Principiul includerii și al excluderii (M2, științe ale naturii)

Un laborator școlar analizează patruzeci de probe de apă luate dintr-un râu. Buletinul spune că douăzeci și două de probe conțin nitrați, optsprezece conțin fosfați, paisprezece conțin amoniu — iar profesoara de chimie întreabă: câte probe sunt de fapt poluate? Adunarea celor trei numere dă cincizeci și patru, mai mult decât numărul probelor din laborator. Nu e nicio eroare de măsurare: o probă care conține și nitrați, și fosfați a fost pur și simplu numărată de două ori. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți dă regula exactă care repară numărătoarea. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 principiul nu apare în lista de conținuturi a capitolului de numărare, dar limbajul pe care îl folosește — reuniune, intersecție, complementară — se cere încă din clasa a IX-a; la proba MAT_P2 din 2030 tema intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul pe care îl parcurgi acum.

Din regula sumei și combinarea regulilor de numărare știi să aduni variantele atunci când cazurile se exclud unul pe altul. Asta e condiția fără de care adunarea minte, iar în datele reale ea aproape niciodată nu e îndeplinită: o probă de apă poate conține doi poluanți deodată, un elev poate merge și la cercul de chimie, și la cel de biologie, un număr poate fi divizibil și cu $2$, și cu $3$. Principiul includerii și al excluderii este tocmai regula care spune cât anume ai numărat în plus și cum scazi surplusul, o singură dată, exact cât trebuie.

Ce vei învăța

• Vei ști să numeri elementele unei reuniuni de două mulțimi care se suprapun și să explici de unde vine termenul scăzut.
• Vei ști să aplici formula pentru trei mulțimi, cu cele trei scăderi și cu adunarea finală care repară ce s-a scăzut prea mult.
• Vei ști să completezi o diagramă Venn cu trei cercuri, pornind din regiunea centrală spre exterior, și să citești din ea orice număr cerut.
• Vei ști să afli câte elemente nu au niciuna dintre proprietățile date, trecând prin complementara reuniunii.
• Vei ști să numeri multiplii dintr-un interval cu ajutorul divizibilității, alegând corect intersecțiile.
• Vei ști să verifici dacă datele unei probleme sunt compatibile, calculând regiunile diagramei și cerându-le să fie pozitive.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este principiul includerii și al excluderii?

Principiul includerii și al excluderii este regula care dă numărul de elemente al unei reuniuni de mulțimi finite: se adună numerele de elemente ale mulțimilor (includerea), apoi se scad numerele de elemente ale intersecțiilor luate câte două (excluderea), apoi se adună la loc intersecțiile luate câte trei și așa mai departe, alternând semnele.

Notăm cu $n(A)$ numărul de elemente al unei mulțimi finite $A$ — se mai scrie și $\mathrm{card}A$, „cardinalul lui $A$". În cazul cel mai simplu, al două mulțimi, principiul spune

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).$$

Justificarea se vede cel mai bine numărând pe regiuni. Un element al reuniunii se află într-una dintre trei situații: e numai în $A$, e numai în $B$, sau e în amândouă. Când scriem suma $n(A)+n(B)$, elementele din prima situație se numără o dată, cele din a doua tot o dată, dar cele din a treia se numără de două ori, o dată ca membri ai lui $A$ și încă o dată ca membri ai lui $B$. Surplusul este, așadar, exact numărul elementelor comune, adică $n(A\cap B)$ — de aceea el se scade o singură dată.

2. De ce se strică adunarea când mulțimile se ating?

Să luăm un caz concret, cu numere mici. Într-o clasă de $28$ de elevi, $15$ s-au înscris la atelierul de chimie și $12$ la atelierul de biologie, iar $6$ dintre ei frecventează ambele ateliere. Câți elevi merg la cel puțin un atelier?

Cine adună $15+12=27$ se bazează, fără să spună, pe ipoteza că listele sunt disjuncte. Aici ele nu sunt: cei $6$ elevi apar pe amândouă. Scădem surplusul o dată:

$$n(A\cup B)=15+12-6=21\text{ elevi}.$$

Restul clasei, adică $28-21=7$ elevi, nu merge la niciunul dintre ateliere. Observă că cei $6$ nu dispar din numărătoare — rămân numărați o dată, ca oricine altcineva. Scăderea nu îi elimină, ci corectează dublarea.

Un amănunt de limbaj care produce multe greșeli: în enunț, „$6$ elevi frecventează ambele ateliere" înseamnă $n(A\cap B)=6$, nu „$6$ elevi merg numai la ambele și la nimic altceva". Numărul dat este al întregii intersecții; câți elevi merg numai la chimie se află scăzând: $15-6=9$.

Pentru comparație, la mate-info (M1) formula pentru două mulțimi stă înăuntrul lecției despre regula sumei și se oprește acolo: programa de matematică-informatică nu numește principiul și nu cere cazul a trei mulțimi.

3. Cum arată formula pentru trei mulțimi?

Trecerea de la două la trei mulțimi este pasul care schimbă cu adevărat lecția. Formula este

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).$$

De ce reapare, cu plus, intersecția celor trei? Urmărim un element care se află în toate cele trei mulțimi. În prima linie de termeni el e numărat de trei ori. În a doua, cea a scăderilor, el aparține fiecăreia dintre cele trei intersecții de câte două, deci se scade de trei ori — și ajunge la zero, adică dispare din numărătoare, deși face parte din reuniune. Ultimul termen îl repune, o singură dată. Verifică și pentru un element aflat în exact două dintre mulțimi: numărat de două ori la adunare, scăzut o dată (aparține unei singure intersecții de câte două), nefiind în intersecția triplă nu mai primește nimic — total, o dată. Fiecare element al reuniunii este numărat exact o dată, deci formula e corectă.

Revenim la laboratorul din deschidere. Notăm cu $A$, $B$, $C$ mulțimile probelor care conțin nitrați, fosfați, respectiv amoniu, și avem datele: $n(A)=22$, $n(B)=18$, $n(C)=14$, $n(A\cap B)=9$, $n(A\cap C)=7$, $n(B\cap C)=6$, $n(A\cap B\cap C)=4$. Atunci

$$n(A\cup B\cup C)=22+18+14-9-7-6+4=36.$$

Din cele $40$ de probe, $36$ conțin cel puțin un poluant, iar $40-36=4$ sunt curate. Numărul $54$ de la care pornise întrebarea era suma brută; corecția a scăzut $22$ și a adăugat înapoi $4$.

4. Cum se completează o diagramă Venn cu trei cercuri?

Formula dă un singur număr. Diagrama dă toate numerele deodată, iar la o problemă cu trei mulțimi ea este de obicei drumul mai scurt. Regula de aur este să completezi dinspre centru spre exterior, pentru că fiecare dată din enunț conține datele mai mici.

Pentru probele de apă: în regiunea centrală scriem $4$. Regiunea „nitrați și fosfați, fără amoniu" primește $9-4=5$; „nitrați și amoniu, fără fosfați" primește $7-4=3$; „fosfați și amoniu, fără nitrați" primește $6-4=2$. Abia acum trecem la regiunile simple: numai nitrați înseamnă $22-5-3-4=10$, numai fosfați $18-5-2-4=7$, numai amoniu $14-3-2-4=5$. În afara celor trei cercuri rămân cele $4$ probe curate.

Controlul se face prin adunare: $10+7+5+5+3+2+4=36$, iar $36+4=40$, adică toate probele. Ai întâlnit desenul acesta încă din gimnaziu, la problemele de numărare cu diagrame Venn; noutatea de acum este că regiunile se completează sistematic, nu din aproape în aproape.

5. Cum număr elementele care nu au nicio proprietate?

Aproape orice enunț practic cere, până la urmă, tocmai numărul acesta: câte probe sunt curate, câți elevi nu merg nicăieri, câte numere nu sunt divizibile cu nimic din listă. Rețeta are doi pași: calculezi reuniunea cu principiul includerii și al excluderii, apoi o scazi din total. Dacă mulțimea tuturor obiectelor are $N$ elemente,

$$N-n(A\cup B\cup C)$$

este numărul elementelor care nu aparțin niciuneia dintre cele trei mulțimi. E aceeași idee de complementară pe care o vei regăsi imediat în unitatea de probabilități, la probabilitatea reuniunii a două evenimente: acolo numerele se împart la numărul cazurilor posibile, dar structura rămâne identică.

6. Numărare cu divizibilitate: sita din spatele formulei

Cel mai curat teren de antrenament sunt multiplii. Câte numere naturale de la $1$ la $120$ sunt divizibile cu $2$, cu $3$ sau cu $5$?

Numărul multiplilor lui $d$ din intervalul $1,2,\dots ,N$ este câtul împărțirii lui $N$ la $d$. Obținem $120:2=60$ multipli ai lui $2$, $120:3=40$ multipli ai lui $3$ și $120:5=24$ multipli ai lui $5$. Intersecțiile cer atenție: un număr divizibil și cu $2$, și cu $3$ este divizibil cu cel mai mic multiplu comun al lor, adică cu $6$, nu cu produsul luat orbește. Aici, cele trei numere fiind prime între ele două câte două, cel mai mic multiplu comun coincide cu produsul: $6$, $10$, $15$, iar pentru toate trei, $30$. Așadar $120:6=20$, $120:10=12$, $120:15=8$ și $120:30=4$, de unde

$$60+40+24-20-12-8+4=88.$$

Prin urmare $88$ de numere sunt divizibile cu cel puțin unul dintre $2$, $3$ și $5$, iar $120-88=32$ nu sunt divizibile cu niciunul.

7. Când datele nu se potrivesc: verificarea regiunilor

Un enunț poate conține date care nu pot veni de la nicio mulțime reală. Semnul de alarmă este o regiune negativă. Dacă, de pildă, $n(A)=10$, $n(A\cap B)=6$ și $n(A\cap C)=7$, cu $n(A\cap B\cap C)=2$, atunci regiunea „numai $A$" ar fi $10-(6-2)-(7-2)-2=-1$ — imposibil, fiindcă numărul de elemente al unei mulțimi nu poate fi negativ. Datele sunt contradictorii și problema nu are soluție.

De aceea calculul regiunilor nu e o formalitate: e proba prin care afli dacă ai citit corect enunțul sau dacă enunțul însuși e contradictoriu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două mulțimi, cu întrebarea complementară

Într-o grupă de $30$ de elevi, $17$ participă la un proiect de chimie și $14$ la un proiect de fizică, iar $6$ participă la ambele. Determinați câți elevi participă la cel puțin un proiect și câți nu participă la niciunul.

Rezolvare. Fie $A$ mulțimea participanților la chimie și $B$ mulțimea participanților la fizică. Din principiul includerii și al excluderii,

$$n(A\cup B)=17+14-6=25.$$

Deci $25$ de elevi participă la cel puțin un proiect. Cei care nu participă la niciunul sunt $30-25=5$. Control rapid pe regiuni: numai chimie $17-6=11$, numai fizică $14-6=8$, ambele $6$; suma $11+8+6=25$, iar $25+5=30$.

Exemplul 2 — Trei mulțimi, formula aplicată direct

Se consideră mulțimile finite $A$, $B$ și $C$ pentru care $n(A)=15$, $n(B)=13$, $n(C)=11$, $n(A\cap B)=6$, $n(A\cap C)=5$, $n(B\cap C)=4$ și $n(A\cap B\cap C)=2$. Determinați $n(A\cup B\cup C)$.

Rezolvare. Aplicăm formula, grupând termenii pe linii ca să nu pierdem niciun semn:

$$n(A\cup B\cup C)=(15+13+11)-(6+5+4)+2=39-15+2=26.$$

Verificăm prin regiuni: numai $A$ are $15-6-5+2=6$ elemente, numai $B$ are $13-6-4+2=5$, numai $C$ are $11-5-4+2=4$; regiunile de câte două, fără centru, au $4$, $3$ și $2$ elemente, iar centrul are $2$. Suma: $6+5+4+4+3+2+2=26$.

Exemplul 3 — Citirea unei diagrame Venn

O diagramă Venn cu trei cercuri, desenată pentru $60$ de elevi și pentru activitățile sport, muzică și voluntariat, are următoarele numere în regiuni: numai sport $14$, numai muzică $9$, numai voluntariat $7$, sport și muzică (fără voluntariat) $5$, sport și voluntariat (fără muzică) $4$, muzică și voluntariat (fără sport) $3$, toate trei $2$. Determinați câți elevi fac sport, câți fac cel puțin o activitate și câți nu fac niciuna.

Rezolvare. Aici drumul este invers față de exemplele anterioare: se dau regiunile și se cer numerele cumulate. Mulțimea celor care fac sport este alcătuită din patru regiuni:

$$14+5+4+2=25\text{ elevi}.$$

Cei care fac cel puțin o activitate se obțin adunând toate cele șapte regiuni: $14+9+7+5+4+3+2=44$. Prin urmare $60-44=16$ elevi nu fac niciuna dintre cele trei activități. Observă că, având regiunile, nu am folosit deloc formula: ea servește tocmai la trecerea în celălalt sens.

Exemplul 4 — Multipli într-un interval

Determinați câte numere naturale din mulțimea $\{1,2,\dots ,200\}$ sunt divizibile cu $4$ sau cu $6$.

Rezolvare. Multiplii lui $4$ sunt $50$, fiindcă $200:4=50$. Multiplii lui $6$ sunt $33$, pentru că $6\cdot 33=198\le 200<204$. Un număr divizibil și cu $4$, și cu $6$ este divizibil cu cel mai mic multiplu comun al lor, adică cu $12$; avem $200:12$, cu câtul $16$, deoarece $12\cdot 16=192$. Atunci

$$50+33-16=67\text{ numere}.$$

Capcana e la mijloc: cine ia intersecția drept mulțimea multiplilor lui $24$ găsește $8$ în loc de $16$ și răspunde $75$, cu opt numere numărate de două ori.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Într-o livadă cu $70$ de meri s-a găsit rapăn la $31$ de pomi, făinare la $24$ și păduche lânos la $19$; rapăn și făinare la $12$, rapăn și păduche la $9$, făinare și păduche la $8$, iar toate trei bolile la $5$ pomi. Un elev scrie: „$31+24+19=74$; scad intersecțiile: $74-12-9-8=45$; scad și intersecția celor trei, $45-5=40$; deci $40$ de pomi sunt atacați." Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Primii doi pași sunt corecți; ultimul este greșit de semn. Intersecția celor trei mulțimi nu se scade încă o dată, ci se adună: elementele ei au fost numărate de trei ori la adunare și scăzute tot de trei ori la cele trei intersecții de câte două, deci au ajuns la zero și trebuie repuse o dată în numărătoare. Rezultatul corect este $45+5=50$ de pomi atacați.

Greșeala se depistează fără să reluăm calculul: cu răspunsul $40$, regiunea „numai rapăn" ar fi rămas aceeași, $15$, iar suma tuturor regiunilor ar fi dat tot $50$, nu $40$ — dovadă că cifra de $40$ nu poate descrie nicio diagramă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,60\}$ și submulțimile $A$, $B$, $C$ ale numerelor din $M$ divizibile cu $3$, cu $4$, respectiv cu $5$. a) Arătați că $n(A\cap B)=5$. b) Determinați $n(A\cup B\cup C)$. c) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din $M$, acesta să nu fie divizibil nici cu $3$, nici cu $4$, nici cu $5$.

Rezolvare. a) Un număr divizibil și cu $3$, și cu $4$ este divizibil cu $12$, iar în $M$ multiplii lui $12$ sunt $12$, $24$, $36$, $48$, $60$, deci $n(A\cap B)=60:12=5$.

b) Numărăm mai întâi fiecare mulțime: $n(A)=60:3=20$, $n(B)=60:4=15$, $n(C)=60:5=12$. Intersecțiile corespund multiplilor lui $12$, $15$ și $20$: $n(A\cap B)=5$, $n(A\cap C)=4$, $n(B\cap C)=3$. Intersecția celor trei înseamnă multiplii lui $60$, deci $n(A\cap B\cap C)=1$. Atunci

$$n(A\cup B\cup C)=(20+15+12)-(5+4+3)+1=47-12+1=36.$$

c) Numerele care nu sunt divizibile cu niciunul dintre $3$, $4$, $5$ sunt $60-36=24$. Probabilitatea cerută este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile:

$$P=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Exemplul e construit după cerința scurtă de numărare și probabilitate din modelul oficial de subiect M_șt-nat, unde cele două apar împreună; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, scrie explicit ce înseamnă fiecare mulțime și notează separat numerele care sunt intersecții. La problemele cu trei mulțimi, completează diagrama pornind din regiunea centrală, apoi verifică adunând toate regiunile.

1. Dintre cei $32$ de elevi ai unei clase, $19$ au fost la vizita de la muzeul de științe și $15$ la laboratorul de biologie, iar $8$ au fost la amândouă. Câți elevi au fost la cel puțin una dintre cele două activități și câți la niciuna?

2. Mulțimile finite $A$ și $B$ au $n(A)=12$, $n(B)=9$ și $n(A\cap B)=4$. Calculează $n(A\cup B)$.

3. Într-o seră sunt $50$ de plante. Dintre ele, $28$ au primit îngrășământ, $21$ au primit un biostimulator, iar $12$ au primit ambele tratamente. Câte plante nu au primit niciun tratament?

4. Se știe că $n(A\cup B)=20$, $n(A)=13$ și $n(B)=11$. Determină $n(A\cap B)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $n(A)=10$ și $n(B)=8$, atunci $n(A\cup B)=18$."

6. Pentru mulțimile finite $A$, $B$, $C$ se cunosc $n(A)=17$, $n(B)=12$, $n(C)=10$, $n(A\cap B)=5$, $n(A\cap C)=6$, $n(B\cap C)=3$ și $n(A\cap B\cap C)=2$. Calculează $n(A\cup B\cup C)$ și numărul elementelor care se află în exact una dintre cele trei mulțimi.

7. Câte numere naturale din mulțimea $\{1,2,\dots ,90\}$ sunt divizibile cu $2$ sau cu $3$?

8. Câte numere naturale din mulțimea $\{1,2,\dots ,240\}$ sunt divizibile cu $6$ sau cu $9$?

9. Într-o diagramă Venn desenată pentru $50$ de elevi, regiunile au numerele: numai desen $11$, numai teatru $8$, numai dezbateri $6$, desen și teatru $4$, desen și dezbateri $3$, teatru și dezbateri $2$, toate trei $1$ (ultimele patru numere sunt regiuni, nu intersecții totale). Câți elevi fac desen, câți fac cel puțin o activitate și câți niciuna?

10. (Problemă aplicată.) Într-un laborator s-au analizat $45$ de probe de sol. S-a găsit plumb în $26$ de probe, cadmiu în $19$ și zinc în $15$; plumb și cadmiu în $11$, plumb și zinc în $8$, cadmiu și zinc în $6$, iar toate trei metalele în $4$ probe. Câte probe conțin cel puțin un metal greu și câte sunt curate?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,\dots ,100\}$, $A$ mulțimea numerelor din $M$ divizibile cu $6$ și $B$ mulțimea numerelor din $M$ divizibile cu $10$. a) Determină $n(A)$ și $n(B)$. b) Arată că $n(A\cap B)=3$. c) Determină $n(A\cup B)$.

12. Într-o clasă de $26$ de elevi, fiecare studiază cel puțin una dintre limbile engleză și franceză. Dacă $20$ studiază engleza și $13$ franceza, câți studiază ambele limbi?

13. Se cunosc $n(A)=20$, $n(B)=16$, $n(C)=12$, $n(A\cap B)=8$, $n(A\cap C)=6$, $n(B\cap C)=5$ și $n(A\cup B\cup C)=31$. Determină $n(A\cap B\cap C)$.

14. Câte numere naturale din mulțimea $\{1,2,\dots ,300\}$ nu sunt divizibile nici cu $3$, nici cu $5$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Dintre cei $40$ de elevi ai unei grupe, $24$ practică înotul, $18$ practică ciclismul, iar $9$ practică ambele sporturi. a) Determină câți elevi practică cel puțin un sport. b) Determină câți elevi nu practică niciunul. c) Determină probabilitatea ca un elev ales la întâmplare din grupă să practice exact un singur sport.

16. Se cunosc $n(A\cup B\cup C)=50$, $n(A)=25$, $n(B)=22$, $n(C)=20$, $n(A\cap B)=8$, $n(B\cap C)=7$ și $n(A\cap B\cap C)=3$. Determină $n(A\cap C)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină câte numere naturale de trei cifre sunt divizibile cu $7$ sau cu $11$.

18. (Provocare.) Câte numere naturale din mulțimea $\{1,2,\dots ,1000\}$ nu sunt divizibile cu niciunul dintre numerele $3$, $4$, $5$ și $7$? (Indicație: scrie principiul pentru patru mulțimi, continuând alternanța semnelor, și ia ca intersecții multiplii celor mai mici multipli comuni.)

Răspunsuri și explicații

1. $n(A\cup B)=19+15-8=26$ de elevi la cel puțin o activitate, deci $32-26=6$ elevi la niciuna. Regiunile: numai muzeul $11$, numai laboratorul $7$, amândouă $8$; controlul, $11+7+8+6=32$.

2. $n(A\cup B)=12+9-4=17$.

3. Plantele tratate cu cel puțin un produs sunt $28+21-12=37$, deci netratate rămân $50-37=13$.

4. Din $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ obținem $20=13+11-n(A\cap B)$, deci $n(A\cap B)=24-20=4$.

5. Fals. Egalitatea are loc numai dacă mulțimile sunt disjuncte. În general $n(A\cup B)=18-n(A\cap B)$, iar intersecția poate avea de la $0$ până la $8$ elemente (nu mai mult decât mulțimea mai mică), deci $n(A\cup B)$ ia orice valoare între $10$ și $18$.

6. $(17+12+10)-(5+6+3)+2=39-14+2=27$. Regiunile simple: numai $A$ are $17-5-6+2=8$ elemente, numai $B$ are $12-5-3+2=6$, numai $C$ are $10-6-3+2=3$; în exact una dintre mulțimi se află, așadar, $8+6+3=17$ elemente.

7. Multipli ai lui $2$: $45$. Multipli ai lui $3$: $30$. Multipli ai lui $6$: $15$. Rezultă $45+30-15=60$ de numere.

8. Multipli ai lui $6$: $40$. Multipli ai lui $9$: $26$, fiindcă $9\cdot 26=234$. Intersecția este mulțimea multiplilor celui mai mic multiplu comun, adică ai lui $18$ (nu ai lui $54$): $13$, fiindcă $18\cdot 13=234$. Rezultă $40+26-13=53$ de numere.

9. Desen: $11+4+3+1=19$ elevi. Cel puțin o activitate: $11+8+6+4+3+2+1=35$. Niciuna: $50-35=15$.

10. Cu $n(P)=26$, $n(Cd)=19$, $n(Z)=15$ și intersecțiile $11$, $8$, $6$, respectiv $4$ pentru toate trei: $(26+19+15)-(11+8+6)+4=60-25+4=39$ de probe conțin cel puțin un metal greu, iar $45-39=6$ sunt curate. Regiunile ies $11$, $6$, $5$ (câte un singur metal), $7$, $4$, $2$ (câte două) și $4$ (toate trei), cu suma $39$ — toate pozitive, deci datele sunt compatibile.

11. a) $n(A)=100:6$, adică $16$ (fiindcă $6\cdot 16=96$), iar $n(B)=100:10=10$. b) Un număr divizibil și cu $6$, și cu $10$ este divizibil cu $30$; multiplii lui $30$ din $M$ sunt $30$, $60$, $90$, deci $n(A\cap B)=3$. c) $n(A\cup B)=16+10-3=23$.

12. „Fiecare studiază cel puțin una" înseamnă $n(A\cup B)=26$. Din formulă, $26=20+13-n(A\cap B)$, deci $n(A\cap B)=33-26=7$ elevi.

13. Notăm cu $x$ intersecția celor trei. Atunci $31=(20+16+12)-(8+6+5)+x=48-19+x=29+x$, de unde $x=2$.

14. Multipli ai lui $3$: $100$. Multipli ai lui $5$: $60$. Multipli ai lui $15$: $20$. Reuniunea are $100+60-20=140$ de elemente, deci numerele căutate sunt $300-140=160$.

15. a) $24+18-9=33$ de elevi practică cel puțin un sport. b) $40-33=7$ elevi nu practică niciunul. c) Numai înot: $24-9=15$; numai ciclism: $18-9=9$; în total $15+9=24$ de elevi practică exact un sport, deci probabilitatea este $\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=0,6$.

16. Notăm cu $y$ numărul cerut. Formula dă $50=(25+22+20)-(8+y+7)+3=67-15-y+3$, adică $50=55-y$, deci $y=5$.

17. Numerele de trei cifre sunt cele din $\{100,101,\dots ,999\}$. Divizibile cu $7$: $142-14=128$, unde $142$ este câtul lui $999:7$, iar $14$ al lui $99:7$. Divizibile cu $11$: $90-9=81$. Divizibile cu $77$: $12-1=11$. Rezultă $128+81-11=198$ de numere.

18. Pentru patru mulțimi, semnele alternează: se adună cele patru numere, se scad cele șase intersecții de câte două, se adună cele patru intersecții de câte trei și se scade intersecția tuturor. Cu $N=1000$: $333+250+200+142=925$; intersecțiile de câte două sunt multiplii lui $12$, $15$, $21$, $20$, $28$ și $35$ — cei mai mici multipli comuni, nu produsele — și dau $83+66+47+50+35+28=309$; cele de câte trei (multiplii lui $60$, $84$, $105$, $140$) dau $16+11+9+7=43$; multiplii lui $420$ sunt $2$. Reuniunea are $925-309+43-2=657$ de elemente, deci numerele cerute sunt $1000-657=343$.

De reținut

• Pentru două mulțimi finite, $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$: elementele comune se numără de două ori la adunare, deci se scad exact o dată.
• Pentru trei mulțimi se adună cele trei numere, se scad cele trei intersecții de câte două și se adaugă intersecția celor trei; fără ultimul termen, elementele comune tuturor ar dispărea din numărătoare.
• Un număr dat în enunț pentru „$A$ și $B$" înseamnă întreaga intersecție; regiunea „numai $A$ și $B$" se obține scăzând din el intersecția celor trei.
• Diagrama Venn se completează dinspre centru spre exterior, iar suma tuturor regiunilor trebuie să dea numărul elementelor reuniunii.
• Elementele care nu au niciuna dintre proprietăți se numără scăzând reuniunea din total: $N-n(A\cup B\cup C)$.

Greșeli frecvente

• Intersecția celor trei mulțimi, scăzută în loc să fie adunată. După cele trei scăderi, elementele comune tuturor au ajuns la zero; ultimul termen le repune. Dacă îl scazi, pierzi de două ori numărul lor. Verifică semnele pe tipar: plus, minus, plus.
• Numărul intersecției, citit ca număr al unei regiuni. „$9$ probe conțin nitrați și fosfați" nu înseamnă $9$ probe în regiunea de la mijlocul celor două cercuri: din cele $9$, o parte conține și amoniu. Regiunea este $9-4=5$. Confuzia asta strică toată diagrama.
• Intersecția multiplilor, luată ca produs. Pentru „divizibil cu $4$ sau cu $6$", elementele comune sunt multiplii lui $12$, nu ai lui $24$: cel mai mic multiplu comun, nu produsul. Regula se vede imediat pe un exemplu: $12$ e divizibil și cu $4$, și cu $6$.
• Aplici formula când cerința e despre regiuni. Dacă enunțul dă deja numerele din regiuni (ca într-o diagramă completată), nu mai ai nimic de scăzut: aduni regiunile cerute. Formula servește la trecerea de la numere cumulate la reuniune, nu invers.
• Rezultatul lăsat fără proba regiunilor. Calculează măcar o regiune simplă și verifică dacă iese pozitivă. O regiune negativă înseamnă fie că ai citit greșit o dată, fie că datele din enunț sunt contradictorii, iar problema nu are soluție.

Aplică acasă

1. Diagrama celor trei obiceiuri. Alege trei activități pe care le fac colegii tăi (sport, un instrument, voluntariat) și întreabă zece persoane. Notează pentru fiecare ce face, apoi construiește diagrama completând întâi regiunea centrală. Compară numărul obținut pentru „cel puțin o activitate" cu numărul de persoane care ți-au răspuns „nimic" — cele două trebuie să dea zece.

2. Sita cu creionul. Scrie pe o foaie numerele de la $1$ la $100$, apoi taie cu trei culori diferite multiplii lui $2$, ai lui $3$ și ai lui $5$. Numără câte numere au rămas netăiate și compară cu rezultatul dat de principiul includerii și al excluderii. Numără și de câte ori a fost tăiat numărul $30$ — vei vedea cu ochii de unde vine fiecare termen din formulă.

3. Etichetele din bucătărie. Ia zece produse din cămară și notează, pentru fiecare, dacă are în compoziție zahăr, gluten sau lactoză. Completează tabelul cu cele opt regiuni, apoi calculează, cu formula, câte produse conțin cel puțin unul dintre cele trei ingrediente și verifică rezultatul numărând direct etichetele.

Pentru părinți și profesori

Partea ușoară a temei e formula pentru două mulțimi: aproape orice elev o acceptă din prima, fiindcă dublarea se vede. Partea grea este semnul plus de la capătul formulei pentru trei mulțimi — iar el nu se ține minte prin repetare, ci prin urmărirea unui singur element aflat în toate cele trei mulțimi, numărat de trei ori și scăzut de trei ori. Când elevul poate spune în cuvinte ce se întâmplă cu acel element, formula devine a lui.

La profilul științe ale naturii capitolul de numărare vine, prin programă, cu nota „abordarea conținuturilor se va face prin contexte practice", iar asta se potrivește exact temei: datele de laborator, rezultatele unui sondaj și buletinele de analiză sunt tocmai situațiile în care categoriile se suprapun. De urmărit în caiet, în ordine: dacă numerele din enunț au fost trecute corect ca intersecții, dacă diagrama a fost completată dinspre centru și dacă la final s-a făcut proba prin adunarea regiunilor. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă, pe desen, numărul $9$ din enunț?"; „De ce se adună înapoi intersecția celor trei?"; „Ce faci dacă o regiune iese negativă?". Semn că a înțeles: începe orice problemă cu trei mulțimi desenând diagrama, nu scriind formula. Pasul următor din traseu este factorialul unui număr natural, de unde începe partea de formule combinatorice a capitolului.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare" de clasa a X-a. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde principiul includerii și al excluderii nu este trecut în lista de conținuturi: capitolul de metode de numărare al programei de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde mulțimile finite ordonate, permutările, aranjamentele, combinările și binomul lui Newton, iar operațiile cu mulțimi apar la clasa a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică". Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Ce spune principiul includerii și al excluderii? Spune cum se numără elementele unei reuniuni de mulțimi care se suprapun: aduni numerele de elemente ale mulțimilor, scazi numerele de elemente ale intersecțiilor luate câte două, apoi adaugi intersecțiile luate câte trei, și tot așa, cu semne alternante. Pentru două mulțimi rămâne doar o scădere.

Care este formula pentru trei mulțimi? Se scrie $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$. Trei termeni adunați, trei scăzuți și unul adunat la final. Ordinea semnelor este plus, minus, plus, iar ultimul termen este obligatoriu: fără el, elementele comune tuturor celor trei mulțimi ar fi adunate de trei ori și scăzute de trei ori, deci n-ar mai fi numărate deloc. Formula se verifică repede pe trei mulțimi egale.

De ce se adună înapoi intersecția celor trei mulțimi? Pentru că un element aflat în toate cele trei este numărat de trei ori în prima linie și scăzut tot de trei ori în a doua, fiindcă aparține fiecăreia dintre cele trei intersecții de câte două. Ajuns la zero, el ar lipsi din reuniune, deși îi aparține; ultimul termen îl repune exact o dată.

Cum aflu câte elemente nu au niciuna dintre proprietăți? Calculezi numărul elementelor reuniunii cu principiul includerii și al excluderii, apoi îl scazi din numărul total de obiecte. Dacă ai $40$ de probe și $36$ conțin cel puțin un poluant, atunci $40-36=4$ sunt curate. Este numărarea prin complementară, aplicată reuniunii.

Se învață principiul includerii și al excluderii și la mate-info (M1)? Nu ca temă separată. La matematică-informatică formula pentru două mulțimi se învață înăuntrul lecției despre regula sumei — și se oprește acolo: programa nu numește principiul și nu cere cazul a trei mulțimi. La științe ale naturii el este trecut explicit în lista de conținuturi, iar cazul general, cu diagrama cu trei cercuri, este chiar miezul lecției.

La ce subiect apare principiul includerii și al excluderii la bacalaureatul M2? În sesiunile 2027–2029 nu apare ca temă de sine stătătoare: programa de examen nu îl trece în capitolul de metode de numărare. Din 2030, la proba MAT_P2, tema intră în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare" de clasa a X-a; structura probei MAT_P2 nu este încă publicată, deci la ce subiect anume va apărea nu se poate spune.

Cum completez o diagramă Venn cu trei cercuri? Începi din regiunea centrală, cu numărul elementelor comune tuturor. Apoi, din fiecare intersecție de câte două, scazi centrul și obții regiunile alăturate. La final, din fiecare mulțime scazi cele trei regiuni deja completate care îi aparțin. Proba: suma regiunilor trebuie să dea numărul elementelor reuniunii.

Când pot aduna direct, fără să scad nimic? Doar când mulțimile nu au niciun element comun, adică sunt disjuncte două câte două. Atunci toate intersecțiile sunt vide, termenii scăzuți sunt zero și rămâne regula sumei. Înainte de a aduna, întreabă-te dacă un obiect poate intra în două categorii deodată; la datele reale, de obicei poate.