Recapitulare: ecuații, sisteme de ecuații liniare și probleme

Ai ajuns la finalul clasei a VII-a, iar ecuațiile și sistemele au devenit deja unelte pe care le folosești aproape reflex. Gândește-te la o situație reală: doi prieteni cumpără împreună 3 shaorme și 2 sucuri și plătesc 47 de lei, iar altă dată 2 shaorme și 3 sucuri costă 43 de lei. Cât costă o shaormă? Nu ai cum să ghicești din prima, dar cu un sistem de două ecuații liniare afli exact răspunsul. În această recapitulare de ecuații pentru clasa a 7-a strângem la un loc tot ce ai învățat: ecuații liniare, ecuația $x^2=a$, metoda reducerii și metoda substituției, verificarea soluției și, cel mai important, transformarea unui enunț în limbaj matematic. Este exact bagajul cu care intri sigur pe tine în clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi ecuații liniare de forma $ax+b=0$ și ecuații de forma $x^2=a$, verificând de fiecare dată soluția.
• Vei ști să rezolvi un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute prin metoda reducerii și prin metoda substituției.
• Vei ști să discuți cazurile unei ecuații sau ale unui sistem: soluție unică, nicio soluție sau o infinitate de soluții.
• Vei ști să transformi enunțul unei probleme în ecuație sau în sistem, alegând corect necunoscutele.
• Vei ști să verifici că rezultatul găsit chiar se potrivește cu întrebarea problemei.

Hai să descoperim împreună

Această lecție este o recapitulare, deci nu învățăm noțiuni complet noi, ci le legăm între ele și le facem să funcționeze împreună. Dacă simți nevoia să reiei o idee mai în detaliu, ai la îndemână lecțiile dedicate: ecuația de forma $ax+b=0$, ecuația $x^2=a$, metoda substituției și metoda reducerii.

1. Ce înseamnă „a rezolva o ecuație"

O ecuație este o egalitate care conține o necunoscută (o literă, de obicei $x$). A rezolva ecuația înseamnă a găsi toate valorile necunoscutei pentru care egalitatea este adevărată. Fiecare astfel de valoare se numește soluție.

Instrumentul de bază este transformarea echivalentă: putem face aceeași operație în ambii membri ai egalității fără să schimbăm soluțiile. Concret:

• putem aduna sau scădea același număr (sau aceeași expresie) în ambii membri;
• putem înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul.

Regula practică pe care o folosești tot timpul este „trecerea termenilor dintr-un membru în altul cu semn schimbat" — aceasta nu e o regulă magică, ci exact consecința faptului că aduni sau scazi același termen în ambii membri.

2. Ecuația liniară $ax+b=0$

Forma generală a ecuației de gradul I (liniară) este $$ax+b=0,a\ne 0.$$ Rezolvarea are mereu aceiași pași:

1. Treci termenul liber în membrul drept: $ax=-b$.
2. Împarți la coeficientul lui $x$: $x=-\frac{b}{a}$ (are sens fiindcă $a\ne 0$).

Când $a=0$, ecuația nu mai este de gradul I și apar cazurile speciale, pe care le reamintim mai jos. Multe ecuații nu vin direct în forma $ax+b=0$: mai întâi desfaci parantezele, aduci numitorii la un numitor comun și reduci termenii asemenea, până ajungi la forma standard. Aceste ecuații reductibile la $ax+b=0$ le-ai exersat în lecția ecuații reductibile la forma $ax+b=0$.

Sub-exemplu. Rezolvăm $3(x-2)=2x+5$.

• Desfacem paranteza: $3x-6=2x+5$.
• Trecem termenii cu $x$ la stânga și numerele la dreapta: $3x-2x=5+6$, adică $x=11$.
• Verificare: în stânga $3(11-2)=3\cdot 9=27$; în dreapta $2\cdot 11+5=27$. Egalitate adevărată, deci $x=11$ este soluția.

Verificarea nu este opțională. Este pasul care îți spune, negru pe alb, dacă ai greșit undeva pe drum. Înlocuiești soluția în ecuația inițială și verifici că cei doi membri dau același număr.

3. Cazurile unei ecuații liniare

Nu orice ecuație are exact o soluție. După ce reduci totul, poți ajunge la una din trei situații:

• O singură soluție: rămâi cu $ax=c$ și $a\ne 0$, deci $x=\frac{c}{a}$. Exemplu: $5x=15\Rightarrow x=3$.
• Nicio soluție (imposibilă): rămâi cu ceva de tipul $0\cdot x=7$, adică $0=7$, fals pentru orice $x$. Mulțimea soluțiilor este $\varnothing$.
• O infinitate de soluții (identitate): rămâi cu $0\cdot x=0$, adică $0=0$, adevărat pentru orice $x$. Soluția este orice număr real.

Aceste trei cazuri le-ai văzut pe larg în lecția cazurile unei ecuații liniare. Le reamintim aici pentru că vor reapărea, la fel, când discutăm sistemele.

4. Ecuația de forma $x^2=a$

Pe lângă ecuațiile liniare, la clasa a VII-a apare și ecuația $x^2=a$. Aici discuția depinde de semnul lui $a$:

• Dacă $a>0$, ecuația are două soluții opuse: $x=\sqrt{a}$ și $x=-\sqrt{a}$. Le scriem scurt $x=\pm \sqrt{a}$.
• Dacă $a=0$, ecuația $x^2=0$ are o singură soluție: $x=0$.
• Dacă $a<0$, ecuația nu are soluții în $\mathbb{R}$, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ.

Sub-exemplu. $x^2=49\Rightarrow x=\pm 7$, deci $x\in \{-7,7\}$. Sub-exemplu. $x^2=20$. Cum $20$ nu e pătrat perfect, scriem $x=\pm \sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5}$, folosind scoaterea factorilor de sub radical. Atenție la greșeala clasică: $x^2=49$ nu înseamnă doar $x=7$. Numărul $-7$ verifică și el, fiindcă $(-7{)}^2=49$. Uitarea soluției negative este cea mai frecventă greșeală la această ecuație.

5. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute

Un sistem apare atunci când avem două necunoscute (de obicei $x$ și $y$) legate prin două condiții simultane. Îl scriem cu acoladă: $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$ A rezolva sistemul înseamnă a găsi perechea $(x,y)$ care verifică ambele ecuații în același timp. Ai la dispoziție două metode principale.

Metoda substituției

Ideea: din una dintre ecuații scoți o necunoscută în funcție de cealaltă și o înlocuiești în a doua ecuație. Astfel ajungi la o singură ecuație, cu o singură necunoscută.

Pași:

1. Alege o ecuație și izolează o necunoscută (ideal, una al cărei coeficient este $1$, ca să eviți fracțiile).
2. Înlocuiește expresia obținută în cealaltă ecuație.
3. Rezolvă ecuația de gradul I rezultată.
4. Revii cu valoarea găsită și afli cealaltă necunoscută.
5. Verifici perechea în ambele ecuații.

Metoda reducerii

Ideea: aduci coeficienții aceleiași necunoscute la numere opuse (sau egale), apoi aduni (sau scazi) ecuațiile, astfel încât o necunoscută să dispară.

Pași:

1. Înmulțești, dacă e nevoie, una sau ambele ecuații cu numere potrivite, ca să obții coeficienți opuși la $x$ sau la $y$.
2. Aduni ecuațiile membru cu membru; o necunoscută se reduce.
3. Rezolvi ecuația de gradul I rămasă.
4. Afli cealaltă necunoscută înlocuind într-o ecuație inițială.
5. Verifici perechea.

Cum alegi metoda? Dacă vezi o necunoscută cu coeficient $1$ (sau ușor de izolat), substituția e comodă. Dacă vezi coeficienți deja opuși sau egali, ori ușor de făcut opuși, reducerea e mai rapidă. Ambele metode dau același răspuns; alegerea ține doar de confort. Comparația detaliată este în lecția compararea metodelor și tipuri de soluții.

6. Tipurile de soluții ale unui sistem

Ca la ecuația liniară, un sistem poate avea:

• Soluție unică — o singură pereche $(x,y)$. Geometric, cele două „drepte" se intersectează într-un punct.
• Nicio soluție — când ajungi la o egalitate falsă (de exemplu $0=5$). Dreptele sunt paralele și nu se ating.
• O infinitate de soluții — când ajungi la o egalitate mereu adevărată (de exemplu $0=0$). Cele două ecuații descriu, de fapt, aceeași dreaptă.

La clasa a VII-a, în majoritatea problemelor practice, sistemul are soluție unică, dar e important să recunoști și celelalte două cazuri când apar.

7. Modelarea unei probleme: pașii de aur

Aici se vede cu adevărat la ce folosesc ecuațiile. O problemă cu ecuații sau sisteme se rezolvă în etape clare, pe care le-ai văzut în lecția etapele rezolvării unei probleme:

1. Citește enunțul de două ori și stabilește ce se cere.
2. Alege necunoscutele și notează-le limpede: „fie $x$ = ... și $y$ = ...". Scrie și unitatea de măsură.
3. Traduce fiecare propoziție cu informație numerică într-o ecuație.
4. Rezolvă ecuația sau sistemul.
5. Verifică rezultatul în enunțul problemei (nu doar în ecuație) și controlează dacă are sens (o vârstă nu poate fi negativă, un număr de persoane trebuie să fie întreg etc.).
6. Scrie răspunsul într-o propoziție completă.

Câteva „traduceri" utile din română în limbaj matematic:

Alegerea inteligentă a necunoscutelor scurtează enorm rezolvarea. Dacă ai două mărimi necunoscute care se leagă prin două condiții, un sistem este aproape întotdeauna calea cea mai curată. Dacă însă toate mărimile din problemă se pot exprima ușor în funcție de una singură, atunci o singură ecuație cu o singură necunoscută este mai simplă: alegi necunoscuta „de bază", scrii restul mărimilor în funcție de ea și traduci condiția rămasă. De pildă, la problema cu vârstele fratelui și ale Anei (exercițiul 17 de mai jos), am ales o singură necunoscută — vârsta fratelui — fiindcă vârsta Anei se scrie imediat ca $3x$; nu era nevoie de sistem.

Un sfat care te scapă de multe greșeli: înainte de a rezolva, estimează ordinul de mărime al răspunsului. Dacă o problemă cere prețul unui pix și tu obții $200$ de lei, ceva e clar greșit — probabil ai încurcat necunoscutele sau ai greșit un semn. Estimarea nu înlocuiește verificarea, dar îți dă un reflex sănătos: știi din start în ce interval trebuie să pice răspunsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație reductibilă la $ax+b=0$

Rezolvă: $\frac{2x-1}{3}+1=\frac{x+4}{2}$.

Rezolvare. Numitor comun $6$. Înmulțim ambii membri cu $6$: $$6\cdot \frac{2x-1}{3}+6\cdot 1=6\cdot \frac{x+4}{2}$$ $$2(2x-1)+6=3(x+4).$$ Desfacem parantezele: $4x-2+6=3x+12$, adică $4x+4=3x+12$. Trecem termenii: $4x-3x=12-4$, deci $x=8$.

Verificare: stânga $\frac{2\cdot 8-1}{3}+1=\frac{15}{3}+1=5+1=6$; dreapta $\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$. Corect, $x=8$.

Exemplul 2 — Ecuația $x^2=a$

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2x^2-5=45$.

Rezolvare. Izolăm $x^2$: $2x^2=50\Rightarrow x^2=25$. Cum $25>0$, avem $x=\pm \sqrt{25}=\pm 5$. Deci $x\in \{-5,5\}$.

Verificare: pentru $x=5$: $2\cdot 25-5=50-5=45$. La fel pentru $x=-5$, fiindcă $(-5{)}^2=25$. Ambele soluții sunt corecte.

Exemplul 3 — Sistem prin metoda substituției

Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=14\end{array}$$

Rezolvare. Prima ecuație ne dă deja $y$ izolat, deci substituția este imediată. Înlocuim $y=2x-1$ în a doua: $$3x+(2x-1)=14\Rightarrow 5x-1=14\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3.$$ Revenim: $y=2\cdot 3-1=5$.

Verificare: ecuația 1: $y=2\cdot 3-1=5$ ✓; ecuația 2: $3\cdot 3+5=9+5=14$ ✓. Soluția sistemului este $(x,y)=(3,5)$.

Exemplul 4 — Sistem prin metoda reducerii

Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ 5x-2y=8\end{array}$$

Rezolvare. Observăm că avem $+2y$ și $-2y$: coeficienții lui $y$ sunt deja opuși. Adunăm ecuațiile membru cu membru: $$(3x+5x)+(2y-2y)=16+8\Rightarrow 8x=24\Rightarrow x=3.$$ Înlocuim în prima ecuație: $3\cdot 3+2y=16\Rightarrow 9+2y=16\Rightarrow 2y=7\Rightarrow y=\frac{7}{2}=3,5$.

Verificare: ecuația 2: $5\cdot 3-2\cdot 3,5=15-7=8$ ✓. Soluția este $(x,y)=\left(3,\frac{7}{2}\right)$.

Exemplul 5 — Sistem care cere înmulțire înainte de reducere

Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 3x-y=7\end{array}$$

Rezolvare. Coeficienții lui $y$ sunt $3$ și $-1$. Înmulțim a doua ecuație cu $3$, ca să obținem $-3y$: $$3\cdot (3x-y)=3\cdot 7\Rightarrow 9x-3y=21.$$ Acum adunăm cu prima ecuație: $$(2x+9x)+(3y-3y)=12+21\Rightarrow 11x=33\Rightarrow x=3.$$ Din a doua ecuație inițială: $3\cdot 3-y=7\Rightarrow 9-y=7\Rightarrow y=2$.

Verificare: ecuația 1: $2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$ ✓; ecuația 2: $3\cdot 3-2=7$ ✓. Soluția este $(x,y)=(3,2)$.

Exemplul 6 — Problemă modelată prin sistem (shaorma și sucul din introducere)

Trei shaorme și două sucuri costă 47 lei; două shaorme și trei sucuri costă 43 lei. Cât costă o shaormă și cât un suc?

Rezolvare.

• Alegem necunoscutele: fie $x$ = prețul unei shaorme (lei) și $y$ = prețul unui suc (lei).
• Scriem sistemul: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=47\\ 2x+3y=43\end{array}$$
• Rezolvăm prin reducere. Înmulțim prima ecuație cu $3$ și pe a doua cu $2$, ca să egalăm coeficienții lui $y$: $$\{\begin{array}{l}9x+6y=141\\ 4x+6y=86\end{array}$$ Scădem a doua din prima: $(9x-4x)+(6y-6y)=141-86\Rightarrow 5x=55\Rightarrow x=11$. Din prima ecuație inițială: $3\cdot 11+2y=47\Rightarrow 33+2y=47\Rightarrow 2y=14\Rightarrow y=7$.

Verificare în enunț: $3\cdot 11+2\cdot 7=33+14=47$ ✓ și $2\cdot 11+3\cdot 7=22+21=43$ ✓. Răspuns: o shaormă costă 11 lei, iar un suc 7 lei.

Exemplul 7 — Sistem cu o infinitate de soluții

Rezolvă și precizează tipul de soluție: $$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x+6y=15\end{array}$$

Rezolvare. La prima vedere pare un sistem obișnuit, dar merită să ne uităm la legătura dintre ecuații. Dacă înmulțim prima ecuație cu $3$, obținem $3x+6y=15$ — exact a doua ecuație. Cele două ecuații spun, de fapt, același lucru: a doua nu aduce nicio informație nouă.

Să vedem ce se întâmplă dacă totuși încercăm reducerea. Înmulțim prima ecuație cu $-3$ și o adunăm la a doua: $$\{\begin{array}{l}-3x-6y=-15\\ 3x+6y=15\end{array}$$ Adunând membru cu membru: $0=0$, o egalitate mereu adevărată. Nu am obținut o valoare pentru $x$, ci o afirmație care nu restrânge nimic.

Concluzie. Sistemul are o infinitate de soluții: orice pereche $(x,y)$ care verifică $x+2y=5$ este soluție. De exemplu, $(5,0)$, $(3,1)$ și $(1,2)$ verifică toate ambele ecuații. Geometric, cele două ecuații descriu aceeași dreaptă, așa că toate punctele ei sunt soluții comune. Reține semnul: la reducere ajungi la $0=0$ (adevărat mereu), spre deosebire de cazul „nicio soluție", unde ajungi la $0=k$ cu $k\ne 0$ (fals mereu).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind toți pașii și, mai ales, verificarea. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Rezolvă ecuația: $4x-9=11$.

2. Rezolvă ecuația: $7-2x=1$.

3. Rezolvă ecuația: $5(x-2)=3x+4$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2=81$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $x^2+4=4$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $3x^2=48$.

7. Rezolvă ecuația cu numitori: $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$.

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^2=16$ are o singură soluție, $x=4$."

9. Rezolvă prin substituție: $$\{\begin{array}{l}x=y+2\\ 2x+y=13\end{array}$$

10. Rezolvă prin reducere: $$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x-y=4\end{array}$$

11. Rezolvă prin metoda pe care o preferi: $$\{\begin{array}{l}4x+y=15\\ 3x-y=6\end{array}$$

12. Rezolvă: $$\{\begin{array}{l}2x+5y=24\\ 3x-5y=1\end{array}$$

13. Rezolvă și precizează tipul de soluție: $$\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 2x+4y=15\end{array}$$

14. Suma a două numere este $37$, iar diferența lor este $11$. Află numerele.

15. Într-o clasă sunt cu $6$ fete mai multe decât băieți, iar în total sunt $30$ de elevi. Câți băieți și câte fete sunt?

16. Un caiet și un pix costă împreună $12$ lei. Trei caiete și două pixuri costă $31$ lei. Cât costă un caiet și cât un pix?

17. Ana are de trei ori vârsta fratelui ei. Peste $6$ ani, suma vârstelor lor va fi $36$ de ani. Ce vârstă are fiecare acum?

18. Un dreptunghi are perimetrul $46$ cm, iar lungimea cu $7$ cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile și aria dreptunghiului.

19. Rezolvă și precizează tipul de soluție: $$\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ 4x-2y=6\end{array}$$

20. Un tată are acum $40$ de ani, iar fiul său $10$ ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi de $3$ ori mai mare decât vârsta fiului?

Răspunsuri și explicații

1. $4x-9=11\Rightarrow 4x=20\Rightarrow x=5$. Verificare: $4\cdot 5-9=11$ ✓.

2. $7-2x=1\Rightarrow -2x=-6\Rightarrow x=3$. Verificare: $7-2\cdot 3=1$ ✓.

3. $5x-10=3x+4\Rightarrow 2x=14\Rightarrow x=7$. Verificare: $5(7-2)=25$, $3\cdot 7+4=25$ ✓.

4. $x^2=81\Rightarrow x=\pm 9$, deci $x\in \{-9,9\}$. (Nu uita soluția negativă!)

5. $x^2+4=4\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$. O singură soluție.

6. $3x^2=48\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$, deci $x\in \{-4,4\}$.

7. Numitor comun $6$: $3x+2x=60\Rightarrow 5x=60\Rightarrow x=12$. Verificare: $\frac{12}{2}+\frac{12}{3}=6+4=10$ ✓.

8. Fals. $x^2=16$ are două soluții, $x=4$ și $x=-4$, fiindcă $(-4{)}^2=16$. Corect: $x\in \{-4,4\}$.

9. Substituim $x=y+2$ în a doua: $2(y+2)+y=13\Rightarrow 3y+4=13\Rightarrow y=3$; apoi $x=5$. Soluție: $(5,3)$. Verificare: $2\cdot 5+3=13$ ✓.

10. Adunăm ecuațiile: $2x=14\Rightarrow x=7$; apoi $y=10-7=3$. Soluție: $(7,3)$. Verificare: $7-3=4$ ✓.

11. Adunăm cele două ecuații ($+y$ cu $-y$): $7x=21\Rightarrow x=3$; din prima $12+y=15\Rightarrow y=3$. Soluție: $(3,3)$. Verificare: $3\cdot 3-3=6$ ✓.

12. Adunăm ($+5y$ cu $-5y$): $5x=25\Rightarrow x=5$; din prima $10+5y=24\Rightarrow 5y=14\Rightarrow y=\frac{14}{5}=2,8$. Soluție: $\left(5,\frac{14}{5}\right)$. Verificare în ecuația 2: $3\cdot 5-5\cdot 2,8=15-14=1$ ✓.

13. Înmulțim prima cu $2$: $2x+4y=12$. A doua spune $2x+4y=15$. Ar rezulta $12=15$, fals. Sistemul nu are soluție (dreptele sunt paralele). Mulțimea soluțiilor este $\varnothing$.

14. Fie $x,y$ numerele. Sistem: $x+y=37$, $x-y=11$. Adunând: $2x=48\Rightarrow x=24$; apoi $y=13$. Numerele sunt $24$ și $13$. Verificare: $24+13=37$, $24-13=11$ ✓.

15. Fie $b$ = băieți, $f$ = fete. Sistem: $f=b+6$, $b+f=30$. Substituim: $b+b+6=30\Rightarrow 2b=24\Rightarrow b=12$; $f=18$. Deci 12 băieți și 18 fete. Verificare: $12+18=30$, iar $18-12=6$ ✓.

16. Fie $c$ = prețul unui caiet, $p$ = prețul unui pix. Sistem: $c+p=12$, $3c+2p=31$. Din prima $p=12-c$; substituim: $3c+2(12-c)=31\Rightarrow 3c+24-2c=31\Rightarrow c=7$; $p=5$. Un caiet 7 lei, un pix 5 lei. Verificare: $3\cdot 7+2\cdot 5=21+10=31$ ✓.

17. Fie $x$ = vârsta fratelui acum; Ana are $3x$. Peste $6$ ani: $(x+6)+(3x+6)=36\Rightarrow 4x+12=36\Rightarrow 4x=24\Rightarrow x=6$. Fratele are 6 ani, Ana 18 ani. Verificare: peste 6 ani vor avea $12+24=36$ ✓.

18. Fie $L$ = lungimea, $l$ = lățimea (cm). Perimetrul: $2(L+l)=46\Rightarrow L+l=23$; și $L=l+7$. Substituim: $(l+7)+l=23\Rightarrow 2l=16\Rightarrow l=8$; $L=15$. Aria $=L\cdot l=15\cdot 8=120$ cm². Verificare: perimetrul $2(15+8)=46$ ✓, iar $15-8=7$ ✓.

19. Înmulțim prima ecuație cu $2$: $4x-2y=6$, adică exact a doua ecuație. Cele două ecuații sunt echivalente, deci la reducere ajungi la $0=0$ (adevărat mereu). Sistemul are o infinitate de soluții: orice pereche cu $2x-y=3$, de exemplu $(2,1)$ sau $(0,-3)$. Geometric, este vorba de aceeași dreaptă.

20. Fie $t$ = numărul de ani care trec. Peste $t$ ani, tatăl are $40+t$, iar fiul $10+t$. Condiția „de $3$ ori mai mare": $40+t=3(10+t)\Rightarrow 40+t=30+3t\Rightarrow 10=2t\Rightarrow t=5$. Deci peste 5 ani. Verificare: atunci tatăl are $45$, fiul $15$, iar $45=3\cdot 15$ ✓.

De reținut

• Ecuația liniară $ax+b=0$ (cu $a\ne 0$) are soluția $x=-\frac{b}{a}$; verifică-o mereu în ecuația inițială.
• Ecuația $x^2=a$: dacă $a>0$ are două soluții $x=\pm \sqrt{a}$; dacă $a=0$ are soluția $x=0$; dacă $a<0$ nu are soluții reale.
• Sistemul de două ecuații liniare se rezolvă prin substituție (izolezi și înlocuiești) sau prin reducere (faci coeficienți opuși și aduni). Ambele dau același răspuns.
• Un sistem poate avea soluție unică, nicio soluție ($0=k$ fals) sau o infinitate ($0=0$).
• La probleme: alege clar necunoscutele cu unitate de măsură, tradu enunțul în ecuații, rezolvă și verifică rezultatul în textul problemei.

Greșeli frecvente

• Uiți soluția negativă la $x^2=a$. $x^2=25$ înseamnă $x=5$ și $x=-5$, nu doar $5$. Scrie mereu $\pm$.
• Nu schimbi semnul la trecerea peste egal. Când muți un termen dintr-un membru în altul, îi schimbi semnul: din $x+5=12$ obții $x=12-5$, nu $x=12+5$.
• La reducere aduni greșit termenii. Reducerea funcționează doar dacă coeficienții unei necunoscute sunt opuși ($+2y$ și $-2y$). Dacă sunt egali ($+2y$ și $+2y$), atunci scazi ecuațiile, nu le aduni.
• Nu verifici perechea în ambele ecuații. O soluție de sistem trebuie să verifice amândouă ecuațiile simultan; dacă o verifică doar pe una, este greșită.

Aplică acasă

1. Bonul de cumpărături. Ia un bon de la magazin cu două produse cumpărate în cantități diferite (de exemplu, de două ori). Ascunde prețul unitar și încearcă să-l reconstitui construind un sistem de două ecuații, apoi verifică-l cu prețul real de pe bon.

2. Vârstele din familie. Alege două persoane din familie și inventează o problemă de tipul „peste câțiva ani suma vârstelor va fi...". Scrie ecuația sau sistemul, rezolvă și verifică folosind vârstele reale.

3. Provocarea de $60$ de secunde. Cere-i unui coleg să-ți dea un număr $a$ între $1$ și $100$. Spune imediat câte soluții are $x^2=a$ și care sunt (exact sau aproximativ, dacă $a$ nu e pătrat perfect). Schimbați rolurile.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează întreaga unitate de ecuații și sisteme, așa că accentul cade pe metodă și verificare, nu pe memorarea de formule. Cel mai util lucru pe care îl puteți face este să-i cereți copilului să explice cu voce tare de ce a mutat un termen cu semn schimbat sau de ce, la reducere, coeficienții trebuie să fie opuși. Dacă poate justifica pașii, a înțeles; dacă doar îi execută mecanic, reluați ideea balanței în echilibru.

Întrebări bune de verificare: „De ce $x^2=36$ are două soluții?", „Cum știi că perechea găsită e corectă?", „Ce alegi drept necunoscută în această problemă și de ce?". Semnul clar că a înțeles este că, primind o problemă nouă, își alege singur necunoscutele, scrie sistemul și, la final, verifică rezultatul în enunț, nu doar în ecuație. Încurajați scrierea completă a răspunsului în propoziție („o shaormă costă 11 lei"), fiindcă la teze punctajul se acordă și pe redactare.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație de gradul I la clasa a 7-a? Aduci ecuația la forma $ax+b=0$ (desfaci parantezele, elimini numitorii, reduci termenii asemenea), treci termenul liber în dreapta și împarți la coeficientul lui $x$: $x=-\frac{b}{a}$. La final verifici soluția în ecuația inițială.

Când folosesc metoda substituției și când metoda reducerii? Folosește substituția când o necunoscută are coeficient $1$ sau se izolează ușor. Folosește reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt deja opuși sau ușor de făcut opuși prin înmulțire. Ambele metode dau exact același răspuns.

Câte soluții are ecuația $x^2=a$? Depinde de $a$: dacă $a>0$ are două soluții, $x=\sqrt{a}$ și $x=-\sqrt{a}$; dacă $a=0$ are una singură, $x=0$; dacă $a<0$ nu are nicio soluție reală, pentru că un pătrat nu poate fi negativ.

Ce înseamnă că un sistem nu are soluție? Înseamnă că nu există nicio pereche $(x,y)$ care să verifice ambele ecuații în același timp. La rezolvare ajungi la o egalitate falsă, de tipul $0=5$. Geometric, cele două drepte sunt paralele și nu se intersectează.

Cum verific soluția unui sistem de ecuații? Înlocuiești valorile găsite pentru $x$ și $y$ în fiecare dintre cele două ecuații inițiale. Dacă ambele egalități sunt adevărate, perechea este soluția corectă. Dacă măcar una nu se verifică, ai greșit undeva și reiei calculul.

Cum aleg necunoscutele într-o problemă? Notează cu litere mărimile pe care le cere problema sau de care depind celelalte, precizând unitatea de măsură (lei, ani, cm). De obicei alegi drept necunoscute cele două mărimi despre care ai câte o informație numerică ce se poate transforma în ecuație.

De ce trebuie neapărat să fac verificarea? Verificarea îți confirmă că soluția e corectă și prinde greșelile de calcul înainte să conteze (de exemplu la teză). În plus, la probleme, verificarea în enunț îți arată dacă răspunsul are sens real — o vârstă sau un preț nu pot fi negative.

Care e legătura dintre această recapitulare și clasa a VIII-a? În clasa a VIII-a vei folosi ecuațiile și sistemele ca unelte în multe alte teme (funcții, geometrie analitică, probleme mai complexe). Dacă stăpânești acum metoda reducerii, metoda substituției și modelarea problemelor, pornești cu un avantaj real. Poți continua cu recapitularea numerelor reale și a radicalilor.