe $12$ cm tai în colțuri pătrate cu latura $x$ și îndoi marginile: cutia are înălțimea $x$ , iar baza $(20 - 2 x)$ pe $(12 - 2 x)$ . Volumul este $V (x) = x (20 - 2 x) (12 - 2 x) = 4 x^{3} - 64 x^{2} + 240 x$ , în cm³, pentru $0 < x < 6$ . La $x = 2$ obții $2 \cdot 16 \cdot 8 = 256$ cm³, iar polinomul dă tot $256$ .

Un model polinomial cere mai mult decât o formulă. Variabila își poartă unitatea, valoarea la fel, iar alături stă declarat intervalul pe care legătura rămâne valabilă. Lipsind vreuna dintre cele trei, formula nu mai poate fi nici aplicată, nici combătută.

Unități pentru fiecare coeficient. Ele se aleg astfel încât toți termenii să se adune în unitatea mărimii modelate. În $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , cifra $20$ nu înseamnă o distanță, ci o viteză măsurată în metri pe secundă. Dacă nu poți numi unitatea unui coeficient, modelul este, cel mai probabil, scris greșit.

Coeficienții se obțin fie din geometria situației, fie dintr-o măsurătoare care fixează o literă necunoscută printr-o ecuație.

Întrebarea „când atinge mărimea valoarea $c$ ?” devine ecuația $P (t) = c$ . Dintre rădăcinile ei rămân numai cele din domeniul fizic; celelalte se scriu și se resping motivat, printr-o propoziție care spune de ce nu au sens. Nicio masă, concentrație sau populație nu ia valori sub zero.

Proba unui model se dă pe o măsurătoare pe care el nu a folosit-o, iar folosirea lui se oprește aproape de intervalul măsurat: prelungit destul, un polinom de gradul al treilea prezice orice.

De reținut

un model polinomial are variabilă cu unitate, valoare cu unitate și interval de valabilitate
volumul cutiei din foaia $L \times l$ : $V (x) = x (L - 2 x) (l - 2 x)$
din rădăcinile ecuației $P (t) = c$ rămân doar cele din intervalul modelului

Greșeala tipică

Se scrie volumul cutiei ca $x (20 - x) (12 - x)$ , uitând că se taie câte un pătrat la ambele capete ale fiecărei laturi; corect este $x (20 - 2 x) (12 - 2 x)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce nu poate lipsi dintr-un model polinomial complet?
- a) doar formula polinomului
- b) unitatea variabilei, unitatea valorii și intervalul de valabilitate
- c) gradul polinomului, scris explicit
- d) toate rădăcinile reale ale polinomului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) unitatea variabilei, unitatea valorii și intervalul de valabilitate

Un model este o afirmație despre lume, deci trebuie să se poată verifica: fără unități și fără intervalul pe care a fost măsurat, formula nu poate fi nici folosită, nici contrazisă.
În modelul $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , unde $h$ se măsoară în metri și $t$ în secunde, ce unitate are coeficientul $20$ ?
- a) metri
- b) secunde
- c) metri pe secundă
- d) metri pe secundă la pătrat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) metri pe secundă

Termenul $20 t$ trebuie să iasă în metri, iar $t$ e în secunde, deci coeficientul se măsoară în metri pe secundă — adică este o viteză. Coeficientul lui $t^{2}$ , în schimb, are unitatea de la d).
Ecuația $P (t) = c$ a unui model valabil pe intervalul $[0, 8]$ minute are soluțiile $t_{1} = - 2$ și $t_{2} = 5$ . Ce se scrie în răspuns?
- a) ambele soluții, pentru că amândouă verifică ecuația
- b) doar $t = 5$ , cu respingerea motivată a lui $t = - 2$
- c) doar $t = - 2$
- d) niciuna, ecuația nu are sens fizic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) doar $t = 5$ , cu respingerea motivată a lui $t = - 2$

Ecuația nu știe nimic despre timp: dă toate numerele care o verifică. Rădăcinile se confruntă apoi cu intervalul de valabilitate, iar $- 2$ se respinge explicit, printr-o propoziție care spune de ce nu are sens fizic.

Întrebări conexe

Cum aflu un coeficient necunoscut al unui model dintr-o măsurătoare?

Scrii modelul cu litera necunoscută și pui condiția dată de măsurătoare. Dacă $h (t) = - 5 t^{2} + v t + 1$ și ai măsurat $h (1) = 16$ m, atunci $- 5 + v + 1 = 16$ , deci $v = 20$ m/s. Coeficientul găsit primește unitatea cerută de termenul în care apare.

Cum se scrie ca polinom spațiul parcurs cu accelerație constantă?

Legea este $s (t) = s_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2}$ , un polinom de gradul al doilea în $t$ . Pentru $s_{0} = 0$ , $v_{0} = 4$ m/s și $a = 2$ m/s² obții $s (t) = t^{2} + 4 t$ metri. După $3$ s, corpul a parcurs $9 + 12 = 21$ m.

Când atinge concentrația $C (t) = - t^{2} + 8 t$ valoarea de $12$ mg/L?

Rezolvi $- t^{2} + 8 t = 12$ , adică $t^{2} - 8 t + 12 = 0$ , cu soluțiile $t = 2$ și $t = 6$ minute. Dacă modelul este valabil pe $[0, 8]$ , ambele au sens: concentrația trece prin $12$ mg/L o dată la creștere și o dată la scădere.

Ce înseamnă termenul liber într-un model polinomial?

Termenul liber este valoarea modelului la momentul sau la mărimea zero, adică starea de pornire. În $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , numărul $1$ arată că lansarea are loc de la $1$ m înălțime. Unitatea lui este chiar unitatea mărimii modelate.

De ce volumul cutiei se anulează la capetele intervalului $0 < x < 6$ ?

La $x = 0$ nu tai nimic și cutia nu are înălțime. La $x = 6$ , lățimea bazei devine $12 - 2 \cdot 6 = 0$ și cutia se aplatizează. Între aceste valori volumul este pozitiv, deci intervalul de valabilitate iese chiar din desenul foii.

Oamenii mai întreabă și: volumul unei cutii ca polinom · cum scriu volumul unei cutii în funcție de x · cutie din carton tăiată la colțuri · polinomul volumului unei cutii