Două triunghiuri au un unghi congruent, iar laturile care formează acel unghi sunt respectiv proporționale. Ce criteriu de asemănare se aplică?

Niciunul, nu sunt suficiente date

Cum recapitulez asemănarea triunghiurilor?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Asemănarea triunghiurilor: recapitulare rapidă

Reții mai întâi definiția: două triunghiuri sunt asemenea când unghiurile lor se potrivesc și laturile se află în același raport $k$ . Nu verifici totul, îți ajunge un criteriu: două unghiuri egale, un unghi cu laturile proporționale sau toate cele trei laturi proporționale. Legătura cu paralelele o dă teorema lui Thales. Reține și că perimetrele urmează pe $k$ , iar ariile pe $k^{2}$ .

Ideea de bază: două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale, cu raport de asemănare $k$ . Nu trebuie verificate toate condițiile — e suficient un criteriu: UU (două unghiuri egale), LUL (un unghi + laturile care îl formează proporționale) sau LLL (toate laturile proporționale). Cheia legăturii cu paralelele este teorema lui Thales: o paralelă la o latură taie celelalte două în segmente proporționale, $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ , iar reciproca ei demonstrează paralelismul. Reține și diferența importantă: perimetrele urmează raportul $k$ , dar ariile urmează $k^{2}$ .

Exemplu minimal: dacă $M N ∥ B C$ , $A M = 3$ , $M B = 6$ , $A N = 4$ , atunci $\frac{3}{6} = \frac{4}{N C} \Rightarrow N C = 8$ .

De reținut

criteriile sunt UU, LUL și LLL, iar unul singur ajunge
$\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ când $M N ∥ B C$
perimetrele urmează raportul $k$ , ariile raportul $k^{2}$

Greșeala tipică

Se confundă asemănarea cu congruența, deci se cer laturi egale în loc de laturi proporționale. Congruența este cazul particular în care raportul de asemănare este $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

În $△ A B C$ , $M N ∥ B C$ cu $M \in A B$ , $N \in A C$ . Se știe că $A M = 2$ cm, $M B = 4$ cm și $A N = 3$ cm. Cât este $N C$ ?
- a) $3$ cm
- b) $6$ cm
- c) $8$ cm
- d) $12$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$ cm

Din teorema lui Thales: $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} \Rightarrow \frac{2}{4} = \frac{3}{N C}$ , deci $2 \cdot N C = 12$ , adică $N C = 6$ cm.
Două triunghiuri au un unghi congruent, iar laturile care formează acel unghi sunt respectiv proporționale. Ce criteriu de asemănare se aplică?
- a) UU
- b) LUL
- c) LLL
- d) Niciunul, nu sunt suficiente date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) LUL

Criteriul LUL (latură–unghi–latură) cere exact un unghi congruent și laturile care îl formează proporționale — condiție suficientă pentru asemănare.
În $△ A B C$ , $M N ∥ B C$ cu $M \in A B$ , $N \in A C$ . Se știe că $A M = 3$ cm, $M B = 9$ cm și $A N = 5$ cm. Cât este $N C$ ?
- a) $5$ cm
- b) $15$ cm
- c) $25$ cm
- d) $45$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15$ cm

Din teorema lui Thales: $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{5}{N C}$ , deci $3 \cdot N C = 45$ , adică $N C = 15$ cm.

Întrebări conexe

Ce criteriu folosesc când am două paralele într-un triunghi?

Criteriul cu două unghiuri. Paralelele dau unghiuri corespondente egale, iar unghiul comun din vârf se repetă în amândouă triunghiurile. Cu două perechi de unghiuri egale, asemănarea este gata demonstrată, fără să mai măsori vreo latură.

Cum aflu o latură necunoscută folosind asemănarea?

Scrii proporția dintre laturile care se corespund și afli termenul lipsă prin produsul mezilor și al extremilor. Dacă laturile mari sunt $6$ și $9$ , iar una dintre cele mici este $4$ , atunci $\frac{6}{9} = \frac{4}{x}$ dă $x = 6$ . Verifici la final că raportul iese același peste tot.

Ce greșeli apar la scrierea proporțiilor de asemănare?

Cea mai frecventă este amestecarea laturilor: se pune sus o latură din primul triunghi și jos una care nu îi corespunde. Ordinea vârfurilor din scrierea asemănării arată exact ce se potrivește cu ce. Mai apare și comparația între o latură și un unghi, care nu are sens.

Cum recunosc triunghiuri asemenea într-o figură încâlcită?

Cauți unghiurile marcate la fel și unghiurile comune mai multor triunghiuri. Apoi redesenezi separat cele două figuri, cu vârfurile în aceeași ordine, ca să vezi limpede corespondența. Multe probleme se limpezesc doar prin acest al doilea desen, făcut alături.

Ce exerciții de asemănare apar la Evaluarea Națională?

Apar cerințe de aflat o latură dintr-o proporție, de demonstrat un paralelism cu reciproca teoremei lui Thales și de calculat un raport de arii. La subiectul al treilea, asemănarea se combină des cu proprietățile paralelogramului sau cu linia mijlocie.

Cum leg asemănarea de teorema înălțimii și a catetei?

Înălțimea dusă din unghiul drept taie triunghiul în două figuri asemenea cu cel mare și între ele. Din proporțiile care rezultă ies chiar relațiile metrice: pătratul unei catete egalează produsul dintre ipotenuză și proiecția ei, iar $h^{2}$ egalează produsul proiecțiilor.

Oamenii mai întreabă și: asemănarea triunghiurilor recapitulare · criterii de asemănare a triunghiurilor · raportul de asemănare k · teorema lui Thales și asemănarea · formule asemănare triunghiuri