Probabilitatea reuniunii a două evenimente (M2, științe ale naturii)

La un screening organizat de un centru medical au fost testați $300$ de pacienți: $96$ au hipertensiune arterială, $60$ au diabet, iar $24$ au amândouă afecțiunile. Toți cei care au măcar una dintre ele primesc o programare la control, iar medicul coordonator se întreabă ce șanse are un pacient luat la întâmplare din lot să fie chemat. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde operațiile cu probabilități sunt cerute explicit. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: printre conținuturile clasei a X-a sunt numite operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile.

Ai învățat deja să scazi din $1$ probabilitatea unui eveniment ca să o afli pe a evenimentului contrar. Acum treci la evenimente compuse din două evenimente care se pot suprapune: pacientul poate avea una dintre afecțiuni, pe cealaltă sau pe amândouă.

Ce vei învăța

• Vei ști să obții formula $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ din numărarea elementelor unei reuniuni și să o aplici pe date reale.
• Vei ști să folosești formula și atunci când probabilitățile vin din procente măsurate, fără să cunoști numărul total al cazurilor.
• Vei ști să împarți $\Omega$ în cele patru regiuni ale diagramei Venn și să dai fiecărei regiuni probabilitatea ei.
• Vei ști să calculezi probabilitatea ca exact unul dintre două evenimente să aibă loc.
• Vei ști să afli oricare dintre cele patru mărimi ale formulei când le cunoști pe celelalte trei.
• Vei ști să recunoști un raport de laborator ale cărui procente nu pot fi adevărate simultan.

Hai să descoperim împreună

1. De la numărarea elementelor la probabilitatea reuniunii

Probabilitatea reuniunii a două evenimente $A$ și $B$ este probabilitatea evenimentului $A\cup B$, care are loc atunci când are loc cel puțin unul dintre ele. Limbajul („sau”, „cel puțin unul”) și desenul pe diagrama Venn le ai din lecția despre evenimente disjuncte și diagrame Venn. Tot acolo ai văzut că numărul rezultatelor reuniunii se obține cu formula dedusă la principiul includerii și al excluderii:

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

Pasul nou este unul singur: dacă cele $n=\mathrm{card}(\Omega )$ rezultate sunt egal posibile, împarți fiecare termen la $n$. Fiecare raport devine, după definiția clasică, o probabilitate, și obții regula lecției:

Probabilitatea reuniunii. Pentru oricare două evenimente $A$ și $B$ ale aceluiași experiment, $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Pe lotul din deschidere, $A$ = „pacientul are hipertensiune” și $B$ = „pacientul are diabet”. Cele trei probabilități cunoscute sunt $\frac{96}{300}$, $\frac{60}{300}$ și $\frac{24}{300}$, deci

$$P(A\cup B)=\frac{96}{300}+\frac{60}{300}-\frac{24}{300}=\frac{132}{300}=\frac{11}{25}.$$

Adunarea fără termenul scăzut ar fi dat $\frac{156}{300}$: cei $24$ de pacienți cu ambele afecțiuni ar fi fost socotiți o dată la hipertensiune și încă o dată la diabet. Rezultatul corect înseamnă că $132$ de pacienți, adică $44\%$ din lot, primesc programarea. Un control rapid: reuniunea nu poate fi mai puțin probabilă decât fiecare dintre evenimente, fiindcă le cuprinde pe amândouă, și nici mai probabilă decât suma lor. Aici $\frac{11}{25}=0,44$ stă între $\frac{96}{300}=0,32$ și $\frac{156}{300}=0,52$, cum trebuie.

Când $A$ și $B$ nu pot avea loc împreună, intersecția lor e mulțimea vidă, termenul scăzut este $0$ și formula se reduce la o adunare. Cazul acesta, al evenimentelor disjuncte, l-ai lucrat deja; aici el apare doar ca un caz particular al regulii generale.

2. Funcționează formula și pentru procente măsurate?

Un laborator de control al laptelui primește probe de la mai multe ferme. Raportul lunar spune: $12\%$ dintre probe au depășit limita de celule somatice, $7\%$ conțin urme de antibiotic, iar $3\%$ au amândouă problemele. Raportul nu spune câte probe au fost analizate. Poți afla totuși ce parte dintre probe au fost respinse pentru cel puțin un motiv?

Da. Dacă laboratorul a analizat $N$ probe, procentele înseamnă $0,12N$, $0,07N$ și $0,03N$ de probe. Împărțind la $N$ ca în subsecțiunea precedentă, $N$ dispare și rămâne

$$P(A\cup B)=0,12+0,07-0,03=0,16.$$

Deci $16\%$ dintre probe au fost respinse. O frecvență relativă este tot un raport „cazuri favorabile supra total”, așa că formula se aplică la fel de bine probabilităților estimate din măsurători. O singură condiție trebuie păstrată: cele trei procente trebuie să se refere la același set de probe. Un procent calculat pe probele unei luni și altul pe probele altei luni nu se combină.

Condiția aceasta are un motiv concret. Dacă în martie laboratorul a primit $500$ de probe și în aprilie $800$, „$12\%$ în martie” și „$7\%$ în aprilie” numără probe din mulțimi diferite, iar intersecția lor nu are niciun înțeles: nicio probă nu aparține ambelor luni. Formula presupune un singur experiment, cu un singur $\Omega$, pe care sunt definite toate cele trei evenimente.

3. Patru regiuni, patru probabilități

Două evenimente împart mulțimea $\Omega$ în patru regiuni disjuncte: numai $A$, numai $B$, amândouă, niciunul. Fiecare rezultat stă într-o singură regiune, deci probabilitățile celor patru regiuni au suma $1$. Le afli pornind întotdeauna din mijloc, de la intersecție.

La inspecția tehnică periodică a autoturismelor dintr-un județ, $35\%$ dintre mașini au avut defecte la frâne, $22\%$ la sistemul de iluminare, iar $9\%$ la amândouă. Pentru o mașină aleasă la întâmplare:

• numai frâne: $0,35-0,09=0,26$;
• numai iluminare: $0,22-0,09=0,13$;
• amândouă: $0,09$;
• niciun defect dintre cele două: $1-(0,26+0,09+0,13)=0,52$.

Regiunea din afara cercurilor este evenimentul „nici $A$, nici $B$”, adică contrarul reuniunii. Probabilitatea ei se obține scăzând din $1$ probabilitatea reuniunii, exact regula lecției precedente: $1-0,48=0,52$. Controlul figurii e suma regiunilor: $26\%+9\%+13\%+52\%=100\%$.

Ordinea de lucru contează. Dacă ai începe cu regiunile exterioare, ai fi tentat să scrii „$35\%$ numai frâne”, uitând că printre cele $35\%$ sunt și mașinile cu ambele defecte. Pornind de la zona comună, fiecare număr scris pe desen este sigur al unei singure regiuni. Aceeași ordine funcționează și când datele sunt numere de cazuri: completezi întâi intersecția, apoi cele două regiuni proprii, apoi exteriorul, iar la sfârșit împarți fiecare număr la total.

4. Ce probabilitate are evenimentul „exact unul”?

Uneori cerința nu este „cel puțin unul”, ci „exact unul”: la inspecție, mașina a picat la un singur sistem. Evenimentul acesta ocupă cele două regiuni proprii ale diagramei, fără zona comună. Adunându-le,

$$P(\text{exact unul})=(P(A)-P(A\cap B))+(P(B)-P(A\cap B))=P(A)+P(B)-2P(A\cap B).$$

De data aceasta intersecția se scade de două ori: o dată ca să nu fie numărată dublu, încă o dată ca să iasă cu totul. Pentru mașinile din subsecțiunea precedentă, $0,35+0,22-2\cdot 0,09=0,39$, adică tocmai $26\%+13\%$ de pe figură.

Diferența dintre „cel puțin unul” și „exact unul” contează în practică: o mașină cu ambele defecte e respinsă la „cel puțin unul”, dar nu intră la „exact unul”. Citește de două ori enunțul înainte să alegi formula.

5. Formula ca ecuație cu o necunoscută

Formula leagă patru numere: $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$. Oricare trei dintre ele îl determină pe al patrulea, iar calculul este o ecuație de gradul întâi. De exemplu, dacă $P(A)=0,5$, $P(A\cup B)=0,7$ și $P(A\cap B)=0,2$, necunoscuta este $P(B)$:

$$0,7=0,5+P(B)-0,2⟹P(B)=0,4.$$

Aceeași ecuație se poate scrie și când datele sunt legate între ele printr-o relație, de pildă „$A$ este de două ori mai probabil decât $B$”: notezi $P(B)=p$, înlocuiești $P(A)=2p$ și rezolvi. La final verifici că fiecare probabilitate obținută este între $0$ și $1$ și că intersecția nu întrece niciunul dintre cele două evenimente.

Uneori una dintre mărimi vine sub altă formă. Dacă enunțul dă probabilitatea contrarului, $P(\overline{A})$, sau probabilitatea regiunii „niciunul”, treci întâi prin scăderea din $1$, apoi folosești formula.

6. Cum recunoști un raport cu date imposibile?

Un stagiar a scris într-un raport: „$80\%$ dintre plantele serei au primit tratamentul $T_1$, $45\%$ tratamentul $T_2$ și doar $20\%$ pe amândouă”. Aplicând formula,

$$P(T_1\cup T_2)=0,8+0,45-0,2=1,05,$$

o probabilitate mai mare decât $1$. Raportul nu poate fi corect. Din $P(A\cup B)\le 1$ rezultă o margine de jos pentru intersecție:

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ge P(A)+P(B)-1.$$

Aici intersecția ar trebui să fie cel puțin $0,8+0,45-1=0,25$, adică $25\%$ dintre plante. Există și o margine de sus: intersecția e o parte din fiecare eveniment, deci nu poate depăși $\min (P(A),P(B))$, aici $0,45$. Orice valoare raportată în afara intervalului $[0,25;0,45]$ arată o greșeală de transcriere sau două procente calculate pe loturi diferite. O consecință utilă: două evenimente ale căror probabilități au suma mai mare decât $1$ au sigur rezultate comune, deci nu sunt disjuncte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Model din oftalmologie: miopie și astigmatism

Un cabinet de oftalmologie a consultat într-o lună $250$ de pacienți: $110$ au miopie, $60$ au astigmatism, iar $35$ au ambele probleme de vedere. Se alege la întâmplare un pacient. a) Calculați probabilitatea ca pacientul să aibă miopie, astigmatism sau pe amândouă. b) Calculați probabilitatea ca pacientul să aibă astigmatism, dar nu miopie.

Rezolvare. a) Fie $M$ = „miopie” și $S$ = „astigmatism”. Cele $250$ de fișe sunt egal posibile.

$$P(M\cup S)=\frac{110}{250}+\frac{60}{250}-\frac{35}{250}=\frac{135}{250}=\frac{27}{50}.$$

b) Regiunea „numai astigmatism” are $60-35=25$ de pacienți, deci probabilitatea este $\frac{25}{250}=\frac{1}{10}$.

Interpretare: $54\%$ dintre pacienții lunii au avut măcar una dintre cele două probleme, iar unul din zece a avut doar astigmatism.

Exemplul 2 — Disjuncte, incluse sau suprapuse? Cele 13 vitamine

Organismul uman folosește $13$ vitamine: A, C, D, E, K și cele opt vitamine din complexul B. Vitaminele A, D, E, K sunt liposolubile, iar vitamina C și cele din complexul B sunt hidrosolubile. Se alege la întâmplare una dintre cele $13$ vitamine. Notăm $L$ = „vitamina e liposolubilă”, $B$ = „vitamina face parte din complexul B” și $H$ = „vitamina e hidrosolubilă”. Calculați $P(L\cup B)$ și $P(B\cup H)$.

Rezolvare. Înainte de orice calcul, stabilești cum stau evenimentele unul față de altul.

• $L$ și $B$ nu au nicio vitamină comună, deci $P(L\cap B)=0$ și $$P(L\cup B)=\frac{4}{13}+\frac{8}{13}=\frac{12}{13}.$$
• Orice vitamină din complexul B este hidrosolubilă, deci $B\subseteq H$ și $B\cap H=B$. Formula dă $$P(B\cup H)=\frac{8}{13}+\frac{9}{13}-\frac{8}{13}=\frac{9}{13},$$ adică exact $P(H)$: când un eveniment e cuprins în altul, reuniunea lor este evenimentul mai mare.

Formula este aceeași în ambele cazuri; se schimbă doar valoarea termenului scăzut. Observă și a treia pereche: $L$ și $H$ nu au nimic în comun și împreună cuprind toate cele $13$ vitamine, deci $P(L\cup H)=\frac{4}{13}+\frac{9}{13}=1$, iar $H$ este chiar contrarul lui $L$.

Exemplul 3 — Procente dintr-un raport de fabrică

La o fabrică de cărămizi, controlul de calitate raportează: $4\%$ dintre cărămizi au fisuri, $3\%$ au dimensiuni în afara toleranței, iar $1\%$ au ambele defecte. a) Calculați probabilitatea ca o cărămidă aleasă la întâmplare din producție să aibă cel puțin un defect. b) Estimați câte cărămizi fără niciunul dintre defecte se așteaptă într-un lot de $10000$.

Rezolvare. a) Procentele se referă la aceeași producție, deci formula se aplică direct:

$$P(F\cup D)=0,04+0,03-0,01=0,06=6\%.$$

b) Probabilitatea unei cărămizi fără defecte este $1-0,06=0,94$. Într-un lot de $10000$ se așteaptă aproximativ $0,94\cdot 10000=9400$ de cărămizi bune, adică vreo $600$ cu cel puțin un defect. Numărul exact dintr-un lot anume poate fi puțin diferit, pentru că procentele raportului sunt frecvențe observate.

Exemplul 4 — Citește regiunile: cererile de sprijin ale fermierilor

La agenția de plăți pentru agricultură, fermierii unei comune au depus într-un an cereri de sprijin financiar: $32\%$ dintre cereri au solicitat subvenția pentru culturi ecologice, $21\%$ subvenția pentru sisteme de irigații, iar $45\%$ au solicitat cel puțin una dintre cele două subvenții. Pentru o cerere aleasă la întâmplare, calculați probabilitatea ca: a) ambele subvenții să fi fost solicitate; b) exact una dintre subvenții să fi fost solicitată; c) niciuna dintre cele două să nu fi fost solicitată.

Rezolvare. a) Notăm $E$ = „cererea solicită subvenția pentru culturi ecologice” și $I$ = „cererea solicită subvenția pentru irigații”. Necunoscuta este intersecția:

$$P(E\cap I)=0,32+0,21-0,45=0,08.$$

b) Cu formula din subsecțiunea 4: $0,32+0,21-2\cdot 0,08=0,37$.

c) „Niciunul” este contrarul reuniunii: $1-0,45=0,55$.

Control: regiunile sunt $0,24$ (numai culturi ecologice), $0,08$ (ambele), $0,13$ (numai irigații) și $0,55$ (niciuna), cu suma $1$. Pentru bugetul agenției, zona comună contează: $8$ cereri din $100$ primesc ambele subvenții odată, deci suma plătită pentru ele se socotește de două ori.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: un raport imposibil

Într-un raport despre $120$ de parcele experimentale scrie: „$70\%$ dintre parcele au primit îngrășământ, $25\%$ au fost irigate prin picurare, iar $30\%$ au primit ambele tratamente”. Arătați că raportul conține o greșeală și găsiți între ce valori trebuia să fie procentul parcelelor cu ambele tratamente.

Rezolvare. De data aceasta reuniunea nu trece de $1$: formula ar da $0,7+0,25-0,3=0,65$. Rezultatul e totuși imposibil, pentru că reuniunea cuprinde ambele evenimente, deci nu poate fi mai mică decât $P(\text{ıˆngra˘șa˘maˆnt})=0,7$. Cauza se vede în parcele: $30\%$ din $120$ înseamnă $36$ de parcele cu ambele tratamente, dar irigate au fost doar $25\%$ din $120$, adică $30$ de parcele. Zona comună nu poate avea mai multe parcele decât un eveniment întreg.

Marginea de sus este $\min (0,7;0,25)=0,25$, iar marginea de jos, $0,7+0,25-1=-0,05$, e negativă, deci aici nu constrânge nimic: intersecția poate fi și $0$. Procentul corect al parcelelor cu ambele tratamente este între $0\%$ și $25\%$; valoarea de $30\%$ depășește marginea de sus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,48\}$. a) Determinați numărul elementelor mulțimii $A$ care sunt multipli de $6$. b) Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $A$, acesta să fie multiplu de $6$ sau multiplu de $8$.

Rezolvare. a) Multiplii lui $6$ din $A$ sunt $6\cdot 1,6\cdot 2,\dots ,6\cdot 8=48$, deci $8$ elemente.

b) Multiplii lui $8$ din $A$ sunt $8,16,24,32,40,48$, adică $6$ elemente. Un număr este multiplu și de $6$, și de $8$ exact când este multiplu de $24$, cel mai mic multiplu comun al lor: $24$ și $48$, adică $2$ elemente. Cele $48$ de elemente sunt egal posibile, deci

$$P=\frac{8}{48}+\frac{6}{48}-\frac{2}{48}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}.$$

Atenție la intersecție: ea nu este mulțimea multiplilor lui $6\cdot 8=48$, ci a multiplilor lui $24$. Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde se numără cazurile pe o mulțime de numere; aici cazurile favorabile se obțin prin reuniunea a două proprietăți. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. Pentru două evenimente se știe că $P(A)=\frac{2}{5}$, $P(B)=\frac{3}{8}$ și $P(A\cap B)=\frac{1}{10}$. Calculează $P(A\cup B)$.

2. Dintre cele $90$ de specii de pești semnalate într-o zonă a Deltei Dunării, $34$ sunt migratoare, $27$ sunt protejate prin lege, iar $11$ sunt și migratoare, și protejate. Se alege la întâmplare una dintre specii. Calculează probabilitatea ca ea să fie migratoare sau protejată.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,30\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $A$, acesta să fie număr impar sau să aibă suma cifrelor egală cu $6$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru oricare două evenimente $A$ și $B$, probabilitatea ca exact unul dintre ele să aibă loc este egală cu $P(A\cup B)-P(A\cap B)$.”

5. O secvență de ADN are $24$ de baze azotate: $7$ de adenină (A), $5$ de timină (T), $8$ de guanină (G) și $4$ de citozină (C). Se alege la întâmplare una dintre cele $24$ de baze. Știind că bazele pirimidinice sunt C și T, calculează probabilitatea ca baza aleasă să fie pirimidinică sau să fie una dintre bazele G și C.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O sucursală a unei bănci are $200$ de clienți persoane fizice: $24$ au un credit ipotecar, $18$ au un credit de nevoi personale, iar $6$ au ambele tipuri de credit. Determinați probabilitatea ca un client ales la întâmplare să aibă cel puțin unul dintre cele două credite și probabilitatea ca el să nu aibă niciunul.

7. Se știe că $P(A)=0,62$, $P(B)=0,35$ și $P(A\cup B)=0,81$. Calculează $P(A\cap B)$.

8. Un radar a măsurat viteza a $240$ de mașini pe o stradă: $36$ au circulat cu mai puțin de $30$ km/h, iar $54$ cu mai mult de $60$ km/h. Se alege la întâmplare una dintre măsurători. a) Calculează probabilitatea ca viteza să fie sub $30$ km/h sau peste $60$ km/h. b) Calculează probabilitatea ca viteza să fie între $30$ km/h și $60$ km/h, inclusiv.

9. Pe diagrama Venn a două evenimente, regiunea „numai $A$” are probabilitatea $0,09$, zona comună are $0,06$, iar regiunea din afara cercurilor are $0,81$. Calculează $P(B)$ și $P(A\cup B)$.

10. Se știe că $P(A\cup B)=0,62$, $P(\overline{A})=0,55$ și $P(\overline{B})=0,6$. Calculează $P(A\cap B)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea divizorilor naturali ai numărului $72$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element al acestei mulțimi, acesta să fie număr par sau pătrat perfect.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M=\{11,12,13,\dots ,40\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $M$, acesta să fie număr prim sau să aibă ultima cifră $7$.

13. Se știe că $P(A)=\frac{5}{12}$, $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ și $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$. Calculează $P(B)$.

14. Un laborator a analizat $150$ de probe de făină: $96$ nu au avut nicio abatere, $30$ au avut umiditate peste limită, iar $36$ au avut impurități peste limită. Câte probe au avut ambele abateri? Calculează probabilitatea ca o probă aleasă la întâmplare să le aibă pe amândouă.

15. Dintre cele $60$ de medicamente din farmacia unui spital, $32$ se păstrează la frigider, $25$ sunt fotosensibile, iar $9$ au ambele condiții de păstrare. Se alege la întâmplare un medicament. Calculează probabilitatea ca el să aibă o singură dintre cele două condiții de păstrare.

16. Evenimentul $A$ este de două ori mai probabil decât evenimentul $B$. Se știe că $P(A\cap B)=0,1$ și $P(A\cup B)=0,65$. Calculează $P(A)$ și $P(B)$.

17. (Problemă aplicată.) Un laborator de analize medicale a efectuat într-un an $5000$ de analize de sânge: la $4250$ nu a fost mărită nicio valoare dintre colesterol și acidul uric, la $520$ a fost mărit doar colesterolul, iar la $90$ doar acidul uric. La câte analize au fost mărite ambele valori? Cât este probabilitatea ca, la o analiză luată la întâmplare, măcar una dintre cele două valori să fi fost mărită?

18. (Provocare.) Pentru două evenimente, $P(A)=0,65$, $P(B)=0,45$, iar probabilitatea ca exact unul dintre ele să aibă loc este $0,5$. Calculează $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$.

Răspunsuri și explicații

1. Aducem la numitorul $40$: $P(A\cup B)=\frac{16}{40}+\frac{15}{40}-\frac{4}{40}=\frac{27}{40}$.

2. $P=\frac{34}{90}+\frac{27}{90}-\frac{11}{90}=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}$. Proba prin regiuni: $23$ numai migratoare, $11$ ambele, $16$ numai protejate, în total $50$ de specii.

3. Numere impare în $A$: $15$. Suma cifrelor $6$: $6$, $15$, $24$, adică $3$ numere. Ambele proprietăți le are doar $15$. $P=\frac{15}{30}+\frac{3}{30}-\frac{1}{30}=\frac{17}{30}$.

4. Adevărat. Reuniunea se împarte în două evenimente disjuncte: „exact unul” (cele două regiuni proprii) și „amândouă” (zona comună). Deci $P(A\cup B)=P(\text{exact unul})+P(A\cap B)$, iar egalitatea din enunț se obține scăzând $P(A\cap B)$. Pe mașinile din subsecțiunea 3: $0,48-0,09=0,39$.

5. Pirimidinice: C și T, $4+5=9$ baze. G sau C: $8+4=12$ baze. Ambele proprietăți le are doar citozina: $4$ baze. $P=\frac{9}{24}+\frac{12}{24}-\frac{4}{24}=\frac{17}{24}$.

6. $P=\frac{24}{200}+\frac{18}{200}-\frac{6}{200}=\frac{36}{200}=\frac{9}{50}$, adică $36$ de clienți cu cel puțin un credit. Niciun credit: $1-\frac{9}{50}=\frac{41}{50}$, adică $164$ de clienți.

7. $P(A\cap B)=0,62+0,35-0,81=0,16$.

8. a) O viteză nu poate fi în același timp sub $30$ km/h și peste $60$ km/h, deci evenimentele sunt disjuncte: $P=\frac{36}{240}+\frac{54}{240}=\frac{90}{240}=\frac{3}{8}$. b) Este contrarul evenimentului de la a): $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$, adică $150$ de mașini.

9. Cele patru regiuni au suma $1$, deci regiunea „numai $B$” are $1-0,09-0,06-0,81=0,04$. Atunci $P(B)=0,04+0,06=0,1$, iar $P(A\cup B)=1-0,81=0,19$. Verificare cu formula: $P(A)=0,09+0,06=0,15$ și $0,15+0,1-0,06=0,19$.

10. Din contrare: $P(A)=1-0,55=0,45$ și $P(B)=1-0,6=0,4$. Apoi $P(A\cap B)=0,45+0,4-0,62=0,23$.

11. Divizorii lui $72$ sunt $1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$, adică $12$. Pari: $9$ divizori (toți, în afară de $1$, $3$, $9$). Pătrate perfecte: $1,4,9,36$ ($4$). Pari și pătrate perfecte: $4$ și $36$ ($2$). $P=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}-\frac{2}{12}=\frac{11}{12}$.

12. $M$ are $30$ de elemente. Numerele prime din $M$: $11,13,17,19,23,29,31,37$ ($8$). Cu ultima cifră $7$: $17,27,37$ ($3$). Ambele proprietăți: $17$ și $37$ ($2$). $P=\frac{8}{30}+\frac{3}{30}-\frac{2}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$.

13. Din formulă, $P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=\frac{9}{12}-\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

14. Probele cu cel puțin o abatere: $150-96=54$. Din formula cardinalelor, ambele abateri: $30+36-54=12$ probe. $P=\frac{12}{150}=\frac{2}{25}$.

15. O singură condiție: $P=\frac{32}{60}+\frac{25}{60}-2\cdot \frac{9}{60}=\frac{39}{60}=\frac{13}{20}$. Proba: $23$ doar la frigider și $16$ doar fotosensibile, $39$ de medicamente.

16. Cu $P(B)=p$ și $P(A)=2p$: $0,65=2p+p-0,1$, deci $3p=0,75$ și $p=0,25$. Așadar $P(B)=0,25$ și $P(A)=0,5$; intersecția $0,1$ nu depășește niciuna dintre ele.

17. Cel puțin o valoare mărită: $5000-4250=750$ de analize. Cele patru regiuni au suma $5000$, deci ambele valori au fost mărite la $750-520-90=140$ de analize. $P=\frac{750}{5000}=\frac{3}{20}$, adică $15\%$.

18. Din $P(\text{exact unul})=P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$: $0,5=1,1-2P(A\cap B)$, deci $P(A\cap B)=0,3$. Apoi $P(A\cup B)=0,65+0,45-0,3=0,8$. Verificare: $0,3\le 0,45$ și $0,3\ge 0,65+0,45-1=0,1$, deci datele sunt compatibile.

De reținut

• Pentru oricare două evenimente, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; formula e numărarea din principiul includerii și al excluderii, împărțită la numărul cazurilor posibile.
• Formula se aplică și probabilităților estimate din frecvențe sau procente, cu condiția ca toate să se refere la același lot.
• Cele patru regiuni ale diagramei Venn (numai $A$, numai $B$, ambele, niciunul) au suma $1$; „niciunul” are probabilitatea $1-P(A\cup B)$.
• Probabilitatea ca exact unul dintre evenimente să aibă loc este $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$.
• Date compatibile înseamnă $P(A)+P(B)-1\le P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))$; o reuniune calculată peste $1$ arată o greșeală în date.

Greșeli frecvente

• Combini procente calculate pe loturi diferite. Un procent din probele lunii martie și unul din probele lunii aprilie nu intră în aceeași formulă: reuniunea are sens numai pe un singur $\Omega$.
• Scazi încă o dată intersecția dintr-o regiune „numai”. Dacă enunțul spune „$17$ plante au doar pete pe frunze”, numărul acesta e deja fără zona comună; din el nu se mai scade nimic.
• Confunzi „niciunul” cu „nu amândouă”. „Niciunul” este contrarul reuniunii, $1-P(A\cup B)$; „nu amândouă” este contrarul intersecției, $1-P(A\cap B)$, și cuprinde și cazurile cu un singur eveniment.
• Crezi că o zonă comună mai mare mărește reuniunea. Cu $P(A)=0,35$ și $P(B)=0,22$ fixe, ca la mașinile de la inspecție, fiecare punct procentual în plus în zona comună scade reuniunea cu un punct: la $9\%$ comun reuniunea e $48\%$, la $15\%$ ar fi doar $42\%$.
• Accepți o intersecție mai mare decât unul dintre evenimente. Dacă un calcul dă $P(A\cap B)=0,3$ când $P(B)=0,25$, oprește-te: datele sau calculul sunt greșite, oricât de corectă ar fi scrierea formulei.

Aplică acasă

1. Verificatorul de rapoarte. Într-o foaie de calcul, scrie în trei celule $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$, iar în a patra formula care dă intersecția. Adaugă o celulă care afișează mesajul „date incompatibile” când intersecția iese în afara marginilor din subsecțiunea 6. Încearcă verificatorul pe trei rapoarte: unul corect, unul cu intersecția prea mică și unul cu intersecția prea mare.
2. A patra mărime. Un coleg inventează un exemplu cu procente întregi și îți spune doar trei dintre numerele $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$. Afli al patrulea număr cu formula, ca în subsecțiunea 5, și verificați împreună că toate patru respectă marginile; apoi schimbați rolurile.
3. Un raport adevărat. Caută pe site-ul unei instituții (Institutul Național de Statistică, o direcție de sănătate publică) un raport care dă procente pentru două caracteristici ale aceleiași populații. Verifică dacă raportul dă și procentul celor care au ambele caracteristici; dacă nu, calculează între ce valori poate fi acesta, cu marginile din subsecțiunea 6.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o formulă de numărare, pe care elevii o cunosc din unitatea de numărare, într-o formulă de probabilități. Accentul cade pe trei lucruri specifice profilului: aplicarea formulei pe procente și frecvențe măsurate, citirea celor patru regiuni ca probabilități și controlul datelor dintr-un raport. Exemplele vin din medicină, agricultură, industrie și ecologie, pentru că la științele naturii datele sosesc mai des ca procente decât ca liste de cazuri.

Ce merită urmărit în caiet: elevul scrie în cuvinte ce înseamnă $A\cup B$ înainte de calcul; verifică dacă procentele se referă la același lot; calculează intersecția când lipsește și o încadrează între marginile ei; face proba sumei celor patru regiuni. Întrebări bune de control: „Se pot petrece amândouă deodată?”, „Toate procentele sunt din același lot?”, „Poate intersecția să fie atât de mare sau atât de mică?”. Semn de înțelegere: elevul observă singur un raport imposibil, fără să i se spună că e ceva în neregulă.

Lecția următoare, despre probabilitatea intersecției a două evenimente, arată cum se obține termenul scăzut când nu e dat în enunț. Legătura dintre „sau” din probabilități și disjuncția propozițiilor vine din clasa a IX-a, de la disjuncția propozițiilor legate prin „sau”. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probabilitatea reuniunii a două evenimente.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, la capitolul de probabilități al clasei a X-a, care numește explicit „probabilitatea reuniunii de evenimente” printre operațiile cu probabilități. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „operații cu evenimente” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”; de aceea exercițiile rezolvate prin numărarea cazurilor egal posibile sunt marcate „tip Bacalaureat M2”. Aceeași programă cere ca aplicațiile capitolului „Matematici financiare”, din care fac parte și probabilitățile, să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exemplul 4 și exercițiul 6 ale lecției au context financiar (subvențiile solicitate de fermieri, creditele clienților unei bănci), exercițiile 3, 11 și 12 sunt pe mulțimi de numere, iar celelalte exerciții au contexte din științe sau sunt calcule directe cu probabilități. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, pe numerele naturale de două cifre.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre reuniune de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formula este aceeași. La științe ale naturii, lecția o obține direct din principiul includerii și al excluderii, o aplică pe procente și frecvențe măsurate în laborator, în clinică sau pe teren și adaugă controlul unui raport ale cărui procente nu pot fi adevărate simultan. Exemplele nu folosesc zaruri sau cărți de joc, ci date din științe.

La ce subiect apare probabilitatea reuniunii la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de probabilitate stă la Subiectul I și se rezolvă numărând cazurile pe o mulțime de numere, iar exemplul 6 al lecției urmează această formă. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Pot aplica formula când am doar procente, fără numărul total? Da, cu o condiție: toate procentele trebuie calculate pe același lot. Atunci fiecare procent este un raport „cazuri favorabile supra total”, totalul se simplifică și formula rămâne valabilă. Dacă procentele vin din loturi diferite sau din perioade diferite, reuniunea nu se poate calcula fără alte informații.

Ce legătură are formula cu principiul includerii și al excluderii? Este aceeași formulă, împărțită la numărul cazurilor posibile. Principiul numără elementele reuniunii a două mulțimi finite, scăzând o dată elementele comune; când cazurile sunt egal posibile, fiecare număr devine o probabilitate după împărțire. De aceea toate verificările făcute la numărare, ca proba regiunilor, rămân valabile.

De ce apar în lecție mai des procente decât liste de cazuri? Pentru că în laborator, în clinică sau pe teren rezultatele se raportează de obicei ca frecvențe relative: procentul probelor contaminate, al pacienților cu o afecțiune, al mașinilor cu un defect. Listele de cazuri egal posibile apar mai ales la mulțimile de numere, ca în exemplul 6. Formula reuniunii se aplică la fel în ambele situații, cu condiția ca toate procentele să privească același lot.

Formula reuniunii funcționează și pentru trei evenimente? Pentru trei evenimente există o formulă mai lungă, cu trei intersecții de câte două evenimente și intersecția tuturor celor trei, obținută tot din principiul includerii și al excluderii. Programa de științe ale naturii cere însă operațiile cu probabilități doar pentru două evenimente, așa că lecția și exercițiile rămân la acest caz.