Pe ce intervale are funcția x²-6x rata zero?

Pentru gradul al doilea, R=a(x₁+x₂)+b=x₁+x₂-6, care se anulează când x₁+x₂=6, adică intervalul are mijlocul în vârful x=3. De exemplu, pe [1,5]: f(1)=-5 și f(5)=-5, deci rata este 0.

Ce arată semnul ratei creșterii unei funcții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rata creșterii

Un raport $R = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ pozitiv spune că valoarea din dreapta e mai mare, iar unul negativ că e mai mică. Pentru monotonie pe un interval, semnul trebuie să fie același la orice pereche din el. Exemplu: pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[- 1, 3]$ , $R = \frac{9 - 1}{3 + 1} = 2 > 0$ , deși funcția coboară pe $[- 1, 0]$ . La $f (x) = 3 x - 2$ , rata e $3$ la orice pereche, deci funcția crește.

Raportul $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ , calculat între două numere din domeniu, poartă numele de rată a creșterii sau a descreșterii.

Definiția și semnul. Se cere $x_{1} \neq = x_{2}$ , iar dacă le inversezi pe cele două numere valoarea nu se clintește, cu condiția ca amândouă diferențele să fie luate în aceeași ordine. Un $R$ pozitiv arată că valoarea din dreapta o depășește pe cea din stânga; despre monotonie pe un interval vorbești numai dacă semnul se ține pentru orice pereche luată din el.

Două formule de lucru. La funcția afină $f (x) = a x + b$ rata este $a$ , oriunde ai calcula-o — de aceea o mărime afină crește cu aceeași cantitate la fiecare unitate. La funcția de gradul al doilea $f (x) = a x^{2} + b x + c$ rata este $R = a (x_{1} + x_{2}) + b$ : îi pasă doar de suma capetelor și se anulează exact atunci când mijlocul intervalului cade pe abscisa vârfului.

Capcanele. Diferențe luate în ordini diferite răstoarnă semnul. Creșterile brute nu se pun față în față: împarte-o pe fiecare la durata ei. Iar unitatea ratei se obține împărțind unitatea funcției la cea a argumentului — o viteză medie se scrie în metri pe secundă, nu în metri.

De reținut

$R = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ , cu aceeași ordine sus și jos
funcția afină $a x + b$ are rata $a$ pe orice interval
gradul al doilea: $R = a (x_{1} + x_{2}) + b$
unitatea ratei: unitatea valorii împărțită la unitatea argumentului

Greșeala tipică

Din rata pozitivă între două capete se trage concluzia că funcția e crescătoare pe tot intervalul; $x^{2}$ are rata $2$ pe $[- 1, 3]$ , dar scade pe $[- 1, 0]$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este rata creșterii funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 7$ , între $x_{1} = 1$ și $x_{2} = 5$ ?
- a) $- 2$
- b) $2$
- c) $- 8$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 2$

$f (1) = 5$ și $f (5) = - 3$ , deci $R = \frac{5 - ( - 3 )}{1 - 5} = \frac{8}{- 4} = - 2$ — chiar coeficientul lui $x$ . Varianta b) ia diferențele în ordini diferite, iar c) uită împărțirea la variația argumentului.
Care este rata creșterii funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 1$ , pe intervalul $[4; 6]$ ?
- a) $- 6$
- b) $4$
- c) $8$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8$

Cu formula scurtă, $R = a (x_{1} + x_{2}) + b = 2 \cdot 10 - 12 = 8$ . Control direct: $f (4) = - 15$ , $f (6) = 1$ , iar $\frac{- 15 - 1}{4 - 6} = 8$ . Varianta d) uită termenul $b$ .
Rata creșterii funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 7$ , între două numere reale diferite $p$ și $q$ este egală cu $0$ . Ce relație există între $p$ și $q$ ?
- a) $p + q = 10$
- b) $p \cdot q = 10$
- c) $p + q = 5$
- d) $p = q = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $p + q = 10$

$R = (p + q) - 10 = 0$ , deci $p + q = 10$ : mijlocul lor este $5$ , adică abscisa vârfului. Varianta d) e imposibilă, fiindcă enunțul cere $p \neq = q$ .

Întrebări conexe

Cum calculez viteza medie de reacție dintr-o concentrație?

Împarți variația concentrației la durată. Dacă o concentrație scade de la $0, 80$ mol/L la $0, 50$ mol/L în $60$ s, rata este $\frac{0 , 50 - 0 , 80}{60} = - 0, 005$ mol/(L·s). Semnul minus arată descreșterea, iar unitatea vine din împărțirea unităților.

Pe ce intervale are funcția $x^{2} - 6 x$ rata zero?

Pentru gradul al doilea, $R = a (x_{1} + x_{2}) + b = x_{1} + x_{2} - 6$ , care se anulează când $x_{1} + x_{2} = 6$ , adică intervalul are mijlocul în vârful $x = 3$ . De exemplu, pe $[1, 5]$ : $f (1) = - 5$ și $f (5) = - 5$ , deci rata este $0$ .

Cum compar creșterea a două culturi de bacterii?

Compari ratele, nu creșterile brute. O cultură trece de la $200$ la $800$ de colonii în $4$ ore, adică $150$ pe oră; alta trece de la $300$ la $1000$ în $7$ ore, adică $100$ pe oră. A doua a crescut cu mai mult, dar mai încet.

Cum aflu o valoare a funcției afine cunoscând rata ei?

La o funcție afină, $f (x_{2}) = f (x_{1}) + R (x_{2} - x_{1})$ . Dacă temperatura unui lichid crește uniform cu $2, 5$ °C pe minut și la minutul $4$ are $30$ °C, la minutul $10$ are $30 + 2, 5 \cdot 6 = 45$ °C.

Cum arăt cu rata că $f (x) = - 3 x + 1$ este descrescătoare?

Pentru $x_{1} \neq = x_{2}$ , $f (x_{1}) - f (x_{2}) = - 3 (x_{1} - x_{2})$ , deci $R = - 3$ . Raportul e negativ la orice pereche de numere reale, așa că funcția este descrescătoare pe $R$ . Coeficientul lui $x$ decide monotonia.

De ce contează ordinea diferențelor în rata creșterii?

Numărătorul și numitorul trebuie luate în aceeași ordine. Pentru $f (x) = 2 x + 5$ , cu $x_{1} = 1$ și $x_{2} = 4$ : $\frac{7 - 13}{1 - 4} = 2$ . Dacă sus scrii $7 - 13$ , iar jos $4 - 1$ , obții $- 2$ și pare că funcția scade, deși crește.

Oamenii mai întreabă și: semnul raportului variațiilor · ce înseamnă rată pozitivă · rata creșterii și monotonia · când e funcția crescătoare după rată · rata descreșterii negativă