Recapitulare: patrulatere, perimetre și arii

Ai parcurs deja un drum lung prin geometria clasei a VII-a: ai învățat ce este un patrulater convex, ai demonstrat proprietățile paralelogramului, ai clasificat trapezele și ai dedus, pas cu pas, formulele de arie. Acum e momentul să legi toate aceste cunoștințe într-un singur tablou clar. Gândește-te la un arhitect care proiectează o casă: el trebuie să știe instantaneu câtă gresie intră într-o cameră dreptunghiulară, cât gard înconjoară o grădină în formă de trapez sau câtă vopsea acoperă un perete triunghiular. Toate aceste calcule pornesc din formulele pe care le recapitulăm acum. Această lecție de recapitulare a patrulaterelor, perimetrelor și ariilor de clasa a 7-a îți oferă harta completă, ca să intri în clasa a VIII-a cu bazele solide.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști tipul de patrulater (paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez) după proprietățile laturilor, unghiurilor și diagonalelor.
Vei ști să aplici corect formulele de perimetru pentru orice patrulater și pentru triunghi.
Vei ști să calculezi ariile paralelogramului, dreptunghiului, rombului, pătratului, trapezului și triunghiului, alegând formula potrivită.
Vei ști să rezolvi probleme practice de arii și perimetre folosind numere reale (inclusiv radicali).
Vei ști să eviți capcanele clasice: confuzia dintre latură și înălțime, dintre perimetru și arie, sau folosirea unităților greșite.

Hai să descoperim împreună

Această lecție nu introduce noțiuni noi, ci așază în ordine tot ce știi. Vom merge de la cel mai general (patrulaterul convex) spre cazuri tot mai particulare, apoi vom trece la perimetre și, în final, la arii. Ideea de bază pe care trebuie s-o reții este aceasta: cu cât un patrulater are mai multe proprietăți, cu atât are formule mai simple și mai multe.

1. Familia patrulaterelor — un arbore genealogic

Imaginează-ți o familie în care fiecare „copil" moștenește toate proprietățile „părintelui", plus câteva în plus.

Patrulaterul convex este cea mai generală figură: patru laturi, patru vârfuri, iar suma măsurilor unghiurilor interioare este întotdeauna $m (\hat{A}) + m (\hat{B}) + m (\hat{C}) + m (\hat{D}) = 360°.$ Aceasta este o proprietate pe care ai demonstrat-o împărțind patrulaterul cu o diagonală în două triunghiuri (fiecare cu suma unghiurilor $180°$ , deci $2 \cdot 180° = 360°$ ). Poți revedea detaliile în lecția patrulaterul convex și suma unghiurilor.

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două câte două. De aici decurg, ca un lanț, toate celelalte proprietăți:

laturile opuse sunt congruente (egale);
unghiurile opuse sunt congruente;
unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare (suma lor este $180°$ );
diagonalele se înjumătățesc (se taie în părți egale), adică punctul de intersecție este mijlocul fiecărei diagonale.

Reține și criteriile (condițiile) prin care recunoști un paralelogram — le-ai studiat în lecția condiții ca un patrulater să fie paralelogram. Un patrulater este paralelogram dacă îndeplinește oricare dintre:

laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția);
laturile opuse sunt congruente două câte două;
două laturi opuse sunt în același timp paralele și congruente;
unghiurile opuse sunt congruente;
diagonalele se înjumătățesc reciproc.

2. Paralelogramele particulare

Acum „coborâm" în arbore. Fiecare figură de mai jos este paralelogram, deci moștenește TOATE proprietățile de mai sus, plus ceva în plus.

Dreptunghiul = paralelogramul cu un unghi drept (de $90°$ ). Consecință: are toate cele patru unghiuri drepte. Proprietatea lui specială: diagonalele sunt congruente ( $A C = B D$ ). Detalii în dreptunghiul și proprietățile lui.

Rombul = paralelogramul cu două laturi alăturate congruente. Consecință: are toate cele patru laturi egale. Proprietatea lui specială: diagonalele sunt perpendiculare și sunt, în același timp, bisectoarele unghiurilor. Detalii în rombul și proprietățile lui.

Pătratul = figura care este și dreptunghi, și romb. Deci are patru laturi egale ȘI patru unghiuri drepte. Diagonalele lui sunt congruente, perpendiculare și se înjumătățesc — le are pe toate. Detalii în pătratul și proprietățile lui.

Trapezul este „oaia neagră" a familiei: este patrulater convex cu exact o pereche de laturi paralele (numite baze), dar NU este paralelogram. Laturile paralele se numesc baze ( $B$ = baza mare, $b$ = baza mică), iar celelalte două se numesc laturi neparalele.

Un trapez special este trapezul isoscel, la care laturile neparalele sunt congruente; el are, în plus, unghiurile de la aceeași bază congruente și diagonalele congruente. Vezi trapezul isoscel.

Un instrument foarte util este linia mijlocie a trapezului — segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor: $ℓ = \frac{B + b}{2} .$ Revezi linia mijlocie în trapez dacă vrei justificarea.

3. Perimetrele — „câtă sfoară" înconjoară figura

Perimetrul unei figuri este lungimea conturului, adică suma lungimilor tuturor laturilor. E ca și cum ai măsura câtă sârmă îți trebuie să faci un gard în jurul figurii. Perimetrul se notează cu $P$ și se măsoară în unități de lungime (cm, m, km).

Pentru fiecare figură, formula perimetrului iese direct din numărul de laturi egale:

Figură	Notații	Perimetru
Triunghi oarecare	laturi $a, b, c$	$P = a + b + c$
Paralelogram	laturi $a$ și $b$	$P = 2 (a + b)$
Dreptunghi	lungime $L$ , lățime $ℓ$	$P = 2 (L + ℓ)$
Romb	latura $a$	$P = 4 a$
Pătrat	latura $a$	$P = 4 a$
Trapez	laturile $B, b, c, d$	$P = B + b + c + d$

Observă: la paralelogram și la dreptunghi există câte două perechi de laturi egale, de aceea apare $2 (\dots)$ . La romb și pătrat, toate cele patru laturi sunt egale, deci $P = 4 a$ . La trapez nu există o formulă „scurtă": pur și simplu aduni cele patru laturi.

4. Ariile — „câtă suprafață" acoperă figura

Aria măsoară cât loc ocupă figura în plan, adică suprafața dinăuntru. E ca și cum ai număra câte plăci de gresie de $1 m \times 1 m$ intră în podea. Aria se notează cu $A$ și se măsoară în unități pătratice (cm², m², km²). Aceasta este o distincție esențială: perimetrul se măsoară în cm, aria în cm².

Toată teoria ariilor pornește de la un singur adevăr simplu: aria unui dreptunghi este produsul dimensiunilor sale. Din el se deduc, ca dintr-o rădăcină, toate celelalte formule.

a) Dreptunghiul și pătratul. $A_{dreptunghi} = L \cdot ℓ, A_{p \overset{a}{˘} trat} = a \cdot a = a^{2} .$ Pătratul e caz particular: lungimea și lățimea sunt egale cu latura $a$ . Detalii în aria dreptunghiului și a pătratului.

b) Paralelogramul. Dacă tai un triunghi dintr-o parte a paralelogramului și îl lipești în cealaltă parte, obții exact un dreptunghi cu aceeași bază și aceeași înălțime. De aceea: $A_{paralelogram} = b \cdot h,$ unde $b$ este baza (o latură) și $h$ este înălțimea corespunzătoare acelei baze — adică distanța perpendiculară dintre baza aleasă și latura paralelă cu ea. Atenție: înălțimea NU este latura oblică! Vezi deducerea în aria paralelogramului.

c) Rombul. Rombul are două formule de arie, ambele corecte — o alegi pe cea care se potrivește datelor din problemă:

ca orice paralelogram: $A = b \cdot h$ (latura ori înălțimea);
cu diagonalele: fiindcă diagonalele sunt perpendiculare, $A_{romb} = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2},$ unde $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt lungimile diagonalelor. Vezi aria rombului.

d) Triunghiul. Dacă „dublezi" un triunghi (îl copiezi și lipești copia răsucită), obții un paralelogram cu aceeași bază și înălțime. Aria triunghiului este deci jumătate din aria acelui paralelogram: $A_{triunghi} = \frac{b \cdot h}{2} .$ Aici $b$ este o latură, iar $h$ este înălțimea din vârful opus pe acea latură. Deducerea completă e în aria triunghiului.

Pentru triunghiul dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una este bază și cealaltă este înălțime: $A_{tr. dreptunghic} = \frac{c _{1} \cdot c _{2}}{2} .$

e) Trapezul. Aria trapezului este media aritmetică a bazelor înmulțită cu înălțimea: $A_{trapez} = \frac{( B + b ) \cdot h}{2},$ unde $B$ și $b$ sunt cele două baze (laturile paralele), iar $h$ este înălțimea (distanța dintre baze). Observă o legătură frumoasă: deoarece linia mijlocie este $ℓ = \frac{B + b}{2}$ , putem scrie și $A = ℓ \cdot h$ . Vezi aria trapezului.

5. Tabelul-cheie de arii — memorează-l ca pe o poezie

Figură	Aria
Pătrat (latura $a$ )	$a^{2}$
Dreptunghi ( $L, ℓ$ )	$L \cdot ℓ$
Paralelogram (bază $b$ , înălțime $h$ )	$b \cdot h$
Romb (diagonale $d_{1}, d_{2}$ )	$\frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$
Triunghi (bază $b$ , înălțime $h$ )	$\frac{b \cdot h}{2}$
Trapez (baze $B, b$ , înălțime $h$ )	$\frac{( B + b ) \cdot h}{2}$

Un truc de memorare: jumătatea apare la figurile „triunghiulare la origine" — rombul (două triunghiuri prin diagonale), triunghiul și trapezul. Dreptunghiul, pătratul și paralelogramul se calculează direct „bază ori înălțime", fără jumătate.

6. Cum alegi formula potrivită — algoritmul de decizie

Când primești o problemă, procedează așa:

Ce figură este? Citește proprietățile: laturi egale? unghiuri drepte? diagonale perpendiculare? o singură pereche de laturi paralele? Așa afli tipul.
Ce ți se cere — perimetru sau arie? Perimetru → aduni laturile. Arie → alegi formula din tabel.
Ce date am? Dacă la romb ai diagonalele, folosești $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ ; dacă ai latura și înălțimea, folosești $b \cdot h$ .
Sunt aceleași unități? Transformă tot în aceeași unitate ÎNAINTE de a calcula.
Rezultatul are unitatea corectă? Perimetru în cm, arie în cm².

Ține minte că datele pot conține radicali (de exemplu, o latură de $32$ cm), fiindcă lucrăm cu numere reale. Atunci aplici regulile de calcul cu radicali învățate mai devreme, ca la înmulțirea numerelor reale cu radicali.

7. Perimetru egal, arie diferită — o capcană de intuiție

Mulți elevi cred, greșit, că dacă două figuri au același perimetru, atunci au și aceeași arie. Nu este adevărat. Perimetrul și aria măsoară lucruri complet diferite, iar una nu o determină pe cealaltă.

Ia trei dreptunghiuri cu același perimetru de $20$ cm (deci, la fiecare, lungimea plus lățimea dau $10$ cm):

$5 cm \times 5 cm$ (un pătrat): aria $= 25$ cm²;
$7 cm \times 3 cm$ : aria $= 21$ cm²;
$9 cm \times 1 cm$ : aria $= 9$ cm².

Toate au aceeași „sfoară" pe contur ( $20$ cm), dar suprafețele diferă mult: cu cât dreptunghiul este mai „turtit", cu atât aria lui scade, deși perimetrul rămâne neschimbat. Dintre toate dreptunghiurile cu un perimetru dat, pătratul are cea mai mare arie — un fapt util și în viața reală, când vrei să închizi cât mai mult teren cu un gard de lungime fixă. Reține concluzia: din perimetru nu poți deduce aria, și nici invers. Ele se calculează separat, cu formulele lor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea tipului de patrulater

Enunț. Un patrulater $A B C D$ are toate laturile congruente și diagonalele congruente. Ce tip de patrulater este? Justifică.

Rezolvare. Toate laturile congruente $\Rightarrow$ figura este romb (patrulater cu patru laturi egale este romb). Dar la romb diagonalele sunt, în general, diferite. Aici ni se spune că diagonalele sunt congruente. Diagonale congruente este proprietatea dreptunghiului. Așadar figura este în același timp romb și dreptunghi, adică un pătrat.

Răspuns: pătrat.

Exemplul 2 — Perimetru și arie de dreptunghi

Enunț. O grădină dreptunghiulară are lungimea de $18$ m și lățimea de $12$ m. Cât gard trebuie cumpărat pentru a o împrejmui și câți metri pătrați are grădina?

Rezolvare. Perimetrul (gardul): $P = 2 (L + ℓ) = 2 (18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60 m .$ Aria (suprafața): $A = L \cdot ℓ = 18 \cdot 12 = 216 m^{2} .$

Răspuns: $60$ m de gard și $216$ m² de suprafață.

Exemplul 3 — Aria unui paralelogram (atenție la înălțime)

Enunț. Un paralelogram are baza de $10$ cm, latura oblică de $8$ cm, iar înălțimea corespunzătoare bazei este de $6$ cm. Calculează aria și perimetrul.

Rezolvare. Aria folosește baza și înălțimea, NU latura oblică: $A = b \cdot h = 10 \cdot 6 = 60 cm^{2} .$ Perimetrul folosește cele două laturi ( $10$ și $8$ ): $P = 2 (10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36 cm .$ Observă capcana: latura de $8$ cm intră doar în perimetru, nu în arie. Dacă am fi folosit-o greșit la arie ( $10 \cdot 8 = 80$ ), am fi supraevaluat suprafața.

Răspuns: $A = 60$ cm², $P = 36$ cm.

Exemplul 4 — Aria rombului din diagonale

Enunț. Un romb are diagonalele de $16$ cm și $12$ cm. Calculează aria rombului și lungimea laturii lui.

Rezolvare. Aria, cu formula diagonalelor: $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = \frac{192}{2} = 96 cm^{2} .$ Pentru latură, folosim faptul că diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice cu catetele egale cu jumătățile diagonalelor: $\frac{16}{2} = 8$ cm și $\frac{12}{2} = 6$ cm. Latura $a$ este ipotenuza, deci prin teorema lui Pitagora: $a = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 cm .$

Răspuns: $A = 96$ cm², latura $a = 10$ cm.

Exemplul 5 — Aria unui trapez

Enunț. Un trapez are baza mare de $14$ cm, baza mică de $8$ cm și înălțimea de $5$ cm. Calculează aria și lungimea liniei mijlocii.

Rezolvare. Linia mijlocie: $ℓ = \frac{B + b}{2} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 cm .$ Aria (folosind chiar linia mijlocie): $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = \frac{110}{2} = 55 cm^{2} .$ Verificare cu $A = ℓ \cdot h = 11 \cdot 5 = 55$ cm² — aceeași valoare, foarte bine.

Răspuns: $A = 55$ cm², linia mijlocie $ℓ = 11$ cm.

Exemplul 6 — Problemă cu numere reale (radicali)

Enunț. Un triunghi are baza de $62$ cm și înălțimea corespunzătoare de $42$ cm. Calculează aria triunghiului.

Rezolvare. $A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{6 2 \cdot 4 2}{2} .$ Calculăm numărătorul: $62 \cdot 42 = (6 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 2) = 24 \cdot 2 = 48.$ Deci: $A = \frac{48}{2} = 24 cm^{2} .$ Observă că, deși datele conțineau radicali, aria a ieșit un număr întreg, pentru că $2 \cdot 2 = 2$ .

Răspuns: $A = 24$ cm².

Exemplul 7 — Problemă compusă (arie prin descompunere)

Enunț. O placă are forma din figură: un dreptunghi de $10$ cm × $6$ cm, pe una din laturile scurte fiind lipit un triunghi cu baza de $6$ cm și înălțimea de $4$ cm. Cât este aria totală a plăcii?

Rezolvare. Descompunem figura în două părți simple și adunăm ariile. Aria dreptunghiului: $A_{1} = 10 \cdot 6 = 60$ cm². Aria triunghiului: $A_{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm². Aria totală: $A = A_{1} + A_{2} = 60 + 12 = 72$ cm².

Răspuns: $A = 72$ cm².

Exemplul 8 — Înălțimea unui trapez isoscel (cu teorema lui Pitagora)

Enunț. Un trapez isoscel are baza mare de $20$ cm, baza mică de $12$ cm și laturile neparalele de câte $5$ cm. Calculează înălțimea trapezului, apoi aria lui.

Rezolvare. Uneori aria nu-ți este servită direct: trebuie mai întâi să afli înălțimea. Aici combinăm proprietățile trapezului isoscel cu teorema lui Pitagora — un tipar foarte des întâlnit la clasa a VII-a.

Dacă din capetele bazei mici cobori două înălțimi pe baza mare, tai figura în: un dreptunghi la mijloc (lat de $12$ cm, cât baza mică) și două triunghiuri dreptunghice congruente la capete. Fiindcă trapezul este isoscel, cele două triunghiuri sunt identice, iar catetele lor orizontale acoperă împreună diferența bazelor: $cateta orizontal \overset{a}{˘} = \frac{B - b}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 cm .$ În fiecare triunghi dreptunghic, ipotenuza este latura oblică ( $5$ cm), o catetă este $4$ cm, iar cealaltă catetă este chiar înălțimea $h$ . Prin teorema lui Pitagora: $h = 5^{2} - 4^{2} = 25 - 16 = 9 = 3 cm .$ Acum putem calcula aria: $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 20 + 12 ) \cdot 3}{2} = \frac{32 \cdot 3}{2} = \frac{96}{2} = 48 cm^{2} .$

Răspuns: $h = 3$ cm, $A = 48$ cm².

Să exersăm

Rezolvă în ordine; dificultatea crește treptat. Notează pașii, nu doar rezultatul.

Care este suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex? Dar ale unui triunghi?
Un pătrat are latura de $7$ cm. Calculează perimetrul și aria lui.
Un dreptunghi are lungimea de $15$ cm și lățimea de $9$ cm. Află perimetrul și aria.
Un romb are latura de $6$ cm. Cât este perimetrul lui?
Un paralelogram are baza de $12$ cm și înălțimea corespunzătoare de $5$ cm. Calculează aria.
Un triunghi are baza de $9$ cm și înălțimea de $8$ cm. Cât este aria?
Un trapez are bazele de $10$ cm și $6$ cm și înălțimea de $4$ cm. Calculează aria și linia mijlocie.
Un romb are diagonalele de $10$ cm și $24$ cm. Află aria și latura rombului.
Adevărat sau fals (justifică): „Orice pătrat este romb." „Orice romb este pătrat." „Diagonalele oricărui paralelogram sunt egale."
Un triunghi dreptunghic are catetele de $5$ cm și $12$ cm. Calculează aria și perimetrul (folosește Pitagora pentru ipotenuză).
Un paralelogram are perimetrul de $40$ cm, iar una dintre laturi este de $8$ cm. Cât sunt celelalte laturi?
Un pătrat are aria de $81$ cm². Cât este latura lui? Dar perimetrul?
Un trapez isoscel are baza mare de $20$ cm, baza mică de $12$ cm, iar aria de $96$ cm². Cât este înălțimea trapezului?
Un romb are aria de $60$ cm² și o diagonală de $12$ cm. Cât este cealaltă diagonală?
Un triunghi are baza de $53$ cm și înălțimea de $23$ cm. Calculează aria.
O cameră dreptunghiulară are $5$ m lungime și $4$ m lățime. Vrei să pui parchet care costă $80$ lei/m². Cât plătești pentru toată camera?
Un teren are forma unui trapez cu bazele de $30$ m și $18$ m și înălțimea de $12$ m. Câți metri pătrați are terenul? Dacă un sac de îngrășământ acoperă $36$ m², câți saci trebuie?
Un patrulater $A B C D$ are diagonalele care se înjumătățesc și sunt perpendiculare, dar NU sunt congruente. Ce tip de patrulater este? Justifică.
Un trapez isoscel are baza mare de $16$ cm, baza mică de $10$ cm și laturile neparalele de câte $5$ cm. Află înălțimea și aria trapezului (folosește Pitagora, ca în Exemplul 8).
Un romb are latura de $13$ cm și o diagonală de $10$ cm. Află cealaltă diagonală și aria rombului.

Răspunsuri și explicații

1. Patrulater convex: $360°$ . Triunghi: $180°$ . (Diagonala împarte patrulaterul în două triunghiuri: $2 \cdot 180° = 360°$ .)

2. $P = 4 \cdot 7 = 28$ cm; $A = 7^{2} = 49$ cm².

3. $P = 2 (15 + 9) = 2 \cdot 24 = 48$ cm; $A = 15 \cdot 9 = 135$ cm².

4. $P = 4 \cdot 6 = 24$ cm.

5. $A = b \cdot h = 12 \cdot 5 = 60$ cm².

6. $A = \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$ cm².

7. $A = \frac{( 10 + 6 ) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32$ cm². Linia mijlocie: $ℓ = \frac{10 + 6}{2} = 8$ cm.

8. $A = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$ cm². Latura: jumătățile diagonalelor sunt $5$ cm și $12$ cm, deci $a = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ cm.

9. „Orice pătrat este romb" – Adevărat (pătratul are patru laturi egale, deci este romb). „Orice romb este pătrat" – Fals (rombul are laturi egale, dar unghiurile pot să nu fie drepte). „Diagonalele oricărui paralelogram sunt egale" – Fals (sunt egale doar la dreptunghi și pătrat; se înjumătățesc mereu, dar nu sunt egale mereu).

10. Ipotenuza: $5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13$ cm. Aria: $\frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ cm². Perimetrul: $5 + 12 + 13 = 30$ cm.

11. Paralelogramul are laturile opuse egale: două laturi de $8$ cm. $P = 2 (8 + x) = 40 \Rightarrow 8 + x = 20 \Rightarrow x = 12$ cm. Deci laturile sunt $8, 12, 8, 12$ cm.

12. $a^{2} = 81 \Rightarrow a = 9$ cm (latura e pozitivă). $P = 4 \cdot 9 = 36$ cm.

13. $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} \Rightarrow 96 = \frac{( 20 + 12 ) \cdot h}{2} = \frac{32 h}{2} = 16 h \Rightarrow h = \frac{96}{16} = 6$ cm.

14. $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} \Rightarrow 60 = \frac{12 \cdot d _{2}}{2} = 6 d_{2} \Rightarrow d_{2} = \frac{60}{6} = 10$ cm.

15. $A = \frac{5 3 \cdot 2 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ cm². (Am folosit $3 \cdot 3 = 3$ .)

16. Aria camerei: $5 \cdot 4 = 20$ m². Cost: $20 \cdot 80 = 1600$ lei.

17. Aria: $\frac{( 30 + 18 ) \cdot 12}{2} = \frac{48 \cdot 12}{2} = \frac{576}{2} = 288$ m². Saci: $288 : 36 = 8$ saci.

18. Diagonalele se înjumătățesc $\Rightarrow$ paralelogram. Diagonale perpendiculare $\Rightarrow$ romb. Nu sunt congruente $\Rightarrow$ NU e dreptunghi, deci NU e pătrat. Concluzie: romb (care nu este pătrat).

19. Cateta orizontală a triunghiurilor de la capete: $\frac{16 - 10}{2} = 3$ cm. Înălțimea: $h = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ cm. Aria: $A = \frac{( 16 + 10 ) \cdot 4}{2} = \frac{26 \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52$ cm².

20. Jumătatea diagonalei cunoscute: $\frac{10}{2} = 5$ cm. Cealaltă jumătate (catetă în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza $= 13$ ): $1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12$ cm, deci cealaltă diagonală este $2 \cdot 12 = 24$ cm. Aria: $A = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$ cm².

De reținut

Perimetrul este suma laturilor (se măsoară în cm, m), iar aria este suprafața ocupată (se măsoară în cm², m²). Nu le confunda.
Formule de arie esențiale: pătrat $a^{2}$ ; dreptunghi $L \cdot ℓ$ ; paralelogram $b \cdot h$ ; romb $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ ; triunghi $\frac{b \cdot h}{2}$ ; trapez $\frac{( B + b ) h}{2}$ .
La paralelogram, romb și triunghi, înălțimea este segmentul perpendicular pe bază, NU latura oblică.
Ierarhia: pătratul este și dreptunghi, și romb; rombul și dreptunghiul sunt paralelograme; trapezul NU este paralelogram.
Diagonalele: se înjumătățesc la orice paralelogram; sunt egale la dreptunghi și pătrat; sunt perpendiculare la romb și pătrat.
Perimetrul nu determină aria: două figuri cu același perimetru pot avea arii diferite. Le calculezi întotdeauna separat, cu formulele lor.
Când înălțimea nu este dată direct, o poți afla cu teorema lui Pitagora (ca la trapezul isoscel sau la latura rombului din diagonale) și abia apoi aplici formula de arie.

Greșeli frecvente

Confunzi latura oblică cu înălțimea la paralelogram, romb sau triunghi. Înălțimea este mereu perpendiculara pe bază; latura oblică e de obicei mai lungă. Desenează întotdeauna înălțimea ca segment perpendicular.
Uiți să împarți la 2 la romb (cu diagonale), la triunghi și la trapez. Toate aceste trei formule au un $: 2$ . Dreptunghiul, pătratul și paralelogramul NU au.
Amesteci unitățile — de exemplu, o latură în metri și alta în centimetri. Transformă tot în aceeași unitate înainte de calcul, iar rezultatul ariei pune-l în unitatea pătratică potrivită.
Confunzi perimetrul cu aria. Dacă ți se cere „câtă vopsea" sau „câtă gresie" → arie (cm²). Dacă ți se cere „cât gard" sau „câtă sfoară" → perimetru (cm).

Aplică acasă

Camera ta. Măsoară cu ruleta lungimea și lățimea camerei tale (în metri). Calculează aria (câți m² de podea) și perimetrul (câtă bordură ar trebui pe jur). Dacă un covor de $3 m \times 2 m$ ar fi pus în cameră, ce fracțiune din podea ar acoperi?
Grădina în formă de trapez. Găsește (sau imaginează) un teren cu două laturi paralele de lungimi diferite. Măsoară cele două baze și distanța dintre ele, apoi calculează aria trapezului. Verifică rezultatul și cu formula liniei mijlocii $ℓ \cdot h$ .
Placa de gresie. Alege o suprafață dreptunghiulară din casă (de exemplu, o masă). Măsoară-i dimensiunile și află câte plăci pătrate de $10 cm$ latură ar încăpea pe ea, comparând aria mesei cu aria unei plăci ( $1 0^{2} = 100$ cm²).

Pentru părinți și profesori

Această lecție este o recapitulare integratoare: elevul nu învață noțiuni noi, ci trebuie să aleagă rapid formula potrivită dintr-un set deja cunoscut. Cel mai bun sprijin este să-i cereți să verbalizeze algoritmul de decizie: „Ce figură este? Ce mi se cere — perimetru sau arie? Ce date am?".

Întrebări de verificare utile:

„De ce aria triunghiului are un $: 2$ , dar aria dreptunghiului nu?" (dacă răspunde corect, a înțeles deducerea, nu doar a memorat).
„Îmi arăți pe desen unde este înălțimea paralelogramului?" (testează cea mai frecventă confuzie).
„Un pătrat este romb? Dar un romb este pătrat?" (verifică înțelegerea ierarhiei).

Semnul că a înțeles cu adevărat: rezolvă o problemă cu date în radicali (ex. 15) fără să se sperie și atașează unitatea corectă (cm vs cm²) la fiecare rezultat. Dacă greșește unitatea, reveniți la distincția perimetru–arie cu un exemplu concret (gard vs. gazon).

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre perimetru și arie? Perimetrul este lungimea conturului (suma laturilor) și se măsoară în centimetri sau metri. Aria este suprafața dinăuntrul figurii și se măsoară în centimetri pătrați sau metri pătrați. Perimetrul spune „cât gard", aria spune „câtă suprafață".

Care sunt formulele de arie pentru clasa a 7-a? Pătrat: $a^{2}$ ; dreptunghi: $L \cdot ℓ$ ; paralelogram: $b \cdot h$ ; romb: $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ ; triunghi: $\frac{b \cdot h}{2}$ ; trapez: $\frac{( B + b ) h}{2}$ . Toate se deduc din aria dreptunghiului.

Cum calculez aria rombului dacă știu diagonalele? Înmulțești lungimile celor două diagonale și împarți rezultatul la 2: $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ . Formula funcționează pentru că diagonalele rombului sunt perpendiculare.

De ce se împarte la 2 la aria trapezului? Pentru că folosim media aritmetică a bazelor: $\frac{B + b}{2}$ este „lățimea medie" a trapezului, iar înmulțind-o cu înălțimea obții aria. Media este chiar lungimea liniei mijlocii, deci $A = ℓ \cdot h$ .

Ce diferență este între romb și pătrat? Ambele au patru laturi egale. Diferența e la unghiuri: pătratul are toate unghiurile de $90°$ , iar rombul poate avea unghiuri diferite de $90°$ . Deci orice pătrat este romb, dar nu orice romb este pătrat.

Cum aflu latura unui romb dacă știu diagonalele? Diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare, formând triunghiuri dreptunghice cu catetele egale cu jumătățile diagonalelor. Latura este ipotenuza, deci o afli cu teorema lui Pitagora: $a = (d_{1} /2)^{2} + (d_{2} /2)^{2}$ .

Ce este înălțimea unui paralelogram și de ce nu e latura? Înălțimea este distanța perpendiculară dintre bază și latura paralelă cu ea, adică un segment care cade „în unghi drept" pe bază. Latura oblică este de obicei mai lungă decât înălțimea, de aceea folosirea ei ar da o arie prea mare.

Cum recunosc ce tip de patrulater este dintr-o problemă? Te uiți la proprietăți: patru laturi egale + unghiuri drepte → pătrat; patru laturi egale fără unghiuri drepte → romb; unghiuri drepte, dar nu toate laturile egale → dreptunghi; doar o pereche de laturi paralele → trapez; laturi opuse paralele două câte două → paralelogram.