Ce trebuie știut despre ecuații și sisteme?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Ecuații și sisteme: recapitulare

O ecuație de forma $a x + b = 0$ , cu $a \neq = 0$ , se rezolvă mutând termenul liber și împărțind: $x = - \frac{b}{a}$ . La $x^{2} = a$ numărul de soluții depinde de semn: două când $a$ e pozitiv, una când e zero, niciuna printre numerele reale când e negativ. Un sistem de două ecuații se rezolvă prin substituție sau prin reducere; din sumă $10$ și diferență $2$ ies $x = 6$ și $y = 4$ .

O ecuație liniară $a x + b = 0$ (cu $a \neq = 0$ ) se rezolvă mereu la fel: treci termenul liber în dreapta și împarți la coeficientul lui $x$ , obținând $x = - \frac{b}{a}$ . La ecuația $x^{2} = a$ : dacă $a > 0$ ai două soluții $x = \pm a$ , dacă $a = 0$ ai una singură ( $x = 0$ ), dacă $a < 0$ nu ai nicio soluție reală. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute se rezolvă prin substituție (izolezi o necunoscută și o înlocuiești) sau prin reducere (faci coeficienții opuși și aduni ecuațiile). Exemplu: din ${x + y = 10 x - y = 2$ , adunând obții $2 x = 12 \Rightarrow x = 6$ , apoi $y = 4$ . La probleme, alegi necunoscutele, traduci enunțul în ecuație/sistem și verifici răspunsul în text, nu doar în calcul.

De reținut

$a x + b = 0$ dă $x = - \frac{b}{a}$ , cu $a \neq = 0$
$x^{2} = a$ are două soluții dacă $a > 0$ , una dacă $a = 0$ , niciuna dacă $a < 0$
sistemele se rezolvă prin substituție sau prin reducere

Greșeala tipică

Se mută un termen dintr-o parte în alta fără să i se schimbe semnul. Trecerea peste egal cere operația inversă, deci plusul devine minus și invers.

Exerciții din această mini-lecție

Câte soluții reale are ecuația $x^{2} = 64$ ?
- a) Nicio soluție
- b) O singură soluție, $x = 8$
- c) Două soluții, $x = \pm 8$
- d) O infinitate de soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Două soluții, $x = \pm 8$

Cum $64 > 0$ , ecuația are două soluții opuse: $x = 64 = 8$ și $x = - 64 = - 8$ , fiindcă $(- 8)^{2} = 64$ la fel ca $8^{2}$ .
Câte soluții reale are ecuația $x^{2} = 121$ ?
- a) Nicio soluție
- b) O singură soluție, $x = 11$
- c) Două soluții, $x = \pm 11$
- d) O infinitate de soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Două soluții, $x = \pm 11$

Cum $121 > 0$ , ecuația are două soluții opuse: $x = 121 = 11$ și $x = - 121 = - 11$ , fiindcă $(- 11)^{2} = 121$ la fel ca $1 1^{2}$ .
Rezolvă ecuația $4 x + 7 = 31$ . Care este valoarea lui $x$ ?
- a) $6$
- b) $9, 5$
- c) $16$
- d) $56$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6$

Trecem $7$ în dreapta cu semn schimbat: $4 x = 31 - 7 = 24$ , apoi împărțim la $4$ : $x = 6$ . Verificare: $4 \cdot 6 + 7 = 31$ ✓. (Varianta b) apare dacă adaugi greșit $7$ în loc să-l scazi.)

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație cu necunoscuta în ambii membri?

Aduni toți termenii cu necunoscuta într-o parte și numerele în cealaltă, schimbând semnul la fiecare mutare. Din $5 x - 3 = 2 x + 9$ obții $3 x = 12$ , deci $x = 4$ . Verificarea: ambii membri dau $17$ , deci soluția este bună.

Ce înseamnă că un sistem are o infinitate de soluții?

Înseamnă că a doua ecuație nu aduce nimic nou, fiind o copie amplificată a primei. La $x + y = 5$ și $3 x + 3 y = 15$ , orice pereche care verifică prima o verifică și pe a doua. Reprezentate grafic, cele două drepte se suprapun.

Cum rezolv ecuația 3x la pătrat egal cu 75?

Împarți întâi la coeficient și ajungi la $x^{2} = 25$ . Fiindcă numărul din dreapta este pozitiv, obții două soluții: $x = 5$ și $x = - 5$ . Dacă problema cere o lungime, păstrezi doar valoarea pozitivă și o spui explicit în răspuns.

Ce fac dacă ecuația are numitori diferiți?

Găsești cel mai mic multiplu comun al numitorilor și înmulțești fiecare termen cu el. Din $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 2$ înmulțești cu $12$ și obții $4 x - 3 x = 24$ , deci $x = 24$ . Fracțiile dispar dintr-un singur pas, iar restul devine o ecuație obișnuită.

Cum scriu ordonat rezolvarea unui sistem pe foaie?

Scrii sistemul cu acoladă și numerotezi cele două ecuații. La fiecare pas arăți ce ai făcut, de pildă că ai înmulțit prima cu doi sau că le-ai adunat. La final treci perechea găsită și verificarea ei în amândouă ecuațiile, ca profesorul să urmărească drumul.

Ce ecuații și sisteme apar la Evaluarea Națională?

Apar ecuații de gradul I cu paranteze sau fracții, sisteme rezolvate prin oricare metodă și probleme practice cu bani, vârste sau amestecuri. Cerințele cer de obicei atât calculul, cât și scrierea răspunsului în cuvinte, cu unitatea de măsură potrivită.

Oamenii mai întreabă și: recapitulare ecuații și sisteme · cum rezolv ax + b = 0 · câte soluții are x la pătrat egal cu a · metode de rezolvare a sistemelor · ecuații și sisteme de ecuații liniare