Rata creșterii și a descreșterii unei funcții (M2, științe ale naturii)

Două plante din același soi au fost măsurate în aceeași săptămână: prima a crescut de la $12$ la $18$ centimetri în trei zile, a doua de la $30$ la $38$ de centimetri în opt zile. Care a crescut mai repede? Cuvântul „mai repede" nu se poate hotărî comparând creșterile ($6$ centimetri față de $8$), pentru că ele s-au petrecut în intervale de timp diferite. Îți trebuie o mărime care împarte creșterea la timpul în care s-a produs — exact ceea ce, în programa de clasa a X-a de la profilul științe ale naturii (M2), se numește rata creșterii unei funcții. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 raportul acesta e materie de clasa a IX-a, în capitolul „Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea"; în modelul oficial publicat pentru 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a, iar niciuna dintre ele nu e de acest tip. La proba MAT_P2 din 2030 tema stă în domeniul Algebră, la capitolul „Funcții" al clasei a X-a, exact acolo unde o întâlnești acum.

Ai văzut deja, la monotonia funcției afine și la semnul funcției afine și intersecțiile cu axele, cum se citește pe grafic dacă o funcție urcă sau coboară. Acum trecem de la răspunsul „da sau nu" la un răspuns cu cifre: nu doar dacă funcția crește, ci cât de repede crește, măsurat într-o unitate care are înțeles fizic — centimetri pe zi, metri pe secundă, miligrame pe litru într-un minut. Pentru comparație, la mate-info (M1) raportul acesta nu e temă de sine stătătoare în clasele a IX-a și a X-a: acolo monotonia se justifică prin semnul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$, iar măsurarea vitezei cu care se schimbă o mărime vine abia în clasa a XI-a, la analiză matematică.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi rata creșterii sau a descreșterii unei funcții între două numere din domeniu, cu raportul variațiilor.
• Vei ști să citești din semnul raportului dacă funcția urcă sau coboară pe intervalul ales, fără să desenezi nimic.
• Vei ști de ce, la o funcție afină, rata este aceeași pe orice interval și de ce ea coincide cu panta dreptei.
• Vei ști să obții, pentru funcția de gradul al doilea, formula scurtă a ratei și să o legi de poziția vârfului parabolei.
• Vei ști să atribui unitatea de măsură corectă unei rate calculate într-un context de fizică, chimie sau biologie.
• Vei ști să eviți concluzia pripită prin care o singură rată pozitivă ar decide monotonia pe tot domeniul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este rata creșterii unei funcții?

Rata creșterii (sau a descreșterii) unei funcții $f$ este raportul dintre variația valorilor și variația argumentului, calculat pentru două numere $x_1$ și $x_2$ din domeniul funcției, cu $x_1\ne x_2$:

$$R=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}.$$

Numărătorul spune cu cât s-a schimbat mărimea măsurată, numitorul spune pe ce distanță s-a schimbat, iar raportul lor spune schimbarea pe unitate. Ordinea în care iei cele două numere nu contează: dacă le schimbi între ele, și numărătorul, și numitorul își schimbă semnul, iar raportul rămâne același. Poți deci să scrii liniștit $R=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$, atâta vreme cât ambele diferențe sunt luate în aceeași ordine.

Revenind la cele două plante: prima are $R=\frac{18-12}{3}=2$ centimetri pe zi, a doua $R=\frac{38-30}{8}=1$ centimetru pe zi. Prima a crescut de două ori mai repede, deși a crescut cu mai puțin.

2. De ce semnul raportului spune dacă funcția crește sau scade?

Pentru că numitorul și numărătorul se compară între ele. Ia $x_1<x_2$, deci $x_1-x_2<0$. Raportul $R$ este pozitiv exact când și numărătorul este negativ, adică atunci când $f(x_1)<f(x_2)$: la argument mai mare, valoare mai mare. Aceasta este chiar definiția creșterii pe perechea aleasă.

Reținem regula, care se aplică pe un interval $I$ inclus în domeniu: funcția $f$ este strict crescătoare pe $I$ atunci când $R>0$ pentru orice două numere diferite $x_1,x_2\in I$, și strict descrescătoare pe $I$ atunci când $R<0$ pentru orice astfel de pereche. Cuvântul „orice" e esențial: o singură pereche cu raport pozitiv nu spune nimic despre restul intervalului.

Mai mult decât semnul, avem acum și mărimea. Două funcții pot fi amândouă crescătoare pe același interval, dar cu rate foarte diferite — una urcă lin, alta abrupt. Rata e numărul care desparte cele două situații.

Se pune atunci o întrebare practică: dacă regula cere „orice pereche", cum verifici o infinitate de perechi? Nu una câte una, ci prin calcul literal: lași $x_1$ și $x_2$ nedeterminate, aduci raportul la o formă simplă și citești semnul acelei forme. Ai văzut deja procedeul în paragraful următor, la funcția afină, unde raportul se simplifică până la un singur număr; la funcția de gradul al doilea va rămâne o expresie care depinde de capete, iar semnul ei se discută pe intervale. Perechile numerice rămân utile pentru altceva: ca să răspunzi la întrebarea „cât de repede", nu la întrebarea „în ce sens".

3. Cât face rata creșterii la o funcție afină?

Fie $f(x)=ax+b$, cu $a,b$ numere reale. Calculăm direct:

$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(a{x}_1+b)-(a{x}_2+b)}{x_1-x_2}=\frac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=a.$$

Așadar rata unei funcții afine nu depinde de intervalul ales: este mereu coeficientul $a$, adică panta dreptei care e graficul funcției. Asta explică de ce, la funcția afină, monotonia se hotărăște dintr-o privire, după semnul lui $a$: dacă $a>0$, raportul e pozitiv oriunde l-ai calcula, deci funcția crește pe tot $\mathbb{R}$.

Interpretarea practică e la fel de curată: o mărime descrisă de o funcție afină se schimbă cu aceeași cantitate în fiecare unitate de timp. Un rezervor în care intră $a$ litri pe minut, o factură la care se adaugă $a$ lei pentru fiecare kilowatt-oră consumat — toate acestea sunt situații cu rată constantă. Numărul $a$ e cunoscut din gimnaziu sub numele de pantă, din lecția despre panta și ordonata la origine; rata creșterii îi dă acum și un înțeles de mărime măsurată.

4. Cum se schimbă rata la funcția de gradul al doilea?

Aici stă noutatea lecției. Fie $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$. Scădem valorile și grupăm:

$$f(x_1)-f(x_2)=a\left(x_1^2-x_2^2\right)+b(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(a(x_1+x_2)+b).$$

Am folosit descompunerea $x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)$. Simplificând prin $x_1-x_2$, care este nenul, obținem formula scurtă a ratei:

$$R=a(x_1+x_2)+b.$$

Merită citită cu atenție: rata nu mai este constantă, dar depinde numai de suma capetelor, nu de fiecare separat. Pe intervalul $[1;5]$ și pe intervalul $[2;4]$ rata este aceeași, fiindcă în ambele cazuri suma capetelor este $6$. În schimb, mutând intervalul spre dreapta, suma crește, deci rata se schimbă — și aici e toată diferența față de funcția afină.

Verificăm pe un caz concret, $f(x)=x^2-4x+3$, deci $a=1$ și $b=-4$. Pe $[0;1]$ formula dă $R=(0+1)-4=-3$; calculul direct dă $\frac{f(0)-f(1)}{0-1}=\frac{3-0}{-1}=-3$. Pe $[3;5]$ formula dă $R=(3+5)-4=4$, iar direct $\frac{f(3)-f(5)}{3-5}=\frac{0-8}{-2}=4$. Aceeași funcție coboară cu $3$ unități pe unitate în prima zonă și urcă cu $4$ în a doua.

5. Ce legătură are rata creșterii cu vârful parabolei?

Una foarte strânsă. Rata se anulează atunci când $a(x_1+x_2)+b=0$, adică atunci când

$$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}.$$

În stânga e mijlocul intervalului $[x_1;x_2]$, în dreapta e abscisa vârfului parabolei. Deci rata este zero exact când vârful se află la mijlocul intervalului ales, iar atunci cele două capete au valori egale, fiind simetrice față de axa parabolei.

Tot de aici se citește și semnul, când $a>0$: rata e pozitivă când mijlocul intervalului este la dreapta vârfului și negativă când e la stânga lui. Pentru $a<0$ concluziile se inversează. Poziția vârfului și valoarea extremă rămân subiectul lecției despre monotonia și extremul funcției de gradul al doilea, pe care o parcurgi imediat după aceasta; aici ne interesează doar ce ne spune numărul $R$.

6. Cum se vede rata pe grafic și ce unitate de măsură are?

Pe grafic, cele două puncte $A(x_1,f(x_1))$ și $B(x_2,f(x_2))$ determină un segment numit coardă. Raportul $R$ este chiar panta acestei coarde: cateta verticală a triunghiului dreptunghic cu ipotenuza $AB$ împărțită la cateta orizontală. O coardă care urcă de la stânga la dreapta are rată pozitivă, una care coboară are rată negativă, iar una orizontală are rata zero.

Unitatea de măsură se obține tot prin împărțire: dacă $f$ dă o distanță în metri, iar argumentul e timpul în secunde, rata se măsoară în metri pe secundă și se numește, în fizică, viteză medie. Dacă $f$ dă o concentrație în miligrame pe litru, iar argumentul e timpul în minute, rata se măsoară în miligrame pe litru și pe minut. Regula e simplă: unitatea ratei este unitatea funcției împărțită la unitatea argumentului, iar un răspuns fără această unitate nu e complet la o problemă de modelare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rata unei funcții afine

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+7$. Calculați rata creșterii lui $f$ între $x_1=1$ și $x_2=5$ și precizați ce arată semnul obținut.

Rezolvare. Avem $f(1)=5$ și $f(5)=-3$, deci

$$R=\frac{f(1)-f(5)}{1-5}=\frac{5-(-3)}{-4}=\frac{8}{-4}=-2.$$

Rezultatul este negativ, deci funcția scade pe intervalul $[1;5]$; mai mult, el este chiar coeficientul lui $x$, așa cum prevede regula pentru funcțiile afine. Pe orice alt interval am obține tot $-2$.

Exemplul 2 — Aceeași parabolă, două intervale

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-12x+1$. Calculați rata creșterii lui $f$ pe intervalul $[1;2]$ și pe intervalul $[4;6]$.

Rezolvare. Aici $a=2$ și $b=-12$, deci $R=2(x_1+x_2)-12$.

Pe $[1;2]$: $R=2\cdot 3-12=-6$. Control direct: $f(1)=-9$, $f(2)=-15$, iar $\frac{-9-(-15)}{1-2}=\frac{6}{-1}=-6$.

Pe $[4;6]$: $R=2\cdot 10-12=8$. Control direct: $f(4)=-15$, $f(6)=1$, iar $\frac{-15-1}{4-6}=\frac{-16}{-2}=8$.

Funcția coboară pe primul interval și urcă pe al doilea, ceea ce se potrivește cu vârful aflat la $x=3$.

Exemplul 3 — Determinarea unui parametru

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx+1$, unde $m$ este număr real. Determinați $m$ știind că rata creșterii lui $f$ pe intervalul $[1;3]$ este egală cu $6$.

Rezolvare. Cu $a=1$ și $b=m$, formula dă $R=(1+3)+m=4+m$. Condiția $4+m=6$ conduce la $m=2$.

Verificăm: pentru $f(x)=x^2+2x+1$ avem $f(1)=4$ și $f(3)=16$, iar $\frac{4-16}{1-3}=\frac{-12}{-2}=6$.

Exemplul 4 — Rata citită dintr-un tabel de valori

Distanța parcursă de un cărucior de laborator, măsurată în metri, a fost înregistrată în momentele din tabel. Calculați viteza medie pe fiecare dintre cele trei intervale și precizați pe care dintre ele mișcarea a fost cea mai rapidă.

Rezolvare. Viteza medie este rata creșterii funcției care dă distanța, deci se calculează împărțind creșterea distanței la durata intervalului:

pe $[0;2]$: $\frac{12-0}{2-0}=6$ m/s; pe $[2;5]$: $\frac{45-12}{5-2}=\frac{33}{3}=11$ m/s; pe $[5;8]$: $\frac{60-45}{8-5}=\frac{15}{3}=5$ m/s.

Mișcarea a fost cea mai rapidă pe intervalul $[2;5]$. Observă că pe ultimul interval căruciorul a înaintat, totuși, cu $15$ metri, mai mult decât cei $12$ metri de la început — dar într-un timp mai lung, așa că rata este mai mică. Compararea creșterilor brute ar fi dat răspunsul greșit.

De reținut și ce nu spune tabelul: ratele calculate sunt medii pe fiecare interval, nu valori măsurate în fiecare clipă. Între secundele $2$ și $5$ căruciorul poate să fi mers uneori mai repede de $11$ metri pe secundă și alteori mai încet; media rămâne $11$. De aceea, la o problemă de modelare, se spune întotdeauna pe ce interval a fost calculată rata — un număr fără intervalul lui nu înseamnă nimic.

Exemplul 5 — O concentrație care crește, apoi scade

Concentrația unei substanțe într-un vas de reacție, în miligrame pe litru, este aproximată de $C(t)=-t^2+8t+5$, unde $t$ este timpul în minute, $t\in [0;7]$. Calculați rata de variație a concentrației pe intervalul $[0;2]$ și pe intervalul $[5;7]$ și interpretați rezultatele.

Rezolvare. Aici $a=-1$ și $b=8$, deci $R=-(t_1+t_2)+8$.

Pe $[0;2]$: $R=-2+8=6$, adică $6$ mg/L pe minut. Concentrația crește, în medie cu $6$ miligrame pe litru în fiecare minut al acestui interval.

Pe $[5;7]$: $R=-12+8=-4$, adică $-4$ mg/L pe minut. Semnul negativ arată că substanța se consumă: concentrația scade, în medie cu $4$ miligrame pe litru pe minut.

Trecerea de la creștere la scădere se face în vârful parabolei, la $t=4$ minute, unde concentrația atinge valoarea maximă $C(4)=21$ mg/L.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+7$. Arătați că $\frac{f(3)-f(5)}{3-5}=0$.

Rezolvare. Cerința e scrisă în forma scurtă folosită la Subiectul I, unde fiecare cerință se rezolvă în câteva rânduri. Calculăm cele două valori: $f(3)=9-24+7=-8$ și $f(5)=25-40+7=-8$. Atunci

$$\frac{f(3)-f(5)}{3-5}=\frac{-8-(-8)}{-2}=\frac{0}{-2}=0.$$

Rezultatul nu e o întâmplare: cu formula scurtă, $R=(3+5)-8=0$, iar mijlocul intervalului, $4$, este exact abscisa vârfului, $-\frac{b}{2a}=4$. Cele două capete sunt simetrice față de axa parabolei, deci au aceeași valoare.

Să exersăm

Înainte de orice calcul: scrie clar care e $x_1$ și care e $x_2$, ia ambele diferențe în aceeași ordine și, la funcțiile de gradul al doilea, folosește formula scurtă $R=a(x_1+x_2)+b$ ca verificare a calculului direct. Dacă problema vine dintr-un context real, notează de la început unitatea de măsură a ratei.

1. Calculează rata creșterii funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x+2$, între $x_1=-2$ și $x_2=1$.

2. Calculează rata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+8$, pe intervalul $[0;4]$ și spune ce arată semnul ei.

3. Calculează rata creșterii funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-1$, între $1$ și $4$, o dată direct și o dată cu formula scurtă.

4. Calculează rata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-8x+1$, pe intervalul $[1;3]$ și explică rezultatul obținut.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rata creșterii unei funcții între două numere este pozitivă, atunci funcția este crescătoare pe tot domeniul ei."

6. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+6x$, calculează rata pe $[0;2]$ și pe $[4;6]$, apoi compară rezultatele.

7. Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2-4x+1$, are rata creșterii egală cu $5$ pe intervalul $[0;3]$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-11$. Arătați că $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=6$, pentru orice numere reale $x_1\ne x_2$.

9. Rata creșterii funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+7$, între două numere reale diferite $p$ și $q$ este egală cu $0$. Ce relație există între $p$ și $q$?

10. (Problemă aplicată.) Temperatura unei probe încălzite, în grade Celsius, este dată de $T(t)=-2t^2+16t+10$, unde $t$ este timpul în minute, $t\in [0;8]$. Calculează rata de variație a temperaturii pe $[1;2]$ și pe $[6;8]$, cu unitate de măsură.

11. Masa unei culturi de drojdie, în grame, a fost măsurată din trei în trei ore: la $t=0$ era $20$, la $t=3$ era $44$, la $t=6$ era $80$, iar la $t=9$ era $92$. Calculează rata de creștere pe fiecare interval și spune pe care a fost cea mai mare.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-24x+7$. Arătați că rata creșterii lui $f$ între $4$ și $8$ este egală cu $0$.

13. Arată, prin calcul, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1$, are aceeași rată pe intervalul $[0;1]$ și pe intervalul $[10;100]$.

14. Pe intervalul $[1;2]$, care dintre funcțiile $f(x)=2x+3$ și $g(x)=x^2+1$ crește mai repede? Justifică prin rate.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x-7$. Determinați numărul real $x$, $x\ne 2$, pentru care rata creșterii lui $f$ între $2$ și $x$ este egală cu $20$.

16. O funcție dă volumul de apă, în litri, în funcție de timpul măsurat în ore. Ce unitate de măsură are rata ei de variație și ce înseamnă o rată egală cu $-3$?

17. Graficul funcției afine $f$ trece prin punctele $A(1,4)$ și $B(5,16)$. Calculează rata creșterii lui $f$ și scrie expresia funcției.

18. (Provocare.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+bx+c$, cu $b,c$ numere reale. Știind că rata creșterii lui $f$ pe intervalul $[2;4]$ este egală cu $3$ și că $f(1)=6$, determină $b$ și $c$, apoi arată că rata lui $f$ pe intervalul $[p;3-p]$ este egală cu $0$, oricare ar fi numărul real $p\ne \frac{3}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(-2)=-16$, $f(1)=11$, deci $R=\frac{-16-11}{-2-1}=\frac{-27}{-3}=9$, adică exact coeficientul lui $x$.

2. $f(0)=8$, $f(4)=-4$, deci $R=\frac{8-(-4)}{0-4}=\frac{12}{-4}=-3$. Semnul negativ arată că funcția scade pe intervalul dat, la fel ca pe oricare altul.

3. Direct: $f(1)=2$, $f(4)=23$, deci $R=\frac{2-23}{1-4}=\frac{-21}{-3}=7$. Cu formula scurtă: $R=(1+4)+2=7$. Aceeași valoare.

4. $R=2(1+3)-8=0$. Rata este nulă pentru că mijlocul intervalului, $2$, coincide cu abscisa vârfului, $-\frac{-8}{2\cdot 2}=2$; capetele sunt simetrice și au valori egale: $f(1)=f(3)=-5$.

5. Fals. Contraexemplu: pentru $f(x)=x^2$, rata între $1$ și $2$ este $1+2=3>0$, dar funcția scade pe $(-\infty ;0]$, unde, de pildă, rata între $-2$ și $-1$ este $-3$. Un raport pozitiv spune doar că punctul din dreapta e mai sus decât cel din stânga, nu ce se întâmplă în afara lor.

6. Cu $a=-1$ și $b=6$: pe $[0;2]$, $R=-2+6=4$; pe $[4;6]$, $R=-10+6=-4$. Funcția urcă pe primul interval cu aceeași repeziciune cu care coboară pe al doilea, pentru că cele două intervale sunt așezate simetric față de vârful $x=3$.

7. Cu $a=m$ și $b=-4$, formula scurtă dă $R=m(0+3)-4=3m-4$; condiția $3m-4=5$ dă $m=3$. Verificare: pentru $f(x)=3x^2-4x+1$ avem $f(0)=1$ și $f(3)=16$, iar $\frac{1-16}{0-3}=\frac{-15}{-3}=5$.

8. $f(x_1)-f(x_2)=(6x_1-11)-(6x_2-11)=6(x_1-x_2)$. Cum $x_1\ne x_2$, putem simplifica prin $x_1-x_2$ și obținem raportul egal cu $6$, indiferent de cele două numere alese.

9. Din $R=(p+q)-10=0$ rezultă $p+q=10$: cele două numere au suma $10$, deci mijlocul lor este $5$, abscisa vârfului. De exemplu $p=3$ și $q=7$, sau $p=1$ și $q=9$.

10. Cu $a=-2$ și $b=16$: pe $[1;2]$, $R=-2\cdot 3+16=10$, adică $10$ grade Celsius pe minut (proba se încălzește); pe $[6;8]$, $R=-2\cdot 14+16=-12$, adică $-12$ grade Celsius pe minut (proba se răcește). Vârful, la $t=4$ minute, desparte cele două regimuri.

11. Pe $[0;3]$: $\frac{44-20}{3}=8$ g/oră; pe $[3;6]$: $\frac{80-44}{3}=12$ g/oră; pe $[6;9]$: $\frac{92-80}{3}=4$ g/oră. Cea mai mare rată este pe intervalul $[3;6]$.

12. Cu $a=2$ și $b=-24$: $R=2(4+8)-24=0$. Direct: $f(4)=32-96+7=-57$ și $f(8)=128-192+7=-57$, deci numărătorul este nul, iar raportul este $0$.

13. Pe $[0;1]$: $\frac{f(0)-f(1)}{0-1}=\frac{1-5}{-1}=4$. Pe $[10;100]$: $f(10)=41$, $f(100)=401$, deci $\frac{41-401}{10-100}=\frac{-360}{-90}=4$. Este coeficientul lui $x$, la fel pe orice interval.

14. Pentru $f$, rata este $2$ pe orice interval. Pentru $g$, cu $a=1$ și $b=0$, rata pe $[1;2]$ este $1+2=3$. Cum $3>2$, pe acest interval funcția $g$ crește mai repede.

15. $R=3(2+x)+2=3x+8$; condiția $3x+8=20$ dă $x=4$. Verificare: $f(2)=9$, $f(4)=49$, iar $\frac{9-49}{2-4}=\frac{-40}{-2}=20$.

16. Unitatea este litri pe oră, adică unitatea funcției împărțită la unitatea argumentului. O rată egală cu $-3$ înseamnă că volumul scade, în medie, cu $3$ litri în fiecare oră a intervalului considerat.

17. $R=\frac{4-16}{1-5}=\frac{-12}{-4}=3$, deci panta este $3$ și $f(x)=3x+b$. Din $f(1)=4$ obținem $3+b=4$, adică $b=1$, deci $f(x)=3x+1$.

18. Rata pe $[2;4]$ este $(2+4)+b=6+b$; din $6+b=3$ rezultă $b=-3$. Apoi $f(1)=1-3+c$, iar condiția $f(1)=6$ dă $c=8$, deci $f(x)=x^2-3x+8$. Pe intervalul $[p;3-p]$ formula scurtă dă $R=(p+(3-p))-3=3-3=0$, indiferent de $p$: suma capetelor este mereu $3$, deci mijlocul lor este $\frac{3}{2}$, chiar abscisa vârfului. Condiția $p\ne \frac{3}{2}$ asigură doar că cele două capete sunt diferite.

De reținut

• Rata creșterii sau a descreșterii unei funcții $f$ între $x_1\ne x_2$ este $R=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$; valoarea ei nu se schimbă dacă schimbi între ele cele două numere, cu condiția ca ambele diferențe să fie luate în aceeași ordine.
• Semnul lui $R$ dă monotonia pe intervalul ales: pozitiv înseamnă crescătoare, negativ înseamnă descrescătoare — dar numai dacă semnul se păstrează pentru orice pereche din interval.
• La o funcție afină $f(x)=ax+b$, rata este egală cu $a$ pe orice interval: mărimea modelată se schimbă cu aceeași cantitate în fiecare unitate.
• La o funcție de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+bx+c$, rata este $R=a(x_1+x_2)+b$: depinde numai de suma capetelor și se anulează exact când mijlocul intervalului este abscisa vârfului.
• Într-un context real, rata poartă unitatea funcției împărțită la unitatea argumentului (metri pe secundă, miligrame pe litru și pe minut, lei pe bucată).

Greșeli frecvente

• Diferențele luate în ordini diferite. Se calculează $f(x_1)-f(x_2)$ la numărător, dar $x_2-x_1$ la numitor, și rezultatul iese cu semn schimbat — o funcție crescătoare pare că scade. Scrie mai întâi raportul întreg, apoi înlocuiește numerele; ordinea trebuie să fie aceeași sus și jos.
• Compararea creșterilor în loc de compararea ratelor. Între două procese se alege „cel care a crescut cu mai mult", fără să se țină seama de cât a durat fiecare. Rata a fost inventată exact pentru asta: împarte creșterea la durata ei și abia apoi compară.
• Formula scurtă aplicată funcției greșite. $R=a(x_1+x_2)+b$ este valabilă numai pentru funcția de gradul al doilea. Aplicată unei funcții afine sau uneia cu radical, dă un număr fără nicio legătură cu problema; la orice altă expresie, calculează raportul direct din definiție.
• Concluzia globală trasă dintr-o singură rată. O rată pozitivă între două numere nu face funcția crescătoare pe tot domeniul: la o parabolă, un interval din stânga vârfului și unul din dreapta lui dau semne opuse. Monotonia se enunță pe un interval și se justifică pentru orice pereche din el.
• Rata raportată fără unitate sau cu unitatea funcției. O viteză medie nu se măsoară în metri, ci în metri pe secundă. Când problema vine din fizică, chimie sau biologie, scrie unitatea compusă lângă rezultat; fără ea, răspunsul e incomplet.

Aplică acasă

1. Două urcări comparate. Caută pe telefon, într-o aplicație de hărți, două trasee scurte din orașul tău și notează diferența de altitudine și lungimea fiecăruia. Calculează pentru fiecare traseu raportul dintre urcare și lungime — este exact rata creșterii — și spune care traseu e mai abrupt. Compară apoi și diferențele brute de altitudine: dacă cele două clasamente nu coincid, ai găsit singur motivul pentru care rata e mărimea potrivită.

2. Un tabel din manualul de fizică sau de biologie. Alege un tabel de măsurători cu cel puțin patru momente (spațiu parcurs, temperatură, masă, volum). Calculează rata pe fiecare interval consecutiv și trece-o într-un rând nou al tabelului, cu unitate de măsură. Marchează intervalul cu rata cea mai mare și pe cel cu rata negativă, dacă există, apoi formulează în două propoziții ce s-a întâmplat cu mărimea măsurată.

3. Coarda orizontală. Într-un instrument digital (GeoGebra, Desmos) desenează parabola $f(x)=x^2-8x+7$ și două puncte mobile pe ea. Mută punctele până când segmentul dintre ele devine orizontal și citește abscisele lor. Verifică apoi, cu formula scurtă, că suma lor este $8$ și că mijlocul intervalului cade exact în vârf, oricâte perechi ai încerca.

Pentru părinți și profesori

Lecția aceasta pune, pentru prima dată la profilul științe ale naturii, o cifră acolo unde până acum era doar un cuvânt: nu „funcția crește", ci „funcția crește cu atât pe unitate". E un pas mic ca formulă și mare ca mod de gândire, fiindcă transformă monotonia dintr-o observație despre desen într-o mărime măsurabilă, cu unitate, care poate fi comparată între două experimente. Pentru un elev care face și fizică, și chimie, și biologie, câștigul e imediat: viteza medie, viteza de răcire, viteza de creștere a unei culturi sunt toate aceeași noțiune matematică, scrisă cu litere diferite.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă ambele diferențe au fost luate în aceeași ordine; dacă la funcția de gradul al doilea formula scurtă a fost folosită ca verificare, nu ca înlocuitor al înțelegerii; dacă răspunsul poartă unitatea compusă; dacă elevul se ferește să tragă concluzii despre tot domeniul dintr-un singur interval. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „De ce rata unei funcții afine nu depinde de interval?"; „Ce se întâmplă cu rata dacă muți intervalul spre dreapta, pe o parabolă cu ramurile în sus?"; „Ce înseamnă, în cuvinte, o rată de $-4$ miligrame pe litru și pe minut?"; „Cum arată coarda când rata este zero?". Semn că elevul a înțeles: alege singur intervalul pe care face calculul și explică de ce l-a ales.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și, la clasa a X-a, din 2027–2028; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Funcții" al clasei a X-a, în rândul despre rata creșterii/descreșterii funcției de gradul al doilea. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde același raport e trecut la materia clasei a IX-a, în capitolul „Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea"; în modelul oficial publicat pentru 2026, cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Ce este rata creșterii unei funcții? Este raportul dintre variația valorilor funcției și variația argumentului, adică numărul $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$, calculat pentru două numere diferite din domeniu. Spune cu cât se schimbă, în medie, mărimea măsurată pentru fiecare unitate a argumentului. Semnul lui arată dacă funcția urcă sau coboară pe intervalul ales, iar mărimea lui arată cât de repede.

Cum se calculează rata creșterii pentru o funcție de gradul al doilea? Cel mai repede cu formula scurtă $R=a(x_1+x_2)+b$, obținută din descompunerea $x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)$. Înlocuiești suma capetelor intervalului și coeficienții funcției, fără să calculezi valorile. Merită apoi confruntată cu calculul direct al raportului, care este și modul în care se cere justificarea într-o rezolvare completă.

Se învață rata creșterii și la mate-info (M1)? Nu ca temă de sine stătătoare. În programa de matematică-informatică a claselor a IX-a și a X-a monotonia se studiază prin semnul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$, fără ca raportul variațiilor să fie numit și folosit ca mărime cu unitate de măsură. Ideea revine pentru elevii de M1 abia în clasa a XI-a, la analiză matematică. La științe ale naturii ea apare aici, devreme și legată direct de aplicații.

La ce subiect apare rata creșterii la bacalaureatul M2? În modelul oficial publicat pentru 2026, materia claselor a IX-a și a X-a stă în cele șase cerințe scurte ale Subiectului I, dar niciuna nu e o rată a creșterii. În programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 tema e trecută la clasa a IX-a, în capitolul despre interpretarea geometrică a proprietăților funcției de gradul al doilea, alături de monotonie și de vârful parabolei. Din 2030, la proba MAT_P2, ea intră în domeniul Algebră.

De ce rata unei funcții afine este aceeași pe orice interval? Pentru că la scăderea $f(x_1)-f(x_2)$ termenul liber dispare și rămâne $a(x_1-x_2)$, care se simplifică exact cu numitorul. Rezultatul este $a$, indiferent de capetele alese. Geometric, graficul e o dreaptă, iar o dreaptă are aceeași înclinare peste tot: orice coardă a ei se suprapune peste dreapta însăși.

Ce unitate de măsură are rata creșterii? Unitatea funcției împărțită la unitatea argumentului. Dacă funcția dă distanța în metri și argumentul e timpul în secunde, rata se măsoară în metri pe secundă și se numește viteză medie; dacă funcția dă o concentrație în miligrame pe litru, iar timpul e în minute, rata se măsoară în miligrame pe litru și pe minut. Fără unitate, răspunsul la o problemă aplicată rămâne incomplet.

Cum văd rata creșterii pe graficul unei funcții? Unește cele două puncte ale graficului printr-un segment, numit coardă: rata este panta acestei coarde, adică raportul dintre cât urcă și cât înaintează. O coardă care urcă de la stânga la dreapta înseamnă rată pozitivă, una care coboară înseamnă rată negativă, iar una orizontală înseamnă rată zero — cazul în care cele două capete au aceeași valoare.