Reguli de negare: De Morgan (M2, științe ale naturii)

Într-un model de control, o probă primește marcajul de acceptare exact când sunt îndeplinite două verificări. Pentru respingere trebuie să eșueze amândouă sau este suficientă una? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), regulile de negare răspund precis. Tema este inclusă în programa aplicată din 2026–2027 și sprijină raționamentele din pregătirea pentru Bacalaureatul M2 din 2027–2029, fără să presupună o cerință fixă despre un model de control.

Folosim negația unei propoziții, conjuncția și disjuncția. Pentru comparații, ai la îndemână ordonarea numerelor raționale din clasa a VI-a. Lucrăm cu propoziții și condiții numerice simple; legile pentru operații cu mulțimi nu constituie tema acestei pagini. Un tabel nativ ne va ajuta să verificăm fiecare schimbare de sens.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici întregul bloc asupra căruia se aplică negarea.
• Vei ști să formulezi exact eșecul unor condiții simultane ori alternative.
• Vei ști să folosești De Morgan când o componentă este deja negată.
• Vei ști să negi implicația și echivalența păstrând sensul lor logic.
• Vei ști să controlezi limitele numerice și parantezele unui răspuns.
• Vei ști să separi rescrierea negației de stabilirea adevărului ei într-un caz.

Hai să descoperim împreună

1. Ce anume este negat?

Înainte să aplici o regulă, încercuiește mental propoziția completă aflată sub semnul negației. În $\neg (p\wedge q)$, negăm un enunț compus. În $(\neg p)\wedge q$, prima componentă este negată, apoi rezultatul este legat de a doua prin conjuncție. Poziția parantezelor stabilește două sarcini diferite.

Negarea unui bloc schimbă verdictul blocului întreg. Dacă știm deja că blocul este adevărat, negația este falsă. Dacă el este fals, negația este adevărată. Regulile de mai jos permit exprimarea aceluiași rezultat folosind negații aplicate componentelor, fără să fim obligați să cunoaștem dinainte valorile lor.

Legile lui De Morgan sunt echivalențe care descriu negația unei conjuncții și negația unei disjuncții. Ele funcționează pentru orice valori de adevăr ale propozițiilor implicate. Când înlocuim o expresie prin cealaltă, trebuie să obținem același verdict pe fiecare atribuire, nu numai într-un caz convenabil.

La o formulare verbală, stabilește mai întâi structura. „Nu este adevărat că ambele condiții sunt îndeplinite” neagă conjuncția întreagă. „Prima condiție nu este îndeplinită, iar a doua este îndeplinită” descrie numai un anumit caz. Cea de-a doua afirmație poate confirma prima, fără să fie însă întreaga ei negație rescrisă.

2. Cum exprimăm eșecul condițiilor simultane?

Conjuncția $p\wedge q$ este adevărată când ambele componente sunt adevărate. Pentru ca ea să fie falsă, este suficient să eșueze cel puțin una. Pot eșua și amândouă. Prin urmare, negarea conjuncției cere alternativa dintre eșecurile componentelor:

$$\neg (p\wedge q)\iff (\neg p\vee \neg q).$$

Ultimele două coloane coincid. Rândurile cu un singur eșec sunt importante: ele ar dispărea dacă am înlocui disjuncția negațiilor prin conjuncția lor. O formulare care ar cere ambele eșecuri ar fi prea restrictivă și ar pierde situații în care enunțul inițial este deja fals.

De exemplu, pentru un obiect fixat, două cerințe pot fi „este numerotat” și „are lungimea măsurată”. Dacă numai numerotarea lipsește, condiția simultană nu este satisfăcută. Nu trebuie să inventăm și lipsa măsurării. Negarea descrie toate felurile în care cerința poate eșua, fără să adauge informații despre cazul particular.

Dacă primești doar informația că această conjuncție este falsă, nu poți decide automat care componentă a eșuat. Sunt încă posibile cele două cazuri cu un singur eșec și cazul cu două eșecuri. Formula negației păstrează exact această incertitudine. Ea nu selectează în locul tău una dintre alternativele care rămân compatibile cu datele.

O informație suplimentară poate restrânge situația. Dacă afli că prima condiție este îndeplinită, eșecul conjuncției obligă a doua condiție să fie falsă. Dacă afli numai că prima condiție este falsă, conjuncția este deja respinsă și nu ai aflat prin aceasta verdictul celei de-a doua. O regulă de negare permite astfel și citirea datelor parțiale.

3. Cum exprimăm eșecul alternativelor?

Disjuncția $p\vee q$ permite cel puțin o componentă adevărată, inclusiv situația în care ambele sunt adevărate. Pentru a respinge această posibilitate, trebuie să eșueze fiecare alternativă. Obținem conjuncția negațiilor:

$$\neg (p\vee q)\iff (\neg p\wedge \neg q).$$

O singură alternativă respinsă nu ajunge. Cealaltă ar putea confirma încă disjuncția inițială. Acest lucru explică de ce, în a doua lege, cele două negații sunt legate prin „și”, nu prin „sau”. Urmărește sarcina cerută de operator, nu doar forma asemănătoare a formulelor.

Folosim sensul inclusiv al lui „sau”, deja stabilit în lecția disjuncției. Dacă o situație reală cere exact una dintre două opțiuni, acea condiție suplimentară trebuie precizată separat. Nu schimbăm sensul operatorului în mijlocul verificării și nu aplicăm formula unei alte reguli decât celei scrise.

Putem observa și sensul invers al citirii datelor. Dacă negația disjuncției este adevărată, am aflat verdictul fiecărei componente: ambele sunt false. Dacă negația este falsă, știm că cel puțin o componentă este adevărată, dar nu știm neapărat care. Cele două informații nu au aceeași putere de a determina valorile lipsă.

Într-un tabel de control, această diferență te împiedică să completezi celule fără justificare. Păstrează semnul întrebării acolo unde mai există două valori compatibile cu datele. Semnul întrebării descrie ceea ce nu cunoaștem; el nu devine o a treia valoare logică și nu modifică regulile din tabelul de adevăr.

4. Ce facem când una dintre componente conține deja „nu”?

O componentă poate fi ea însăși o negație. De Morgan se aplică și în acest caz, însă trebuie să negăm componenta întreagă. Dacă avem $\neg (\neg p\wedge q)$, prima componentă este $\neg p$, iar a doua este $q$. Prima lege produce $\neg (\neg p)\vee \neg q$.

Folosind dubla negație, rezultatul devine $p\vee \neg q$. Nu am uitat un semn: două negări succesive au fost simplificate justificat. O metodă sigură este să scrii un rând intermediar cu ambele negații, apoi să elimini numai perechile care se aplică aceleiași componente.

În limbaj obișnuit, nu număra mecanic aparițiile cuvântului „nu”. Expresii precum „nu este incomplet” pot avea o structură logică precisă, dar trebuie să știm ce proprietate este numită. Fixează întâi propoziția simplă. Abia după aceea stabilești dacă două negații se referă la ea sau la blocuri diferite.

Pentru verificare, poți alege valori ale componentelor și compara rezultatul inițial cu cel rescris. Un caz în care diferă respinge imediat transformarea. În schimb, o singură potrivire nu dovedește o regulă generală: când nu aplici o echivalență deja justificată, trebuie controlate toate atribuirile posibile.

5. Cum desfacem un enunț cu paranteze?

Lucrăm de la operația exterioară spre componentele ei. De exemplu, în $\neg ((a\vee b)\wedge c)$, blocul negat este o conjuncție. Prima aplicare dă $\neg (a\vee b)\vee \neg c$. Abia apoi desfacem negația disjuncției interioare și obținem $(\neg a\wedge \neg b)\vee \neg c$.

Paranteza rămasă nu este decorativă. Ea arată că primele două negații trebuie îndeplinite simultan, în timp ce a treia poate furniza singură alternativa suficientă. Dacă o ștergi fără controlul priorităților, poți schimba sensul expresiei tocmai după un prim pas corect.

Literele dintr-o lege logică pot reprezenta și blocuri deja construite. Dacă numești temporar un bloc cu o singură literă, păstrează alături definiția lui. Aplică regula operatorului exterior, apoi înlocuiește numele temporar cu blocul complet. Această metodă reduce lungimea unui pas fără să schimbe sensul expresiei.

De exemplu, primul bloc dintr-o conjuncție poate fi o implicație. Negarea conjuncției produce o alternativă între negarea acelei implicații și negarea celeilalte componente. Pasul următor folosește regula implicației, nu o schimbare arbitrară a tuturor simbolurilor. Fiecare operator are propria definiție și propria formă de eșec.

Pentru trei condiții legate toate prin conjuncție, eșecul este disjuncția celor trei negații. Pentru trei alternative, respingerea cere toate cele trei negații. Nu este nevoie să construim expresii lungi ca să observăm mecanismul. Trei propoziții sunt suficiente pentru a exersa citirea grupării.

O greșeală intermediară poate fi greu de observat dacă sari direct la un rezultat mare. Păstrează câte o transformare pe rândul de lucru și spune ce operator ai desfăcut. Într-o rezolvare scurtă, această disciplină este mai utilă decât simplificarea imediată a tuturor parantezelor.

6. Cum se neagă implicația și echivalența?

Implicația $p\Rightarrow q$ este falsă numai când ipoteza este adevărată și concluzia este falsă. Prin urmare, negarea ei este $\neg (p\Rightarrow q)\iff (p\wedge \neg q)$. Ipoteza rămâne afirmată. Negăm concluzia și cerem simultan cele două informații care descriu încălcarea.

Nu obținem o altă implicație prin simpla introducere a negațiilor lângă litere. Reia lecția M2 despre implicație: un rând cu ipoteză falsă face implicația adevărată, deci negația ei trebuie să fie falsă. Această verificare detectează rapid multe rescrieri greșite.

Echivalența este adevărată când componentele au valori egale. Negația ei afirmă valori diferite. Există două posibilități: prima componentă este adevărată și a doua falsă, sau prima este falsă și a doua adevărată. Scriem $\neg (p\iff q)\iff ((p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q))$.

Aceste reguli privesc propozițiile fixate. O afirmație despre fiecare obiect al unui domeniu adaugă un cuantificator și cere un pas în plus la negare. Vom trata acel pas în negarea propozițiilor cu cuantificatori. Nu introducem în mod tacit „oricare” sau „există” într-un enunț care vorbește despre un singur obiect.

7. Cum controlăm condițiile numerice după negare?

După ce alegi operatorul logic corect, neagă relația fiecărei componente. Pentru numere reale, negația lui $u>v$ este $u\le v$, iar negația lui $u\ge v$ este $u<v$. Cazul egalității trebuie păstrat într-una dintre cele două situații, astfel încât enunțul și negația lui să aibă mereu valori opuse.

Nu modifica numerele și nici domeniul. Negarea unei condiții despre o temperatură dată nu schimbă momentul măsurării. Negarea unei condiții despre o masă admisă de problemă nu îți dă voie să inventezi o masă negativă, dacă aceasta era exclusă din domeniu. Operația logică păstrează cadrul în care propoziția are sens.

Pentru un prag, încearcă tocmai valoarea de la limită. Dacă ea face adevărate atât enunțul inițial, cât și presupusa negație, ai suprapus două situații care trebuiau separate. Dacă le face pe amândouă false, ai omis un caz. Controlul limitei este o probă rapidă, nu un înlocuitor pentru citirea întregii formule.

La final, traduce răspunsul în cuvinte. Formula trebuie să descrie exact ce înseamnă că propoziția inițială nu este adevărată. Poți formula corect negarea chiar dacă datele nu îți permit încă să decizi care dintre cele două propoziții este adevărată.

Nu confunda negația logică cu opusul unui număr. Dacă o componentă este egalitatea $u+v=9$, negația ei este $u+v\ne 9$. Nu schimbăm suma în diferență și nu punem automat semnul minus înaintea membrilor. Operațiile aritmetice construiesc numerele comparate; negația se aplică afirmației despre acele numere.

Această separare rămâne valabilă într-un enunț mai lung. Întâi recunoști componentele care sunt propoziții, apoi operatorul logic dintre ele. Semnul de adunare din interiorul unei componente nu este „și”, iar semnul de egalitate nu este echivalența logică dintre două propoziții. Identificarea nivelului la care lucrezi previne transformările mecanice fără sens.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O componentă deja negată într-o regulă de selecție

Un model imaginar acceptă un desen exact când acesta este datat și nu este pătat. Notăm $p$: „desenul este datat”, $q$: „desenul este pătat”. Formulează condiția exactă de respingere.

Acceptarea este descrisă de $p\wedge \neg q$. Negarea dă $\neg p\vee \neg (\neg q)$, deci $\neg p\vee q$: desenul nu este datat sau este pătat. Sunt admise în respingere și desenele care au ambele neajunsuri.

Nu spunem că un desen datat trebuie neapărat acceptat: pata poate împiedica îndeplinirea celeilalte condiții. Am folosit formularea „exact când”, care definește criteriul complet; o simplă condiție suficientă de acceptare nu ne-ar fi permis aceeași concluzie despre toate respingerile.

Exemplul 2. Respingerea a două alternative numerice

Pentru un număr real fixat $m$, neagă „$m<-6$ sau $m\ge 10$”.

Trebuie să fie false ambele alternative. Prima se neagă prin $m\ge -6$, iar a doua prin $m<10$. Rezultatul este $m\ge -6$ și $m<10$.

La minus șase, propoziția inițială este falsă și negația adevărată. La zece, propoziția inițială este adevărată datorită celei de-a doua alternative, deci negația este falsă. Cele două limite nu se comportă la fel deoarece enunțul inițial folosește un semn strict și unul nestrict.

Exemplul 3. Negarea unui bloc în interiorul altui bloc

Rescrie $\neg (p\wedge \neg (q\vee r))$ astfel încât negațiile să nu mai stea în fața unor blocuri compuse.

Operatorul exterior al blocului este conjuncția. Aplicăm prima lege și obținem $\neg p\vee \neg (\neg (q\vee r))$. Dubla negație din a doua componentă reface $q\vee r$. Rezultatul este $\neg p\vee q\vee r$.

Observă că nu trebuia să negăm din nou literele $q$ și $r$. Ele se aflau într-un bloc negat de două ori. Transformarea ar fi fost greșită dacă am fi eliminat paranteza fără să urmărim ambele semne. O atribuire cu $p,q$ adevărate și $r$ falsă confirmă negarea: blocul inițial din interior este fals.

Exemplul 4. O formulă propusă greșit pentru încălcarea unei implicații

Un elev susține că negația lui $p\Rightarrow q$ este $\neg p\Rightarrow \neg q$. Respinge propunerea printr-o atribuire.

Alegem $v(p)=v(q)=0$. Implicația inițială este adevărată, deoarece ipoteza este falsă, deci negația ei are valoarea zero. În formula propusă, atât $\neg p$, cât și $\neg q$ sunt adevărate, astfel încât implicația dintre ele are valoarea unu.

Cele două rezultate diferă. Formula propusă este greșită. Forma corectă, $p\wedge \neg q$, are la aceeași atribuire valoarea zero, în acord cu negarea cerută. Contraexemplul verifică exact echivalența pretinsă de elev.

Exemplul 5. Când două indicatoare nu sunt de acord

Pentru două indicatoare logice, $p$ și $q$ înseamnă „indicatorul este activ”. Scrie condiția care neagă afirmația „cele două stări sunt echivalente” și enumeră cazurile favorabile.

Negația cere valori diferite: $(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)$. Cazurile favorabile sunt $(1,0)$ și $(0,1)$. Perechea $(0,0)$ nu exprimă dezacord, chiar dacă niciun indicator nu este activ.

Am descris numai relația logică dintre cele două stări. Nu am afirmat că unul dintre indicatoare produce starea celuilalt sau că un dezacord dovedește o defecțiune fizică. O asemenea interpretare ar necesita informații suplimentare despre model.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru $n\in \mathbb{N}$, fie propoziția $P(n)$: „$n$ este par sau $n$ se divide cu $3$”. Scrieți negația lui $P(n)$ fără formularea „nu este adevărat că” și determinați numerele din mulțimea $\{20,21,\dots ,30\}$ pentru care negația este adevărată.

Negarea unei disjuncții cere eșecul ambelor alternative: „$n$ este impar și $n$ nu se divide cu $3$”. Păstrăm același număr $n$ în ambele componente; nu este vorba despre două numere diferite, câte unul pentru fiecare condiție.

Numerele impare din mulțime sunt $21$, $23$, $25$, $27$ și $29$. Dintre ele, $21=3\cdot 7$ și $27=3\cdot 9$ se divid cu trei, deci cad. Rămân $23$, $25$ și $29$, singurele pentru care negația este adevărată; pentru celelalte opt numere ale mulțimii este adevărată propoziția inițială.

Am separat rescrierea logică de verificarea pe listă. Exercițiul este construit pentru antrenamentul raționamentelor de la Bacalaureatul M2; nu reprezintă un subiect oficial și nu promite că tema va avea o poziție fixă în probă.

Să exersăm

1. Neagă, fără formularea „nu este adevărat că”, propoziția „senzorul este conectat, alimentat și pornit”, spusă despre un senzor fixat. În câte dintre cele opt combinații ale celor trei stări este adevărată negația?

2. Pentru un ecran fixat, neagă „este afișat un cerc sau este afișat un triunghi”, în sensul inclusiv al lui „sau”.

3. Pentru $v(p)=1$, $v(q)=0$, calculează separat $\neg (p\vee q)$ și $\neg p\wedge \neg q$.

4. Neagă „$x\ge -8$ și $x<1$”, pentru $x$ real fixat.

5. Sarcina electrică $q$ a unei particule poate fi pozitivă, nulă sau negativă. Neagă propoziția „particula are sarcină pozitivă sau este neutră” și traduce negația printr-o singură condiție asupra lui $q$. (Problemă aplicată.)

6. Rescrie $\neg ((p\wedge q)\vee (\neg p\wedge r))$ astfel încât negațiile să stea numai în fața propozițiilor simple.

7. Arată că $\neg (p\vee q)$ și $\neg p\vee \neg q$ nu sunt echivalente, folosind $v(p)=0$, $v(q)=1$.

8. Simplifică $\neg (\neg p\wedge \neg q)$ și explică dispariția celor două perechi de negații.

9. Pentru numărul fixat $22$, neagă „dacă este divizibil cu unsprezece, atunci este divizibil cu patru” și stabilește adevărul negației.

10. Pentru $v(p)=0$, $v(q)=1$, află $v(\neg (p\iff q))$ și explică în cuvinte ce constată.

11. Rescrie $\neg (p\iff \neg q)$ fără negație în fața parantezei și spune ce relație între $p$ și $q$ exprimă rezultatul.

12. Fie $v(p)=1$, $v(q)=0$, $v(r)=1$. Evaluează $(p\wedge q)\vee \neg r$, apoi negația lui.

13. Arătați că negația propoziției „$n^2$ este par dacă și numai dacă $n$ se divide cu $4$” este adevărată pentru $n=6$ și falsă pentru $n=8$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Arătați că, pentru orice număr real $x$, negația propoziției „$x<-2$ sau $x>-2$” este adevărată dacă și numai dacă $x=-2$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Arătați că, pentru orice numere reale $x$ și $y$ cu $xy<0$, negația propoziției „$x\ge 0$ și $y\ge 0$” este adevărată. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. „Dacă $\neg (p\vee q)$ este adevărată, atunci $\neg (p\wedge q)$ este adevărată”. (Adevărat/Fals cu motivare.)

17. Știi că $\neg (p\vee q)$ este falsă și că $p$ este falsă. Ce valoare trebuie să aibă $q$?

18. Rescrie $\neg ((p\Rightarrow q)\vee r)$ și precizează toate atribuirile pentru care este adevărată. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. „Senzorul nu este conectat sau nu este alimentat sau nu este pornit.” Pentru trei condiții legate prin „și” ajunge eșecul uneia; pot eșua și două sau toate trei. Negația este falsă numai când toate cele trei condiții sunt îndeplinite, deci este adevărată în $7$ dintre cele $8$ combinații.

2. „Nu este afișat un cerc și nu este afișat un triunghi.” Respingem ambele alternative, păstrând același ecran și același moment.

3. Prima expresie are valoarea zero, deoarece disjuncția este adevărată. A doua este conjuncția dintre zero și unu, deci tot zero.

4. $x<-8$ sau $x\ge 1$. Egalitatea cu minus opt rămâne în enunțul inițial; egalitatea cu unu intră în negație.

5. Negația cere eșecul ambelor alternative: „particula nu are sarcină pozitivă și nu este neutră”, adică $q\le 0$ și $q\ne 0$. Împreună, cele două condiții înseamnă $q<0$: particula are sarcină negativă.

6. Operația exterioară este disjuncția, deci obținem $\neg (p\wedge q)\wedge \neg (\neg p\wedge r)$. Desfacem fiecare conjuncție și simplificăm dubla negație: $(\neg p\vee \neg q)\wedge (p\vee \neg r)$.

7. Disjuncția inițială este adevărată, deci prima expresie dă zero. A doua are prima componentă adevărată, deci dă unu. Atribuirea respinge echivalența.

8. Obținem $p\vee q$. Prima lege produce $\neg (\neg p)\vee \neg (\neg q)$, după care aplicăm dubla negație fiecărei componente.

9. Negația afirmă că douăzeci și doi este divizibil cu unsprezece și nu este divizibil cu patru. Este adevărată: $22=11\cdot 2$, iar la împărțirea la patru rămâne restul doi.

10. Valoarea este unu. Cele două propoziții au verdicte diferite, astfel încât echivalența este falsă și negarea ei adevărată.

11. Negația echivalenței afirmă valori diferite ale componentelor $p$ și $\neg q$: $(p\wedge \neg \neg q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$, adică $(p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$. Rezultatul este adevărat exact când $p$ și $q$ au aceeași valoare, deci exprimă echivalența $p\iff q$.

12. Conjuncția este falsă și $\neg r$ este falsă, deci disjuncția are valoarea zero. Negația ei are valoarea unu.

13. Negația unei echivalențe afirmă că cele două componente au valori diferite. Pentru $n=6$: $6^2=36$ este par, dar $6$ nu se divide cu $4$; valorile diferă, deci negația este adevărată. Pentru $n=8$: $8^2=64$ este par și $8=4\cdot 2$; valorile coincid, deci negația este falsă.

14. Negația disjuncției este „$x\ge -2$ și $x\le -2$”. Dacă ambele inegalități sunt adevărate, $x$ nu poate fi nici mai mare, nici mai mic decât $-2$, deci $x=-2$. Reciproc, pentru $x=-2$ ambele inegalități nestricte sunt adevărate. Echivalența este justificată în ambele sensuri.

15. Negația este „$x<0$ sau $y<0$”. Dacă ambele numere ar fi nenegative, produsul lor ar fi nenegativ, ceea ce contrazice $xy<0$. Deci cel puțin unul dintre ele este negativ, iar disjuncția, adică negația cerută, este adevărată.

16. Adevărat. Dacă $\neg (p\vee q)$ este adevărată, disjuncția este falsă, deci $p$ și $q$ sunt amândouă false. Atunci și conjuncția $p\wedge q$ este falsă, iar negația ei este adevărată. Reciproca nu are loc: la $v(p)=1$, $v(q)=0$, prima negație este falsă, iar a doua adevărată.

17. $q$ trebuie să fie adevărată. Disjuncția este adevărată, iar componenta $p$ este falsă, deci numai $q$ poate confirma disjuncția.

18. Obținem $p\wedge \neg q\wedge \neg r$. Singura atribuire favorabilă este $(v(p),v(q),v(r))=(1,0,0)$, deoarece toate cele trei cerințe trebuie îndeplinite împreună.

De reținut

• La negarea unui bloc, identifică întâi operația exterioară.
• Eșecul unei conjuncții permite cel puțin un eșec al componentelor.
• Eșecul unei disjuncții impune eșecul fiecărei alternative.
• Componentele deja negate cer aplicarea atentă a dublei negații.
• O echivalență logică se verifică pe toate atribuirile, iar o nepotrivire o respinge.

Greșeli frecvente

• Deducerea respingerii dintr-o condiție doar suficientă de acceptare. Citește dacă regula descrie complet acceptarea sau oferă numai un caz care o garantează.
• Confundarea criteriului general cu starea observată. Poți scrie negația chiar dacă nu ai încă date pentru verdictul ei.
• Negarea unei componente deja negative ca și când ar fi pozitivă. Păstrează rândul intermediar cu dubla negație.
• Declararea unei reguli corecte după o singură potrivire. Un exemplu favorabil nu exclude alte atribuiri la care rezultatele ar diferi.
• Interpretarea dezacordului logic drept explicație fizică. Valorile diferite ale două indicatoare nu spun singure care este cauza lor.

Aplică acasă

1. Desenează două indicatoare cu câte două stări și scrie toate cele patru combinații. Colorează separat cazurile de acord și de dezacord, apoi explică ce propoziție ai negat.
2. Construiește o condiție care conține deja o negație. Scrie fiecare etapă a negării întregii condiții pe câte un bilețel și verifică dacă ordinea lor poate fi schimbată fără să pierzi sensul.
3. Pregătește trei comparații numerice, dintre care una are valoarea exact pe limită. Compune un enunț folosind două dintre ele și verifică atât enunțul, cât și negația, fără să modifici numerele.

Pentru părinți și profesori

Urmăriți dacă elevul poate explica de ce apare noul operator, nu numai dacă îl schimbă mecanic. O probă utilă conține o componentă deja negată și un prag atins exact. Cereți citirea în cuvinte a rezultatului și separarea dintre transformarea logică și calculul valorii de adevăr. Tabelele scurte permit identificarea precisă a primului pas greșit.

Programa și examenul. Regulile de negare sunt prevăzute în Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, și în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Operațiile logice apar și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu are o cerință separată despre legile lui De Morgan. Exemplele acestei pagini antrenează controlul condițiilor dintr-o justificare.

Folosiți pentru recapitulare testul de logică matematică și metode de demonstrație M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regulile lui De Morgan tratează și alte dezvoltări; aici regulile sunt aplicate propozițiilor, fără extinderea lecției la operațiile cu mulțimi.

Întrebări frecvente

Trebuie să cunosc starea obiectului ca să scriu negația?

Poți construi negația pornind numai de la forma propoziției și de la sensul componentelor. Datele despre obiect devin necesare atunci când vrei și verdictul particular. Separarea acestor două sarcini te ajută să nu inventezi informații: întâi formulezi corect respingerea, apoi verifici dacă ea este adevărată în cazul dat.

Ce urmăresc când o componentă conține deja o negație?

Trateaz-o ca pe o componentă întreagă. Aplică regula blocului exterior, apoi scrie explicit negarea acelei componente. Dacă apar două negații succesive asupra aceleiași propoziții, le poți simplifica. Nu elimina semne care se referă la blocuri diferite doar fiindcă sunt apropiate în rândul de calcul.

De ce o condiție suficientă nu descrie toate respingerile?

O condiție suficientă anunță un mod de a obține acceptarea, dar pot exista și alte moduri. Absența ei nu implică automat respingere. Ca să negi criteriul complet de acceptare, ai nevoie de o regulă care îl definește în ambele sensuri, cum este formularea „exact când”. Citește acest detaliu înainte să aplici De Morgan.

Cum aleg o atribuire care demontează o formulă greșită?

Caută un caz în care cele două formule cer lucruri diferite: de exemplu, una permite un singur eșec, iar cealaltă cere două. Calculează apoi ambele rezultate pe aceeași atribuire și indică diferența. Dacă rezultatele coincid, cazul ales nu respinge formula, dar nici nu îi dovedește corectitudinea generală.

Ce restrângere are lecția M2 față de varianta M1?

Lucrăm cu propoziții, condiții numerice și cel mult trei componente. Păstrăm negarea implicației și a echivalenței, fiind operații deja studiate în traseul M2. Nu dezvoltăm aici formulele pentru complementarele mulțimilor sau rescrierea oricărei expresii cu un număr minim de operatori. Accentul este pe interpretare și verificare.

Legile lui De Morgan au un subiect separat la Bacalaureatul M2?

Tema aparține programei, dar aceasta nu garantează o cerință separată într-o anumită poziție. Modelul oficial pentru 2026 nu conține o astfel de sarcină. Exercițiile marcate în lecție sunt construcții de antrenament: exersează compararea, negarea și justificarea condițiilor, fără să fie prezentate drept reproduceri ale unui subiect oficial.