Schema lui Bernoulli (bila revenită): pe scurt

Schema bilei revenite (Bernoulli) modelează $n$ probe independente, identice, cu doar două rezultate — succes (probabilitate $p$) și eșec ($q=1-p$) — la fel la fiecare probă. Modelul concret: extrageri cu revenire, unde bila se pune înapoi și compoziția urnei nu se schimbă.

Formula: $P(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, unde $p^k{q}^{n-k}$ este probabilitatea unui singur șir de rezultate, iar $C_n^k$ numără câte șiruri cu exact $k$ succese există (pozițiile succeselor printre cele $n$ probe).

Control: $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1$, prin binomul lui Newton — de aici numele de schemă binomială. Pentru $p=q=\frac{1}{2}$, probabilitățile sunt proporționale cu o linie din triunghiul lui Pascal.

„Cel puțin un succes” se calculează cel mai repede prin evenimentul contrar: $1-q^n$. „Cel mult $k$” și „cel puțin $k$” sunt sume de termeni consecutivi. Schema NU se aplică la extrageri fără revenire — acolo $p$ se schimbă de la o probă la alta, iar formula potrivită este schema hipergeometrică.

Enunțul dă de obicei compoziția urnei, nu direct pe $p$: dintr-o urnă cu $a$ albe și $b$ negre, $p=\frac{a}{a+b}$. Numărul total de bile din urnă nu mai apare nicăieri altundeva în formulă — două urne diferite cu același raport dau exact aceleași probabilități, spre deosebire de schema hipergeometrică, unde numărul efectiv de bile contează.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-o urnă cu $3$ bile albe și $1$ neagră se fac $4$ extrageri cu revenire. Care este probabilitatea de a obține exact $3$ bile albe?

   • a) $\frac{27}{64}$
   • b) $\frac{9}{16}$
   • c) $\frac{81}{256}$
   • d) $\frac{3}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{27}{64}$

   $p=\frac{3}{4}$, $q=\frac{1}{4}$, $n=4$, $k=3$: $P(3)=C_4^3{\left(\frac{3}{4}\right)}^3\left(\frac{1}{4}\right)=4\cdot \frac{27}{64}\cdot \frac{1}{4}=\frac{27}{64}$.

2. Care dintre următoarele situații nu se poate modela prin schema lui Bernoulli?

   • a) aruncarea unei monede de $5$ ori
   • b) extragerea a $3$ bile fără revenire dintr-o urnă
   • c) controlul a $6$ piese produse independent, fiecare cu aceeași probabilitate de rebut
   • d) aruncarea unui zar de $4$ ori, numărând de câte ori apare fața $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) extragerea a $3$ bile fără revenire dintr-o urnă

   La extragerea fără revenire, probabilitatea de succes se schimbă de la o extragere la alta, iar probele nu mai sunt independente — condițiile schemei lui Bernoulli cad. Acolo se folosește schema hipergeometrică, cu combinări.

3. Dintr-o urnă cu $1$ bilă albă și $4$ negre se fac $3$ extrageri cu revenire. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o bilă albă?

   • a) $\frac{64}{125}$
   • b) $\frac{1}{5}$
   • c) $\frac{61}{125}$
   • d) $\frac{3}{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{61}{125}$

   $p=\frac{1}{5}$, $q=\frac{4}{5}$, $n=3$. Prin evenimentul contrar, $P(\ge 1)=1-P(0)=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^3=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}$.