Recapitulare: cercul și poligoanele regulate

Cercul este poate cea mai „prietenoasă" figură din geometrie: o vezi în roata bicicletei, în cadranul unui ceas, în forma unei monede, în orbita unei planete sau în desenul unui teren de baschet. În această recapitulare a cercului de la clasa a 7-a strângem la un loc tot ce ai învățat pe parcursul anului: elementele cercului (rază, diametru, coardă, arc, unghiuri), formulele pentru lungimea cercului și aria discului, pozițiile relative ale unei drepte față de cerc și ale două cercuri, precum și poligoanele regulate înscrise în cerc — triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul. Scopul este să legi toate aceste idei într-un singur tablou clar, ca să rezolvi rapid orice problemă cu cercul de la clasa 7 și să intri sigur pe tine în clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici și să folosești corect elementele cercului de la clasa 7: rază, diametru, coardă, arc, unghi la centru și unghi înscris.
• Vei ști să calculezi lungimea cercului, lungimea unui arc, aria discului și aria unui sector de cerc.
• Vei ști să recunoști pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc și ale două cercuri, comparând distanțe cu razele.
• Vei ști să lucrezi cu poligoane regulate înscrise în cerc (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat) în probleme de calcul.
• Vei ști să rezolvi probleme practice care combină elemente ale cercului și ale poligoanelor regulate.

Hai să descoperim împreună

1. Elementele cercului — vocabularul de bază

Un cerc de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la aceeași distanță $r$ față de punctul fix $O$. Punctul $O$ se numește centrul cercului, iar distanța constantă $r$ se numește rază. Atenție la o distincție folosită des: cercul este linia (conturul), iar discul este suprafața plină, adică cercul împreună cu interiorul lui. De aceea vorbim despre lungimea cercului (perimetrul liniei) și despre aria discului (suprafața).

Să trecem prin toate elementele, pentru că ele apar în orice problemă cu cercul:

• Raza ($r$ sau $R$): segmentul care unește centrul $O$ cu un punct de pe cerc. Toate razele aceluiași cerc sunt congruente.
• Diametrul ($d$): coarda care trece prin centru. Este cea mai lungă coardă și este format din două raze în prelungire, deci:

$$d=2r\text{și}r=\frac{d}{2}$$

• Coarda: un segment care unește două puncte de pe cerc. Diametrul este un caz particular de coardă (cea care trece prin centru).
• Arcul de cerc: o „bucată" din cerc, cuprinsă între două puncte. O coardă împarte cercul în două arce: unul mic și unul mare.
• Unghiul la centru: unghiul cu vârful în centrul $O$, ale cărui laturi sunt două raze. Măsura arcului cuprins între laturile lui este egală cu măsura unghiului la centru.
• Unghiul înscris: unghiul cu vârful pe cerc, ale cărui laturi sunt două coarde.

2. Legătura de aur: unghi la centru și unghi înscris

Una dintre cele mai folosite relații din capitolul despre cerc, pe care ai învățat-o la lecția Unghiul înscris în cerc, este legătura dintre unghiul la centru și unghiul înscris care „privesc" același arc:

Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura unghiului la centru corespunzător aceluiași arc.

Cu alte cuvinte, dacă un unghi la centru are măsura $\alpha$, atunci orice unghi înscris care subîntinde același arc are măsura $\frac{\alpha }{2}$. Și reciproc: dacă un unghi înscris are măsura $\beta$, atunci arcul pe care îl subîntinde (și unghiul la centru corespunzător) are măsura $2\beta$.

De aici rezultă un caz special foarte util: un unghi înscris care subîntinde un diametru (adică un semicerc) are măsura $90°$. Motivul: diametrul corespunde unui arc de $180°$ (jumătate de cerc), iar jumătatea lui este $90°$. Așa se explică de ce orice triunghi înscris într-un cerc, care are o latură egală cu diametrul, este dreptunghic.

3. Lungimea cercului și aria discului

Aici intervine unul dintre cele mai celebre numere din matematică: $\pi$ (pi). Indiferent cât de mare sau de mic e cercul, raportul dintre lungimea cercului și diametrul lui este mereu același număr, aproximativ $3,14$. Acest raport este chiar $\pi$. De aceea, cele două formule esențiale, pe care le-ai studiat la lecția Lungimea cercului și lungimea arcului de cerc, sunt:

$$L=2\pi r=\pi d\text{(lungimea cercului)}$$

Pentru aria discului (suprafața), formula pe care ai învățat-o la Aria discului și aria sectorului de cerc este:

$$\mathcal{A}=\pi r^2\text{(aria discului)}$$

În calcule folosim de obicei aproximarea $\pi \approx 3,14$, dar rezultatul „exact" se lasă adesea în funcție de $\pi$ (de exemplu $L=10\pi$ cm). Ține minte diferența de unități: lungimea se măsoară în cm, m etc. (unități liniare), iar aria în cm², m² etc. (unități pătratice), pentru că în formula ariei apare $r^2$.

Arcul și sectorul. Un cerc întreg corespunde unui unghi la centru de $360°$. Dacă vrem doar o „felie", luăm proporția corespunzătoare unghiului la centru $n$:

$${\ell }_{\text{arc}}=\frac{n}{360}\cdot 2\pi r{\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{n}{360}\cdot \pi r^2$$

Gândește-te la o pizza tăiată în felii: un arc este marginea coaptă a unei felii, iar sectorul este întreaga felie triunghiulară.

4. Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc

Ia o dreaptă $d$ și un cerc de centru $O$ și rază $r$. Notează cu $\delta$ distanța de la centrul $O$ la dreaptă. Totul se decide comparând $\delta$ cu $r$:

• Dreaptă exterioară cercului: $\delta >r$. Dreapta nu atinge cercul (0 puncte comune).
• Dreaptă tangentă cercului: $\delta =r$. Dreapta atinge cercul într-un singur punct. Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă (proprietate folosită la lecția Tangente dintr-un punct exterior la un cerc).
• Dreaptă secantă cercului: $\delta <r$. Dreapta taie cercul în două puncte, determinând o coardă.

5. Pozițiile relative a două cercuri

Când ai două cercuri, unul de rază $R$ și celălalt de rază $r$ (cu $R\ge r$), și notezi cu $d=O{O}^{\prime }$ distanța dintre centre, poziția lor se decide comparând $d$ cu $R+r$ și cu $R-r$:

• Cercuri exterioare (unul lângă altul, fără să se atingă): $d>R+r$.
• Cercuri tangente exterioare (se ating într-un punct, pe dinafară): $d=R+r$.
• Cercuri secante (se taie în două puncte): $R-r<d<R+r$.
• Cercuri tangente interioare (unul înăuntru, se ating într-un punct): $d=R-r$.
• Cercuri interioare (unul complet în interiorul celuilalt, fără să se atingă): $d<R-r$.
• Cercuri concentrice (același centru): $d=0$.

6. Poligoane regulate înscrise în cerc

Un poligon regulat are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc: toate vârfurile lui se află pe cerc, iar centrul cercului coincide cu centrul poligonului. Ai studiat aceste figuri la lecția Poligoane regulate înscrise într-un cerc.

Două elemente importante:

• Unghiul la centru al unui poligon regulat cu $n$ laturi: vârfurile împart cercul în $n$ arce egale, deci fiecare unghi la centru are măsura $\frac{360°}{n}$.
• Apotema ($a_n$): distanța de la centru la mijlocul unei laturi (raza cercului înscris în poligon).

Pentru cele trei poligoane cerute de programă, dacă cercul are raza $r$, reține următoarele formule pentru latură și apotemă (deduse cu triunghiuri, așa cum ai văzut la Aplicații: triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat):

Cel mai ușor de reținut este hexagonul regulat: latura lui este exact egală cu raza cercului circumscris, $l_6=r$. Motivul e frumos: hexagonul regulat se împarte în $6$ triunghiuri echilaterale congruente, cu vârful comun în centru. Fiecare triunghi are unghiul la centru $60°$ și două laturi egale cu raza; fiind isoscel cu un unghi de $60°$, este de fapt echilateral, deci și a treia latură (latura hexagonului) este egală cu raza.

Din latură obții imediat perimetrul: $P=n\cdot l_n$. De exemplu, perimetrul hexagonului regulat înscris este $P=6\cdot l_6=6r$. Aceste rezultate sunt foarte utile în orice problemă cu poligoane regulate de la clasa 7, pentru că leagă direct raza cercului de laturile poligonului.

7. Strategia pentru orice problemă cu cercul

Când primești o problemă din acest capitol, urmează un plan simplu, în patru pași:

1. Fă un desen și notează pe el datele: centru, rază, coarde, unghiuri. Un desen bun rezolvă jumătate din problemă.
2. Identifică ce ți se cere: o lungime, o arie, o măsură de unghi sau o poziție relativă.
3. Alege formula sau proprietatea potrivită: $L=2\pi r$ și $\mathcal{A}=\pi r^2$ pentru cerc/disc; relația „înscris = jumătate din centru" pentru unghiuri; tabelul $l_3,l_4,l_6$ pentru poligoane; compararea distanțelor pentru poziții.
4. Calculează cu grijă unitățile și, când e frumos, lasă rezultatul exact (în funcție de $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$), aproximând doar la final.

Acest tipar te ajută să nu te blochezi: chiar dacă o problemă pare complicată, ea se descompune aproape mereu în doi-trei pași cunoscuți, legați între ei. De exemplu, dintr-o latură de poligon regulat afli raza, din rază afli lungimea cercului, iar din unghiul la centru afli un unghi înscris — totul „în lanț".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lungimea cercului și aria discului

Un cerc are raza $r=5$ cm. Calculează lungimea cercului și aria discului (folosește $\pi \approx 3,14$).

Rezolvare. Aplicăm direct formulele.

Lungimea cercului: $$L=2\pi r=2\cdot \pi \cdot 5=10\pi \approx 10\cdot 3,14=31,4\text{ cm}$$

Aria discului: $$\mathcal{A}=\pi r^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 25\cdot 3,14=78,5{\text{ cm}}^2$$

Observă unitățile: lungimea în cm, aria în cm². Rezultatele exacte, $10\pi$ cm și $25\pi$ cm², sunt de multe ori preferate în lucrări.

Exemplul 2 — Unghi la centru și unghi înscris

Într-un cerc, un unghi la centru $\widehat{AOB}$ are măsura $130°$. Punctul $M$ se află pe arcul mare $AB$. Cât măsoară unghiul înscris $\widehat{AMB}$? Cât măsoară arcul mic $AB$?

Rezolvare. Unghiul înscris $\widehat{AMB}$ și unghiul la centru $\widehat{AOB}$ subîntind același arc mic $AB$. Deci: $$m(\widehat{AMB})=\frac{m(\widehat{AOB})}{2}=\frac{130°}{2}=65°$$

Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: $$m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=130°$$

Exemplul 3 — Triunghi echilateral înscris în cerc

Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $r=8$ cm. Cât este latura triunghiului? Dar perimetrul lui?

Rezolvare. Folosim formula laturii triunghiului echilateral înscris: $$l_3=r\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ cm}$$

Perimetrul triunghiului echilateral (trei laturi egale): $$P=3\cdot l_3=3\cdot 8\sqrt{3}=24\sqrt{3}\text{ cm}\approx 24\cdot 1,73=41,52\text{ cm}$$

Exemplul 4 — Hexagonul regulat înscris

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $r=6$ cm. Calculează perimetrul hexagonului și lungimea cercului. Compară-le.

Rezolvare. La hexagonul regulat, latura este egală cu raza: $$l_6=r=6\text{ cm}\Rightarrow P=6\cdot l_6=6\cdot 6=36\text{ cm}$$

Lungimea cercului circumscris: $$L=2\pi r=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi \approx 37,68\text{ cm}$$

Observă că perimetrul hexagonului ($36$ cm) este puțin mai mic decât lungimea cercului ($\approx 37,68$ cm), lucru firesc: linia frântă a hexagonului „taie drumul" pe corzi, în timp ce cercul ocolește pe curbă. Cu cât un poligon regulat are mai multe laturi, cu atât perimetrul lui se apropie mai mult de lungimea cercului.

Exemplul 5 — Lungimea unui arc și aria unui sector

Într-un cerc de rază $r=9$ cm se consideră un unghi la centru de $120°$. Calculează lungimea arcului corespunzător și aria sectorului de cerc (cu $\pi \approx 3,14$).

Rezolvare. Unghiul $120°$ reprezintă $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ din cerc.

Lungimea arcului: $${\ell }_{\text{arc}}=\frac{120}{360}\cdot 2\pi r=\frac{1}{3}\cdot 2\pi \cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 18\pi =6\pi \approx 18,84\text{ cm}$$

Aria sectorului: $${\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{120}{360}\cdot \pi r^2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 81=27\pi \approx 84,78{\text{ cm}}^2$$

Exemplul 6 — Poziția a două cercuri

Două cercuri au razele $R=6$ cm și $r=4$ cm, iar distanța dintre centrele lor este $O{O}^{\prime }=10$ cm. În ce poziție se află cele două cercuri?

Rezolvare. Comparăm distanța dintre centre cu $R+r$ și $R-r$: $$R+r=6+4=10,R-r=6-4=2$$

Deoarece $O{O}^{\prime }=10=R+r$, cercurile sunt tangente exterioare: se ating într-un singur punct, situat pe segmentul care unește centrele. Dacă distanța ar fi fost, de exemplu, $7$ cm, atunci $2<7<10$, iar cercurile ar fi fost secante.

Exemplul 7 — Problemă „în lanț": de la pătratul înscris la lungimea cercului

Un pătrat este înscris într-un cerc. Latura pătratului este $l_4=4\sqrt{2}$ cm. Calculează raza cercului, apoi lungimea cercului și aria discului (cu $\pi \approx 3,14$).

Rezolvare. Pornim de la formula laturii pătratului înscris, $l_4=r\sqrt{2}$, și aflăm raza: $$r\sqrt{2}=4\sqrt{2}\Rightarrow r=4\text{ cm}$$

Acum avem raza și continuăm „în lanț". Lungimea cercului: $$L=2\pi r=2\cdot 3,14\cdot 4=25,12\text{ cm}$$

Aria discului: $$\mathcal{A}=\pi r^2=3,14\cdot 16=50,24{\text{ cm}}^2$$

Observă cum o singură informație (latura pătratului) a deschis, pas cu pas, toate celelalte mărimi: latura $\to$ rază $\to$ lungime și arie.

Exemplul 8 — Câte laturi are poligonul?

Un poligon regulat este înscris într-un cerc, iar fiecare unghi la centru determinat de două vârfuri vecine măsoară $45°$. Câte laturi are poligonul? Dacă raza cercului este $r=10$ cm, cât este lungimea unui arc dintre două vârfuri vecine (cu $\pi \approx 3,14$)?

Rezolvare. Numărul de laturi este numărul de arce egale în care vârfurile împart cercul: $$n=\frac{360°}{45°}=8\text{ laturi (un octogon regulat)}$$

Lungimea unui arc dintre două vârfuri vecine corespunde unui unghi la centru de $45°$: $${\ell }_{\text{arc}}=\frac{45}{360}\cdot 2\pi r=\frac{1}{8}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=\frac{1}{8}\cdot 62,8=7,85\text{ cm}$$

Verificare rapidă: cele $8$ arce egale trebuie să dea la un loc lungimea întregului cerc, $8\cdot 7,85=62,8$ cm $=2\pi r$. Corect.

Exemplul 9 — Distanța de la centru la o coardă

Într-un cerc de rază $r=10$ cm se consideră o coardă $AB$ de lungime $16$ cm. Cât este distanța de la centrul $O$ la coarda $AB$?

Rezolvare. Perpendiculara dusă din centrul $O$ pe coarda $AB$ cade în mijlocul $M$ al coardei (o proprietate a cercului: perpendiculara din centru pe o coardă o înjumătățește). Deci $AM=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm.

Triunghiul $OMA$ este dreptunghic în $M$, cu ipotenuza $OA=r=10$ cm (rază) și o catetă $AM=8$ cm. Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm cealaltă catetă $OM$ (chiar distanța căutată): $$O{M}^2=O{A}^2-A{M}^2=10^2-8^2=100-64=36\Rightarrow OM=\sqrt{36}=6\text{ cm}$$

Distanța de la centru la coardă este $6$ cm. Observă că $6<10=r$, ceea ce este firesc: orice coardă (care nu e diametru) se află la o distanță mai mică decât raza față de centru, iar dreapta ei suport este secantă. Cu cât coarda este mai lungă, cu atât se apropie mai mult de centru; diametrul, cea mai lungă coardă, trece chiar prin centru (distanța $0$).

Să exersăm

Rezolvă exercițiile de mai jos într-un caiet. Sunt gradate de la ușor la greu. Folosește $\pi \approx 3,14$ acolo unde ți se cere o valoare aproximativă, iar $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$ pentru estimări.

1. Un cerc are raza $r=7$ cm. Cât este diametrul lui?
2. Un cerc are diametrul $d=26$ cm. Cât este raza lui?
3. Calculează lungimea unui cerc cu raza $r=10$ cm (cu $\pi \approx 3,14$).
4. Calculează aria unui disc cu raza $r=4$ cm (lasă rezultatul în funcție de $\pi$, apoi aproximează).
5. Adevărat sau fals, cu justificare: „Orice diametru al unui cerc este o coardă."
6. Un unghi la centru are măsura $130°$. Cât măsoară un unghi înscris care subîntinde același arc?
7. Un unghi înscris are măsura $35°$. Cât măsoară unghiul la centru corespunzător aceluiași arc?
8. Un triunghi $ABC$ este înscris într-un cerc, iar latura $BC$ este diametru. Cât măsoară unghiul $\widehat{BAC}$? Justifică.
9. Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $r=8$ cm. Cât este latura lui?
10. Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $r=5$ cm. Cât este latura pătratului și cât este perimetrul lui?
11. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $r=6$ cm. Cât este latura lui și cât este perimetrul lui?
12. Latura unui hexagon regulat este de $9$ cm. Cât este raza cercului în care este înscris?
13. Stabilește poziția dreptei față de cerc în fiecare caz, comparând distanța $\delta$ de la centru la dreaptă cu raza $r$: a) $\delta =4$ cm, $r=4$ cm; b) $\delta =3$ cm, $r=5$ cm; c) $\delta =7$ cm, $r=5$ cm.
14. Două cercuri au razele $R=6$ cm și $r=4$ cm, cu distanța dintre centre $O{O}^{\prime }=3$ cm. În ce poziție se află cercurile?
15. Calculează lungimea unui arc de cerc cu raza $r=12$ cm, corespunzător unui unghi la centru de $60°$ (cu $\pi \approx 3,14$).
16. Calculează aria unui sector de cerc cu raza $r=6$ cm și unghi la centru $90°$ (lasă rezultatul în funcție de $\pi$, apoi aproximează).
17. Roata unei biciclete are diametrul de $70$ cm. Ce distanță (în metri) parcurge bicicleta după $100$ de rotații complete ale roții? (cu $\pi \approx 3,14$)
18. Un poligon regulat are unghiul la centru de $40°$. Câte laturi are poligonul?
19. Două cercuri concentrice au razele $R=10$ cm și $r=6$ cm. Calculează aria coroanei circulare (suprafața cuprinsă între cele două cercuri). Lasă rezultatul în funcție de $\pi$, apoi aproximează.
20. Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $r=10$ cm. Cât este apotema hexagonului? (folosește $\sqrt{3}\approx 1,73$)
21. Privește un ceas cu limbi. Ce unghi la centru formează cele două limbi la ora $4:00$? Dar la ora $5:00$?
22. Într-un cerc de rază $r=13$ cm, o coardă se află la distanța de $5$ cm față de centru. Cât este lungimea coardei? (Indicație: folosește teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de rază, distanță și jumătate de coardă.)

Răspunsuri și explicații

1. $d=2r=2\cdot 7=14$ cm.
2. $r=\frac{d}{2}=\frac{26}{2}=13$ cm.
3. $L=2\pi r=2\cdot 3,14\cdot 10=62,8$ cm.
4. $\mathcal{A}=\pi r^2=\pi \cdot 4^2=16\pi \approx 16\cdot 3,14=50,24$ cm².
5. Adevărat. O coardă este orice segment care unește două puncte de pe cerc. Diametrul unește două puncte de pe cerc (și trece în plus prin centru), deci este o coardă — de fapt cea mai lungă coardă posibilă.
6. Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru: $\frac{130°}{2}=65°$.
7. Unghiul la centru este dublul unghiului înscris: $2\cdot 35°=70°$.
8. $\widehat{BAC}=90°$. Fiind un unghi înscris care subîntinde diametrul $BC$ (adică un semicerc de $180°$), măsura lui este $\frac{180°}{2}=90°$. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$.
9. $l_3=r\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm $\approx 13,84$ cm.
10. $l_4=r\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ cm; perimetrul $P=4\cdot 5\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ cm $\approx 28,2$ cm.
11. $l_6=r=6$ cm; perimetrul $P=6\cdot 6=36$ cm.
12. La hexagonul regulat, latura este egală cu raza cercului circumscris, deci $r=l_6=9$ cm.
13. a) $\delta =r$ ($4=4$) $\Rightarrow$ dreapta este tangentă; b) $\delta <r$ ($3<5$) $\Rightarrow$ dreapta este secantă; c) $\delta >r$ ($7>5$) $\Rightarrow$ dreapta este exterioară.
14. $R+r=10$, $R-r=2$. Cum $O{O}^{\prime }=3$ și $2<3<10$, adică $R-r<O{O}^{\prime }<R+r$, cercurile sunt secante (se taie în două puncte).
15. ${\ell }_{\text{arc}}=\frac{60}{360}\cdot 2\pi r=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 12=\frac{1}{6}\cdot 75,36=12,56$ cm. (Exact: $4\pi$ cm.)
16. ${\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{90}{360}\cdot \pi r^2=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 36=9\pi$ cm² $\approx 9\cdot 3,14=28,26$ cm².
17. Lungimea unei rotații = lungimea cercului roții: $L=\pi d=3,14\cdot 70=219,8$ cm. La $100$ de rotații: $100\cdot 219,8=21980$ cm $=219,8$ m.
18. Numărul de laturi este $n=\frac{360°}{40°}=9$ laturi.
19. Aria coroanei circulare este diferența ariilor celor două discuri: $\mathcal{A}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (10^2-6^2)=\pi (100-36)=64\pi$ cm² $\approx 64\cdot 3,14=200,96$ cm².
20. Apotema hexagonului regulat este $a_6=\frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm $\approx 5\cdot 1,73=8,65$ cm.
21. Fiecare oră de pe cadran corespunde unui unghi la centru de $\frac{360°}{12}=30°$. La ora $4:00$ limbile sunt despărțite de $4$ diviziuni orare: $4\cdot 30°=120°$. La ora $5:00$: $5\cdot 30°=150°$.
22. Perpendiculara din centru înjumătățește coarda, iar raza, distanța și jumătatea coardei formează un triunghi dreptunghic. Cu teorema lui Pitagora, jumătatea coardei este $\sqrt{r^2-5^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. Coarda întreagă are $2\cdot 12=24$ cm.

De reținut

• Elementele cercului: raza $r$, diametrul $d=2r$, coarda (segment cu capetele pe cerc), arcul, unghiul la centru și unghiul înscris. Discul este suprafața, cercul este linia.
• Unghiuri: măsura unui unghi înscris este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc; un unghi înscris în semicerc are $90°$.
• Formule cheie: lungimea cercului $L=2\pi r=\pi d$; aria discului $\mathcal{A}=\pi r^2$; arc $=\frac{n}{360}\cdot 2\pi r$; sector $=\frac{n}{360}\cdot \pi r^2$.
• Poziții relative: dreaptă–cerc după compararea lui $\delta$ cu $r$ (exterioară / tangentă / secantă); două cercuri după compararea lui $O{O}^{\prime }$ cu $R+r$ și $R-r$.
• Poligoane regulate înscrise (rază $r$): triunghi echilateral $l_3=r\sqrt{3}$; pătrat $l_4=r\sqrt{2}$; hexagon regulat $l_6=r$. Unghiul la centru al unui poligon regulat cu $n$ laturi este $\frac{360°}{n}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia rază–diametru. Mulți elevi înlocuiesc diametrul în locul razei în formule. Reține: în $L=2\pi r$ și $\mathcal{A}=\pi r^2$ apare raza. Dacă ți se dă diametrul, împarte-l mai întâi la $2$ (sau folosește $L=\pi d$ pentru lungime).
• Confuzia lungime–arie. Lungimea se măsoară în cm (unități liniare), aria în cm² (unități pătratice). Dacă rezultatul tău are $r^2$, este arie; dacă are $r$ la puterea întâi, este lungime. Nu amesteca unitățile.
• Unghi înscris ≠ unghi la centru. Unghiul înscris este jumătate din cel la centru, nu egal cu el. Când citești problema, verifică unde este vârful unghiului: în centru (unghi la centru) sau pe cerc (unghi înscris).
• Latura hexagonului confundată la celelalte poligoane. Doar la hexagonul regulat latura este egală cu raza ($l_6=r$). La triunghiul echilateral latura este $r\sqrt{3}$, iar la pătrat $r\sqrt{2}$. Nu generaliza regula hexagonului.

Aplică acasă

• Măsoară o roată reală. Ia o roată de bicicletă, un capac de oală sau o farfurie. Măsoară cu o ruletă sau cu o ață diametrul, apoi calculează lungimea cercului cu $L=\pi d$. Verifică apoi „experimental": rostogolește obiectul o rotație completă pe podea și măsoară distanța parcursă — ar trebui să iasă aproape la fel.
• Ceasul și unghiurile. Privește un ceas cu limbi. Fiecare oră corespunde unui unghi la centru de $\frac{360°}{12}=30°$. Calculează ce unghi la centru fac limbile la ora $3:00$, la $4:00$ și la $2:00$, apoi verifică desenând.
• Construiește un hexagon perfect. Cu un compas, desenează un cerc de rază $5$ cm. Fără a modifica deschiderea compasului, pornește dintr-un punct de pe cerc și „pasează" raza de-a lungul cercului: vei marca exact $6$ puncte. Unește-le și obții un hexagon regulat — o dovadă practică a faptului că $l_6=r$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție de recapitulare adună un capitol întreg, așa că sprijinul cel mai eficient este să verificați împreună vocabularul înainte de calcule: cereți copilului să vă arate pe un desen raza, diametrul, o coardă, un arc, un unghi la centru și un unghi înscris. Dacă le distinge corect, restul devine aplicarea a două-trei formule.

Întrebări bune de verificare: „De ce apare raza, nu diametrul, în formula ariei?", „Cum recunoști dacă o dreaptă e tangentă la cerc?", „De ce latura hexagonului regulat este egală cu raza?". Un copil care a înțeles va putea justifica, nu doar recita formula. Un semn clar de stăpânire a temei este când reușește să treacă singur de la diametru la rază (împărțind la $2$) și când nu confundă unitățile de lungime cu cele de arie. Încurajați-l să lase rezultatele „exacte" în funcție de $\pi$ și de $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, aproximând doar la final — este exact abordarea cerută în clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre cerc și disc? Cercul este linia curbă închisă (conturul), formată din punctele aflate la distanța $r$ de centru. Discul este suprafața plină, adică cercul împreună cu tot interiorul lui. De aceea vorbim despre lungimea cercului (a liniei) și despre aria discului (a suprafeței).

Cum calculez lungimea cercului la clasa a 7-a? Folosești formula $L=2\pi r$, unde $r$ este raza, sau echivalent $L=\pi d$, unde $d$ este diametrul. Pentru un rezultat aproximativ înlocuiești $\pi \approx 3,14$. De exemplu, pentru $r=10$ cm obții $L=62,8$ cm.

Care este formula ariei discului? Aria discului este $\mathcal{A}=\pi r^2$, unde $r$ este raza. Atenție că raza apare la pătrat, deci aria se măsoară în unități pătratice (cm², m²). Pentru $r=4$ cm obții $\mathcal{A}=16\pi \approx 50,24$ cm².

Ce legătură este între unghiul la centru și unghiul înscris? Un unghi înscris are măsura egală cu jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc. Reciproc, unghiul la centru este dublul unghiului înscris corespunzător. Un caz special: un unghi înscris care „privește" un diametru are mereu $90°$.

De ce latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului? Pentru că hexagonul regulat se împarte în $6$ triunghiuri echilaterale congruente cu vârful în centru. Fiecare triunghi are unghiul la centru de $60°$ și două laturi egale cu raza; fiind isoscel cu un unghi de $60°$, este echilateral, deci și a treia latură (latura hexagonului) este egală cu raza. Astfel $l_6=r$.

Cum aflu poziția unei drepte față de un cerc? Compari distanța $\delta$ de la centrul cercului la dreaptă cu raza $r$. Dacă $\delta >r$, dreapta este exterioară (0 puncte comune); dacă $\delta =r$, este tangentă (1 punct); dacă $\delta <r$, este secantă (2 puncte).

Care sunt laturile triunghiului echilateral și ale pătratului înscrise într-un cerc de rază r? Pentru triunghiul echilateral înscris, latura este $l_3=r\sqrt{3}$, iar pentru pătratul înscris, latura este $l_4=r\sqrt{2}$. La hexagonul regulat, latura este chiar egală cu raza, $l_6=r$. Din laturi obții imediat perimetrele înmulțind cu numărul de laturi.

Ce este apotema unui poligon regulat? Apotema este distanța de la centrul poligonului la mijlocul unei laturi, adică raza cercului înscris în poligon. Pentru poligoanele de la clasa a 7-a: $a_3=\frac{r}{2}$ (triunghi echilateral), $a_4=\frac{r\sqrt{2}}{2}$ (pătrat) și $a_6=\frac{r\sqrt{3}}{2}$ (hexagon regulat), unde $r$ este raza cercului circumscris.