De ce dobânda simplă dă o progresie aritmetică?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Baza procentului și creșterea constantă

Pentru că fiecare an adaugă aceeași sumă, calculată mereu din capitalul inițial: $D = \frac{C \cdot p}{100}$ . Soldurile anuale cresc deci cu o diferență constantă, iar diferența constantă este chiar definiția progresiei aritmetice, cu rația $D$ . Pentru $3200$ lei cu $5%$ pe an, $D = 160$ lei, iar soldurile sunt $3360$ , $3520$ , $3680$ lei. Termenul general este $B_{n} = 3200 + 160 n$ .

Dobânda simplă folosește capitalul inițial drept bază de calcul la fiecare perioadă egală. Dacă suma inițială este $C$ , iar rata anuală este $p %$ , dobânda unui an este $D = C p /100$ . În modelul fără alte operații, după $n$ ani soldul este $B_{n} = C + n D$ .

Diferența dintre două solduri la ani consecutivi este aceeași dobândă anuală. De aceea valorile formează o progresie aritmetică. Nu confunda rata exprimată procentual cu rația exprimată în lei. Citește etichetele momentelor: dacă între două observații sunt mai mulți ani, diferența sumelor cuprinde mai multe dobânzi.

Dobânda totală este numai câștigul; soldul cuprinde și capitalul, o singură dată. Adunarea soldurilor anuale ale aceluiași capital nu reprezintă suma disponibilă la final. Sunt observații succesive, nu contribuții independente.

Pentru o durată în luni, transformă timpul în ani numai dacă enunțul precizează acordarea proporțională a dobânzii simple. Păstrează aceeași unitate de timp ca rata folosită.

Un cost alcătuit dintr-o taxă inițială $F$ și un tarif constant $t$ pentru fiecare dintre cele $k$ probe se scrie $K_{k} = F + k t$ . Taxa se plătește o singură dată pe serie. Verifică numărul permis de probe, sensul rezultatului și unitatea de măsură înainte de a formula răspunsul.

De reținut

dobânda simplă anuală: $D = \frac{C \cdot p}{100}$ , aceeași în fiecare an
soldul după $n$ ani: $B_{n} = C + n D$ , progresie aritmetică cu rația $D$
rația este în lei, rata este în procente

Greșeala tipică

Se calculează dobânda fiecărui an din soldul anului precedent; aceasta este dobânda compusă, iar la dobânda simplă baza rămâne mereu capitalul inițial.

Exerciții din această mini-lecție

Un capital de $2500$ lei are dobândă simplă de $6%$ pe an. Care este dobânda unui singur an?
- a) $2500$ lei
- b) $150$ lei
- c) $2650$ lei
- d) $6$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $150$ lei

Dobânda este $2500 \cdot 6/100 = 150$ lei. Soldul ar include în plus capitalul inițial.
O serie are o taxă inițială de $38$ lei și costă încă $6$ lei pentru fiecare probă. Cât costă șapte probe în aceeași serie?
- a) $42$ lei
- b) $266$ lei
- c) $80$ lei
- d) $44$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $80$ lei

Taxa apare o singură dată: $38 + 7 \cdot 6 = 80$ lei.
Pentru $6000$ lei, dobânda simplă este de $3%$ pe an și se acordă proporțional cu timpul. Care este soldul după $20$ de luni?
- a) $6180$ lei
- b) $6600$ lei
- c) $9600$ lei
- d) $6300$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6300$ lei

Dobânda anuală este $180$ lei. Pentru $20/12$ ani, câștigul este $180 \cdot 20/12 = 300$ lei, deci soldul este $6300$ lei.

Întrebări conexe

Care este rația progresiei într-o problemă cu dobândă simplă?

Rația este dobânda unui an, exprimată în lei, nu rata procentuală. Pentru $2500$ lei cu $4%$ , rata este $4%$ , dar rația este $2500 \cdot \frac{4}{100} = 100$ lei. Confuzia dintre cele două duce la solduri care cresc cu $4$ lei pe an.

Cum scriu costul unei serii de analize ca progresie aritmetică?

Dacă seria are o taxă de $45$ lei și fiecare probă costă $8$ lei, costul pentru $k$ probe este $K_{k} = 45 + 8 k$ . Pentru $1$ , $2$ , $3$ probe obții $53$ , $61$ , $69$ lei: o progresie aritmetică cu rația $8$ lei. Taxa intră o singură dată.

Cum arată pe grafic soldurile cu dobândă simplă?

Punctele $(n, B_{n})$ stau pe o dreaptă, pentru că $B_{n} = C + n D$ crește cu aceeași cantitate la fiecare an. Panta dreptei este dobânda anuală, iar punctul de la $n = 0$ este capitalul. Pentru $3200$ lei cu $5%$ , dreapta pornește de la $3200$ și urcă $160$ lei pe an.

Care este diferența dintre dobânda totală și soldul final?

Dobânda totală este doar câștigul, $n D$ , iar soldul adaugă capitalul: $C + n D$ . Pentru $3200$ lei cu $5%$ după $7$ ani, dobânda totală este $7 \cdot 160 = 1120$ lei, iar soldul este $4320$ lei. Capitalul se numără o singură dată.

După câți ani depășește soldul o sumă dată, la dobândă simplă?

Scrii inecuația $C + n D > S$ și iei cel mai mic $n$ natural. Pentru $3200$ lei cu $160$ lei pe an și pragul de $4000$ lei: $160 n > 800$ , deci $n > 5$ . La $n = 5$ soldul este exact $4000$ , așa că prima depășire are loc după $6$ ani.

Oamenii mai întreabă și: dobânda simplă și progresia aritmetică · soldurile cu dobândă simplă · de ce dobânda simplă crește liniar · progresie aritmetică la dobânzi