Predicate și variabile (M2, științe ale naturii)

Într-un registru de măsurări apare rubrica „durata înregistrării este de cel puțin paisprezece secunde”. Rubrica poate fi completată pentru înregistrări diferite: unele respectă cerința, altele nu. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), un predicat descrie tocmai o asemenea condiție aplicabilă unor obiecte precizate. Lecția urmează programa clasei începută în 2026–2027; noțiunea este prezentă și în pregătirea pentru Bacalaureatul M2 din 2027–2029, unde ajută la citirea condițiilor matematice.

Pornim de la propoziția logică și valoarea de adevăr. Vom înlocui variabile, vom citi domenii și vom decide ce anume poate fi verificat din datele primite. Pentru calcule poți revedea compararea numerelor raționale din clasa a VI-a. Literele din această lecție nu ascund calcule dificile: ele ne obligă să spunem limpede despre ce obiect vorbim și ce condiție îi aplicăm.

Ce vei învăța

• Vei ști să precizezi obiectele admise înainte de a aplica o condiție.
• Vei ști să obții o propoziție printr-o înlocuire completă și consecventă.
• Vei ști să separi rezultatul unui calcul de verdictul logic al comparației.
• Vei ști să selectezi dintr-o listă exact valorile care verifică un predicat.
• Vei ști să deosebești o valoare neadmisă de o propoziție falsă.
• Vei ști să urmărești ordinea variabilelor într-o condiție cu două locuri.

Hai să descoperim împreună

1. Cum construim o condiție care se aplică mai multor obiecte?

În registrul de la început, notăm cu $x$ o înregistrare, iar cu $D$ mulțimea înregistrărilor analizate. Scrierea $p(x)$ poate desemna condiția „înregistrarea $x$ are durata de cel puțin paisprezece secunde”. Alegând o înregistrare concretă, obținem o afirmație despre ea. Nu schimbăm regula când trecem la altă înregistrare; schimbăm numai obiectul verificat.

Un predicat este o condiție cu una sau mai multe variabile, definite pe domenii precizate, care devine propoziție după atribuirea unor valori admise tuturor variabilelor sale libere. Pentru fiecare atribuire completă, condiția trebuie să aibă un înțeles determinat și o valoare de adevăr. Variabila poate desemna un număr, dar și un obiect identificabil dintr-o colecție.

De exemplu, pe numere reale, $p(x)$ poate însemna „$3x-4=11$”. Înlocuirea cu cinci produce o egalitate adevărată; înlocuirea cu doi produce o egalitate falsă. Predicatul este același. Nu spunem că litera însăși este adevărată sau falsă: verdictul aparține propoziției obținute după înlocuire.

Este posibil ca toate atribuirile admise să dea același verdict. Acest lucru nu elimină rolul variabilei în scriere. Ceea ce contează este că avem o condiție deschisă pentru obiectele domeniului și o regulă precisă de verificare, nu obligația de a găsi neapărat atât rezultate adevărate, cât și rezultate false.

2. Ce informații aduce domeniul?

Domeniul precizează din ce mulțime putem alege valoarea variabilei. Dacă discutăm despre numărul de pagini al unei broșuri, alegem numere naturale. Dacă discutăm despre o temperatură exprimată printr-un model numeric, pot fi necesare și numere negative sau zecimale. Domeniul se stabilește din enunț și din sensul problemei, înainte de verificarea condiției.

O valoare poate satisface o egalitate și totuși să fie neadmisă în problema dată. Nu o păstrăm numai fiindcă ne convine calculul. La fel, dacă o listă este declarată domeniul complet, nu adăugăm alte numere găsite ulterior. Rezolvarea cere respectarea simultană a condiției matematice și a mulțimii în care este pusă problema.

Trebuie controlată și existența expresiilor. Pentru condiția „$\frac{1}{x-6}>0$”, numărul șase nu poate face parte din domeniu: numitorul s-ar anula. Nu obținem acolo o propoziție falsă, ci o expresie fără sens în operațiile folosite. Putem defini predicatul pe numerele reale diferite de șase și abia apoi discuta adevărul lui.

Când întâlnești un domeniu omis într-un exercițiu redactat neglijent, nu transforma omisiunea într-o alegere ascunsă. Notează ce precizare lipsește. În lecția aceasta, domeniile sunt scrise explicit; astfel putem deosebi o greșeală de calcul de o valoare care nu ar fi trebuit introdusă deloc.

3. Cum înlocuim corect variabila?

Scrierea $p(a)$ înseamnă că atribuim variabilei valoarea $a$ în toate locurile în care apare liberă în predicatul $p$. Nu este produsul dintre două numere numite $p$ și $a$. Litera $p$ numește condiția, iar paranteza arată obiectul pentru care o verificăm. Răspunsul este o valoare de adevăr.

Dacă valoarea înlocuită este negativă, parantezele păstrează ordinea operațiilor. Într-o expresie cu pătrat, scrierea $(-a{)}^2$ și scrierea $-a^2$ pot avea valori diferite. Copiază mai întâi condiția cu înlocuirea completă, apoi calculează. O prescurtare grăbită poate modifica predicatul înainte să înceapă verificarea lui.

Toate aparițiile aceleiași variabile primesc aceeași valoare. În condiția „$x+x=10$”, nu putem folosi doi la prima apariție și opt la a doua. Aceasta ar verifica alt enunț, cu două alegeri independente. Repetarea literei arată tocmai că vorbim despre același număr de fiecare dată.

După calcul, păstrează relația cerută. Un rezultat numeric egal cu patru nu este, prin el însuși, răspunsul la „este expresia mai mică decât trei?”. Numărul calculat este o etapă intermediară; verdictul apare numai după comparație. În redactare, scrie și această ultimă comparație, pentru ca justificarea să poată fi urmărită.

4. Cum aflăm toate valorile care convin?

Mulțimea de adevăr cuprinde exact elementele domeniului pentru care predicatul devine adevărat. O notăm aici cu $A_p$. Dacă domeniul este finit, putem verifica fiecare element o singură dată și păstra numai rezultatele favorabile. Tabelul trebuie să acopere întreaga listă declarată, nu doar valorile care par promițătoare.

Pe $D=\{-5,-2,1,4,7\}$, pentru condiția „$2x-1>5$”, valorile admise care convin sunt patru și șapte. Putem descrie în cuvinte selecția sau scrie $A_p=\{4,7\}$. Numere precum cinci sau șase ar respecta comparația, dar nu se află în domeniul acestui exercițiu.

O verificare punctuală și determinarea întregii mulțimi sunt cerințe diferite. Dacă ai arătat că o anumită valoare convine, ai obținut un element al mulțimii. Ca să declari lista completă, trebuie să justifici de ce nu mai există alte elemente admise care satisfac condiția. Pe un domeniu infinit, enumerarea câtorva valori nu încheie această justificare.

Pentru o ecuație, mulțimea de adevăr este lista soluțiilor din domeniul cerut. Pentru o inecuație, poate fi un interval, o listă finită sau altă mulțime potrivită domeniului. Nu introducem aici metode noi de rezolvare: folosim calcule cunoscute pentru a înțelege precis ce înseamnă rezultatul lor.

5. Ce se întâmplă când rămâne o variabilă liberă?

Un predicat cu două variabile se notează, de exemplu, $r(x,y)$. Prima poziție și a doua poziție au roluri precizate. Dacă domeniile diferă, prima valoare se alege din primul domeniu, iar a doua din al doilea. O pereche ordonată înregistrează aceste alegeri în ordinea corectă.

Înlocuirea unei singure variabile poate lăsa o condiție încă deschisă. Din „$x-2y=1$”, fixarea lui $y=3$ produce „$x-6=1$”. Mai avem de ales un număr pentru $x$ înainte de a evalua o propoziție particulară. Fixarea parțială este utilă, dar nu trebuie confundată cu o atribuire completă.

Schimbarea ordinii poate schimba verdictul. „Primul obiect cântărește mai mult decât al doilea” nu spune același lucru după inversarea obiectelor. Există și relații simetrice, însă simetria trebuie să provină din condiția scrisă. Nu o presupunem doar pentru că ambele variabile sunt numere.

Numărul variabilelor nu se află prin numărarea tuturor literelor din rând. O literă poate fi un nume de predicat, o unitate de măsură sau un număr fixat în enunț. Citește rolul fiecăreia. În problemele de aici precizăm direct ce variază, astfel încât să nu fie nevoie să ghicești.

Să presupunem că o limită este notată cu $a$, iar enunțul precizează de la început $a=10$. În condiția „$x>a$”, numai $x$ mai poate fi ales liber în verificarea curentă. Limita nu se schimbă de la un obiect la altul. Dacă problema permite și alegerea limitei, atunci trebuie să precizeze acest rol și valorile ei admise.

Același control se aplică la citirea unui tabel. Titlul unei coloane poate numi o mărime, fără să introducă o variabilă independentă în predicat. Dacă masa este deja dată pentru fiecare obiect, alegerea obiectului fixează și masa folosită în comparație. Nu alegem separat o masă convenabilă din alt rând.

De aceea este util să traduci notația într-o propoziție scurtă înainte de înlocuire: „aleg acest obiect și folosesc datele lui”. Traducerea arată imediat dacă ai păstrat aceeași referință în toate componentele și dacă vreo literă a fost tratată, din greșeală, ca o nouă alegere.

6. Cum aplicăm două condiții aceluiași obiect?

Putem combina predicate definite pentru aceleași obiecte folosind operațiile deja studiate. Mai întâi alegem valoarea variabilei, apoi evaluăm fiecare condiție pentru acea valoare și aplicăm regula logică. La conjuncție trebuie confirmate ambele componente; la disjuncție este suficientă cel puțin una.

De pildă, când selectăm înregistrări care au o durată suficientă și un cod lizibil, ambele condiții privesc aceeași înregistrare. Nu folosim durata uneia și codul alteia pentru a produce o confirmare artificială. Un tabel cu câte un rând pentru fiecare obiect ajută la păstrarea acestei legături.

Negarea unui predicat se face tot în domeniul stabilit. După o atribuire admisă, ea inversează verdictul obținut. O expresie nedefinită nu devine definită prin adăugarea unei negații. Controlul domeniului trebuie făcut înainte de aplicarea operațiilor logice, indiferent cât de simplă pare condiția.

Poți reciti conjuncția pentru traseul M2 dacă ai nevoie de regula operației. Aici accentul cade pe obiectul comun și pe verificarea înlocuirii. Nu dezvoltăm formule de numărare pentru mulțimi și nici o teorie separată a operațiilor cu mulțimi.

7. Cum redactăm un verdict fără să spunem mai mult decât știm?

O redactare sigură arată valoarea aleasă, faptul că este admisă, condiția după înlocuire și verdictul rezultat. Pentru o listă completă, adaugă motivul pentru care toate posibilitățile au fost acoperite. Acești pași sunt scurți, dar fiecare răspunde unei întrebări diferite a cititorului.

Distinge variabila liberă de informația necunoscută. Diferența dintre un număr deja fixat, dar necunoscut nouă, și o valoare pe care o putem alege a fost discutată în lecția despre propoziția logică. Într-un predicat, în schimb, putem alege pe rând obiecte diferite. Necunoașterea datelor nu creează automat o variabilă nouă.

Mai există un mod de a lega o condiție de un enunț complet: să afirmăm că ea este verificată de fiecare element sau de cel puțin unul. Aceasta este tema cuantificatorilor universal și existențial. Deocamdată, lucrăm cu atribuiri explicite și cu selecția valorilor admise, pentru a avea o bază sigură.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Selecția unor coduri dintr-un registru complet

Un registru imaginar conține exact patru cutii de materiale. Pentru fiecare este înregistrat numărul compartimentelor ocupate. Definim $p(x)$: „cutia $x$ are cel puțin patru compartimente ocupate”. Află mulțimea de adevăr.

Domeniul este mulțimea celor patru cutii, nu mulțimea numerelor din a doua coloană. H nu satisface condiția, M o satisface, S este chiar la limită și o satisface, iar N nu o satisface. Prin urmare, $A_p=\{\mathrm{M},\mathrm{S}\}$.

Răspunsul conține codurile obiectelor selectate. Numerele patru și cinci justifică selecția, dar nu sunt elementele domeniului declarat. Faptul că registrul este complet ne permite să afirmăm că nu există alte cutii de verificat în problema aceasta.

Exemplul 2. Un câmp gol nu înseamnă rezultat fals

Pentru trei recipiente, într-un exercițiu imaginar, sunt trecute volumele: A are $32$ ml, B are $41$ ml, iar pentru C valoarea nu este comunicată. Condiția cere un volum mai mare decât $35$ ml. Ce putem concluziona?

Pentru A, propoziția este falsă; pentru B, adevărată. Pentru C, informațiile oferite nu permit stabilirea verdictului. Recipientul și volumul său sunt fixate, dar noi nu cunoaștem măsurarea. Nu scriem automat zero în locul informației absente.

Putem confirma că B aparține mulțimii de adevăr și A nu aparține. Nu putem încă scrie mulțimea completă. Acest exemplu arată de ce o listă de obiecte completă nu înseamnă neapărat și date suficiente pentru evaluarea tuturor condițiilor.

Exemplul 3. Corectarea unei înlocuiri cu număr negativ

Pe $\mathbb{R}$, considerăm $q(x)$: „$x^2+4x<-1$”. Un elev verifică $q(-3)$, dar scrie $-3^2+4\cdot (-3)=-21$. Localizează eroarea și stabilește verdictul corect.

Pătratul trebuie aplicat valorii întregi introduse, deci scriem $(-3{)}^2$. Calculul corect este $9-12=-3$. Cum $-3<-1$, propoziția $q(-3)$ este adevărată.

Verdictul elevului ar fi putut fi corect întâmplător, deși calculul său era greșit. De aceea verificăm traseul rezolvării, nu numai ultimul cuvânt. La o altă limită de comparație, aceeași greșeală de semn ar putea modifica și verdictul final.

Exemplul 4. Repararea unui domeniu necorespunzător

Cineva propune domeniul $\{2,4,6\}$ pentru condiția „$\frac{5}{x-4}>0$”. Explică problema, apoi evaluează condiția pentru celelalte două valori.

La $x=4$, numitorul este zero. Pentru a avea un predicat definit la fiecare valoare admisă, eliminăm patru și declarăm noul domeniu $\{2,6\}$. Modificarea este anunțată explicit; nu ascundem valoarea problematică într-o listă de răspunsuri false.

Pentru doi, fracția este $-\frac{5}{2}$, deci comparația este falsă. Pentru șase, fracția este $\frac{5}{2}$, deci comparația este adevărată. Mulțimea de adevăr pe domeniul reparat este $\{6\}$. Cele două verificări au sens fiindcă numitorii lor sunt nenuli.

Exemplul 5. Două poziții care au roluri diferite

Definim $r(a,b)$ prin „$2a+b=13$”, cu $a,b\in \mathbb{N}$. Verifică perechile $(4,5)$ și $(5,4)$, apoi descrie ce rămâne când fixăm numai $a=4$.

Pentru prima pereche obținem $2\cdot 4+5=13$, deci verdictul este adevărat. Pentru a doua obținem $2\cdot 5+4=14$, diferit de treisprezece, deci verdictul este fals. Inversarea perechii a schimbat rolul coeficientului doi.

Fixând numai prima variabilă, rămâne condiția $8+b=13$, cu $b$ încă liber. Ea devine adevărată pentru $b=5$. Nu evaluăm însă expresia $r(4,b)$ ca propoziție particulară înainte de a preciza valoarea lui $b$ sau de a închide enunțul printr-o formulare generală.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră predicatele $p(x)$: „$2x-3\ge 1$” și $q(x)$: „$x^2\le 20$”, cu $x\in \mathbb{Z}$. Determinați mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$.

Prima condiție se transformă prin pași reversibili: $2x-3\ge 1\iff 2x\ge 4\iff x\ge 2$. Pentru a doua, deoarece prima ne lasă numai întregi cel puțin egali cu doi, verificăm pătratele în ordine: $2^2=4$, $3^2=9$ și $4^2=16$ nu depășesc douăzeci, iar de la cinci încolo pătratul este cel puțin $25$.

Conjuncția cere ca același întreg să verifice ambele condiții. Rămân doi, trei și patru, deci mulțimea de adevăr este $\{2,3,4\}$. Controlăm capătul: pentru $x=4$ avem $2\cdot 4-3=5\ge 1$ și $16\le 20$, iar pentru $x=5$ a doua condiție cade, fiindcă „$25\le 20$” este falsă.

Exemplul este construit pentru antrenamentul justificărilor la Bacalaureatul M2. Nu reproduce un subiect oficial și nu atribuie predicatelor o poziție fixă în examen.

Să exersăm

1. Pentru condiția „$r+7<20$”, cu $r\in \mathbb{R}$, precizează variabila, domeniul și relația care trebuie verificată.

2. Fie $p(x)$: „$\frac{x+6}{2}\ge x$”, pe $\mathbb{R}$. Stabilește adevărul lui $p(6)$ și al lui $p(8)$.

3. Verifică „$x^2+2x<0$” pentru $x=-1$ și $x=1$, arătând înlocuirile.

4. Scrie ca interval mulțimea de adevăr a predicatului „$7-x>2$”, pe $\mathbb{R}$.

5. Pe $D=\{1,2,3,4,5,6\}$, fie $p(x)$: „$x$ este număr prim”. Scrie mulțimea de adevăr a lui $p$ și pe cea a predicatului $\neg p(x)$.

6. Scrie cu simboluri predicatul cu două variabile „suma a două numere naturale este cel mult $4$”, apoi dă două perechi pentru care este adevărat și una pentru care este fals.

7. Domeniul este format din recipientele P, Q și R. Scrie un predicat care verifică dacă volumul recipientului ales depășește $40$ ml. Precizează ce reprezintă variabila.

8. Pentru condiția „$\sqrt{x-3}<2$”, pe numere reale, ce valori trebuie excluse înainte de evaluare? Evaluează apoi condiția pentru $x=5$ și pentru $x=7$.

9. Pe $\mathbb{Z}$, scrie mulțimile de adevăr ale predicatelor „$n^2\ge 2n-1$” și „$n^2<0$”.

10. Pentru un predicat $p$ definit pe $\mathbb{N}$: „Dacă $p(3)$ și $p(5)$ sunt adevărate, atunci $p(4)$ este adevărată”. (Adevărat/Fals cu motivare.)

11. Pe $D=\{0,2,4,6\}$, selectează valorile care satisfac simultan „$x<5$” și „$x>1$”.

12. Un resort respectă legea lui Hooke: la alungirea $x$, în metri, forța elastică este $F=50x$, în newtoni, iar modelul este valabil pentru $0\le x\le 0,1$. Scrie ca interval mulțimea de adevăr a predicatului „forța elastică la alungirea $x$ nu depășește $4$ N”, pe domeniul de valabilitate. (Problemă aplicată.)

13. Se consideră predicatul $r(x,y)$: „$x+4y=13$”, cu $x,y\in \mathbb{N}$. Determinați mulțimea lui de adevăr. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Pe $D=\{-3,0,3,6\}$, determină mulțimea de adevăr a lui „$x^2-3x=0$”. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Fie $p(n)$: „$n^2+n\le 30$”, cu $n\in \mathbb{N}$. Determinați mulțimea de adevăr și justificați că nu mai există alte elemente. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Scrie o condiție verificată exact de numărul patru din domeniul $\{2,4,6\}$. Este răspunsul tău singura condiție posibilă?

17. Pe același domeniu real, compară condițiile „$4t<13$” și „$4s<13$”. Se schimbă selecția numerelor dacă redenumim variabila?

18. Pentru $x,y\in \{1,2,3,4\}$, câte perechi satisfac predicatul „$x$ divide $y$”? Scrie mulțimea de adevăr și explică de ce $(2,4)$ și $(4,2)$ au verdicte diferite. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Variabila este $r$, domeniul este $\mathbb{R}$, iar relația compară suma dintre valoarea aleasă și șapte cu douăzeci. Predicatul cere o comparație strictă.

2. Pentru șase: $\frac{6+6}{2}=6$, iar $6\ge 6$ este adevărată, fiindcă semnul permite egalitatea. Pentru opt: $\frac{8+6}{2}=7$, iar propoziția „$7\ge 8$” este falsă.

3. Pentru minus unu: $(-1{)}^2+2(-1)=-1<0$, adevărat. Pentru unu: $1+2=3>0$, deci propoziția cu semnul „mai mic” este falsă.

4. $7-x>2\iff 5>x$, deci mulțimea de adevăr este $(-\infty ,5)$. Capătul $5$ este exclus: la $x=5$ se obține propoziția „$2>2$”, care este falsă.

5. $A_p=\{2,3,5\}$. Negația selectează elementele rămase ale domeniului, deci mulțimea ei de adevăr este $\{1,4,6\}$. Numărul $1$ nu este prim, așa că intră la negație; nu îl lăsăm deoparte.

6. $s(x,y)$: „$x+y\le 4$”, cu $x,y\in \mathbb{N}$. De exemplu, $(1,3)$ și $(0,0)$ îl fac adevărat, iar $(3,2)$ îl face fals, fiindcă propoziția „$3+2\le 4$” este falsă.

7. De exemplu, $p(x)$: „volumul recipientului $x$ este mai mare decât $40$ ml”, cu $x\in \{\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}\}$. Variabila desemnează recipientul, nu volumul numeric.

8. Radicalul de ordinul doi cere $x-3\ge 0$, deci excludem valorile $x<3$; pentru ele condiția nu are sens în numere reale. La $x=5$ obținem $\sqrt{2}$, iar $\sqrt{2}<2$, fiindcă $2<4$: adevărat. La $x=7$ obținem $\sqrt{4}=2$, iar propoziția „$2<2$” este falsă.

9. Primul predicat este adevărat pentru fiecare întreg, fiindcă $n^2-2n+1=(n-1{)}^2\ge 0$; mulțimea lui de adevăr este $\mathbb{Z}$. Al doilea nu este adevărat pentru niciun întreg, deoarece un pătrat nu este negativ; mulțimea lui de adevăr este $\varnothing$.

10. Fals. Pentru $p(x)$: „$x$ este impar”, propozițiile $p(3)$ și $p(5)$ sunt adevărate, dar $p(4)$ este falsă. Verdictele de la două atribuiri nu spun nimic despre valorile aflate între ele.

11. Obținem $\{2,4\}$. Zero nu respectă a doua condiție, iar șase nu respectă prima.

12. Condiția este $50x\le 4$, adică $x\le 0,08$. Pe domeniul de valabilitate, mulțimea de adevăr este intervalul $[0;0,08]$: alungiri de cel mult $8$ cm. Valorile peste $0,1$ m nu intră în discuție, fiindcă acolo modelul nu mai este declarat valabil.

13. Din $x=13-4y\ge 0$ rezultă $4y\le 13$, deci $y\le 3$. Pentru $y=0,1,2,3$ obținem $x=13,9,5,1$. Mulțimea de adevăr este $\{(13,0),(9,1),(5,2),(1,3)\}$; pentru $y\ge 4$, valoarea lui $x$ ar fi negativă.

14. Valorile expresiei, în ordinea domeniului, sunt $18,0,0,18$. Mulțimea de adevăr este $\{0,3\}$.

15. Pentru $n=0,1,2,3,4,5$, valorile lui $n^2+n$ sunt $0,2,6,12,20,30$, toate cel mult $30$. Pentru $n\ge 6$ avem $n^2+n\ge 36+6=42>30$, fiindcă ambii termeni cresc odată cu $n$. Mulțimea de adevăr este $\{0,1,2,3,4,5\}$.

16. De exemplu, „$x=4$”. Ar funcționa și „$3<x<5$” pe domeniul dat. Condiții scrise diferit pot selecta aceleași valori admise.

17. Nu se schimbă selecția. Am redenumit variabila în mod consecvent, păstrând domeniul și relația; nu am schimbat valoarea atribuită în aceeași verificare.

18. Opt perechi: $(1,1)$, $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(2,2)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,4)$. Perechea $(2,4)$ convine, fiindcă $4=2\cdot 2$; perechea $(4,2)$ nu convine, fiindcă $4$ nu divide $2$. Relația nu este simetrică, deci ordinea pozițiilor contează.

De reținut

• Domeniul și condiția se citesc împreună, înaintea oricărui calcul.
• O atribuire completă produce o propoziție cu un verdict determinat.
• Toate aparițiile aceleiași variabile primesc aceeași valoare.
• Mulțimea de adevăr păstrează numai obiecte admise, nu rezultate intermediare.
• O informație absentă și o expresie nedefinită cer explicații diferite.

Greșeli frecvente

• Scrierea unui număr în locul verdictului. După calcul, verifică relația din enunț; valoarea expresiei nu este valoarea de adevăr.
• Tratarea câmpului necompletat ca zero. Absența măsurării nu dovedește falsitatea condiției.
• Pierderea parantezelor la o valoare negativă. Înlocuiește mai întâi complet și abia apoi aplică puterea.
• Inversarea pozițiilor într-o pereche. Primul număr înlocuiește prima variabilă chiar când schimbarea pare convenabilă.
• Raportarea măsurărilor în locul codurilor cerute. Dacă domeniul conține obiecte, mulțimea de adevăr conține acele obiecte, identificate fără ambiguitate.

Aplică acasă

1. Construiește un registru imaginar cu patru instrumente și câte două informații numerice despre fiecare. Scrie o condiție, marchează obiectele selectate și precizează de ce răspunsul conține coduri.
2. Pregătește două rezolvări ale aceleiași înlocuiri negative: una corectă și una cu paranteza omisă. Localizează prima diferență dintre calcule, apoi vezi dacă ea schimbă și verdictul.
3. Creează un tabel cu două valori posibile pentru prima variabilă și trei pentru a doua. Alege o relație simplă, verifică toate cele șase perechi și compară rezultatele după inversarea pozițiilor, acolo unde inversarea este admisă.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să explice, înainte de calcul, ce desemnează variabila și ce obiecte sunt admise. Alternați date numerice complete cu o înregistrare căreia îi lipsește o informație. Un răspuns matur separă calculul posibil, verdictul justificat și informația care încă trebuie obținută. Nu transformați automat orice ezitare într-o greșeală de aritmetică.

Programa și examenul. Predicatele sunt prevăzute în Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, și în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Ele apar și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu rezervă o cerință separată predicatelor; exercițiile de aici formează deprinderi folosite în verificarea condițiilor.

Pentru consolidare, folosiți testul de logică matematică și metode de demonstrație M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: predicate și variabile oferă un alt parcurs al temei; explicațiile necesare exercițiilor de pe această pagină sunt prezentate aici.

Întrebări frecvente

Dacă lipsește o măsurare, pot trece „fals” în tabel?

Mai întâi precizează ce lipsește. Un obiect poate avea o proprietate determinată, chiar dacă valoarea măsurată nu este comunicată. În acel caz nu cunoști verdictul și nu ai dreptul să îl înlocuiești cu fals. Poți continua verificările pentru obiectele cu date complete și poți spune exact ce informație mai trebuie aflată.

De ce mulțimea de adevăr poate conține coduri de obiecte?

Variabila nu este obligată să desemneze un număr. Dacă domeniul este o colecție de recipiente, fișe sau instrumente, condiția se aplică fiecărui obiect. Mulțimea de adevăr conține obiectele care trec verificarea. Măsurările lor justifică selecția, dar nu înlocuiesc identitatea obiectelor atunci când redactezi răspunsul cerut.

Un rezultat numeric corect încheie automat verificarea?

Depinde de cerință. Pentru un predicat trebuie evaluată relația întreagă, după calcularea expresiilor. Dacă ai obținut valoarea unei sume, mai trebuie să vezi dacă ea respectă egalitatea ori inegalitatea scrisă. De asemenea, controlul apartenenței la domeniu rămâne necesar, chiar dacă operațiile efectuate au fost corecte.

Cum verific o pereche când cele două variabile au domenii diferite?

Păstrează ordinea din notația predicatului. Controlezi prima valoare în primul domeniu și a doua valoare în al doilea, apoi le introduci în pozițiile corespunzătoare. Inversarea poate produce o pereche neadmisă sau poate schimba verdictul. O listă ordonată a pașilor te ajută să observi unde apare diferența.

Ce accent are această lecție M2 față de parcursul M1?

Aici exersăm atribuiri controlate, citirea registrelor finite și deosebirea dintre un verdict fals și date insuficiente. Păstrăm relații algebrice simple, iar condițiile cu două variabile sunt verificate pe perechi concrete. Nu cerem formule generale de numărare a reuniunilor. Scopul este o justificare clară a fiecărei selecții.

Există un subiect fix despre predicate la Bacalaureatul M2?

Programa include noțiunea, însă nu îi atribuie o poziție obligatorie în subiect. În modelul oficial pentru 2026 nu apare o sarcină separată intitulată astfel. Exemplele marcate în lecție sunt antrenamente proprii pentru citirea domeniilor și verificarea condițiilor, deprinderi utile în rezolvările pentru Bacalaureatul M2 și pentru parcursul MAT_P2.