Eveniment sigur, imposibil, elementar

La un joc de societate, cineva zice: „Dacă dai cu zarul, sigur iese un număr între $1$ și $6$ ." Are dreptate — și tocmai de aceea propoziția lui e plictisitoare: nu spune nimic despre partidă. Alt jucător adaugă, glumind: „Eu aș avea nevoie de un $8$ ." Nici asta nu se poate întâmpla vreodată. Între aceste două extreme — ce se întâmplă întotdeauna și ce nu se întâmplă niciodată — se află toate evenimentele interesante, cele despre care chiar merită să discutăm.

Matematica dă nume acestor extreme și le așază la capetele unei scări. La un capăt stă evenimentul sigur, la celălalt evenimentul imposibil, iar între ele, „cărămizile" din care se construiește orice altceva: evenimentele elementare. Lecția de față sortează evenimentele pe aceste categorii și îți arată de ce clasificarea nu e o simplă etichetare, ci un instrument de lucru: din evenimente elementare se asamblează, ca dintr-un joc de construcții, orice eveniment compus.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști și să dai exemple de eveniment sigur ( $Ω$ ) și de eveniment imposibil ( $\emptyset$ ) pentru orice experiment.
Vei ști ce este un eveniment elementar și câte astfel de evenimente are un experiment dat.
Vei ști să deosebești un eveniment compus de unul elementar și să scrii orice eveniment ca reuniune de evenimente elementare.
Vei ști să interpretezi incluziunea $A \subseteq B$ drept „realizarea lui $A$ atrage realizarea lui $B$ ".
Vei ști să clasifici corect evenimentele dintr-o problemă practică, verificând numărul cazurilor favorabile.
Vei ști de ce evenimentul imposibil nu înseamnă „foarte rar", ci „niciodată".

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: $Ω$ și submulțimile lui

Reluăm pe scurt cadrul fixat în lecția Experiment aleator. Evenimente: un experiment aleator are o mulțime a rezultatelor posibile $Ω$ , iar un eveniment este o submulțime a lui $Ω$ . Evenimentul se realizează dacă rezultatul obținut aparține submulțimii.

De aici încolo, întreaga clasificare din această lecție se citește ca o clasificare a submulțimilor lui $Ω$ , după numărul lor de elemente:

submulțimea cu $0$ elemente — evenimentul imposibil;
submulțimile cu exact $1$ element — evenimentele elementare;
submulțimile cu $2$ sau mai multe elemente — evenimentele compuse;
submulțimea cu toate elementele — evenimentul sigur.

Frumusețea acestei traduceri e că răspunde imediat la întrebări care, în cuvinte, ar suna confuz: „poate un eveniment să fie și elementar, și sigur?" Da — dacă $Ω$ are un singur element.

2. Evenimentul sigur

Definiție. Evenimentul care se realizează la orice efectuare a experimentului se numește eveniment sigur. El coincide cu întreaga mulțime a rezultatelor posibile: $S = Ω$ .

Exemple:

La aruncarea unui zar, „a apărut un număr mai mic decât $7$ " este sigur: ${1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω$ , cu $6$ cazuri favorabile din $6$ posibile.
La aruncarea a două zaruri, „suma fețelor este cuprinsă între $2$ și $12$ " este sigur: toate cele $36$ de perechi îl realizează.
Într-o urnă cu $5$ bile, toate roșii, evenimentul „bila extrasă este roșie" este sigur.

Observă ultimul exemplu: experimentul rămâne aleator (nu știi care bilă vei scoate), dar evenimentul care ne interesează se realizează întotdeauna. Aleatoriul experimentului și siguranța unui eveniment nu se bat cap în cap.

3. Evenimentul imposibil

Definiție. Evenimentul care nu se realizează la nicio efectuare a experimentului se numește eveniment imposibil. El este mulțimea vidă: $I = \emptyset$ .

Exemple:

La zar, „a apărut fața $7$ " — mulțimea rezultatelor care îl realizează este vidă.
La două zaruri, „suma fețelor este $13$ " sau „suma fețelor este $1$ " — ambele sunt imposibile, pentru că suma minimă e $2$ , iar cea maximă $12$ .
Într-o urnă cu bile albe și negre, „bila extrasă este verde".

Atenție la limbaj. În vorbirea de zi cu zi, „imposibil" se folosește pentru lucruri foarte puțin probabile: „e imposibil să câștig la loto". Matematic, câștigul la loto nu e imposibil — e doar extrem de puțin probabil. Evenimentul imposibil are zero cazuri favorabile, nu „foarte puține". Deosebirea aceasta este una dintre cele mai importante ale capitolului și revine la fiecare test.

✏️Ilustrație: o scară orizontală de la stânga la dreapta, cu „eveniment imposibil, 0 cazuri favorabile" la capătul din stânga și „eveniment sigur, toate cazurile favorabile" la capătul din dreapta; între ele, marcate cu puncte, exemple de la zar: „fața 7", „fața 6", „număr par", „număr mai mic decât 7"

4. Evenimentele elementare — cărămizile

Definiție. Un eveniment care conține un singur rezultat posibil se numește eveniment elementar. Dacă $ω \in Ω$ , evenimentul elementar corespunzător este ${ω}$ .

La aruncarea zarului există exact $6$ evenimente elementare: ${1}$ , ${2}$ , ${3}$ , ${4}$ , ${5}$ , ${6}$ . La aruncarea unei monede sunt $2$ ; la aruncarea a două zaruri sunt $36$ ; la extragerea unei cărți dintr-un pachet de $52$ sunt $52$ .

Regulă simplă: numărul evenimentelor elementare este exact $card (Ω)$ , adică numărul cazurilor posibile.

Merită să facem distincția între rezultatul $ω$ (fața $3$ a zarului, un obiect) și evenimentul elementar ${ω}$ (mulțimea care conține acel rezultat). În scriere ele sunt diferite; în vorbire spunem, pe scurt, „evenimentul $3$ ". Confuzia nu produce greșeli de calcul, dar rigoarea ajută atunci când ajungem la reuniuni și intersecții.

5. Evenimente compuse și descompunerea lor

Definiție. Un eveniment care conține cel puțin două rezultate posibile se numește eveniment compus.

„Număr par" la zar, adică ${2, 4, 6}$ , este compus. La fel „cel puțin o stemă" la două monede, adică ${S S, S B, B S}$ .

Ce le face cu adevărat utile pe evenimentele elementare este următoarea observație, pe care o vei folosi la fiecare numărătoare din capitol:

Orice eveniment se scrie ca reuniune de evenimente elementare, iar această scriere este unică: ${2, 4, 6} = {2} \cup {4} \cup {6} .$

De aici, numărul cazurilor favorabile ale unui eveniment este chiar numărul evenimentelor elementare din care e alcătuit. Când numeri cazuri favorabile, numeri de fapt cărămizi.

6. Implicația: când un eveniment îl atrage pe altul

Uneori realizarea unui eveniment garantează realizarea altuia. La zar, dacă apare $6$ , atunci cu siguranță a apărut și un număr par. Matematic, aceasta e o incluziune de mulțimi.

Definiție. Spunem că evenimentul $A$ implică evenimentul $B$ (sau că realizarea lui $A$ atrage realizarea lui $B$ ) dacă $A \subseteq B$ .

Exemplu: $A = {6}$ , $B = {2, 4, 6}$ ; într-adevăr $A \subseteq B$ , deci $A$ implică $B$ . Se vede imediat și o consecință de numărare: dacă $A \subseteq B$ , atunci

$card (A) \leq card (B),$

adică un eveniment „mai strâmt" are cel mult tot atâtea cazuri favorabile ca unul „mai larg". Vom relua această observație în lecția Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică, unde ea devine proprietatea de monotonie a probabilității.

Două implicații sunt valabile pentru orice eveniment $A$ :

$\emptyset \subseteq A \subseteq Ω.$

Evenimentul imposibil implică orice; orice eveniment implică evenimentul sigur. E o formulare seacă a unui adevăr de bun-simț: dacă ceva imposibil s-ar întâmpla, ar rezulta orice; iar orice s-ar întâmpla, un rezultat posibil tot se obține.

7. Perechea sigur–imposibil și evenimentul contrar

Evenimentul sigur și cel imposibil sunt legate: unul e „opusul" celuilalt. Dacă la o probă $Ω$ se realizează întotdeauna, atunci $\emptyset$ nu se realizează niciodată. Aceeași relație de „opus" există între orice eveniment $A$ și mulțimea rezultatelor care nu-l realizează, notată $\overline{A}$ și numită evenimentul contrar al lui $A$ . La zar, contrarul lui ${2, 4, 6}$ este ${1, 3, 5}$ .

Deocamdată ne oprim la observația de numărare, ușor de verificat:

$card (A) + card (\overline{A}) = card (Ω) .$

Evenimentul contrar are lecția lui, Evenimentul contrar și probabilitatea lui, unde relația de mai sus se transformă într-o formulă de calcul foarte eficientă. Reține deocamdată perechile extreme: contrarul evenimentului sigur este cel imposibil și invers.

8. Un tabel de sortare

Pentru aruncarea unui zar ( $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ), iată cum arată clasificarea completă:

Evenimentul	Ca mulțime	Cazuri favorabile	Tipul
„număr mai mic decât $7$ "	$Ω$	$6$	sigur
„fața $7$ "	$\emptyset$	$0$	imposibil
„fața $4$ "	${4}$	$1$	elementar
„număr impar"	${1, 3, 5}$	$3$	compus
„număr mai mare decât $4$ "	${5, 6}$	$2$	compus
„număr natural"	$Ω$	$6$	sigur

Ultimul rând merită o clipă de atenție: „număr natural" pare o afirmație despre altceva, dar toate fețele zarului sunt numere naturale, deci evenimentul e sigur. Testul e mereu același — scrii mulțimea și numeri elementele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sortare la aruncarea unei monede

Se aruncă o monedă. Clasificați evenimentele: $A$ = „apare stema", $B$ = „apare stema sau banul", $C$ = „apare și stema, și banul".

Rezolvare. Aici $Ω = {S, B}$ , cu $card (Ω) = 2$ .

$A = {S}$ , cu un singur element: elementar.
$B = {S, B} = Ω$ : sigur (la o aruncare apare, în mod necesar, una dintre fețe).
$C = \emptyset$ : imposibil — o monedă nu poate arăta simultan ambele fețe la aceeași aruncare.

Exemplul 2 — Trei monede

Se aruncă trei monede. Câte evenimente elementare există? Scrieți evenimentul „apar exact două steme" și precizați tipul lui.

Rezolvare. Mulțimea rezultatelor posibile are $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ elemente:

$Ω = {S S S, S S B, S B S, S B B, B S S, B S B, B B S, B B B} .$

Deci există $8$ evenimente elementare, câte unul pentru fiecare șir din listă.

„Exact două steme" $= {S S B, S B S, B S S}$ , cu $3$ cazuri favorabile: eveniment compus. El se descompune ca ${S S B} \cup {S B S} \cup {B S S}$ — trei cărămizi elementare.

Exemplul 3 — Două zaruri, capetele scării

Se aruncă două zaruri. Dați un exemplu de eveniment sigur, unul imposibil și unul elementar.

Rezolvare. $card (Ω) = 36$ , rezultatele fiind perechile ordonate $(r, a)$ .

Sigur: „suma fețelor este cel puțin $2$ și cel mult $12$ " — toate cele $36$ de perechi îl realizează, deci coincide cu $Ω$ .
Imposibil: „suma fețelor este $13$ " — suma maximă este $6 + 6 = 12$ , deci mulțimea e vidă. (La fel „suma este $1$ ", pentru că suma minimă e $1 + 1 = 2$ .)
Elementar: „zarul roșu arată $3$ și cel albastru $5$ ", adică ${(3, 5)}$ — un singur rezultat din $36$ .

Atenție: „suma fețelor este $8$ " nu e elementar, deși pare o singură cerință; el conține $5$ rezultate: $(2, 6)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 3)$ , $(6, 2)$ . Elementar înseamnă un singur rezultat, nu o singură condiție.

Exemplul 4 — Urna care face evenimentul sigur

O urnă conține $4$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrage o bilă. Clasificați: $A$ = „bila este albă sau neagră", $B$ = „bila este verde", $C$ = „bila este bila albă numărul $2$ ", $D$ = „bila este neagră".

Rezolvare. Numerotăm: $Ω = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, N_{1}, N_{2}, N_{3}}$ , cu $card (Ω) = 7$ .

$A = Ω$ : sigur, $7$ cazuri favorabile.
$B = \emptyset$ : imposibil, $0$ cazuri favorabile.
$C = {A_{2}}$ : elementar, $1$ caz favorabil.
$D = {N_{1}, N_{2}, N_{3}}$ : compus, $3$ cazuri favorabile.

Verificare de control: evenimentul „bila este albă" are $4$ cazuri, iar $4 + 3 = 7 = card (Ω)$ . Cele două evenimente sunt contrare unul altuia.

Exemplul 5 — Implicații între evenimente

La aruncarea unui zar se dau $A$ = „a apărut $6$ ", $B$ = „a apărut un număr par", $C$ = „a apărut un număr mai mare decât $3$ ". Stabiliți care evenimente implică pe care.

Rezolvare. Scriem mulțimile: $A = {6}$ , $B = {2, 4, 6}$ , $C = {4, 5, 6}$ .

$A \subseteq B$ , deci $A$ implică $B$ : dacă a ieșit $6$ , sigur a ieșit un număr par.
$A \subseteq C$ , deci $A$ implică $C$ : $6 > 3$ .
$B \neq \subseteq C$ (elementul $2$ e în $B$ , dar nu în $C$ ) și $C \neq \subseteq B$ (elementul $5$ e în $C$ , dar nu în $B$ ): între $B$ și $C$ nu există implicație în niciun sens.

Numeric, verificarea e imediată: $card (A) = 1 \leq 3 = card (B)$ și $1 \leq 3 = card (C)$ , în timp ce $B$ și $C$ au ambele $3$ elemente fără să fie egale — semn sigur că niciunul nu-l include pe celălalt.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 20}$ , din care se alege la întâmplare un număr. Precizați dacă evenimentele următoare sunt sigure, imposibile, elementare sau compuse, indicând numărul cazurilor favorabile: $A$ = „numărul ales este multiplu de $3$ ", $B$ = „numărul ales este pătrat perfect", $C$ = „numărul ales este mai mic decât $21$ ", $D$ = „numărul ales este $17$ ", $E$ = „numărul ales este negativ".

Rezolvare. $card (Ω) = 20$ .

$A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}$ , deci $6$ cazuri favorabile: compus.
$B = {1, 4, 9, 16}$ , deci $4$ cazuri favorabile: compus. (Următorul pătrat, $25$ , depășește $20$ .)
$C = M = Ω$ , deci $20$ de cazuri favorabile: sigur.
$D = {17}$ , un caz favorabil: elementar.
$E = \emptyset$ , zero cazuri favorabile: imposibil.

Baremul de la Bacalaureat cere, la astfel de exerciții, mulțimea scrisă explicit sau numărul cazurilor favorabile — nu doar eticheta. Scrie întotdeauna lista, mai ales când e scurtă.

Să exersăm

1. La aruncarea unui zar, precizează tipul fiecărui eveniment: a) „a apărut $5$ "; b) „a apărut un număr mai mic decât $10$ "; c) „a apărut $0$ "; d) „a apărut un număr par".

2. Scrie, pentru aruncarea unei monede, un eveniment sigur, unul imposibil și toate evenimentele elementare.

3. Câte evenimente elementare are experimentul „extragerea unei cărți dintr-un pachet de $52$ de cărți"? Dar experimentul „aruncarea a două zaruri"?

4. La aruncarea unui zar, câte cazuri favorabile are evenimentul sigur? Dar cel imposibil?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un eveniment cu foarte puține cazuri favorabile este un eveniment imposibil."

6. O urnă conține $6$ bile, toate albastre. Se extrage o bilă. Clasifică evenimentele: „bila este albastră", „bila este roșie", „bila este bila numărul $4$ ".

7. Se aruncă două zaruri. Dă câte un exemplu de eveniment sigur, imposibil, elementar și compus, scriind de fiecare dată numărul cazurilor favorabile.

8. La aruncarea a trei monede, scrie evenimentul „apar cel puțin două steme" și precizează tipul lui și numărul cazurilor favorabile.

9. Fie $A = {2, 4}$ și $B = {2, 4, 6}$ evenimente la aruncarea unui zar. Care îl implică pe care? Justifică prin incluziune.

10. Dă exemplu de două evenimente la aruncarea zarului între care nu există nicio implicație, în niciun sens.

11. Scrie evenimentul „a apărut un număr par" de la zar ca reuniune de evenimente elementare.

12. (Problemă aplicată.) Într-o clasă de $25$ de elevi, toți au împlinit $15$ ani. Se alege la întâmplare un elev. Clasifică: „elevul ales are cel puțin $15$ ani", „elevul ales are $10$ ani", „elevul ales este cel din banca a treia, rândul întâi".

13. Se alege la întâmplare un număr din ${1, 2, \dots, 20}$ . Clasifică evenimentele: „numărul este prim", „numărul este mai mare decât $20$ ", „numărul este $13$ ", „numărul este natural".

14. Câte evenimente elementare are experimentul „aruncarea a trei monede"? Câte evenimente în total?

15. Explică de ce, la aruncarea a două zaruri, evenimentul „suma fețelor este $12$ " este elementar, iar „suma fețelor este $11$ " nu este.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea numerelor de două cifre distincte formate cu cifre din ${1, 2, 3, 4}$ , din care se alege un număr la întâmplare. Clasifică evenimentele: $A$ = „numărul ales este mai mare decât $10$ ", $B$ = „numărul ales este $43$ ", $C$ = „numărul ales are cifrele egale", $D$ = „numărul ales este multiplu de $3$ ".

17. Arată, folosind incluziunea, că evenimentul „a apărut $6$ " implică evenimentul „a apărut un divizor al lui $6$ ", la aruncarea unui zar. Este adevărată și implicația inversă?

18. (Provocare.) Un experiment are $card (Ω) = n$ . Câte dintre cele $2^{n}$ evenimente sunt elementare, câte sunt compuse și câte nu sunt nici elementare, nici compuse? Verifică formula obținută pentru $n = 3$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) elementar ( ${5}$ , un caz favorabil); b) sigur (toate fețele sunt mai mici decât $10$ , deci coincide cu $Ω$ ); c) imposibil ( $\emptyset$ , zarul nu are fața $0$ ); d) compus ( ${2, 4, 6}$ , trei cazuri favorabile).

2. Sigur: „apare stema sau banul" $= {S, B}$ . Imposibil: „apare o față cu numărul $3$ " $= \emptyset$ . Elementare: ${S}$ și ${B}$ — sunt doar două, cât $card (Ω)$ .

3. $52$ de evenimente elementare la cărți și $36$ la două zaruri: numărul evenimentelor elementare este întotdeauna egal cu numărul cazurilor posibile.

4. Evenimentul sigur are $6$ cazuri favorabile (toate), cel imposibil are $0$ .

5. Fals. Imposibil înseamnă zero cazuri favorabile, nu „puține". Evenimentul „a apărut $6$ " are un singur caz favorabil din șase, dar se întâmplă des la un joc; câștigul la loto are un singur caz favorabil din milioane și tot nu e imposibil. Confuzia dintre „foarte rar" și „niciodată" e cea mai frecventă greșeală de limbaj din capitol.

6. „Bila este albastră" — sigur ( $6$ cazuri favorabile din $6$ ). „Bila este roșie" — imposibil ( $0$ cazuri). „Bila este bila numărul $4$ " — elementar (un singur caz).

7. De exemplu: sigur — „suma fețelor este cel puțin $2$ " ( $36$ de cazuri); imposibil — „suma fețelor este $1$ " ( $0$ cazuri); elementar — „ambele zaruri arată $6$ ", adică ${(6, 6)}$ (un caz); compus — „suma fețelor este $5$ ", adică ${(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}$ ( $4$ cazuri).

8. „Cel puțin două steme" $= {S S S, S S B, S B S, B S S}$ , adică $4$ cazuri favorabile din $8$ : eveniment compus.

9. $A = {2, 4} \subseteq {2, 4, 6} = B$ , deci $A$ implică $B$ : dacă a apărut $2$ sau $4$ , a apărut cu siguranță un număr par. Invers nu: rezultatul $6$ realizează $B$ , dar nu și $A$ .

10. De exemplu ${1, 2}$ și ${2, 3}$ : niciuna dintre mulțimi nu o include pe cealaltă, pentru că $1 \in / {2, 3}$ și $3 \in / {1, 2}$ . (Ele au totuși un element comun, ceea ce e cu totul altceva decât implicația.)

11. ${2, 4, 6} = {2} \cup {4} \cup {6}$ — trei evenimente elementare, deci trei cazuri favorabile.

12. „Cel puțin $15$ ani" — sigur ( $25$ de cazuri favorabile). „Are $10$ ani" — imposibil ( $0$ cazuri). „Este cel din banca a treia, rândul întâi" — elementar (un singur elev îndeplinește descrierea).

13. „Prim" $= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$ , $8$ cazuri favorabile, compus. „Mai mare decât $20$ " $= \emptyset$ , imposibil. „Este $13$ " $= {13}$ , elementar. „Este natural" $= Ω$ , sigur.

14. $8$ evenimente elementare (câte unul pentru fiecare dintre cele $8$ șiruri de trei litere) și $2^{8} = 256$ de evenimente în total.

15. Suma $12$ se obține într-un singur fel, $(6, 6)$ , deci evenimentul are un singur rezultat — elementar. Suma $11$ se obține în două feluri, $(5, 6)$ și $(6, 5)$ , deci are două cazuri favorabile — compus. Numărul de condiții din enunț nu contează; contează numărul de rezultate.

16. $Ω$ are $4 \cdot 3 = 12$ elemente: $12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43$ . Atunci: $A = Ω$ — sigur ( $12$ cazuri); $B = {43}$ — elementar ( $1$ caz); $C = \emptyset$ — imposibil, pentru că cifrele sunt distincte prin enunț ( $0$ cazuri); $D = {12, 21, 24, 42}$ — compus ( $4$ cazuri favorabile).

17. „A apărut $6$ " $= {6}$ , „divizor al lui $6$ " $= {1, 2, 3, 6}$ , iar ${6} \subseteq {1, 2, 3, 6}$ , deci prima îl implică pe al doilea. Implicația inversă e falsă: rezultatul $2$ este divizor al lui $6$ , dar nu e $6$ ; ca verificare numerică, $card = 1$ față de $card = 4$ .

18. Elementare: exact $n$ (câte una pentru fiecare rezultat). Nici elementare, nici compuse: $\emptyset$ (singurul eveniment fără elemente), deci $1$ . Compuse: restul, adică $2^{n} - n - 1$ . Verificare pentru $n = 3$ : total $2^{3} = 8$ evenimente, dintre care $3$ elementare, $1$ vid și $8 - 3 - 1 = 4$ compuse — și într-adevăr, submulțimile cu cel puțin două elemente ale unei mulțimi cu trei elemente sunt trei perechi și mulțimea întreagă, adică $4$ . ✓

De reținut

Evenimentul sigur este $Ω$ însuși: se realizează la orice efectuare a experimentului, iar numărul cazurilor sale favorabile este $card (Ω)$ .
Evenimentul imposibil este $\emptyset$ : are zero cazuri favorabile. „Imposibil" nu înseamnă „foarte rar", ci „niciodată".
Un eveniment elementar conține un singur rezultat; numărul lor este exact $card (Ω)$ , iar orice eveniment se scrie, în mod unic, ca reuniune de evenimente elementare.
Un eveniment compus conține cel puțin două rezultate. Elementar înseamnă un singur rezultat, nu o singură condiție din enunț.
$A \subseteq B$ se citește „ $A$ implică $B$ " și atrage $card (A) \leq card (B)$ ; pentru orice eveniment, $\emptyset \subseteq A \subseteq Ω$ .

Greșeli frecvente

Spui „imposibil" pentru ceva doar foarte puțin probabil. Marele premiu la loto are un caz favorabil din aproape $14$ milioane, dar nu este imposibil. Testul e strict: câte cazuri favorabile are? Dacă răspunsul nu e $0$ , evenimentul nu e imposibil.
Confunzi „o singură condiție" cu „un singur rezultat". „Suma este $8$ " pare o cerință simplă, dar are $5$ cazuri favorabile la două zaruri, deci e compus. Scrie mulțimea înainte de a pune eticheta.
Uiți că evenimentul sigur poate fi formulat ciudat. „A apărut un număr natural" la zar este sigur, deși enunțul pare să vorbească despre altceva. Traduci în mulțime, compari cu $Ω$ , decizi.
Numeri greșit evenimentele elementare la experimente compuse. La trei monede sunt $8$ , nu $6$ și nici $3$ : fiecare șir complet de trei fețe este un rezultat.
Confunzi implicația cu suprapunerea. ${1, 2}$ și ${2, 3}$ au un element comun, dar niciunul nu-l implică pe celălalt. Implicația cere incluziune totală, nu doar o intersecție nevidă.

Aplică acasă

Trei etichete pe frigider. Alege un experiment aleator din casă (extragi o carte dintr-un pachet, arunci două zaruri, tragi un bilet dintr-un bol). Scrie pe trei bilețele câte un eveniment: unul sigur, unul imposibil și unul elementar. Roagă pe cineva din familie să le sorteze fără să le vadă eticheta.
Vânătoarea de „imposibil". Timp de o zi, notează de câte ori auzi cuvântul „imposibil" folosit pentru ceva care e, de fapt, doar puțin probabil („e imposibil să prind autobuzul acum"). La fiecare, întreabă-te: există măcar un caz favorabil? Vei descoperi cât de rar folosim cuvântul în sens matematic.
Cărămizile zarului. Aruncă un zar de $30$ de ori și notează rezultatele. Scrie apoi evenimentul „număr par" ca reuniune de evenimente elementare și numără de câte ori s-a realizat fiecare cărămidă în parte. Suma celor trei numărători trebuie să dea exact de câte ori s-a realizat evenimentul compus — un control simplu, dar util.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează vocabularul de bază al capitolului și, mai important, îl leagă de limbajul mulțimilor: sigur $= Ω$ , imposibil $= \emptyset$ , elementar $=$ submulțime cu un element, compus $=$ submulțime cu cel puțin două. Această traducere face ca sortarea evenimentelor să nu depindă de intuiție, ci de o operație verificabilă — scrierea mulțimii și numărarea elementelor ei.

Ce verifică lecția: dacă elevul deosebește „imposibil" de „foarte puțin probabil" (capcana de limbaj cea mai persistentă); dacă înțelege că un eveniment elementar are un singur rezultat, nu o singură cerință; dacă știe câte evenimente elementare are un experiment compus; dacă citește corect incluziunea ca implicație. Întrebări bune de control: „Câte cazuri favorabile are evenimentul imposibil?"; „«Suma este $8$ » la două zaruri este elementar? De ce nu?"; „Dacă $A \subseteq B$ și $A$ se realizează, ce poți spune despre $B$ ?". Semne că a înțeles: înainte de a pune eticheta, scrie mulțimea; și corectează spontan formularea „e imposibil să câștig" în „e foarte puțin probabil".

La Bacalaureat, clasificarea evenimentelor apare rareori ca cerință de sine stătătoare, dar apare permanent ca pas intermediar: recunoașterea faptului că un eveniment e sigur sau imposibil scurtează dramatic rezolvarea, iar descompunerea în evenimente elementare este chiar procedeul prin care se numără cazurile favorabile. Continuarea firească este Evenimente disjuncte. Diagrame Venn, unde evenimentele încep să fie combinate între ele.

Întrebări frecvente

Ce este un eveniment sigur? Este evenimentul care se realizează la orice efectuare a experimentului, adică submulțimea care coincide cu întreaga mulțime a rezultatelor posibile, $Ω$ . La aruncarea unui zar, „a apărut un număr mai mic decât $7$ " este sigur, pentru că toate cele șase fețe îl realizează.

Ce este un eveniment imposibil și cum se notează? Este evenimentul care nu se realizează niciodată, adică mulțimea vidă $\emptyset$ , cu zero cazuri favorabile. La aruncarea unui zar, „a apărut fața $7$ " este imposibil; la două zaruri, „suma fețelor este $13$ ".

Este același lucru „imposibil" și „foarte puțin probabil"? Nu, și e cea mai importantă distincție a lecției. Imposibil înseamnă zero cazuri favorabile, deci evenimentul nu se poate produce niciodată. Un eveniment foarte puțin probabil — de exemplu marele premiu la loto — are cel puțin un caz favorabil, deci se poate produce, oricât de rar.

Ce este un eveniment elementar? Este un eveniment care conține un singur rezultat posibil, adică o submulțime cu un singur element, de forma ${ω}$ . Numărul evenimentelor elementare este egal cu numărul cazurilor posibile: șase la zar, patru la aruncarea a două monede, $52$ la extragerea unei cărți.

Cum îmi dau seama dacă un eveniment este elementar sau compus? Scrii evenimentul ca mulțime și numeri elementele: un element înseamnă elementar, două sau mai multe înseamnă compus. Nu te lua după cât de simplu sună enunțul — „suma este $8$ " la două zaruri are cinci cazuri favorabile, deci e compus.

Ce înseamnă că un eveniment implică alt eveniment? Înseamnă că prima mulțime este inclusă în a doua, $A \subseteq B$ , adică orice rezultat care realizează pe $A$ realizează automat și pe $B$ . La zar, „a apărut $6$ " implică „a apărut un număr par". Ca urmare, $A$ are cel mult tot atâtea cazuri favorabile ca $B$ .

Câte evenimente elementare are aruncarea a două zaruri? Are $36$ , câte unul pentru fiecare pereche ordonată de fețe, de la $(1, 1)$ până la $(6, 6)$ . Perechile $(2, 5)$ și $(5, 2)$ sunt rezultate distincte, pentru că zarurile se consideră deosebite unul de celălalt.

Poate un eveniment să fie în același timp sigur și elementar? Da, dar numai la experimentele cu un singur rezultat posibil — de exemplu extragerea unei bile dintr-o urnă care conține o singură bilă. Atunci $Ω$ are un element, iar singurul eveniment nevid este în același timp sigur și elementar. La experimentele obișnuite, cu cel puțin două rezultate, situația nu apare.