Câte numere până la 100 se divid cu 2, 3 sau 5?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Includere și excludere

Sunt $74$ . Aplici principiul includerii și al excluderii pentru trei mulțimi: aduni multiplii fiecărui număr, scazi multiplii comuni luați câte doi și adaugi înapoi multiplii comuni tuturor. Multiplii lui $2$ , $3$ , $5$ sunt $50$ , $33$ , $20$ ; ai lui $6$ , $10$ , $15$ sunt $16$ , $10$ , $6$ ; ai lui $30$ sunt $3$ . Rezultă $103 - 32 + 3 = 74$ , iar $26$ de numere nu se divid cu niciunul.

Lista de conținuturi a programei de bacalaureat M2 pentru sesiunile $2027$ – $2029$ nu cuprinde acest principiu, deși limbajul pe care se sprijină — reuniune, intersecție, complementară — se învață încă din clasa a IX-a. Programa probei MAT_P2, aplicată din $2030$ , îl trece explicit la metode de numărare, în domeniul Algebră.

Regula. Pentru două mulțimi finite se scrie $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ : adunarea socotește de două ori elementele comune, așa că ele se dau jos o dată. Cu trei mulțimi aduni cele trei numere, scazi cele trei intersecții luate câte două și adaugi la urmă intersecția tuturor. Semnele merg plus, minus, plus, dintr-un motiv simplu: un element prezent peste tot ar fi numărat de trei ori și scăzut tot de trei ori, iar ultimul termen îl aduce înapoi.

Diagrama Venn se umple pornind din centru spre margini. Numărul anunțat pentru „ $A$ și $B$ " acoperă toată intersecția, iar regiunea „numai $A$ și $B$ " cere scăderea $n (A \cap B) - n (A \cap B \cap C)$ . Elementele fără nicio proprietate ies scăzând reuniunea din total.

Capcana. La multipli, intersecția se citește ca cel mai mic multiplu comun, nu ca produs: „divizibil cu $4$ sau cu $6$ " trimite la multiplii lui $12$ , nu ai lui $24$ . Iar o regiune negativă nu arată o greșeală de calcul, ci date contradictorii în enunț.

De reținut

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$
trei mulțimi: suma celor trei, minus cele trei intersecții de câte două, plus intersecția tuturor
elementele fără nicio proprietate: totalul minus reuniunea
la multipli, intersecția corespunde celui mai mic multiplu comun

Greșeala tipică

Se uită ultimul termen și se obține $103 - 32 = 71$ ; numerele $30$ , $60$ și $90$ intră în toate cele șapte sume și, fără ultimul termen, dispar din numărătoare; corect este $74$ .

Exerciții din această mini-lecție

Într-o grupă de $30$ de elevi, $17$ participă la un proiect de chimie, $14$ la unul de fizică, iar $6$ la amândouă. Câți elevi participă la cel puțin un proiect?
- a) $37$
- b) $31$
- c) $25$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $25$

$n (A \cup B) = 17 + 14 - 6 = 25$ . Varianta a) adună și intersecția, b) uită scăderea, iar d) răspunde la altă întrebare: $30 - 25 = 5$ sunt elevii care nu participă la niciunul.
Se știe că $n (A) = 15$ , $n (B) = 13$ , $n (C) = 11$ , $n (A \cap B) = 6$ , $n (A \cap C) = 5$ , $n (B \cap C) = 4$ și $n (A \cap B \cap C) = 2$ . Cât este $n (A \cup B \cup C)$ ?
- a) $26$
- b) $22$
- c) $24$
- d) $56$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $26$

$(15 + 13 + 11) - (6 + 5 + 4) + 2 = 39 - 15 + 2 = 26$ . Varianta b) scade ultimul termen în loc să-l adune, c) îl uită de tot, iar d) adună toate numerele din enunț.
Câte numere naturale din mulțimea ${1, 2, \dots, 200}$ sunt divizibile cu $4$ sau cu $6$ ?
- a) $83$
- b) $67$
- c) $75$
- d) $50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $67$

Multiplii lui $4$ sunt $50$ , ai lui $6$ sunt $33$ , iar cei comuni sunt multiplii lui $cmmmc (4, 6) = 12$ , adică $16$ . Rezultă $50 + 33 - 16 = 67$ . Varianta c) ia intersecția drept mulțimea multiplilor lui $24$ (produsul, nu cel mai mic multiplu comun), a) uită scăderea, iar d) numără doar multiplii lui $4$ .

Întrebări conexe

Câți pacienți au cel puțin una dintre două alergii?

Aduni cele două grupe și scazi o dată pacienții numărați în ambele: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ . Din $45$ de pacienți, $20$ sunt alergici la polen, $16$ la praf, iar $7$ la ambele: cel puțin o alergie au $29$ , iar fără alergie rămân $16$ .

Cum aflu intersecția a două mulțimi când cunosc reuniunea?

Rescrii formula: $n (A \cap B) = n (A) + n (B) - n (A \cup B)$ . Dacă toți cei $30$ de elevi ai unei clase au ales biologie sau chimie, iar $18$ au ales biologie și $20$ chimie, atunci $18 + 20 - 30 = 8$ elevi au ales ambele materii.

Câte elemente comune au sigur două mulțimi dintr-un total dat?

Reuniunea nu poate depăși totalul, deci $n (A \cap B) \geq n (A) + n (B) - n (U)$ . Dacă din $30$ de cititori $25$ au citit prima carte și $20$ a doua, cel puțin $25 + 20 - 30 = 15$ au citit-o pe amândouă. Când rezultatul e negativ, marginea de jos este $0$ .

Ce înseamnă o regiune negativă în diagrama Venn cu trei mulțimi?

Arată că datele problemei sunt contradictorii. Dacă enunțul spune $n (A \cap B) = 5$ , dar $n (A \cap B \cap C) = 7$ , regiunea „doar $A$ și $B$ ” ar avea $5 - 7 = - 2$ elemente, imposibil: intersecția tuturor e inclusă în $A \cap B$ , deci nu poate fi mai mare decât ea.

Cum calculez o probabilitate cu includerea și excluderea?

Numeri cazurile favorabile cu formula reuniunii, apoi împarți la cazurile posibile. Pentru un număr ales la întâmplare din ${1, 2, \dots, 60}$ , multiplii lui $4$ sunt $15$ , ai lui $6$ sunt $10$ , ai lui $12$ sunt $5$ . Divizibile cu $4$ sau cu $6$ sunt $20$ , iar probabilitatea este $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ .

Cum număr elementele care sunt doar în mulțimea $A$ ?

Din $n (A)$ scazi partea comună: $n (A ∖ B) = n (A) - n (A \cap B)$ . Dacă $40$ de probe de sol conțin fier, iar $12$ dintre ele conțin și cupru, atunci $40 - 12 = 28$ de probe conțin fier fără cupru. Aceeași scădere dă regiunile „numai” din diagrama Venn.

Oamenii mai întreabă și: numere divizibile cu 2 sau 3 sau 5 · câte numere sunt divizibile cu 2 sau cu 3 · includere și excludere cu multipli · numărul multiplilor comuni până la 100