Ce înseamnă o rație geometrică negativă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresia geometrică și rația

Când rația $q$ a unei progresii geometrice este negativă, termenii își schimbă semnul la fiecare pas, iar modulul lor se înmulțește cu $∣ q ∣$ . Exemplu: $3, - 6, 12, - 24$ are $q = - 2$ , deci modulele se dublează. Progresia $16, - 8, 4, - 2$ are $q = - \frac{1}{2}$ , deci modulele se înjumătățesc. Un astfel de șir nu este monoton: sare mereu de o parte și de alta a lui zero.

O progresie geometrică este construită prin repetarea unei multiplicări. Factorul utilizat se numește rație și se notează uzual cu $q$ . În convenția noastră, nici valoarea inițială, nici factorul nu pot fi zero. Rezultă că toate valorile obținute sunt nenule, iar împărțirea unui termen la vecinul său anterior este permisă.

Pentru a recunoaște regula într-o listă, citește mai întâi indicii observațiilor. Calculează apoi rapoartele pentru toate trecerile consecutive. Când datele reprezintă mărimi măsurate, uniformizează unitățile înainte să împarți. Numerele aproximative necesită o convenție de precizie; ele nu confirmă singure egalitatea exactă a rapoartelor.

Semnul factorului arată dacă semnele valorilor se păstrează ori alternează. Modulul factorului arată cum se modifică modulele termenilor. Pentru deplasarea înainte multiplici, iar pentru recuperarea unui vecin anterior împarți. Un indice scris lângă fiecare rezultat previne confuzia de poziție.

Într-o aplicație precizează durata unei etape și ultima etapă urmărită. Câteva observații compatibile nu dovedesc singure o regulă pentru viitor. Modelele cu lungimi, mase sau concentrații pozitive cer factori pozitivi și o interpretare explicită.

De reținut

rația: $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ , cu termenii nenuli
$q < 0$ : semnele alternează; $∣ q ∣$ arată cum se schimbă modulele
$0 < q < 1$ : termenii pozitivi scad; $q > 1$ : termenii pozitivi cresc

Greșeala tipică

Se consideră că o progresie cu rația $- 2$ scade, pentru că rația este negativă; termenii alternează ca semn, iar modulele lor cresc.

Exerciții din această mini-lecție

Care este rația listei geometrice $21, 84, 336$ ?
- a) $2$
- b) $4$
- c) $63$
- d) $\frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Rapoartele sunt $84 : 21 = 4$ și $336 : 84 = 4$ . Același factor apare la ambele treceri.
Într-o progresie geometrică, $b_{1} = - 10$ și $q = - \frac{1}{2}$ . Cât este $b_{2}$ ?
- a) $- 5$
- b) $- 20$
- c) $20$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Înmulțim primul termen cu rația: $(- 10) \cdot (- \frac{1}{2}) = 5$ . Cele două semne negative se anulează.
Două mase consecutive ale unui model geometric sunt $30$ mg și $0, 09$ g. Care este rația?
- a) $3$
- b) $0, 003$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $60$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

A doua masă este $90$ mg. Raportul în unități comune este $90 : 30 = 3$ .

Întrebări conexe

Formează $2$ , $23$ și $6$ o progresie geometrică?

Calculezi rapoartele consecutive: $\frac{2 3}{2} = 3$ și $\frac{6}{2 3} = \frac{3}{3} = 3$ . Rapoartele sunt egale, deci numerele formează o progresie geometrică cu rația $3$ . Rația poate fi și un număr irațional.

Ce rație are o serie de diluări succesive de $1$ la $10$ ?

La fiecare diluare concentrația devine a zecea parte din cea anterioară: $0, 5$ mol/L, $0, 05$ mol/L, $0, 005$ mol/L. Șirul este o progresie geometrică cu rația $q = 0, 1$ , iar concentrațiile scad fără să ajungă la zero.

Poate o progresie geometrică să aibă un termen egal cu zero?

Nu, în convenția obișnuită. Primul termen și rația sunt nenule, iar un produs de numere nenule nu poate fi zero. De aceea raportul a doi termeni consecutivi are întotdeauna sens și nu apare împărțirea la zero.

Este șirul $5, 5, 5, \dots$ o progresie geometrică?

Da, cu rația $q = 1$ : fiecare termen este cel anterior înmulțit cu $1$ . Același șir este și o progresie aritmetică, cu rația $0$ . Un șir constant nenul este singurul tip de șir care este în același timp progresie aritmetică și progresie geometrică.

De ce rația geometrică se calculează în ordinea rangurilor?

Rația este raportul termenului următor la cel curent, $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ . Șirul $4, 12, 36$ are rația $3$ , iar citit invers, $36, 12, 4$ , are rația $\frac{1}{3}$ . Inversarea raportului schimbă rația în inversul ei.

Oamenii mai întreabă și: rația negativă la progresia geometrică · progresie geometrică cu semne alternante · ce se întâmplă când q este negativ · rația q mai mică decât zero