Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli)

Un jucător de baschet reușește, în medie, trei aruncări din cinci. Aruncă de cinci ori la coș. Care e probabilitatea să înscrie exact patru? Un control de calitate ia cinci piese dintr-o producție cu $10\%$ rebut — care e probabilitatea să găsească exact una defectă? Un elev aruncă zarul de patru ori și vrea să știe cât de des poate spera la exact un „șase".

Toate cele trei întrebări au aceeași structură matematică: se repetă de $n$ ori aceeași încercare, de fiecare dată în aceleași condiții, rezultatele nu se influențează între ele, iar la fiecare încercare avem doar două deznodăminte — pe care le numim, prin convenție, succes și eșec. Modelul care descrie această situație se numește schema bilei revenite, sau schema lui Bernoulli, după matematicianul elvețian Jakob Bernoulli. Este prima dintre cele trei scheme clasice de probabilitate cerute de programa de matematică-informatică și, de departe, cea mai des întâlnită la proba de Bacalaureat M1. Ideea ei se sprijină pe două lucruri pe care le știi deja: înmulțirea probabilităților evenimentelor independente și numărarea cu combinări.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o situație de tip Bernoulli: $n$ probe identice, independente, cu doar două rezultate posibile și cu aceeași probabilitate de succes la fiecare probă.
• Vei ști să demonstrezi formula $P(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, explicând separat de unde vine produsul și de unde vine coeficientul $C_n^k$.
• Vei ști să calculezi probabilitatea unui număr exact de succese, dar și a evenimentelor „cel puțin", „cel mult", „niciunul".
• Vei ști să verifici că suma probabilităților pe toate valorile lui $k$ este $1$, folosind binomul lui Newton.
• Vei ști să treci de la o urnă cu bile la probabilitatea $p$ a unei singure probe și înapoi.
• Vei ști să găsești cel mai probabil număr de succese, comparând termeni consecutivi.

Hai să descoperim împreună

1. Modelul: urna cu bila pusă înapoi

Fie o urnă cu $3$ bile albe și $2$ bile negre. Se extrage o bilă, se notează culoarea, iar apoi bila se pune înapoi în urnă și se amestecă. Operația se repetă de $4$ ori.

Punerea bilei înapoi este esențială: urna are, înaintea fiecărei extrageri, exact aceeași compoziție. Prin urmare:

• probabilitatea de a extrage o bilă albă este de fiecare dată aceeași, $p=\frac{3}{5}$;
• probabilitatea unei bile negre este de fiecare dată $q=1-p=\frac{2}{5}$;
• extragerile sunt independente: ce a ieșit la o extragere nu schimbă cu nimic șansele la următoarea, exact în sensul de la Evenimente independente.

Vom numi succes obținerea unei bile albe și eșec obținerea uneia negre. Întrebarea: care este probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe în cele $4$ extrageri?

2. Probabilitatea unui șir fixat de rezultate

Să calculăm mai întâi probabilitatea unui rezultat precis, de pildă „albă, albă, neagră, neagră", pe care îl notăm $SSEE$. Extragerile fiind independente, probabilitatea intersecției este produsul probabilităților:

$$P(SSEE)=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}={\left(\frac{3}{5}\right)}^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}\cdot \frac{4}{25}=\frac{36}{625}.$$

Ce se întâmplă dacă schimbăm ordinea, de exemplu $SESE$? Produsul are aceiași factori, doar rearanjați:

$$P(SESE)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{36}{625}.$$

Aceeași valoare! Aceasta este observația-cheie: probabilitatea unui șir depinde numai de câte succese conține, nu de unde sunt așezate. Orice șir cu $k$ succese și $n-k$ eșecuri are probabilitatea $p^k{q}^{n-k}$.

3. Câte astfel de șiruri există?

Rămâne de numărat câte șiruri de lungime $4$ conțin exact $2$ succese. A alege un astfel de șir înseamnă a alege pozițiile succeselor: o submulțime de $2$ elemente din mulțimea celor $4$ poziții. Ordinea în care alegem pozițiile nu contează, deci numărul lor este $C_4^2=6$, după formula de la Combinări: definiție și formulă. Iată-le: $SSEE$, $SESE$, $SEES$, $ESSE$, $ESES$, $EESS$.

Cele $6$ șiruri sunt evenimente disjuncte (nu se pot produce două simultan) și au fiecare probabilitatea $\frac{36}{625}$, deci

$$P(\text{exact }2\text{ albe})=6\cdot \frac{36}{625}=\frac{216}{625}.$$

4. Schema lui Bernoulli — enunț și demonstrație

Teoremă (schema bilei revenite). Se efectuează $n$ probe independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de succes fiind $p$, iar cea de eșec $q=1-p$. Atunci probabilitatea de a obține exact $k$ succese ($0\le k\le n$) este

$$P(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}.$$

Demonstrație. Rezultatul complet al experimentului este un șir de $n$ litere, fiecare $S$ sau $E$. Probele fiind independente, probabilitatea unui șir fixat este produsul probabilităților literelor lui; un șir cu $k$ litere $S$ și $n-k$ litere $E$ are deci probabilitatea $p^k{q}^{n-k}$, indiferent de ordinea literelor.

Evenimentul „exact $k$ succese" este reuniunea tuturor șirurilor cu exact $k$ litere $S$. Aceste șiruri sunt două câte două incompatibile, deci probabilitatea reuniunii este suma probabilităților lor. Numărul lor este numărul submulțimilor de $k$ poziții alese dintre cele $n$, adică $C_n^k$. Prin urmare

$$P(k)=C_n^k\cdot p^k{q}^{n-k}.■$$

Reține împărțirea rolurilor: $p^k{q}^{n-k}$ este probabilitatea unui singur scenariu, iar $C_n^k$ numără scenariile.

5. Suma probabilităților este 1

Un control obligatoriu: dacă adunăm probabilitățile pentru toate valorile posibile ale lui $k$, trebuie să obținem $1$, pentru că numărul de succese este sigur unul dintre $0,1,\dots ,n$. Verificarea folosește binomul lui Newton de la Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom:

$$\sum _{k=0}^n{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1^n=1.$$

Din cauza acestei legături, schema lui Bernoulli se mai numește și schema binomială: probabilitățile ei sunt exact termenii dezvoltării lui $(p+q{)}^n$.

Pentru $n=4$ și $p=q=\frac{1}{2}$, probabilitățile sunt $\frac{1}{16},\frac{4}{16},\frac{6}{16},\frac{4}{16},\frac{1}{16}$ — chiar linia $1,4,6,4,1$ din Triunghiul lui Pascal, împărțită la $16$.

6. Cum se citește enunțul: „exact", „cel puțin", „cel mult"

• „exact $k$" — un singur termen: $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.
• „cel puțin $k$" — se adună termenii de la $k$ la $n$.
• „cel mult $k$" — se adună termenii de la $0$ la $k$.
• „cel puțin unul" — cel mai rapid prin evenimentul contrar: $1-P(0)=1-q^n$.

Ultimul truc merită reținut: „cel puțin un succes" are drept contrar „niciun succes", care este un singur termen. Așa eviți o sumă lungă, în spiritul lecției Evenimentul contrar și probabilitatea lui.

7. Cel mai probabil număr de succese

Comparând doi termeni consecutivi, obținem un raport foarte simplu:

$$\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{C_n^k{p}^k{q}^{n-k}}{C_n^{k-1}{p}^{k-1}{q}^{n-k+1}}=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{p}{q}.$$

Cât timp acest raport este mai mare decât $1$, probabilitățile cresc; când devine mai mic decât $1$, ele scad. Distribuția urcă, atinge un vârf și coboară — de aceea, în diagrama cu bare, forma este întotdeauna „de deal".

8. De la urnă la probabilitatea unei probe

Enunțurile îți dau, de obicei, compoziția urnei, nu direct pe $p$. Trecerea se face cu definiția clasică a probabilității, de la Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică: dacă urna are $a$ bile albe și $b$ bile negre, atunci

$$p=\frac{a}{a+b},q=\frac{b}{a+b}.$$

Simplifică fracția din prima clipă: o urnă cu $4$ albe și $6$ negre dă $p=\frac{2}{5}$, nu $\frac{4}{10}$, iar calculele care urmează devin mult mai ușoare. Același lucru cu procentele: $10\%$ înseamnă $\frac{1}{10}$, iar $5\%$ înseamnă $\frac{1}{20}$.

O observație importantă: numărul de bile din urnă nu apare nicăieri altundeva în formulă. Două urne diferite, una cu $2$ albe și $3$ negre, cealaltă cu $200$ albe și $300$ negre, dau exact aceleași probabilități, pentru că dau același $p$. La schema bilei nerevenite, din lecția următoare, lucrurile stau cu totul altfel.

9. Rețeta de rezolvare

1. Verifică cele trei condiții: probe identice, independente, cu două rezultate posibile.
2. Scrie explicit $n$ (numărul de probe), $p$ (probabilitatea de succes la o probă) și $q=1-p$.
3. Citește ce se cere: „exact", „cel puțin", „cel mult", „niciunul".
4. Aplică formula, o dată sau de mai multe ori, și adună acolo unde e nevoie.
5. Controlează: rezultatul este un număr între $0$ și $1$, iar suma tuturor termenilor trebuie să dea $1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Distribuția completă pentru urna cu $3$ albe și $2$ negre

Se fac $4$ extrageri cu revenire dintr-o urnă cu $3$ bile albe și $2$ negre. Scrie probabilitățile pentru toate valorile posibile ale numărului de bile albe.

Rezolvare. Avem $p=\frac{3}{5}$, $q=\frac{2}{5}$, $n=4$, iar $P(k)=C_4^k{\left(\frac{3}{5}\right)}^k{\left(\frac{2}{5}\right)}^{4-k}$:

Control: $16+96+216+216+81=625$, deci suma este $1$ ✓ Cele mai probabile rezultate sunt $2$ și $3$ bile albe, la egalitate.

Exemplul 2. Zarul aruncat de cinci ori

Se aruncă un zar de $5$ ori. Care este probabilitatea de a obține exact de două ori fața $6$?

Rezolvare. Succesul este „apare $6$", deci $p=\frac{1}{6}$ și $q=\frac{5}{6}$, iar $n=5$, $k=2$:

$$P(2)=C_5^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=10\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{125}{216}=\frac{1250}{7776}=\frac{625}{3888}\approx 0,1608.$$

Aproximativ $16\%$ — mai des decât ar bănui mulți, pentru că sunt $10$ moduri de a plasa cele două reușite printre cele cinci aruncări.

Exemplul 3. Cel puțin o bilă albă

Dintr-o urnă cu $1$ bilă albă și $4$ negre se fac $3$ extrageri cu revenire. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o bilă albă?

Rezolvare. Aici $p=\frac{1}{5}$, $q=\frac{4}{5}$, $n=3$. Trecem la evenimentul contrar, „nicio bilă albă":

$$P(\ge 1)=1-P(0)=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^3=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}\approx 0,488.$$

Puțin sub jumătate. Calculul direct ar fi cerut trei termeni; contrarul cere unul singur.

Exemplul 4. Moneda și triunghiul lui Pascal

Se aruncă o monedă corectă de $4$ ori. Care este probabilitatea de a obține exact $2$ steme? Dar cel puțin $3$?

Rezolvare. $p=q=\frac{1}{2}$, deci $P(k)=C_4^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{C_4^k}{16}$: probabilitățile sunt proporționale cu numerele $1,4,6,4,1$.

$$P(2)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8},P(\ge 3)=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}.$$

Când $p=\frac{1}{2}$, formula se reduce la „numărul cazurilor favorabile împărțit la $2^n$" — regăsim definiția clasică a probabilității.

Exemplul 5. Cel mult două succese

Se fac $5$ probe independente, fiecare cu probabilitatea de succes $\frac{1}{3}$. Care este probabilitatea de a obține cel mult $2$ succese?

Rezolvare. $p=\frac{1}{3}$, $q=\frac{2}{3}$, iar $3^5=243$:

$$P(0)={\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{32}{243},P(1)=5\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{16}{81}=\frac{80}{243},P(2)=10\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27}=\frac{80}{243}.$$

$$P(\le 2)=\frac{32+80+80}{243}=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}\approx 0,79.$$

Aici cele două drumuri sunt la fel de lungi: direct ai trei termeni ($k=0,1,2$), prin contrar tot trei ($k=3,4,5$). Numără termenii înainte de a alege drumul; trucul evenimentului contrar aduce câștig doar când una dintre sume are un singur termen.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

O urnă conține $2$ bile albe și $3$ bile negre. Se fac $4$ extrageri cu revenire.

a) Calculați probabilitatea de a obține exact $3$ bile albe. b) Calculați probabilitatea de a obține cel puțin $3$ bile albe.

Rezolvare. $p=\frac{2}{5}$, $q=\frac{3}{5}$, $n=4$.

a) $P(3)=C_4^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^3\left(\frac{3}{5}\right)=4\cdot \frac{8}{125}\cdot \frac{3}{5}=\frac{96}{625}$.

b) „Cel puțin $3$" înseamnă $3$ sau $4$:

$$P(\ge 3)=P(3)+P(4)=\frac{96}{625}+{\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{96}{625}+\frac{16}{625}=\frac{112}{625}=0,1792.$$

În redactare, baremul cere să scrii explicit valorile lui $n$, $k$, $p$ și $q$ înainte de a înlocui în formulă.

Să exersăm

1. Se aruncă un zar de $4$ ori. Calculează probabilitatea de a obține exact o dată fața $6$.

2. Dintr-o urnă cu $3$ bile albe și $2$ negre se fac $3$ extrageri cu revenire. Calculează probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe.

3. Se aruncă o monedă corectă de $6$ ori. Calculează probabilitatea de a obține exact $3$ steme.

4. „În schema lui Bernoulli, probabilitatea de succes se modifică de la o probă la alta, pentru că urna se golește." (Adevărat/Fals cu motivare.)

5. Dintr-o urnă cu $1$ bilă albă și $3$ negre se fac $3$ extrageri cu revenire. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin o bilă albă.

6. Se fac $4$ probe independente, fiecare cu probabilitatea de succes $\frac{1}{3}$. Scrie probabilitățile pentru $k=0,1,2,3,4$ și verifică faptul că suma lor este $1$.

7. Se fac $5$ probe independente, fiecare cu probabilitatea de succes $\frac{1}{3}$. Calculează probabilitatea de a obține exact $3$ succese.

8. Într-o producție, $10\%$ dintre piese sunt defecte. Se verifică $5$ piese, luate independent una de alta. Calculează probabilitatea ca exact una să fie defectă. (Problemă aplicată.)

9. Se aruncă un zar de $4$ ori. Calculează probabilitatea de a obține cel mult o dată fața $6$.

10. Se fac $5$ aruncări cu o monedă corectă. Determină valoarea (sau valorile) lui $k$ pentru care probabilitatea de a obține exact $k$ steme este maximă și calculează această probabilitate.

11. „Probabilitatea de a obține exact $3$ succese din $7$ probe cu $p=\frac{1}{3}$ este egală cu $C_7^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^4$." (Adevărat/Fals cu motivare.)

12. Se fac $n$ probe independente, fiecare cu probabilitatea de succes $\frac{1}{2}$. Știind că probabilitatea de a nu obține niciun succes este $\frac{1}{64}$, determină $n$.

13. Se aruncă un zar de $3$ ori. Calculează probabilitatea de a obține exact de două ori un număr par.

14. Dintr-o urnă cu $4$ bile albe și $1$ neagră se fac $4$ extrageri cu revenire. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin $3$ bile albe.

15. Se fac $3$ probe independente cu probabilitatea de succes $\frac{1}{4}$. Scrie cele patru probabilități și arată că suma lor este $1$, folosind binomul lui Newton.

16. O urnă conține $4$ bile albe și $6$ bile negre. Se fac $5$ extrageri cu revenire. a) Calculează probabilitatea de a obține exact $3$ bile albe. b) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin $4$ bile albe. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.)

17. Un jucător de baschet înscrie o aruncare liberă cu probabilitatea $\frac{3}{5}$, independent de celelalte. El execută $5$ aruncări. Calculează probabilitatea de a înscrie exact $4$. (Problemă aplicată.)

18. Arată că $\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{p}{q}$ și folosește această relație pentru a determina cel mai probabil număr de succese în cazul $n=7$, $p=\frac{1}{3}$. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. $p=\frac{1}{6}$, $q=\frac{5}{6}$, $n=4$, $k=1$: $P=C_4^1\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^3=4\cdot \frac{125}{1296}=\frac{500}{1296}=\frac{125}{324}\approx 0,386$.

2. $P=C_3^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^2\left(\frac{2}{5}\right)=3\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{2}{5}=\frac{54}{125}=0,432$.

3. $P=\frac{C_6^3}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}=0,3125$.

4. Fals. Tocmai pentru că bila se pune înapoi, urna are înaintea fiecărei extrageri aceeași compoziție, deci $p$ rămâne constant, iar probele sunt independente. Situația în care urna se golește este cea a schemei bilei nerevenite, din lecția următoare.

5. $q=\frac{3}{4}$, deci $P(\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^3=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}\approx 0,578$.

6. $P(k)=C_4^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4-k}$ dă, pe rând, $\frac{16}{81},\frac{32}{81},\frac{24}{81},\frac{8}{81},\frac{1}{81}$. Suma numărătorilor: $16+32+24+8+1=81$, deci suma probabilităților este $1$ ✓

7. $P(3)=C_5^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{4}{9}=\frac{40}{243}\approx 0,165$.

8. $p=\frac{1}{10}$, $q=\frac{9}{10}$: $P(1)=C_5^1\cdot \frac{1}{10}\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^4=5\cdot \frac{6561}{100000}=\frac{6561}{20000}=0,32805$. Aproape o treime dintre controale vor găsi exact o piesă defectă.

9. $P(\le 1)=P(0)+P(1)={\left(\frac{5}{6}\right)}^4+\frac{500}{1296}=\frac{625}{1296}+\frac{500}{1296}=\frac{1125}{1296}=\frac{125}{144}\approx 0,868$.

10. $P(k)=\frac{C_5^k}{32}$, iar numerele $C_5^k$ sunt $1,5,10,10,5,1$. Maximul este atins de două ori, pentru $k=2$ și $k=3$, iar valoarea lui este $\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$. Când $n$ este impar și $p=\frac{1}{2}$, vârful este întotdeauna dublu, din simetria triunghiului lui Pascal.

11. Adevărat. Din formula combinărilor complementare, $C_7^3=C_7^4=35$, deci cele două scrieri dau același număr. Atenție însă: puterile trebuie să rămână ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3$ și ${\left(\frac{2}{3}\right)}^4$; doar coeficientul poate fi rescris.

12. $P(0)=q^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{64}=\frac{1}{2^6}$, deci $n=6$.

13. Succes = „număr par", cu $p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Atunci $P(2)=C_3^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$.

14. $p=\frac{4}{5}$: $P(3)=C_4^3{\left(\frac{4}{5}\right)}^3\left(\frac{1}{5}\right)=4\cdot \frac{64}{125}\cdot \frac{1}{5}=\frac{256}{625}$ și $P(4)={\left(\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625}$. Deci $P(\ge 3)=\frac{512}{625}=0,8192$.

15. $P(k)=C_3^k{\left(\frac{1}{4}\right)}^k{\left(\frac{3}{4}\right)}^{3-k}$ dă $\frac{27}{64},\frac{27}{64},\frac{9}{64},\frac{1}{64}$, cu suma $\frac{64}{64}=1$. Justificarea generală: suma este ${\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)}^3=1^3=1$, prin binomul lui Newton.

16. $p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, $q=\frac{3}{5}$, $n=5$. a) $P(3)=C_5^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^3{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=10\cdot \frac{8}{125}\cdot \frac{9}{25}=\frac{720}{3125}=\frac{144}{625}$. b) $P(4)=C_5^4{\left(\frac{2}{5}\right)}^4\left(\frac{3}{5}\right)=5\cdot \frac{16}{625}\cdot \frac{3}{5}=\frac{240}{3125}$ și $P(5)={\left(\frac{2}{5}\right)}^5=\frac{32}{3125}$, deci $P(\ge 4)=\frac{272}{3125}\approx 0,087$.

17. $P(4)=C_5^4{\left(\frac{3}{5}\right)}^4\left(\frac{2}{5}\right)=5\cdot \frac{81}{625}\cdot \frac{2}{5}=\frac{810}{3125}=\frac{162}{625}\approx 0,259$.

18. Raportul se obține simplificând: $\frac{C_n^k}{C_n^{k-1}}=\frac{n-k+1}{k}$, iar $\frac{p^k{q}^{n-k}}{p^{k-1}{q}^{n-k+1}}=\frac{p}{q}$. Pentru $n=7$, $p=\frac{1}{3}$, avem $\frac{p}{q}=\frac{1}{2}$, deci $\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{8-k}{2k}$. Acest raport este supraunitar pentru $k=1$ (valoarea $\frac{7}{2}$) și pentru $k=2$ (valoarea $\frac{3}{2}$), dar subunitar de la $k=3$ (valoarea $\frac{5}{6}$) încolo. Probabilitățile cresc până la $k=2$ și scad după, deci cel mai probabil număr de succese este $2$, cu $P(2)=C_7^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{672}{2187}=\frac{224}{729}\approx 0,307$. Verificare: numărătorii peste $3^7=2187$ sunt $128,448,672,560,280,84,14,1$, cu suma $2187$ ✓

De reținut

• Schema lui Bernoulli modelează $n$ probe independente, identice, cu două rezultate posibile și cu aceeași probabilitate de succes $p$ la fiecare probă. Modelul concret: extrageri dintr-o urnă cu revenire.
• Formula: $P(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, unde $q=1-p$. Factorul $p^k{q}^{n-k}$ este probabilitatea unui scenariu, iar $C_n^k$ numără scenariile.
• Suma pe toate valorile lui $k$ este $1$, pentru că $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1$ — de aici și numele de schemă binomială.
• „Cel puțin unul" se calculează prin contrar: $1-q^n$. „Cel puțin $k$" și „cel mult $k$" sunt sume de termeni consecutivi.
• Raportul termenilor consecutivi este $\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{p}{q}$; el arată unde urcă și unde coboară distribuția.

Greșeli frecvente

• Uitarea coeficientului $C_n^k$. Produsul $p^k{q}^{n-k}$ este probabilitatea unei singure ordini; fără coeficient, răspunsul e de $C_n^k$ ori mai mic decât cel corect.
• Inversarea exponenților. La $k$ succese, exponentul lui $p$ este $k$, iar al lui $q$ este $n-k$ — nu invers. Control rapid: exponenții trebuie să se adune la $n$.
• Aplicarea schemei la extrageri fără revenire. Dacă bila nu se întoarce în urnă, $p$ se schimbă de la o probă la alta și formula nu mai este valabilă; acolo se folosește schema din lecția următoare.
• Confuzia dintre „cel puțin unul" și „exact unul". Primul se calculează cel mai simplu ca $1-q^n$; al doilea este un singur termen, $C_n^{1}p{q}^{n-1}$.
• Folosirea procentelor nesimplificate în calcul. Transformă din start $10\%$ în $\frac{1}{10}$ și $40\%$ în $\frac{2}{5}$; fracțiile ordinare dau rezultate exacte, zecimalele rotunjite nu.

Aplică acasă

1. Moneda de $8$ ori. Aruncă o monedă de $8$ ori și notează numărul de steme. Repetă experimentul de $20$ de ori și fă o diagramă cu bare a rezultatelor. Compară forma obținută cu valorile teoretice $\frac{C_8^k}{256}$ și observă unde se află vârful.

2. Zarul și cei doi de „șase". Calculează, cu formula, probabilitatea de a obține cel puțin doi de „șase" din $6$ aruncări. Apoi aruncă zarul de $6$ ori, de $15$ ori la rând, și compară frecvența relativă cu valoarea teoretică.

3. Sportul tău preferat. Alege un sportiv și caută procentul lui de reușită la o acțiune repetabilă (aruncări libere, servicii, penaltiuri). Calculează probabilitatea ca din $5$ încercări să reușească exact $4$ și cel puțin $4$, apoi verifică dacă modelul cu probe independente ți se pare realist și scrie două motive pentru care ar putea să nu fie.

Pentru părinți și profesori

Schema lui Bernoulli este locul unde combinatorica învățată în prima parte a anului își arată utilitatea: coeficientul $C_n^k$ nu mai este un exercițiu de numărare, ci componenta care face formula să funcționeze. Programa de matematică-informatică cere cele trei scheme clasice, iar aceasta este cea mai frecventă la examen.

Ce verifică lecția: identificarea corectă a lui $n$, $k$, $p$ și $q$ din enunț, justificarea faptului că probele sunt independente și echiprobabile, aplicarea formulei și tratarea cerințelor de tip „cel puțin"/„cel mult". Întrebări bune de control: „De ce apare $C_n^k$ în formulă?", „Ce s-ar schimba dacă bila nu s-ar pune înapoi?", „Cum calculezi cel mai repede probabilitatea de a avea cel puțin un succes?".

Semne că elevul a înțeles: scrie întâi datele ($n$, $k$, $p$, $q$) și abia apoi formula, verifică din reflex că exponenții se adună la $n$ și alege singur drumul prin evenimentul contrar când acesta e mai scurt. La proba de Bacalaureat M1, cerința tipică are exact structura Exemplului 6: un subpunct cu „exact $k$" și unul cu „cel puțin $k$", iar baremul acordă punctaj separat pentru identificarea datelor și pentru calcul.

Întrebări frecvente

Ce este schema lui Bernoulli? Este modelul probabilistic pentru $n$ probe independente, efectuate în aceleași condiții, fiecare cu doar două rezultate posibile (succes cu probabilitatea $p$, eșec cu probabilitatea $q=1-p$). Probabilitatea de a obține exact $k$ succese este $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.

De ce se numește schema bilei revenite? Pentru că modelul concret este extragerea repetată dintr-o urnă în care bila extrasă se pune înapoi de fiecare dată. Astfel compoziția urnei rămâne neschimbată, probabilitatea de succes este aceeași la fiecare extragere, iar extragerile sunt independente.

De ce apare combinarea $C_n^k$ în formulă? Pentru că evenimentul „exact $k$ succese" se realizează prin mai multe șiruri diferite de rezultate, toate având aceeași probabilitate $p^k{q}^{n-k}$. Numărul acestor șiruri este numărul modurilor de a alege cele $k$ poziții ale succeselor dintre cele $n$, adică $C_n^k$.

Cum calculez probabilitatea de a obține cel puțin un succes? Cel mai rapid prin evenimentul contrar: $P(\ge 1)=1-P(0)=1-q^n$. Este un singur calcul, în loc de o sumă cu $n$ termeni.

Cum verific dacă rezultatele mele sunt corecte? Adună probabilitățile pentru toate valorile lui $k$, de la $0$ la $n$: trebuie să obții exact $1$, pentru că suma este $(p+q{)}^n$. Dacă lucrezi cu fracții cu același numitor, e suficient să verifici că numărătorii se adună la numitorul comun.

Ce legătură are schema lui Bernoulli cu binomul lui Newton? Probabilitățile $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ sunt exact termenii dezvoltării lui $(p+q{)}^n$. De aceea schema se mai numește binomială, iar pentru $p=\frac{1}{2}$ probabilitățile sunt proporționale cu numerele de pe o linie din triunghiul lui Pascal.

Când NU pot folosi schema lui Bernoulli? Când probele nu sunt independente sau când probabilitatea de succes se schimbă de la o probă la alta — de pildă la extrageri fără revenire, unde urna se golește, sau când probele au probabilități de succes diferite. Pentru aceste situații există celelalte două scheme clasice.

Cum aflu cel mai probabil număr de succese? Compari termeni consecutivi cu raportul $\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{p}{q}$. Cât timp raportul este mai mare decât $1$, probabilitățile cresc; primul $k$ pentru care devine mai mic decât $1$ arată că vârful a fost depășit.