Recapitulare: elemente de organizare a datelor și reperul cartezian

Trăiești într-o lume plină de date: scoruri la meciuri, numărul de pași făcuți zilnic de aplicația din telefon, prețurile din magazin, temperaturile de peste săptămână. Toate acestea nu spun mare lucru dacă rămân împrăștiate; devin utile abia atunci când le organizezi (în tabele și diagrame), le rezumi (prin media aritmetică) și le reprezinți (în reperul cartezian, ca puncte cu coordonate). În această lecție de recapitulare aduni la un loc tot ce ai învățat în unitatea despre organizarea datelor și reperul cartezian și te pregătești solid pentru clasa a VIII-a, unde vei folosi aceste idei la funcții. Hai să le trecem în revistă, pas cu pas, cu exemple noi.

Ce vei învăța

• Vei ști să organizezi un set de date în tabele de frecvențe și să-l citești corect.
• Vei ști să calculezi și să interpretezi media aritmetică (simplă și ponderată) a unui set de date.
• Vei ști să reprezinți puncte în reperul cartezian folosind perechi ordonate de coordonate și să recunoști cadranul fiecărui punct.
• Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte din plan și lungimile segmentelor orizontale și verticale.
• Vei ști să interpretezi o dependență informală citind un tabel sau un grafic de puncte, fără să folosești noțiunea formală de funcție.

Hai să descoperim împreună

Vom reface întreg drumul unității, de la date brute până la un grafic de puncte în plan. Ia lecția pas cu pas; fiecare idee se sprijină pe cea dinainte.

1. De la date brute la un tabel de frecvențe

Un set de date este pur și simplu o colecție de valori obținute prin observare, numărare sau măsurare. De exemplu, notele obținute de 20 de elevi la un test:

$$7,9,8,7,10,6,8,9,7,8,10,9,8,7,6,9,8,10,9,8$$

Așa, în șir, datele sunt greu de „citit". Primul pas de organizare este tabelul de frecvențe: notăm fiecare valoare distinctă și de câte ori apare. Numărul de apariții al unei valori se numește frecvență (absolută).

Verificarea de aur: suma frecvențelor trebuie să fie egală cu numărul total de date. Aici $2+4+6+5+3=20$, exact câți elevi am avut. Dacă suma nu iese, ai numărat greșit undeva.

Din tabel citim informații rapide: cei mai mulți elevi (6) au luat nota 8; doar 2 elevi au luat 6; nimeni nu a luat sub 6. Un tabel bine făcut răspunde la întrebări dintr-o privire.

2. Reprezentarea grafică a datelor: diagrame

Un tabel e bun, dar ochiul înțelege și mai repede o diagramă. Cele mai folosite la clasa a VII-a sunt:

• Diagrama cu bare (coloane): pe orizontală punem valorile, pe verticală înălțimea barei = frecvența. Bara mai înaltă = valoare mai frecventă.
• Diagrama circulară (de tip „plăcintă"): un cerc împărțit în sectoare, fiecare sector proporțional cu frecvența. Sectorul mai mare = pondere mai mare din total.
• Poligonul frecvențelor: unim prin segmente vârfurile barelor (mijloacele lor superioare), obținând o linie frântă care arată „forma" distribuției. (Ai studiat-o separat în lecția poligonul frecvențelor.)

La diagrama circulară, fiecărei valori îi corespunde un unghi la centru. Cum tot cercul are $360°$ și reprezintă întregul (toate cele 20 de date), unghiul unei valori se află cu regula:

$$\text{unghiul}=\frac{\text{frecvența}}{\text{total}}\cdot 360°.$$

De exemplu, sectorul notei 8 (frecvență 6 din 20) are unghiul $\frac{6}{20}\cdot 360°=\frac{6\cdot 360°}{20}=\frac{2160°}{20}=108°$. Verifică: suma tuturor unghiurilor trebuie să dea $360°$.

3. Media aritmetică — un singur număr care rezumă totul

Adesea vrem un singur număr „reprezentativ" pentru un set de date: acela este media aritmetică. Ea se obține adunând toate valorile și împărțind la câte sunt:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$$

Când datele vin dintr-un tabel de frecvențe, nu are rost să scrii fiecare valoare de mai multe ori; folosești media aritmetică ponderată, unde fiecare valoare e „cântărită" cu frecvența ei:

$$\overline{x}=\frac{v_1{f}_1+v_2{f}_2+\cdots +v_k{f}_k}{f_1+f_2+\cdots +f_k},$$

unde $v_i$ sunt valorile distincte și $f_i$ frecvențele lor. Ai aprofundat acest calcul în lecția media aritmetică ponderată și media geometrică.

Să aplicăm pe notele noastre:

$$\overline{x}=\frac{6\cdot 2+7\cdot 4+8\cdot 6+9\cdot 5+10\cdot 3}{20}=\frac{12+28+48+45+30}{20}=\frac{163}{20}=8,15.$$

Deci media clasei este $8,15$. Observă un lucru important: media nu trebuie să fie una dintre valorile din set — nimeni nu a luat $8,15$, dar acesta este „centrul de echilibru" al notelor.

Cum interpretezi media? Ea îți spune la ce nivel s-ar afla fiecare dată dacă „am redistribui egal" totul. Dacă strângi $163$ de puncte în total și le împarți frățește la $20$ de elevi, fiecare ar primi $8,15$. Media este sensibilă la valorile extreme: o singură valoare foarte mare sau foarte mică o „trage" spre ea.

4. Reperul cartezian: cum fixăm poziția unui punct în plan

Până acum am organizat date. Acum trecem la a le așeza în plan, cu ajutorul reperului cartezian (numit și sistem de axe ortogonale). Ai construit reperul în lecția sistemul de axe ortogonale; îl recapitulăm.

Reperul cartezian este format din două axe perpendiculare care se intersectează într-un punct numit origine, notat $O$:

• axa orizontală $Ox$ se numește axa absciselor;
• axa verticală $Oy$ se numește axa ordonatelor.

Fiecare punct din plan este identificat printr-o pereche ordonată de numere reale, $M(x_M,y_M)$:

• prima coordonată, $x_M$, este abscisa (cât de la stânga/dreapta de origine, citit pe $Ox$);
• a doua coordonată, $y_M$, este ordonata (cât de sus/jos, citit pe $Oy$).

Cuvântul ordonată din expresia „pereche ordonată" vine de la faptul că ordinea contează: punctul $A(3,5)$ nu este același cu punctul $B(5,3)$! Primul număr spune întotdeauna deplasarea pe orizontală, al doilea pe verticală. Această idee de pereche ordonată provine din produsul cartezian a două mulțimi.

Cum reprezinți un punct, de exemplu $M(3,2)$:

1. Pornești din origine $O$.
2. Te deplasezi pe axa $Ox$ cu $3$ unități spre dreapta (abscisa e pozitivă).
3. De acolo urci paralel cu $Oy$ cu $2$ unități (ordonata e pozitivă).
4. Marchezi și etichetezi punctul $M$.

5. Cadranele și cazurile speciale

Cele două axe împart planul în patru regiuni numite cadrane, numerotate în sens invers acelor de ceasornic, pornind din dreapta-sus. Semnele coordonatelor îți spun instantaneu în ce cadran e un punct:

Cazurile speciale, când punctul stă pe o axă:

• Dacă $y=0$, punctul este pe axa $Ox$: de exemplu $(5,0)$.
• Dacă $x=0$, punctul este pe axa $Oy$: de exemplu $(0,-2)$.
• Dacă $x=0$ și $y=0$, punctul este chiar originea $O(0,0)$.

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran. Ai aprofundat aceste cazuri și simetriile în lecția reprezentarea punctelor în plan. Cadrane și cazuri particulare.

Reține și simetriile utile: punctele $(a,b)$ și $(a,-b)$ sunt simetrice față de axa $Ox$; $(a,b)$ și $(-a,b)$ sunt simetrice față de axa $Oy$; $(a,b)$ și $(-a,-b)$ sunt simetrice față de originea $O$.

6. Distanța dintre două puncte

Odată ce ai puncte în plan, poți măsura cât de departe sunt unul de altul.

Cazul ușor — segmente „drepte":

• Dacă două puncte au aceeași ordonată (segment orizontal), $A(x_A,y)$ și $B(x_B,y)$, distanța este $AB=|x_B-x_A|$.
• Dacă două puncte au aceeași abscisă (segment vertical), $A(x,y_A)$ și $B(x,y_B)$, distanța este $AB=|y_B-y_A|$.

Folosim modulul fiindcă distanța este întotdeauna un număr pozitiv (sau zero), indiferent de ordinea punctelor. (Ideea de modul-ca-distanță o știi din modulul ca distanță pe axa numerelor.)

Cazul general — puncte oarecare: aici folosim teorema lui Pitagora. Construim un triunghi dreptunghic cu cateta orizontală $|x_B-x_A|$ și cateta verticală $|y_B-y_A|$; segmentul $AB$ este ipotenuza. Rezultă formula distanței:

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$

Ai demonstrat această formulă în lecția distanța dintre două puncte din plan. O vom folosi într-un exemplu mai jos.

7. Dependențe informale: tabele și grafice de puncte

Deseori două mărimi sunt legate: dacă știi una, o poți deduce pe cealaltă. Spunem că a doua depinde de prima. La clasa a VII-a tratăm aceste dependențe informal, prin tabele și grafice de puncte, fără noțiunea formală de funcție (aceasta vine la clasa a VIII-a).

Exemplu concret: închirierea unei baterii externe costă $2$ lei pe oră. Costul $C$ (în lei) depinde de numărul de ore $t$. Facem un tabel:

Fiecare pereche $(t,C)$ devine un punct în reperul cartezian: $(0,0)$, $(1,2)$, $(2,4)$, $(3,6)$, $(4,8)$. Reprezentate, aceste puncte se așază pe o linie dreaptă care urcă — semn că mărimile cresc „în același ritm".

Cum citești un grafic de puncte? De la o valoare de pe axa orizontală urci vertical până la punct, apoi te muți orizontal spre axa verticală ca să citești valoarea corespunzătoare. De pildă, pentru $t=3$ ore, urcând ajungi la punctul $(3,6)$, deci costul este $6$ lei. Invers funcționează la fel: dacă ai plătit $8$ lei, cobori de la $8$ pe verticală până la punct și afli $t=4$ ore. Ai exersat citirea graficelor în lecția grafice ale dependențelor funcționale.

Un grafic „vorbește": dacă punctele urcă, mărimea crește; dacă coboară, scade; dacă rămân la aceeași înălțime, mărimea e constantă. Un grafic care urcă abrupt arată o creștere rapidă; unul cu pantă lină, o creștere înceată.

Acum că ai imaginea completă — de la date brute la puncte în plan — hai să lucrăm exemple complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de frecvențe și media

Un antrenor notează câte goluri a marcat echipa în ultimele $15$ meciuri: $$1,2,0,3,2,1,2,4,1,0,2,3,2,1,3.$$ a) Fă tabelul de frecvențe. b) Câte meciuri au avut cel puțin $2$ goluri? c) Calculează media golurilor pe meci.

Rezolvare. a) Numărăm aparițiile fiecărei valori:

Verificare: $2+4+5+3+1=15$ meciuri. ✓

b) „Cel puțin $2$" înseamnă $2$ sau mai mult: $5+3+1=9$ meciuri.

c) Media ponderată: $$\overline{x}=\frac{0\cdot 2+1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 3+4\cdot 1}{15}=\frac{0+4+10+9+4}{15}=\frac{27}{15}=1,8.$$ Echipa a marcat în medie $1,8$ goluri pe meci.

Exemplul 2 — Diagramă circulară (unghiuri la centru)

Într-un sondaj, $40$ de elevi au ales sportul preferat: fotbal $18$, baschet $10$, volei $8$, tenis $4$. Ce unghi la centru are fiecare sector într-o diagramă circulară?

Rezolvare. Folosim $\text{unghi}=\frac{\text{frecvența}}{40}\cdot 360°$.

• Fotbal: $\frac{18}{40}\cdot 360°=\frac{18\cdot 360°}{40}=\frac{6480°}{40}=162°.$
• Baschet: $\frac{10}{40}\cdot 360°=90°.$
• Volei: $\frac{8}{40}\cdot 360°=\frac{2880°}{40}=72°.$
• Tenis: $\frac{4}{40}\cdot 360°=36°.$

Verificare: $162°+90°+72°+36°=360°.$ ✓ Fotbalul, cu cel mai mare sector, este cel mai popular.

Exemplul 3 — Reprezentarea punctelor și cadranele

Se dau punctele $A(2,5)$, $B(-3,4)$, $C(-2,-1)$, $D(4,-3)$, $E(0,2)$ și $F(-4,0)$. Precizează cadranul (sau axa) fiecăruia.

Rezolvare. Ne uităm la semnele coordonatelor:

• $A(2,5)$: $x>0$, $y>0$ → cadranul I.
• $B(-3,4)$: $x<0$, $y>0$ → cadranul II.
• $C(-2,-1)$: $x<0$, $y<0$ → cadranul III.
• $D(4,-3)$: $x>0$, $y<0$ → cadranul IV.
• $E(0,2)$: $x=0$ → punct pe axa $Oy$ (nu e într-un cadran).
• $F(-4,0)$: $y=0$ → punct pe axa $Ox$ (nu e într-un cadran).

Exemplul 4 — Lungimi de segmente și distanța generală

Se dau $A(-1,2)$, $B(5,2)$ și $C(5,10)$. a) Cât este $AB$? b) Cât este $BC$? c) Cât este $AC$?

Rezolvare. a) $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y=2$), deci $AB$ este orizontal: $$AB=|x_B-x_A|=|5-(-1)|=|6|=6.$$ b) $B$ și $C$ au aceeași abscisă ($x=5$), deci $BC$ este vertical: $$BC=|y_C-y_B|=|10-2|=8.$$ c) Pentru $AC$ folosim formula generală a distanței: $$AC=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$ Observație frumoasă: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (o latură orizontală, una verticală), iar $6,8,10$ este un triplet pitagoreic. ✓

Exemplul 5 — Citirea unei dependențe dintr-un tabel și grafic

Un rezervor pornește cu $50$ de litri de apă și se golește uniform cu $10$ litri pe minut. Fie $V$ volumul rămas (litri) după $t$ minute. a) Completează tabelul pentru $t=0,1,2,3,4,5$. b) Reprezintă perechile ca puncte. c) Ce spune graficul despre dependență? d) După cât timp rezervorul e gol?

Rezolvare. a) Volumul scade cu $10$ la fiecare minut, pornind de la $50$:

b) Punctele sunt $(0,50)$, $(1,40)$, $(2,30)$, $(3,20)$, $(4,10)$, $(5,0)$.

c) Punctele coboară pe o linie dreaptă: volumul scade constant, cu același ritm ($10$ litri/minut). E o dependență descrescătoare.

d) Rezervorul e gol când $V=0$, adică în punctul $(5,0)$: după $5$ minute.

Exemplul 6 — Media, apoi o valoare lipsă

La cinci teste, un elev are notele $8,9,7,10$ și încă una necunoscută, $x$. Media celor cinci note este $8,6$. Află nota lipsă $x$.

Rezolvare. Din definiția mediei: $$\frac{8+9+7+10+x}{5}=8,6.$$ Suma cunoscută este $8+9+7+10=34$, deci $\frac{34+x}{5}=8,6$. Înmulțim ambii membri cu $5$: $$34+x=43\Rightarrow x=43-34=9.$$ Nota lipsă este $9$. Verificare: $\frac{34+9}{5}=\frac{43}{5}=8,6$. ✓ (Aici ai folosit o mică ecuație liniară, exact ca în ecuația de forma ax + b = 0.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde e cazul. Cheia completă e mai jos, dar încearcă întâi singur.

1. La un test, $12$ elevi au obținut punctajele: $9,7,9,8,10,7,9,8,9,6,8,8$. Alcătuiește tabelul de frecvențe și verifică suma frecvențelor.

2. Pentru datele de la exercițiul 1, care este punctajul cu cea mai mare frecvență? Câți elevi au obținut cel puțin $9$?

3. Calculează media aritmetică a numerelor $12,15,18,11,14$.

4. Calculează media ponderată din tabelul:

5. Într-o clasă de $30$ de elevi, $12$ merg la școală pe jos, $9$ cu autobuzul, $6$ cu bicicleta și $3$ cu mașina. Ce unghi la centru are fiecare categorie într-o diagramă circulară? Verifică suma.

6. Adevărat sau fals, cu justificare: „Media aritmetică a unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului."

7. Reprezintă în reperul cartezian punctele $A(3,1)$, $B(-2,4)$, $C(-3,-2)$, $D(1,-4)$ și precizează cadranul fiecăruia.

8. Precizează unde se află punctele $P(0,-5)$, $Q(6,0)$ și $R(0,0)$.

9. Punctele $A(-2,3)$ și $B(7,3)$ au aceeași ordonată. Calculează lungimea segmentului $AB$.

10. Calculează distanța dintre punctele $M(1,2)$ și $N(4,6)$.

11. Se dau $A(0,0)$, $B(6,0)$ și $C(6,8)$. Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic și calculează $AC$.

12. Un abonament la o sală costă o taxă fixă de $20$ lei plus $5$ lei pentru fiecare ședință. Fie $C$ costul total (lei) pentru $n$ ședințe. Completează tabelul pentru $n=0,1,2,3,4$ și scrie perechile de puncte.

13. Din tabelul de la exercițiul 12, cât plătește cineva care merge la $4$ ședințe? Dacă cineva a plătit $35$ lei, la câte ședințe a fost?

14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Punctele $A(3,5)$ și $B(5,3)$ reprezintă același punct în plan."

15. Media a patru numere este $25$. Trei dintre ele sunt $20,28$ și $30$. Află al patrulea număr.

16. Punctul $S$ este simetricul lui $T(-4,6)$ față de axa $Oy$. Care sunt coordonatele lui $S$? Dar simetricul lui $T$ față de origine?

17. Un grafic de puncte arată temperatura măsurată din oră în oră: $(1,4)$, $(2,7)$, $(3,10)$, $(4,10)$, $(5,8)$. Între ce ore a crescut temperatura, când a rămas constantă și când a scăzut?

18. Punctele $A(-1,2)$, $B(5,2)$, $C(5,6)$ și $D(-1,6)$ sunt vârfurile unui dreptunghi. Calculează lungimile laturilor și perimetrul lui.

Răspunsuri și explicații

1. Tabelul de frecvențe:

Suma: $1+2+4+4+1=12$. ✓

2. Frecvența maximă este $4$, atinsă la două valori: $8$ și $9$ (ambele apar de $4$ ori). „Cel puțin $9$" înseamnă $9$ sau $10$: $4+1=5$ elevi.

3. $\overline{x}=\frac{12+15+18+11+14}{5}=\frac{70}{5}=14$.

4. $\overline{x}=\frac{3\cdot 4+5\cdot 6+8\cdot 5}{4+6+5}=\frac{12+30+40}{15}=\frac{82}{15}\approx 5,47$.

5. Total $30$; unghiul $=\frac{\text{frecvența˘}}{30}\cdot 360°=\text{frecvența˘}\cdot 12°$.

• Pe jos: $12\cdot 12°=144°$; autobuz: $9\cdot 12°=108°$; bicicletă: $6\cdot 12°=72°$; mașină: $3\cdot 12°=36°$.
• Verificare: $144°+108°+72°+36°=360°$. ✓

6. Fals. Media poate să nu apară deloc printre valori. Contraexemplu: media lui $6$ și $9$ este $\frac{6+9}{2}=7,5$, care nu este niciuna dintre cele două valori.

7. $A(3,1)$ → cadranul I; $B(-2,4)$ → cadranul II; $C(-3,-2)$ → cadranul III; $D(1,-4)$ → cadranul IV.

cele patru puncte marcate, câte unul în fiecare cadran, cu etichete.

8. $P(0,-5)$: $x=0$ → pe axa $Oy$; $Q(6,0)$: $y=0$ → pe axa $Ox$; $R(0,0)$ → originea $O$. Niciunul nu e într-un cadran.

9. Aceeași ordonată → segment orizontal: $AB=|7-(-2)|=|9|=9$.

10. $MN=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

11. $AB$ e orizontal: $AB=|6-0|=6$. $BC$ e vertical: $BC=|8-0|=8$. Cum $AB\perp BC$ (una orizontală, una verticală, cu vârf comun $B$), triunghiul este dreptunghic în $B$. Ipotenuza: $AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.

12. $C=20+5n$:

Puncte: $(0,20)$, $(1,25)$, $(2,30)$, $(3,35)$, $(4,40)$.

13. La $4$ ședințe: $C=20+5\cdot 4=40$ lei. Dacă a plătit $35$ lei, din tabel $C=35$ corespunde lui $n=3$, deci $3$ ședințe. (Verificare: $20+5\cdot 3=35$. ✓)

14. Fals. Ordinea coordonatelor contează: $A(3,5)$ are abscisa $3$ și ordonata $5$, iar $B(5,3)$ are abscisa $5$ și ordonata $3$. Sunt puncte diferite (ambele în cadranul I, dar în poziții distincte).

15. Suma celor patru numere $=4\cdot 25=100$. Suma celor trei cunoscute $=20+28+30=78$. Al patrulea $=100-78=22$.

16. Simetricul față de $Oy$ schimbă semnul abscisei: $S(4,6)$. Simetricul față de origine schimbă ambele semne: $(4,-6)$.

17. Între orele $1$ și $3$ temperatura crește ($4\to 7\to 10$); între $3$ și $4$ rămâne constantă ($10\to 10$); între $4$ și $5$ scade ($10\to 8$).

18. $AB=|5-(-1)|=6$ (orizontal); $AD=|6-2|=4$ (vertical). Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci $CD=6$ și $BC=4$. Perimetrul $=2(6+4)=20$.

dreptunghiul ABCD cu vârfurile în coordonatele date, lungimile 6 și 4 notate pe laturi.

De reținut

• Organizarea datelor: tabel de frecvențe (suma frecvențelor = numărul total de date); diagrame cu bare, circulare și poligonul frecvențelor. La diagrama circulară: $\text{unghi}=\frac{\text{frecvența}}{\text{total}}\cdot 360°$.
• Media aritmetică: $\overline{x}=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$; ponderată (din tabel): $\overline{x}=\frac{v_1{f}_1+\cdots +v_k{f}_k}{f_1+\cdots +f_k}$. Media poate să nu fie una dintre valori.
• Reperul cartezian: punct $M(x,y)$ = pereche ordonată (abscisă, ordonată). Ordinea contează. Cadranul se citește din semnele $(x,y)$; punctele cu $x=0$ sunt pe $Oy$, cu $y=0$ pe $Ox$.
• Distanțe: segment orizontal $=|x_B-x_A|$, vertical $=|y_B-y_A|$; general $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Dependențe informale: citești tabelul și graficul de puncte; punctele care urcă = creștere, care coboară = scădere, la aceeași înălțime = constant.

Greșeli frecvente

• Inversarea coordonatelor. A reprezenta $M(3,2)$ urcând $3$ și mergând $2$ la dreapta este greșit. Regula fixă: primul număr = orizontală (abscisă), al doilea = verticală (ordonată).
• Confuzia cadranelor. Cadranele se numără invers acelor de ceasornic, începând din dreapta-sus (I). Memorează semnele: I$(+,+)$, II$(-,+)$, III$(-,-)$, IV$(+,-)$.
• Distanța fără module / fără radical. Pe segmente orizontale sau verticale, uită de module și obții un număr negativ — greșit, distanța e mereu $\ge 0$. La puncte oarecare nu poți aduna „drept" catetele; trebuie formula cu radical (Pitagora).
• Media ponderată calculată greșit. Nu împărți suma valorilor la numărul de valori distincte, ci înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei și împarți la suma frecvențelor (totalul datelor).

Aplică acasă

1. Săptămâna ta în date. Notează timp de $7$ zile câte minute petreci zilnic la teme. Fă un tabel, calculează media zilnică și reprezintă perechile $(\text{ziua},\text{minute})$ ca puncte în reper. Ce zi a fost peste medie? Punctele urcă spre weekend sau coboară?
2. Harta camerei tale. Alege un colț al camerei ca origine și două muchii ca axe (în metri). Notează coordonatele a $4$ obiecte (birou, pat, ușă, fereastră). Calculează distanța dintre birou și ușă cu formula distanței și apoi verifică-o cu ruleta.
3. Sondaj în familie. Întreabă $10$ rude/prieteni care e sportul preferat, fă tabelul de frecvențe și calculează unghiurile pentru o diagramă circulară. Desenează plăcinta și verifică dacă suma unghiurilor dă $360°$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează o competență-cheie pentru clasa a VIII-a: trecerea de la date brute la reprezentare grafică și la ideea de dependență (viitoarea noțiune de funcție). Sprijiniți elevul cerându-i să verbalizeze pașii, nu doar să dea rezultatul.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Ce înseamnă primul număr din $M(4,-1)$ și ce înseamnă al doilea?" (abscisa, ordonata) și „În ce cadran e?" (IV).
• „Media noastră a ieșit $8,15$, dar nimeni nu a luat $8,15$. Cum e posibil?" (media e un rezumat, nu neapărat o valoare din set).
• „Cum verifici că tabelul de frecvențe e corect?" (suma frecvențelor = numărul total de date).
• „De ce folosim modul la distanța pe orizontală?" (distanța nu poate fi negativă).

Semne că a înțeles: reprezintă corect un punct dat, citește invers (din punct → coordonate), calculează media ponderată dintr-un tabel fără să rescrie toate datele, și descrie în cuvinte ce „spune" un grafic de puncte (crește / scade / constant). Dacă greșește ordinea coordonatelor, reveniți la regula „întâi mergi, apoi urci".

Întrebări frecvente

Ce este reperul cartezian la clasa a VII-a? Este un sistem de două axe perpendiculare (axa orizontală $Ox$ a absciselor și axa verticală $Oy$ a ordonatelor) care se taie în origine. El permite fixarea poziției oricărui punct din plan printr-o pereche ordonată de coordonate $(x,y)$.

Care coordonată se scrie prima, abscisa sau ordonata? Prima se scrie întotdeauna abscisa (deplasarea pe orizontală, pe $Ox$), iar a doua ordonata (deplasarea pe verticală, pe $Oy$). De aceea $(3,5)$ și $(5,3)$ sunt puncte diferite: ordinea contează.

Cum calculez media aritmetică a unor date organizate într-un tabel? Folosești media ponderată: înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni toate produsele și împarți la suma frecvențelor (numărul total de date). Formula: $\overline{x}=\frac{v_1{f}_1+\cdots +v_k{f}_k}{f_1+\cdots +f_k}$.

Poate media aritmetică să nu fie una dintre valorile din set? Da, foarte des. Media este un „centru de echilibru", nu neapărat o valoare existentă. De exemplu, media lui $6$ și $9$ este $7,5$, care nu apare printre date.

Cum aflu în ce cadran se găsește un punct? Te uiți doar la semnele coordonatelor: $(+,+)$ → cadranul I, $(-,+)$ → II, $(-,-)$ → III, $(+,-)$ → IV. Dacă una dintre coordonate este $0$, punctul se află pe o axă, nu într-un cadran.

Cum calculez distanța dintre două puncte din plan? Dacă punctele au o coordonată comună, distanța e diferența în modul a celeilalte coordonate. În general folosești formula $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, care provine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic format cu catetele paralele cu axele.

Ce înseamnă o „dependență" la clasa a VII-a și de ce nu vorbim de funcții? O dependență informală arată cum o mărime se schimbă odată cu alta, folosind un tabel sau un grafic de puncte. Noțiunea formală de funcție (cu notația $f:A\to B$) se studiază la clasa a VIII-a; la clasa a VII-a rămânem la citirea și interpretarea tabelelor și graficelor.

Cum citesc un grafic de puncte? Alegi o valoare pe axa orizontală, urci vertical până la punct, apoi te muți orizontal spre axa verticală ca să citești valoarea corespunzătoare (sau invers). Dacă punctele urcă, mărimea crește; dacă coboară, scade; dacă stau la aceeași înălțime, e constantă.