Factorialul unui număr natural (M2, științe ale naturii)

Un microscop digital are pe măsuța lui nouă lame cu preparate și le poate fotografia în orice ordine. Câte ordini are de ales? Pentru prima lamă are nouă variante, pentru a doua opt, pentru a treia șapte și tot așa până la ultima, care rămâne singură: în total $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880$ de ordini. Dacă un program ar verifica fiecare ordine timp de o secundă, i-ar trebui $362880:86400=4,2$ zile, pentru doar nouă lame. Produsul acesta, care coboară din unu în unu până la $1$, are un nume și o notație proprie, iar lecția de față, de clasa a X-a, la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum se calculează, cum se simplifică și cum apare în ecuații. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, la capitolul „Metode de numărare”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține permutările, adică numărul ordonărilor unei mulțimi finite, iar calculul lor se face cu factoriale.

Ai terminat, cu principiul includerii și al excluderii, regulile prin care se numără reuniuni de mulțimi. De aici capitolul trece la formule. Prima dintre ele nu e încă o formulă de numărare, ci o unealtă de calcul: produsul numerelor de la $1$ la $n$, pe care regula produsului îl produce de fiecare dată când alegerile se împuținează cu câte una. Cine stăpânește acum unealta nu se mai împotmolește mai târziu în numere cu zece cifre.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă factorialul lui $n$ și cum citești o tabelă de factoriale până la $10!$.
• Vei ști să obții un factorial din cel dinaintea lui și invers, folosind recurența în ambele sensuri.
• Vei ști să explici convenția $0!=1$ printr-un șir de împărțiri care coboară până la zero.
• Vei ști să simplifici un raport de factoriale, numărând corect factorii care rămân, și să scoți factor comun dintr-o sumă sau o diferență de factoriale.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu factoriale căutând produse de numere consecutive și să argumentezi că soluția găsită este singura.
• Vei ști să estimezi cât de repede crește factorialul și să spui ce divizori are sigur $n!$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este factorialul unui număr natural?

Factorialul lui $n$, notat $n!$, este numărul obținut înmulțind între ele numerele naturale de la $1$ la $n$, pentru orice număr natural nenul $n$; se citește „$n$ factorial”:

$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n.$$

Pentru $n=0$ se adaugă convenția $0!=1$, pe care o explicăm în subsecțiunea a treia. Semnul exclamării stă după număr și se aplică doar numărului sau parantezei lipite de el: în $2\cdot 9!$ factorialul este al lui $9$, iar în $(2\cdot 9)!$ este al lui $18$.

Ordinea factorilor nu schimbă rezultatul. Forma cea mai folositoare în numărare este cea descrescătoare, $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$, fiindcă ea urmărește exact felul în care se împuținează variantele atunci când alegi pe rând, fără să revii asupra unei alegeri deja făcute. Iată valorile pe care le vei întâlni cel mai des:

Nu e nevoie să înveți rândul al doilea pe de rost dincolo de $6!$: restul se obține, cum vei vedea imediat, dintr-o singură înmulțire.

2. Cum obții un factorial din cel dinaintea lui?

Comparând două coloane vecine ale tabelei, observi că fiecare factorial este cel precedent înmulțit cu numărul nou. Motivul se vede direct din definiție: produsul de la $1$ la $n$ este produsul de la $1$ la $n-1$, la care se mai adaugă un factor. Obținem formula de recurență

$$n!=n\cdot (n-1)!,n\ge 1.$$

Ea se folosește în două direcții. Urcând, calculezi un factorial nou dintr-unul cunoscut: $8!=8\cdot 7!=8\cdot 5040=40320$. Coborând, desfaci un factorial mare până la unul mai mic, fără să-l calculezi: $10!=10\cdot 9!=10\cdot 9\cdot 8!$. Al doilea sens este cel care face posibile toate simplificările din lecție, pentru că îți permite să scrii un factorial mare ca pe un produs în care apare, ca factor, un factorial mai mic.

O definiție în care fiecare termen se obține din cel dinaintea lui ai întâlnit-o în clasa a IX-a, la metoda inducției matematice: acolo proprietățile unui asemenea șir se demonstrau tocmai urcând din pas în pas. Factorialul este unul dintre cele mai simple șiruri definite astfel.

3. De ce este $0!$ egal cu $1$?

Citește recurența de la dreapta la stânga: $(n-1)!=n!:n$. Ea spune că, pentru a coborî o treaptă, împarți factorialul la numărul lui. Pornim de la $4!=24$ și coborâm:

$$3!=24:4=6,2!=6:3=2,1!=2:2=1.$$

Ultima treaptă care se mai poate face este împărțirea la $1$, care nu schimbă nimic: $0!=1!:1=1$. Aceasta este singura valoare care lasă regula de coborâre valabilă până la capăt. Treapta următoare ar cere împărțirea la $0$, care nu are sens, și de aceea șirul se oprește aici: factorialul nu este definit pentru numere negative.

Convenția are și un sens concret, pe care îl vei folosi în lecția următoare. Dacă nu ai niciun obiect de așezat, există exact o singură situație posibilă, rândul gol. Numărul „moduri de a nu face nimic” este $1$, nu $0$, iar $0!$ îl numără corect.

4. Cum simplifici un raport de factoriale?

Un raport de două factoriale nu se calculează niciodată calculând separat numărătorul și numitorul. Desfaci factorialul mai mare, cu recurența, până ajungi la cel mai mic, apoi simplifici. Pentru numere naturale $k<n$ rămâne

$$\frac{n!}{k!}=(k+1)\cdot (k+2)\cdot \dots \cdot n,$$

adică un produs de numere consecutive, cu exact $n-k$ factori, dintre care cel mai mare este $n$. Drumul complet, pe un caz concret:

$$\frac{15!}{13!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13!}{13!}=15\cdot 14=210.$$

Numărul de factori rămași se verifică înainte de orice înmulțire: $15-13=2$, deci doi factori. Nimeni nu a calculat $15!$, un număr cu treisprezece cifre, și nici nu era nevoie. Același drum merge și când în locul cifrelor stă o literă: indicii se scad, iar diferența lor spune câți factori consecutivi rămân, pornind de la cel mai mare în jos.

5. Ce faci cu o sumă sau o diferență de factoriale?

La adunare și la scădere nu se simplifică nimic, dar se poate scoate factor comun. Cel mai mic factorial dintr-o sumă se regăsește în toți ceilalți, pentru că fiecare factorial mai mare se desface până la el. De exemplu,

$$9!-8!=9\cdot 8!-8!=8!\cdot (9-1)=8\cdot 8!=322560.$$

Iar când factorialele nu sunt vecine, desfaci pe cel mare cu mai mulți pași:

$$6!+4!=6\cdot 5\cdot 4!+4!=4!\cdot (30+1)=24\cdot 31=744.$$

Observă că în paranteză rămâne numărul de care e înmulțit factorialul mic în fiecare termen: la $6!$ acesta este $6\cdot 5=30$, iar la $4!$ este $1$. Semnul exclamării nu se împarte între termeni: $6!+4!$ are trei cifre, pe când $10!$ are șapte, deci $6!+4!\ne 10!$. Factorul comun este unealta care transformă sumele de factoriale în produse, iar un produs se poate compara, simplifica și verifica la divizibilitate.

6. Cum rezolvi o ecuație cu factoriale?

Necunoscuta stă sub semnul exclamării, deci poate lua numai valori pentru care toate factorialele au sens. Rețeta are patru pași: scrii condițiile (fiecare argument al unui factorial este număr natural); scrii fiecare factorial ca multiplu al celui mai mic factorial din ecuație; împarți ambii membri la acesta, fiindcă e nenul; rezolvi ecuația rămasă și păstrezi numai soluțiile naturale care respectă condițiile.

Uneori rămâne o ecuație de gradul întâi. Din $(n+1)!=13\cdot n!$, scriind $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ și simplificând cu $n!$, obții $n+1=13$, deci $n=12$.

Alteori rămâne un produs de numere consecutive. Pentru $\frac{(n+2)!}{n!}=306$, raportul devine $(n+1)(n+2)$, iar ecuația cere două numere naturale consecutive care, înmulțite, dau $306$. Le găsești încercând în jurul rădăcinii pătrate a lui $306$, care e puțin peste $17$: $17\cdot 18=306$, deci $n+1=17$ și $n=16$. Nu există o a doua soluție, pentru că produsul $(n+1)(n+2)$ crește strict când $n$ crește: orice $n$ mai mic dă un produs mai mic decât $306$, iar orice $n$ mai mare dă unul mai mare. Aceeași ecuație se poate rezolva și cu formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea; drumul prin numere consecutive e mai scurt și dă direct soluția naturală.

7. Cât de repede crește factorialul?

La fiecare treaptă, factorialul primește un factor mai mare decât cel de la treapta anterioară: $11!$ este de unsprezece ori $10!$, iar $12!$ de douăsprezece ori $11!$. De aceea ordinul lui de mărime explodează. Întoarce-te la microscopul din deschidere și socotește în secunde, cu un an de $365$ de zile, adică $31536000$ de secunde. Pentru unsprezece lame, $11!=39916800$ de secunde înseamnă

$$39916800:31536000\approx 1,27\text{ ani},$$

iar pentru paisprezece lame, $14!=87178291200$ de secunde înseamnă

$$87178291200:31536000\approx 2764,4\text{ ani}.$$

Trei lame în plus au transformat un an și ceva în aproape trei milenii. Concluzia practică pentru orice problemă cu ordini este că le numeri, nu le înșiri. Iar într-un calcul cu factoriale mari se cere aproape mereu un raport sau o diferență, nu numărul întreg.

8. Ce divizori are sigur $n!$?

Pentru că $n!$ este un produs care conține toate numerele de la $1$ la $n$, el se divide cu fiecare dintre ele și cu produsul oricâtor factori distincți din listă. De exemplu, $8!=40320$ se divide cu $7$, cu $8$ și cu $7\cdot 8=56$: într-adevăr, $8!=40320=56\cdot 720$. Atenție la cuvântul „distincți”: faptul că $8!$ conține un singur factor egal cu $7$ nu spune nimic despre divizibilitatea cu $49$, iar $8!$ chiar nu se divide cu $49$.

O consecință ușor de văzut privește ultima cifră. Începând cu $5!$, produsul conține factorii $2$ și $5$, deci se divide cu $10$ și se termină cu cifra $0$. Asta îți permite să afli ultima cifră a unei sume de factoriale fără să calculezi termenii mari. Criteriile pe care se sprijină raționamentul sunt cele de la criteriile de divizibilitate din gimnaziu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recurența în ambele sensuri

Știind că $12!=479001600$, calculați $11!$ și $13!$ fără a reface produsul.

Rezolvare. Coborâm o treaptă împărțind la $12$ și urcăm una înmulțind cu $13$:

$$11!=479001600:12=39916800,13!=13\cdot 479001600=6227020800.$$

Două operații au înlocuit două produse lungi. Un control rapid de plauzibilitate: ambele rezultate se termină în $00$, cum trebuie pentru orice factorial de la $10!$ încolo, care conține factorii $2$, $5$ și $10$.

Exemplul 2 — Rapoarte, cu număr și cu literă

Calculați: a) $\frac{21!}{19!}$; b) $\frac{(n+4)!}{(n+1)!}$, pentru $n\in \mathbb{N}$.

Rezolvare. a) Indicii diferă cu $2$, deci rămân doi factori, pornind de la $21$ în jos:

$$\frac{21!}{19!}=\frac{21\cdot 20\cdot 19!}{19!}=21\cdot 20=420.$$

b) Indicii diferă cu $(n+4)-(n+1)=3$, deci rămân trei factori consecutivi, cel mai mare fiind $n+4$:

$$\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)(n+4).$$

Proba pe un caz mic se face înlocuind $n=1$: membrul stâng devine $\frac{5!}{2!}=60$, iar cel drept $3\cdot 4\cdot 5=60$.

Exemplul 3 — Factorul comun

a) Calculați $\frac{8!+7!}{6!}$. b) Arătați că numărul $10!-9!$ se divide cu $81$.

Rezolvare. a) Scoatem factor comun cel mai mic factorial din numărător, apoi simplificăm:

$$\frac{8!+7!}{6!}=\frac{7!\cdot (8+1)}{6!}=7\cdot 9=63.$$

b) Diferența se scrie ca produs: $10!-9!=9!\cdot (10-1)=9\cdot 9!$. Dar $9!$ conține el însuși factorul $9$, deci $9\cdot 9!=9\cdot 9\cdot 8!=81\cdot 8!$, care se divide cu $81$. Fără factorul comun, ar fi trebuit să scădem două numere de șase și șapte cifre și să împărțim rezultatul la $81$.

Exemplul 4 — Trei numere consecutive

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $\frac{n!}{(n-3)!}=132600$.

Rezolvare. Factorialul $(n-3)!$ are sens numai pentru $n\ge 3$. Indicii diferă cu $3$, deci după simplificare rămân trei factori consecutivi, iar cel mai mare dintre ei este chiar $n$:

$$n(n-1)(n-2)=132600.$$

Produsul a trei numere consecutive este puțin mai mic decât cubul celui din mijloc. Cum $50^3=125000$ și $52^3=140608$, numărul din mijloc este în jur de $51$, iar încercarea $50\cdot 51\cdot 52=132600$ se potrivește. Factorul cel mai mare este $n$, deci $n=52$, nu $50$. Produsul $n(n-1)(n-2)$ crește strict pentru $n\ge 3$, așa că altă soluție naturală nu există. Soluția ecuației este $n=52$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev afirmă: „Ecuația $n!=(n-1)!$ nu are soluții naturale, pentru că $n!=n\cdot (n-1)!$ este întotdeauna mai mare decât $(n-1)!$”. Găsiți greșeala și rezolvați corect ecuația.

Rezolvare. Greșeala stă în cuvântul „întotdeauna”. Produsul $n\cdot (n-1)!$ este mai mare decât $(n-1)!$ numai când factorul din față depășește $1$, adică pentru $n\ge 2$. Pentru $n=1$ cele două numere sunt egale. Elevul a verificat regula pe cazurile obișnuite și a sărit tocmai marginea, acolo unde lucrează convenția $0!=1$.

Corect: factorialul $(n-1)!$ cere $n\ge 1$. Simplificăm cu $(n-1)!\ne 0$ și rămâne $n=1$. Verificarea: $1!=1$ și $0!=1$, deci egalitatea are loc. Soluția ecuației este $n=1$, iar ea există numai datorită convenției din subsecțiunea a treia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $\frac{64!}{62!}+64=64^2$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $\frac{n!}{(n-2)!}+n=4761$. c) Determinați ultima cifră a numărului $1!+2!+3!+\dots +10!$.

Rezolvare. a) Raportul are doi factori, $\frac{64!}{62!}=64\cdot 63$. Scoatem factor comun $64$:

$$\frac{64!}{62!}+64=64\cdot 63+64=64\cdot (63+1)=64\cdot 64=64^2.$$

Produsul $64\cdot 63$ nici nu a trebuit calculat: factorul comun a făcut toată treaba.

b) Același drum, pe literă: $\frac{n!}{(n-2)!}+n=n(n-1)+n=n\cdot (n-1+1)=n^2$. Ecuația devine $n^2=4761=69^2$, iar singura soluție naturală, care respectă și condiția $n\ge 2$, este $n=69$. Verificarea: $69\cdot 68+69=4692+69=4761$.

c) Termenii de la $5!$ la $10!$ se termină toți cu $0$, deci nu schimbă ultima cifră a sumei. Rămâne $1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33$, iar ultima cifră a numărului dat este $3$.

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I al probei M_șt-nat. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor, nu un calcul cu factoriale, așa că exemplul antrenează tema din programă, fără să prezică subiectul. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de orice înmulțire, numără factorii care rămân după simplificare. La ecuații, scrie condițiile, apoi caută produsul de numere consecutive și spune de ce soluția este unică.

1. Calculează: a) $5!-3!$; b) $2\cdot 3!+4!$; c) $0!+2!$.

2. Completează: $9!=9\cdot \dots$ și $9!=72\cdot \dots$, folosind de fiecare dată un singur factorial.

3. Calculează $\frac{17!}{15!}$ și $\frac{13!}{10!}$.

4. Simplifică, pentru $n\in \mathbb{N}$: a) $\frac{(n+6)!}{(n+4)!}$; b) $\frac{n!}{(n-1)!}$, cu $n\ge 1$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$(2n)!=2\cdot n!$, pentru orice număr natural $n\ge 1$.”

6. Calculează $\frac{8!-3\cdot 7!}{6!}$ scoțând întâi factor comun.

7. Scrie numărul $12!+11!$ ca produs dintre un număr natural mai mic decât $20$ și un factorial.

8. Rezolvă în $\mathbb{N}$, pentru $n\ge 1$, ecuația $\frac{(n+1)!}{n!}+\frac{n!}{(n-1)!}=27$.

9. Rezolvă în $\mathbb{N}$, pentru $n\ge 1$, ecuația $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=504$.

10. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $n!+(n+1)!=9\cdot n!$.

11. (Problemă aplicată.) Un distribuitor automat trebuie să distribuie opt reactivi diferiți în opt godeuri, câte unul în fiecare, iar programul lui poate simula $100$ de ordini pe minut. Câte ordini posibile există și câte ore i-ar trebui ca să le simuleze pe toate?

12. Arată că $9!$ se divide cu $2016$, fără să calculezi $9!$. (Indicație: descompune $2016$ într-un produs de factori distincți mai mici sau egali cu $9$.)

13. Determină cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n!<5000$.

14. Arată că $\frac{n!+(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{n}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $3!\cdot 5!=6!$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 1$, pentru care $n\cdot (n-1)!=40320$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(2!{)}^3+0!=3^2$.

18. (Provocare.) Arată că numerele $6!+2$, $6!+3$, $6!+4$, $6!+5$ și $6!+6$ sunt toate compuse, fără să le calculezi. Ce poți spune, în același fel, despre numerele $n!+2$, …, $n!+n$?

Răspunsuri și explicații

1. a) $5!-3!=120-6=114$. b) $2\cdot 3!+4!=12+24=36$. c) $0!+2!=1+2=3$; convenția $0!=1$ contează aici.

2. $9!=9\cdot 8!$ (o treaptă de recurență) și $9!=9\cdot 8\cdot 7!=72\cdot 7!$ (două trepte).

3. $\frac{17!}{15!}=17\cdot 16=272$, cu doi factori. $\frac{13!}{10!}=13\cdot 12\cdot 11=1716$, cu trei factori, pentru că $13-10=3$.

4. a) Indicii diferă cu $2$, deci $\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+5)(n+6)$. b) Indicii diferă cu $1$, deci rămâne un singur factor: $\frac{n!}{(n-1)!}=n$.

5. Fals. Pentru $n=1$ egalitatea are loc întâmplător, $2!=2=2\cdot 1!$, dar pentru $n=2$ membrul stâng este $4!=24$, iar cel drept $2\cdot 2!=4$. Un singur contraexemplu ajunge ca să infirme o afirmație „pentru orice $n$”. Factorialul lui $2n$ înmulțește $2n$ numere, nu dublează rezultatul.

6. Cel mai mic factorial din numărător este $7!$, iar $8!=8\cdot 7!$. Atunci $8!-3\cdot 7!=7!\cdot (8-3)=5\cdot 7!$, deci $\frac{8!-3\cdot 7!}{6!}=\frac{5\cdot 7!}{6!}=5\cdot 7=35$.

7. $12!+11!=12\cdot 11!+11!=11!\cdot (12+1)=13\cdot 11!$.

8. Fiecare raport lasă un singur factor: $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1$ și $\frac{n!}{(n-1)!}=n$. Ecuația devine $(n+1)+n=27$, adică $2n=26$, deci $n=13$.

9. Indicii diferă cu $3$, deci raportul este $n(n+1)(n+2)$, un produs de trei numere consecutive în care $n$ este cel mai mic. Cum $504=7\cdot 8\cdot 9$, rezultă $n=7$; produsul crește strict, așa că soluția este unică.

10. Scoatem factor comun $n!$: $n!+(n+1)!=n!\cdot (1+n+1)=n!\cdot (n+2)$. Ecuația devine $n+2=9$, deci $n=7$. Verificare: $7!+8!=5040+40320=45360=9\cdot 5040$.

11. Numărul ordinilor este $8!=40320$. La $100$ de ordini pe minut, programul are nevoie de $40320:100=403,2$ minute, adică $403,2:60=6,72$ ore, cam o zi de lucru.

12. $2016=4\cdot 7\cdot 8\cdot 9$, iar $4$, $7$, $8$ și $9$ sunt factori distincți ai produsului $9!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot 9$. Deci $9!$ se divide cu produsul lor; câtul este $9!:2016=1\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 6=180$.

13. $6!=720<5000$, dar $7!=5040>5000$, și tot așa pentru orice $n\ge 7$, pentru că factorialul crește odată cu $n$. Cel mai mare număr cerut este $n=6$.

14. Numărătorul se scrie cu factor comun $(n-1)!$: $n!+(n-1)!=(n-1)!\cdot (n+1)$. Numitorul se desface până la același factorial: $(n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!$. După simplificarea cu $(n-1)!$ și cu $n+1$ rămâne $\frac{1}{n}$. Proba pentru $n=3$: $\frac{3!+2!}{4!}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$.

15. $3!\cdot 5!=6\cdot 5!$, iar $6\cdot 5!=6!$ după recurență. Numeric: $6\cdot 120=720$.

16. După recurență, $n\cdot (n-1)!=n!$, deci ecuația este $n!=40320$. Cum $8!=40320$ și factorialul crește strict pentru $n\ge 1$, soluția unică este $n=8$.

17. $(2!{)}^3=2^3=8$ și $0!=1$, deci suma este $9=3^2$.

18. Pentru $k$ între $2$ și $6$, numărul $6!$ se divide cu $k$, deci și $6!+k$ se divide cu $k$: $6!+k=k\cdot \left(\frac{6!}{k}+1\right)$, un produs de doi factori mai mari decât $1$. Așadar cele cinci numere sunt compuse. La fel, $n!+2$, …, $n!+n$ sunt $n-1$ numere consecutive compuse, oricât de mare ar fi $n$.

De reținut

• $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ pentru $n\ge 1$ și $0!=1$; recurența $n!=n\cdot (n-1)!$ se folosește urcând, ca să calculezi, și coborând, ca să desfaci.
• Coborârea prin împărțiri, $(n-1)!=n!:n$, ajunge la $0!=1$ și se oprește acolo: factorialul nu există pentru numere negative.
• Un raport $\frac{n!}{k!}$, cu $k<n$, este produsul numerelor consecutive de la $k+1$ la $n$: exact $n-k$ factori.
• O sumă sau o diferență de factoriale nu se simplifică, dar se transformă în produs scoțând factor comun cel mai mic factorial.
• La o ecuație, după simplificare rămâne de obicei un produs de numere consecutive; soluția este unică pentru că produsul crește strict, iar valorile nenaturale se resping.

Greșeli frecvente

• Un factor în plus sau în minus la un raport. La $\frac{15!}{13!}$ rămân factorii $15$ și $14$, nu $15$, $14$ și $13$: factorialul de jos se simplifică întreg, cu tot cu $13$. Numără întâi diferența indicilor și abia apoi scrie factorii.
• Factorul comun scos greșit. La $9!-8!$ paranteza este $9-1$, nu $9-8$: din $8!$ scos factor comun rămâne $1$, nu $8$. O probă cu numere mici te salvează: $3!-2!=4$, iar $2!\cdot (3-1)=4$.
• Confuzia dintre $n$ și $n+1$ la numerele consecutive. Din $(n+1)(n+2)=306=17\cdot 18$ unii scriu $n=17$. Numărul $17$ este $n+1$, deci $n=16$. Înainte de a scrie răspunsul, notează care factor este chiar $n$ și înlocuiește în ecuația inițială.
• Un pas de recurență sărit. Între $(n+1)!$ și $(n-1)!$ sunt doi factori, $n+1$ și $n$. Cine îl uită pe al doilea transformă o ecuație de gradul al doilea într-una de gradul întâi și obține o soluție falsă.
• Ultima cifră a unei sume, citită doar din termenii mari. În $1!+2!+\dots +10!$, termenii mari se termină cu $0$, dar primii patru nu. Ultima cifră vine din $1+2+6+24$, nu din $10!$.

Aplică acasă

1. Scara coborârii. Pornește de la $7!=5040$ și coboară, împărțind succesiv la $7$, $6$, $5$, …, $1$. Scrie fiecare treaptă pe câte un rând. La ultimul rând vei obține $0!$; explică unui membru al familiei de ce nu poți face încă o treaptă.

2. Calculatorul telefonului. Deschide calculatorul științific al telefonului și caută tasta $x!$. Calculează $10!$, $12!$, $15!$ și $20!$ și notează de la ce valoare calculatorul trece la scrierea cu puteri ale lui $10$. Numără cifrele fiecărui rezultat și compară cu estimarea din subsecțiunea a șaptea.

3. Plantele de la fereastră. Alege trei plante de acasă și scrie toate ordinile în care le poți uda; trebuie să obții $3!=6$. Adaugă apoi o a patra plantă și observă că fiecare ordine veche dă naștere la patru ordini noi, după locul în care intră planta nouă: iată recurența $4!=4\cdot 3!$ văzută cu ochiul liber.

Pentru părinți și profesori

Lecția pregătește calculul pe care se sprijină restul capitolului: permutările, aranjamentele și combinările se scriu toate cu factoriale, iar o formulă de numărare corectă se poate pierde într-un calcul greșit de simplificare. De aceea accentul nu cade pe definiție, pe care elevii o rețin repede, ci pe trei gesturi de calcul: desfacerea unui factorial mare până la unul mic, numărarea factorilor care rămân într-un raport și scoaterea factorului comun dintr-o sumă. La științe ale naturii, capitolul se predă, după nota programei, prin contexte practice; de aici ordinile de analiză din laborator, care dau factorialului un sens concret și un ordin de mărime.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie condițiile înainte de a rezolva o ecuație; dacă numără factorii înainte de a înmulți; dacă, după ce găsește două numere consecutive, spune de ce nu există altă soluție. Întrebări bune de control: „Câți factori rămân în $\frac{20!}{16!}$?”; „Ce rămâne în paranteză când scoți $5!$ factor comun din $7!+5!$?”; „De ce nu poți coborî de la $0!$ la o treaptă mai jos?”. Semn că a înțeles: la $\frac{100!}{96!}$ scrie direct patru factori, fără să atingă calculatorul. Lecția următoare din traseu, permutările: definiție și formulă, dă factorialului prima lui semnificație de numărare. Pentru evaluarea unității există testul de metode de numărare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: factorialul unui număr natural.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, capitolul „Metode de numărare”, unde programa numește permutările, aranjamentele și combinările, iar toate se calculează cu factoriale. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde, la „Metode de numărare”, permutările, definite ca numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu $n$ elemente. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare de la Subiectul I este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția despre factorial de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Noțiunea este aceeași, dar lecția de științe ale naturii o leagă de ordinile de analiză din laborator și de ordinul de mărime măsurat în timp. În plus, insistă pe scoaterea factorului comun din sume și pe ecuațiile rezolvate prin produse de numere consecutive, cu argumentul de unicitate. Varianta M1 lucrează mai mult cu identități generale între factoriale.

La ce subiect apare factorialul la bacalaureatul M2? Programa de examen din 2014 îl cuprinde prin permutări, la capitolul „Metode de numărare”. În modelul publicat pentru 2026, cerința de numărare se află la Subiectul I și este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor, nu un calcul cu factoriale. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema e în domeniul „Algebră”, dar un model de subiect pentru această probă nu a fost încă publicat.

Cum scot factor comun dintr-o sumă de factoriale? Alegi cel mai mic factorial din sumă și desfaci fiecare termen mai mare până la el, cu recurența. De exemplu, $7!+5!=7\cdot 6\cdot 5!+5!=5!\cdot 43$. În paranteză rămâne, pentru fiecare termen, numărul cu care este înmulțit factorialul mic. Rezultatul este un produs, pe care îl poți simplifica sau verifica la divizibilitate.

Cum știu că ecuația nu mai are și altă soluție? După simplificare, membrul cu necunoscuta este de obicei un produs de numere naturale consecutive, iar un asemenea produs crește strict când $n$ crește. O mărime strict crescătoare trece prin fiecare valoare cel mult o dată, deci soluția găsită prin încercare este singura. Scrie propoziția aceasta în rezolvare: fără ea ai găsit o soluție, dar n-ai arătat că altele nu există.

De ce se termină $n!$ cu cifra $0$ de la $5!$ încolo? Pentru că, începând cu $5!$, produsul conține printre factori atât pe $2$, cât și pe $5$, iar $2\cdot 5=10$. Un număr care se divide cu $10$ are ultima cifră $0$. De aceea, când cauți ultima cifră a unei sume de factoriale, te interesează doar termenii până la $4!$.

Există factorialul unui număr negativ sau al unei fracții? În programa de liceu, nu. Factorialul este definit numai pentru numere naturale: $n!$ pentru $n\ge 1$ și convenția $0!=1$. Coborârea prin împărțiri se oprește la $0!$, pentru că pasul următor ar cere împărțirea la zero. Așadar, într-o ecuație cu factoriale, necunoscuta poate lua doar valori pentru care toate argumentele sunt naturale.