Triunghiul lui Pascal

Există în matematică un tablou de numere pe care îl poți construi în cinci minute, cu un creion și o foaie, fără să știi nicio formulă — și din care, apoi, citești răspunsuri la zeci de întrebări diferite. Începi cu un singur $1$ . Sub el pui doi de $1$ . De aici încolo, regula e una singură: fiecare număr este suma celor două numere de deasupra lui, iar capetele fiecărei linii rămân $1$ . Atât. Din această regulă de grădiniță se naște unul dintre cele mai bogate obiecte din toată matematica școlară.

Îl numim triunghiul lui Pascal, după matematicianul francez Blaise Pascal, care i-a dedicat un tratat în 1654. Numele e, ca de obicei, nedrept: tabloul apare cu secole înainte în China (la Yang Hui, în 1261), în lumea persană (la al-Karaji, în jurul anului 1000) și în Italia Renașterii (la Tartaglia — de unde, în italiană, i se spune și „triangolo di Tartaglia"). Faptul că atâția oameni, atât de departe unii de alții, au dat peste același tablou nu e o coincidență: el este pur și simplu formula de recurență a combinărilor pusă în tabel, iar acea formulă descrie ceva ce se întâmplă de fiecare dată când numeri alegeri.

Ce vei învăța

Vei ști să construiești triunghiul lui Pascal linie cu linie, folosind doar adunări, și să-l scrii corect până la linia $10$ .
Vei ști că numărul de pe linia $n$ , poziția $k$ este exact $C_{n}^{k}$ , și vei ști să citești orice combinare direct din tablou.
Vei ști să recunoști simetria fiecărei linii și legătura ei cu combinările complementare.
Vei ști ce sunt diagonalele triunghiului: șirul constant $1$ , șirul numerelor naturale, șirul numerelor triunghiulare.
Vei ști că suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ și de ce acest lucru înseamnă „numărul tuturor submulțimilor".
Vei ști să folosești triunghiul ca să scrii rapid coeficienții unei dezvoltări de binom, pregătind lecția despre binomul lui Newton.

Hai să descoperim împreună

1. Construcția, pas cu pas

Începem cu un singur număr, $1$ , pe care îl numim linia $0$ . Sub el așezăm linia $1$ : doi de $1$ . De acum înainte aplicăm mereu aceeași regulă:

fiecare linie începe și se termină cu $1$ ;
fiecare număr din interiorul unei linii este suma celor două numere de deasupra lui, cel din stânga-sus și cel din dreapta-sus.

Să construim linia $2$ : la capete punem $1$ și $1$ ; la mijloc, sub cei doi de $1$ de pe linia $1$ , punem $1 + 1 = 2$ . Deci linia $2$ este $1, 2, 1$ .

Linia $3$ : capetele $1$ și $1$ ; interiorul, $1 + 2 = 3$ și $2 + 1 = 3$ . Deci $1, 3, 3, 1$ .

Linia $4$ : capetele $1$ și $1$ ; interiorul, $1 + 3 = 4$ , $3 + 3 = 6$ , $3 + 1 = 4$ . Deci $1, 4, 6, 4, 1$ .

$111413126131411$

Observă imediat două lucruri de bun-simț: linia $n$ are exact $n + 1$ numere (linia $0$ are unul, linia $4$ are cinci) și construcția nu are nevoie de nimic altceva decât de adunare.

✏️Ilustrație: primele cinci linii ale triunghiului lui Pascal, cu două săgeți colorate care pleacă din 3 și 3 de pe linia 3 și converg în 6 de pe linia 4, sub care scrie „3 + 3 = 6"

2. Ce numere sunt, de fapt

Numerotăm liniile începând de la $0$ (linia de sus, cu un singur $1$ ) și, pe fiecare linie, numerotăm pozițiile tot de la $0$ , de la stânga la dreapta. Convenția aceasta pare mărunt tehnică, dar o vom păstra în toată lecția și în cele următoare, pentru că ea face totul să se potrivească:

Numărul de pe linia $n$ , poziția $k$ , este $C_{n}^{k}$ .

De ce? Pentru că numerele din tablou respectă exact aceleași două reguli ca numerele $C_{n}^{k}$ :

Capetele: pe poziția $0$ și pe poziția $n$ triunghiul are $1$ , iar $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ (există o singură submulțime vidă și o singură submulțime cu toate elementele).
Interiorul: în triunghi, numărul este suma celor două de deasupra; la combinări, formula de recurență spune același lucru, $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ .

Pornind de la aceleași valori de start și crescând după aceeași regulă, cele două tablouri sunt identice linie cu linie. (Riguros, argumentul se redactează prin inducție matematică după numărul liniei: dacă linia $n - 1$ este formată din combinările lui $n - 1$ , atunci recurența dă exact combinările lui $n$ pe linia $n$ .)

Verifică pe linia $4$ : $C_{4}^{0} = 1$ , $C_{4}^{1} = 4$ , $C_{4}^{2} = 6$ , $C_{4}^{3} = 4$ , $C_{4}^{4} = 1$ . Se potrivește perfect cu $1, 4, 6, 4, 1$ . ✓

3. Primele unsprezece linii

Continuând adunările, obținem tabelul de mai jos. Merită să-l scrii o dată de mână, până la linia $10$ — la examen nu ai voie cu foaia asta, dar refacerea primelor $6$ – $7$ linii durează sub un minut.

Linia $n$	Numerele $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$	Suma
$0$	$1$	$1$
$1$	$1, 1$	$2$
$2$	$1, 2, 1$	$4$
$3$	$1, 3, 3, 1$	$8$
$4$	$1, 4, 6, 4, 1$	$16$
$5$	$1, 5, 10, 10, 5, 1$	$32$
$6$	$1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$	$64$
$7$	$1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$	$128$
$8$	$1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$	$256$
$9$	$1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$	$512$
$10$	$1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$	$1024$

Din acest tabel citești pe loc combinări care altfel ar cere calcule: $C_{9}^{4} = 126$ , $C_{10}^{3} = 120$ , $C_{7}^{5} = 21$ . Ai grijă doar la numărătoare: $C_{10}^{3}$ este al patrulea număr de pe linia $10$ , pentru că pozițiile încep de la $0$ .

4. Simetria fiecărei linii

Privește orice linie: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Citită de la dreapta la stânga arată exact la fel. Nu e o întâmplare, ci formula combinărilor complementare:

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .$

Poziția $k$ și poziția $n - k$ sunt simetrice față de mijlocul liniei, deci numerele de pe ele sunt egale. Explicația combinatorică e frumoasă și scurtă: a alege $k$ obiecte dintre $n$ este același lucru cu a alege pe cele $n - k$ pe care le lași deoparte.

Consecință practică: dacă indicele de sus e mare, „îl întorci". În loc de $C_{10}^{8}$ calculezi $C_{10}^{2} = 45$ și ai terminat. Tot de aici rezultă că, pe fiecare linie, cel mai mare număr este cel din mijloc: pe linia $10$ este $C_{10}^{5} = 252$ , pe linia $9$ sunt doi egali la mijloc, $C_{9}^{4} = C_{9}^{5} = 126$ .

5. Diagonalele: trei șiruri cunoscute

Citește triunghiul pe diagonale, pornind din marginea din stânga:

Prima diagonală ( $k = 0$ ): $1, 1, 1, 1, \dots$ — mereu $1$ , pentru că $C_{n}^{0} = 1$ .
A doua diagonală ( $k = 1$ ): $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ — chiar șirul numerelor naturale, pentru că $C_{n}^{1} = n$ .
A treia diagonală ( $k = 2$ ): $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, \dots$ — sunt numerele triunghiulare, adică sumele $1$ , $1 + 2$ , $1 + 2 + 3$ , $1 + 2 + 3 + 4$ și așa mai departe. Într-adevăr, $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 1 + 2 + \dots + (n - 1)$ .

Numerele triunghiulare au un înțeles concret pe care îl poți desena: $C_{n}^{2}$ este numărul de strângeri de mână dintr-un grup de $n$ persoane, dacă fiecare dă mâna cu fiecare o singură dată. Pentru $n = 5$ : $C_{5}^{2} = 10$ strângeri de mână, adică al patrulea număr triunghiular.

✏️Ilustrație: triunghiul lui Pascal până la linia 6, cu trei diagonale colorate diferit — verde pentru șirul de 1, albastru pentru 1, 2, 3, 4, 5, 6 și portocaliu pentru 1, 3, 6, 10, 15 — și, lângă diagonala portocalie, desene cu 1, 3, 6 și 10 bile așezate în triunghi

6. Suma unei linii: puterile lui 2

Uită-te la ultima coloană a tabelului de mai sus: $1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots$ Sunt puterile lui $2$ . Deci pare că

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Am verificat egalitatea pentru toate liniile până la $10$ : pe linia $8$ , $1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^{8}$ ; pe linia $10$ suma este $1024 = 2^{10}$ . Dar de ce e adevărat?

Iată explicația de numărare, care merită înțeleasă acum: membrul stâng numără toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente, grupate după numărul lor de elemente ( $C_{n}^{0}$ submulțimi vide, $C_{n}^{1}$ cu un element, și așa mai departe). Membrul drept numără aceleași submulțimi altfel: pentru fiecare dintre cele $n$ elemente decidem, independent, dacă îl luăm sau nu — două posibilități de fiecare dată, deci $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}$ variante, prin regula produsului. Aceeași mulțime numărată în două feluri dă două rezultate egale.

Există și o demonstrație de o linie, care pornește din binomul lui Newton; o vei vedea, împreună cu suma alternantă și cu alte identități, în lecția Identități cu coeficienți binomiali. Deocamdată reține rezultatul și interpretarea lui: o mulțime cu $7$ elemente are $2^{7} = 128$ submulțimi, dintre care $C_{7}^{3} = 35$ au exact trei elemente.

7. La ce îl folosești: coeficienții unei dezvoltări

Motivul pentru care triunghiul apare în programă chiar înaintea binomului lui Newton este simplu: liniile lui sunt coeficienții dezvoltărilor. Calculează pe caiet, prin înmulțire obișnuită:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} .$

Coeficienții sunt $1, 2, 1$ și $1, 3, 3, 1$ — exact liniile $2$ și $3$ . Continuând, $(a + b)^{4}$ are coeficienții $1, 4, 6, 4, 1$ , iar $(a + b)^{5}$ are $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . Deci, ca să dezvolți $(a + b)^{5}$ , îți ajunge să scrii linia $5$ a triunghiului și să pui puterile: $a$ coboară de la $5$ la $0$ , iar $b$ urcă de la $0$ la $5$ .

$(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} .$

Regula generală, cu demonstrație și cu toate atenționările de semn, este subiectul lecției Binomul lui Newton. Aici reține doar reflexul: coeficienții din dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ se citesc pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal.

8. O curiozitate care se strică — și de ce

Un joc plăcut: calculează puterile lui $11$ .

$1 1^{0} = 1, 1 1^{1} = 11, 1 1^{2} = 121, 1 1^{3} = 1331, 1 1^{4} = 14 641.$

Cifrele sunt exact liniile $0, 1, 2, 3, 4$ ale triunghiului! Explicația: $1 1^{n} = (10 + 1)^{n}$ , iar dezvoltarea are drept coeficienți numerele de pe linia $n$ , așezate pe pozițiile unităților, zecilor, sutelor…

Dar la linia $5$ jocul se strică: linia este $1, 5, 10, 10, 5, 1$ , iar $1 1^{5} = 161051$ , nu „1 5 10 10 5 1". Motivul e că un „număr" de pe o poziție zecimală trebuie să fie o cifră, deci mai mic decât $10$ . Când apare $10$ (sau mai mult), el nu mai încape într-o poziție și se face transport către poziția din stânga. Verifică: $100000 + 5 \cdot 10000 + 10 \cdot 1000 + 10 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 1 = 161051$ . ✓ Deci regula cifrelor funcționează exact atâta timp cât toate numerele de pe linie sunt mai mici decât $10$ , adică până la linia $4$ inclusiv.

Curiozitatea aceasta nu e o pierdere de vreme: e prima ta întâlnire cu ideea că binomul lui Newton se poate folosi pentru calcule numerice rapide — de exemplu $10 1^{3} = (100 + 1)^{3} = 1030301$ sau $9 9^{4} = (100 - 1)^{4} = 96059601$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Linia următoare, din linia dată

Știind că linia $6$ a triunghiului lui Pascal este $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ , scrieți linia $7$ .

Rezolvare. Punem $1$ la capete și adunăm vecinii:

$1, 1 + 6 = 7, 6 + 15 = 21, 15 + 20 = 35, 20 + 15 = 35, 15 + 6 = 21, 6 + 1 = 7, 1.$

Deci linia $7$ este $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ . Verificare prin suma liniei: $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^{7}$ . ✓ Și verificare prin simetrie: linia citită invers arată identic. ✓

Exemplul 2 — Citirea unei combinări din tablou

Folosind triunghiul, calculați $C_{9}^{3}$ și $C_{9}^{6}$ . Ce observați?

Rezolvare. Linia $9$ este $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$ , cu pozițiile numerotate de la $0$ la $9$ .

Pe poziția $3$ se află $84$ , deci $C_{9}^{3} = 84$ . Pe poziția $6$ se află tot $84$ , deci $C_{9}^{6} = 84$ .

Observația: cele două sunt egale, pentru că pozițiile $3$ și $6$ sunt simetrice ( $3 + 6 = 9$ ), iar $C_{9}^{3} = C_{9}^{9 - 3} = C_{9}^{6}$ — formula combinărilor complementare, citită direct din desen.

Exemplul 3 — Câte submulțimi are o mulțime?

Câte submulțimi are mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ? Câte dintre ele au exact $3$ elemente? Câte au cel mult $2$ elemente?

Rezolvare. Linia $7$ este $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ .

Numărul total de submulțimi este suma liniei: $2^{7} = 128$ .

Submulțimile cu exact $3$ elemente: numărul de pe poziția $3$ , adică $C_{7}^{3} = 35$ .

Submulțimile cu cel mult $2$ elemente: primele trei numere ale liniei, $C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + C_{7}^{2} = 1 + 7 + 21 = 29$ .

Exemplul 4 — Restrângere citită din triunghi

Calculați $C_{10}^{4} + C_{10}^{5}$ și indicați unde se află rezultatul în triunghi.

Rezolvare. De pe linia $10$ citim $C_{10}^{4} = 210$ și $C_{10}^{5} = 252$ , deci suma este $462$ .

Cele două numere sunt vecine pe linia $10$ , iar suma lor este, prin chiar regula de construcție, numărul aflat imediat sub ele, pe linia $11$ , poziția $5$ : $C_{11}^{5} = 462$ . ✓ Este formula de recurență, văzută ca „doi vecini care se scurg într-un singur număr".

Exemplul 5 — Dezvoltare rapidă cu linia $4$

Folosind triunghiul lui Pascal, dezvoltați $(x + 2)^{4}$ .

Rezolvare. Linia $4$ este $1, 4, 6, 4, 1$ . Punem puterile: $x$ coboară de la $4$ la $0$ , iar $2$ urcă de la $0$ la $4$ :

$(x + 2)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} \cdot 2 + 6 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 x \cdot 2^{3} + 2^{4} .$

Calculăm coeficienții: $4 \cdot 2 = 8$ , $6 \cdot 4 = 24$ , $4 \cdot 8 = 32$ , $2^{4} = 16$ . Deci

$(x + 2)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16.$

Verificare rapidă, pentru $x = 1$ : membrul stâng este $3^{4} = 81$ , membrul drept $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră linia $8$ a triunghiului lui Pascal. a) Scrieți linia $8$ și calculați suma numerelor de pe ea. b) Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin $6$ elemente ale unei mulțimi cu $8$ elemente.

Rezolvare. a) Pornim de la linia $7$ ( $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ ) și adunăm vecinii, punând $1$ la capete:

$1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.$

Suma: $1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256$ , adică $2^{8}$ , conform proprietății sumei unei linii.

b) „Cel puțin $6$ elemente" înseamnă $6$ , $7$ sau $8$ elemente, deci

$C_{8}^{6} + C_{8}^{7} + C_{8}^{8} = 28 + 8 + 1 = 37.$

Răspuns: $37$ de submulțimi. (Le puteam număra și de la celălalt capăt, prin simetrie: $C_{8}^{2} + C_{8}^{1} + C_{8}^{0} = 28 + 8 + 1 = 37$ .) ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată linia triunghiului pe care lucrezi — la examen, o linie scrisă corect valorează puncte chiar dacă la final greșești o adunare.

1. Construiește triunghiul lui Pascal de la linia $0$ până la linia $6$ , folosind doar adunări.

2. Pornind de la linia $8$ , scrie linia $9$ a triunghiului.

3. Câte numere are linia $12$ a triunghiului lui Pascal? Dar linia $n$ ?

4. Citește din triunghi valorile $C_{7}^{3}$ , $C_{9}^{2}$ și $C_{10}^{6}$ .

5. Calculează suma numerelor de pe linia $8$ și verifică proprietatea sumei.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe linia $10$ a triunghiului lui Pascal, cel mai mare număr este $252$ ."

7. Identifică linia care începe cu $1, 9, 36, 84, \dots$ și scrie-o în întregime.

8. Calculează suma tuturor numerelor aflate pe liniile de la $0$ la $4$ inclusiv.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice linie a triunghiului lui Pascal este simetrică față de mijlocul ei."

10. Folosind triunghiul, calculează $C_{8}^{3} + C_{8}^{4}$ și spune unde se află rezultatul în tablou.

11. (Problemă aplicată.) O pizzerie oferă $6$ ingrediente suplimentare. Câte pizze diferite cu exact $3$ ingrediente suplimentare se pot comanda? Dar cu orice număr de ingrediente suplimentare (inclusiv niciunul)?

12. Scrie primele șase numere de pe a treia diagonală a triunghiului ( $k = 2$ ) și arată că fiecare este o sumă de numere naturale consecutive începând de la $1$ .

13. Verifică faptul că $1 1^{4} = 14641$ se citește pe linia $4$ a triunghiului și explică de ce regula nu mai funcționează pentru $1 1^{5}$ .

14. Folosind linia $5$ a triunghiului, dezvoltă $(x + 1)^{5}$ .

15. Câte submulțimi are o mulțime cu $7$ elemente? Câte au exact $4$ elemente? Câte au cel puțin $5$ elemente?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Scrieți linia $6$ a triunghiului lui Pascal. b) Calculați $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$ .

17. Găsește pe linia $10$ două numere alăturate a căror sumă este $462$ și scrie egalitatea corespunzătoare cu combinări.

18. (Provocare.) Adună numerele de pe „diagonalele înclinate" ale triunghiului: $1$ ; $1$ ; $1 + 1$ ; $1 + 2$ ; $1 + 3 + 1$ ; $1 + 4 + 3$ ; $1 + 5 + 6 + 1$ . Ce șir obții? Formulează o regulă și verifică-o încă doi pași.

Răspunsuri și explicații

1. $1$ ; $1, 1$ ; $1, 2, 1$ ; $1, 3, 3, 1$ ; $1, 4, 6, 4, 1$ ; $1, 5, 10, 10, 5, 1$ ; $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Fiecare număr interior este suma celor doi vecini de deasupra.

2. Din $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ obținem $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$ (de exemplu $28 + 56 = 84$ și $56 + 70 = 126$ ).

3. Linia $12$ are $13$ numere; linia $n$ are $n + 1$ numere, pentru că pozițiile merg de la $0$ la $n$ .

4. $C_{7}^{3} = 35$ (linia $7$ , poziția $3$ ); $C_{9}^{2} = 36$ ; $C_{10}^{6} = 210$ (egal, prin simetrie, cu $C_{10}^{4}$ ).

5. $1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^{8}$ . ✓ Proprietatea generală: suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ .

6. Adevărat. Linia $10$ este $1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$ , iar cel mai mare număr este cel din mijloc, $C_{10}^{5} = 252$ . Simetria liniei garantează că maximul se atinge la mijloc.

7. Este linia $9$ : $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$ . Se recunoaște după al doilea număr, care este mereu $C_{n}^{1} = n$ .

8. $2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ .

9. Adevărat. Simetria este exact formula combinărilor complementare, $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : pozițiile $k$ și $n - k$ sunt simetrice față de mijloc și poartă numere egale.

10. $C_{8}^{3} + C_{8}^{4} = 56 + 70 = 126$ . Rezultatul se află imediat sub cele două numere, pe linia $9$ , poziția $4$ : $C_{9}^{4} = 126$ — chiar regula de construcție a triunghiului.

11. Cu exact $3$ ingrediente: $C_{6}^{3} = 20$ pizze. Cu orice număr de ingrediente: suma liniei $6$ , adică $2^{6} = 64$ (fiecare ingredient se ia sau nu se ia, independent).

12. $1, 3, 6, 10, 15, 21$ . Într-adevăr: $1$ ; $1 + 2 = 3$ ; $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ ; $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ; $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ . Formula: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 1 + 2 + \dots + (n - 1)$ .

13. $1 1^{4} = (10 + 1)^{4} = 1 0^{4} + 4 \cdot 1 0^{3} + 6 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 10 + 1 = 14641$ , iar cifrele sunt $1, 4, 6, 4, 1$ — linia $4$ . Pentru $1 1^{5}$ , linia $5$ conține numărul $10$ , care nu este cifră: apare transport spre stânga, iar rezultatul este $161051$ , nu „1 5 10 10 5 1".

14. Linia $5$ este $1, 5, 10, 10, 5, 1$ , deci $(x + 1)^{5} = x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1$ . Verificare pentru $x = 1$ : $2^{5} = 32$ și $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$ . ✓

15. Total: $2^{7} = 128$ submulțimi. Cu exact $4$ elemente: $C_{7}^{4} = 35$ . Cu cel puțin $5$ elemente: $C_{7}^{5} + C_{7}^{6} + C_{7}^{7} = 21 + 7 + 1 = 29$ .

16. a) Linia $6$ este $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . b) $C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = 1 + 6 + 15 + 20 = 42$ . (Observație elegantă: este jumătatea sumei $64$ plus jumătate din termenul din mijloc, $32 + 10 = 42$ .)

17. Numerele sunt $210$ și $252$ , aflate pe pozițiile $4$ și $5$ : $C_{10}^{4} + C_{10}^{5} = C_{11}^{5} = 462$ .

18. Se obține $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13$ — șirul lui Fibonacci, în care fiecare termen este suma celor doi dinaintea lui. Verificare încă doi pași: următoarele două diagonale dau $1 + 6 + 10 + 4 = 21$ și $1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34$ ; într-adevăr $8 + 13 = 21$ și $13 + 21 = 34$ . ✓

De reținut

Regula de construcție: fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două numere de deasupra lui. Linia $n$ are $n + 1$ numere.
Numărul de pe linia $n$ , poziția $k$ (ambele numerotate de la $0$ ) este $C_{n}^{k}$ . Triunghiul este formula de recurență $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ pusă în tabel.
Fiecare linie este simetrică, pentru că $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ; cel mai mare număr al liniei este cel din mijloc.
Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ — adică numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente.
Coeficienții dezvoltării lui $(a + b)^{n}$ sunt numerele de pe linia $n$ : pentru $(a + b)^{4}$ ei sunt $1, 4, 6, 4, 1$ .

Greșeli frecvente

Numerotarea liniilor de la $1$ . Dacă numerotezi prima linie cu $1$ , atunci linia „a cincea" nu mai are coeficienții lui $(a + b)^{5}$ și toate exercițiile ies decalate. Convenția fermă: vârful este linia $0$ , iar pozițiile pe fiecare linie încep tot de la $0$ .
Uitarea unităților de la capete. La construirea unei linii noi, mulți elevi adună doar vecinii și obțin o linie cu două numere mai puțin. Capetele se pun întotdeauna, fiindcă $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ .
Confuzia „al $k$ -lea număr" cu „numărul de pe poziția $k$ ". $C_{10}^{3} = 120$ este al patrulea număr de pe linia $10$ . Când citești din triunghi, numără pozițiile începând de la $0$ .
Așteptarea ca puterile lui $11$ să meargă la nesfârșit. Regula cifrelor funcționează doar cât timp toate numerele de pe linie sunt mai mici decât $10$ , adică până la linia $4$ . De la linia $5$ apare transportul zecimal.
Folosirea sumei $2^{n}$ acolo unde se cere altceva. $2^{n}$ numără toate submulțimile. Dacă problema cere submulțimile cu exact $k$ elemente, răspunsul este un singur număr de pe linie, $C_{n}^{k}$ , nu suma ei.

Aplică acasă

Triunghiul de pe frigider. Scrie pe o foaie A4, mare și citeț, triunghiul lui Pascal până la linia $10$ și lipește-l pe frigider sau deasupra biroului. Timp de o săptămână, de fiecare dată când treci pe lângă el, verifică o adunare la întâmplare. La final vei ști pe de rost primele șase linii — un avantaj real la lucrarea de la clasă.
Monedele și liniile. Aruncă o monedă de $4$ ori la rând și notează rezultatul ca șir de „stemă"/„ban". Repetă experimentul de $16$ ori și numără de câte ori ai obținut $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ steme. Rezultatele tale ar trebui să semene, ca formă, cu linia $4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ . (Cu $16$ încercări apar abateri; ideea e să vezi „cocoașa" din mijloc.)
Meniul familiei. Alege $5$ feluri de mâncare pe care le gătiți acasă. Câte meniuri de câte $2$ feluri se pot face? Dar de câte $3$ ? Citește răspunsurile de pe linia $5$ ( $10$ și $10$ ) și explică-le celui de lângă tine folosind simetria: a alege $2$ feluri înseamnă a renunța la $3$ .

Pentru părinți și profesori

Triunghiul lui Pascal este, în programa clasei a X-a, puntea dintre combinări și binomul lui Newton. Valoarea lui didactică este dublă: pe de o parte oferă un instrument de calcul rapid, accesibil oricărui elev, indiferent de nivel; pe de altă parte arată, într-o singură imagine, că formulele combinatorice nu sunt reguli arbitrare, ci descriu un tipar coerent. Un elev care poate reconstrui triunghiul are întotdeauna la îndemână valorile combinărilor mici, chiar dacă a uitat formula cu factoriale.

Ce verifică lecția: (1) construcția corectă, cu unitățile de la capete; (2) convenția de numerotare de la $0$ , atât pe linii, cât și pe poziții; (3) identificarea numărului de pe linia $n$ , poziția $k$ , cu $C_{n}^{k}$ ; (4) simetria liniei și legătura ei cu combinările complementare; (5) proprietatea sumei, $2^{n}$ , și interpretarea ei ca număr de submulțimi. Întrebări bune de control: „Câte numere are linia $12$ ?", „Unde se află $C_{9}^{4}$ în tablou?", „De ce este linia simetrică?", „Ce înseamnă, în cuvinte, că suma liniei $6$ este $64$ ?".

Semne că elevul a înțeles: reconstruiește o linie fără să se uite în caiet, folosește simetria ca să evite calcule inutile și explică proprietatea sumei prin numărarea submulțimilor, nu doar prin „așa iese". La Bacalaureat, triunghiul apare rar cu numele, dar constant ca instrument: în exercițiile scurte de calcul al combinărilor, în dezvoltările de binom cu exponenți mici și în problemele care cer sume de tipul $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ .

Întrebări frecvente

Ce este triunghiul lui Pascal? Este un tablou de numere în care fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două numere de deasupra lui. Numărul aflat pe linia $n$ , poziția $k$ (ambele numerotate de la $0$ ), este exact combinarea $C_{n}^{k}$ .

Cum se construiește triunghiul lui Pascal pas cu pas? Scrii $1$ în vârf (linia $0$ ), apoi $1, 1$ pe linia $1$ . Pentru fiecare linie nouă pui $1$ la ambele capete și, în rest, aduni perechile de numere vecine de pe linia de deasupra. Nu ai nevoie de nicio formulă, doar de adunare.

Câte numere are linia $n$ a triunghiului lui Pascal? Exact $n + 1$ numere, pentru că pozițiile merg de la $0$ la $n$ . Linia $0$ are un singur număr, linia $5$ are șase numere, linia $10$ are unsprezece.

Cât este suma numerelor de pe o linie a triunghiului lui Pascal? Suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ . Interpretarea: ea numără toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente, grupate după numărul de elemente. De exemplu, suma liniei $6$ este $64 = 2^{6}$ .

De ce este fiecare linie simetrică? Pentru că $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , formula combinărilor complementare: a alege $k$ obiecte dintre $n$ înseamnă a alege pe cele $n - k$ pe care le lași deoparte. Pozițiile $k$ și $n - k$ sunt simetrice față de mijlocul liniei.

Cum folosesc triunghiul lui Pascal ca să dezvolt un binom? Scrii linia $n$ a triunghiului — acolo sunt coeficienții. Apoi adaugi puterile: primul termen coboară de la $n$ la $0$ , al doilea urcă de la $0$ la $n$ . Pentru $(x + 1)^{4}$ , linia $4$ dă $1, 4, 6, 4, 1$ , deci $x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$ .

De unde vine numele „triunghiul lui Pascal"? De la Blaise Pascal, care i-a dedicat un tratat în 1654. Tabloul era însă cunoscut de secole în China (Yang Hui, 1261), în lumea persană (al-Karaji) și în Italia (Tartaglia), motiv pentru care în alte limbi poartă alte nume.

Chiar apar cifrele puterilor lui $11$ în triunghi? Da, dar numai până la linia $4$ : $1 1^{2} = 121$ , $1 1^{3} = 1331$ , $1 1^{4} = 14641$ . De la linia $5$ apar numere mai mari decât $9$ , care nu încap într-o poziție zecimală și produc transport, așa că $1 1^{5} = 161051$ , nu „1 5 10 10 5 1".