Experiment aleator. Evenimente

Deschizi dimineața aplicația de vreme și citești: „30% șanse de ploaie." La ora de sport se trag la sorți echipele. Seara, la știri, se anunță că un tratament „reduce riscul cu o treime". Toate aceste propoziții vorbesc despre lucruri care nu s-au întâmplat încă și despre care nimeni nu poate spune sigur dacă se vor întâmpla — și totuși fiecare conține un număr. De unde vine numărul acela? Cum poate matematica să spună ceva precis despre ceea ce, prin definiție, e nesigur?

Răspunsul e capitolul care începe aici. Ideea lui de bază e surprinzător de simplă: în loc să ne întrebăm ce se va întâmpla, facem întâi lista completă a lucrurilor care s-ar putea întâmpla. Din momentul în care avem lista, incertitudinea devine o problemă de numărare — iar numărarea o știm deja face, cu diagrame arborescente, permutări, aranjamente și combinări. Lecția de față construiește lista și îi dă un nume: mulțimea rezultatelor posibile. Tot aici învățăm ce este, matematic vorbind, un eveniment.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești un experiment aleator de unul determinist și să dai exemple din viața ta pentru fiecare.
• Vei ști să scrii mulțimea rezultatelor posibile $\Omega$ a unui experiment, corect și complet, inclusiv pentru experimente în mai multe etape.
• Vei ști că un eveniment este o submulțime a lui $\Omega$ și vei traduce o propoziție din limbaj obișnuit în mulțimea rezultatelor care o fac adevărată.
• Vei ști să folosești corect expresiile cazuri posibile și cazuri favorabile și să le numeri.
• Vei ști să scrii $\Omega$ pentru aruncarea a două zaruri, a mai multor monede sau pentru extragerea unei bile dintr-o urnă, numerotând obiectele identice.
• Vei ști să calculezi câte evenimente poate genera un experiment cu $n$ rezultate posibile.

Hai să descoperim împreună

1. Experimente deterministe și experimente aleatoare

Dacă lași un creion din mână, el cade. Dacă încălzești apa la $100$ de grade la presiune normală, ea fierbe. Dacă aduni $7$ cu $5$, obții $12$. Acestea sunt experimente deterministe: aceleași condiții de plecare dau, de fiecare dată, același rezultat.

Acum aruncă un zar. Sau o monedă. Sau trage un bilet dintr-o urnă. Repetă în exact aceleași condiții — și vei obține, din când în când, altceva.

Definiție. Un experiment aleator (sau experiment aleatoriu) este o experiență care poate fi repetată în aceleași condiții, al cărei rezultat nu poate fi prevăzut cu certitudine, dar despre care știm dinainte toate rezultatele care ar putea apărea.

Cele trei condiții din definiție merită citite cu atenție, pentru că fiecare face o muncă:

• se poate repeta — altfel nu am avea despre ce vorbi; „va ploua mâine în București" nu se repetă niciodată în condiții identice, de aceea probabilitățile din meteorologie se construiesc altfel decât cele de la zar;
• rezultatul nu se poate prevedea — dacă l-am putea prevedea, nu ar mai fi nimic aleator;
• cunoaștem dinainte lista rezultatelor — asta e partea matematică, și de aici pornim.

Exemple din viața de zi cu zi: aruncarea unui zar, extragerea unui bilet la tombolă, tragerea la sorți a adversarilor, alegerea la întâmplare a unui elev din catalog, verificarea unei piese luate de pe o bandă rulantă.

2. Mulțimea rezultatelor posibile

Primul gest matematic, de fiecare dată, este același: scriem lista completă a rezultatelor care se pot obține.

Definiție. Mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se numește mulțimea rezultatelor posibile (sau spațiul de selecție) și se notează cu $\Omega$ (litera grecească omega).

O notă de notație, ca să nu te încurce manualele: aceeași mulțime este notată în unele lucrări cu $E$ (de la „mulțimea evenimentelor elementare"). Simbolul diferă, înțelesul e identic; noi folosim $\Omega$ în toată lecția.

Iată câteva exemple, scrise cu grijă:

Notația $\mathrm{card}(\Omega )$ înseamnă „numărul de elemente ale mulțimii $\Omega$" — este notația pe care o folosim în tot capitolul.

Două reguli de scriere pe care le vei folosi mereu:

1. Lista trebuie să fie completă. Dacă lipsește un rezultat, tot ce urmează va fi greșit.
2. Rezultatele trebuie să se excludă reciproc. La o singură aruncare a zarului nu poți obține simultan $3$ și $5$; fiecare probă produce exact un element al lui $\Omega$.

3. Ce este un eveniment

Rareori ne interesează un rezultat anume. La un joc te interesează „să dau cel puțin $4$", nu „să dau exact $5$". Această formulare, „cel puțin $4$", adună mai multe rezultate la un loc — și tocmai asta este un eveniment.

Definiție. Un eveniment legat de un experiment aleator este o submulțime $A\subseteq \Omega$. Spunem că evenimentul $A$ s-a realizat dacă rezultatul obținut la efectuarea experimentului este un element al lui $A$.

Evenimentele se notează cu litere mari: $A$, $B$, $C$, … La aruncarea zarului, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ și putem considera, de pildă:

$$A=\text{„a apa˘rut un numa˘r par"}=\{2,4,6\},B=\text{„a apa˘rut un numa˘r prim"}=\{2,3,5\},$$ $$C=\text{„a apa˘rut un numa˘r mai mare decaˆt }4\text{"}=\{5,6\},D=\text{„a apa˘rut un divizor al lui }6\text{"}=\{1,2,3,6\}.$$

Dacă la aruncare iese $2$, atunci s-au realizat $A$, $B$ și $D$, dar nu și $C$. Un singur rezultat poate realiza mai multe evenimente deodată — asta nu e nicio contradicție, ci chiar felul în care funcționează limbajul obișnuit („a ieșit un număr par" și „a ieșit un număr prim" sunt amândouă adevărate pentru $2$).

Ideea centrală a întregului capitol este această traducere: propoziție din limba română $⟶$ submulțime a lui $\Omega$. Cine face traducerea corect are jumătate din problemă rezolvată.

4. Din propoziție în mulțime — exerciții de traducere

Hai să exersăm traducerea pe zar, unde $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$:

Ai grijă la cuvintele-cheie, pentru că ele decid totul:

• „cel puțin $5$" înseamnă $5$ sau mai mult: $\{5,6\}$ — nu doar $\{5\}$;
• „cel mult $2$" înseamnă $2$ sau mai puțin: $\{1,2\}$;
• „mai mare decât $4$" exclude pe $4$: $\{5,6\}$;
• „între $2$ și $5$" e o formulare ambiguă în limbajul curent; la matematică enunțul trebuie să precizeze dacă capetele intră sau nu.

5. Cazuri posibile și cazuri favorabile

Două expresii pe care le vei auzi la fiecare problemă din acest capitol:

• cazurile posibile ale experimentului sunt elementele lui $\Omega$; numărul lor este $\mathrm{card}(\Omega )$;
• cazurile favorabile evenimentului $A$ sunt elementele lui $A$; numărul lor este $\mathrm{card}(A)$.

Cuvântul favorabil nu are aici nicio nuanță de „bun" sau „norocos": înseamnă doar „care face evenimentul să se realizeze". Cazurile favorabile evenimentului „mașina se strică" sunt situațiile în care mașina chiar se strică — nefavorabile pentru șofer, favorabile pentru eveniment.

Deocamdată doar numărăm aceste cazuri. Raportul dintre ele va primi un nume și o formulă în lecția Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică. Toată munca de acum — scrierea corectă a lui $\Omega$ și traducerea corectă a evenimentului — este exact pregătirea pentru acel raport.

6. Experimente în mai multe etape: cum scrii $\Omega$ fără să greșești

Aici apare prima capcană serioasă a capitolului.

Două monede. Rezultatul unei probe nu este „o stemă", ci perechea de fețe obținute, în ordine: prima monedă, a doua monedă. Deci

$$\Omega =\{SS,SB,BS,BB\},\mathrm{card}(\Omega )=4.$$

Este tentant să scrii $\Omega =\{\text{doua˘ steme},\text{o stema˘},\text{nicio stema˘}\}$, adică trei rezultate. Lista nu e greșită ca listă — cele trei situații chiar acoperă tot ce se poate întâmpla — dar ea pierde informație: rezultatul „o stemă" se poate obține în două feluri ($SB$ și $BS$), iar „două steme" într-unul singur. Vom vedea la lecția despre definiția clasică de ce această pierdere strică toate calculele. Regula de siguranță, de pe acum: scrie $\Omega$ cu obiectele deosebite unele de altele.

Două zaruri. Le imaginăm de culori diferite, unul roșu și unul albastru, chiar dacă în realitate sunt identice. Un rezultat este perechea ordonată $(r,a)$, unde $r$ e fața zarului roșu și $a$ fața celui albastru:

$$\Omega =\{(1,1),(1,2),\dots ,(6,6)\},\mathrm{card}(\Omega )=6\cdot 6=36.$$

Numărul $36$ vine direct din regula produsului, pe care ai folosit-o în unitatea de numărare — vezi Regula produsului. Perechile $(2,5)$ și $(5,2)$ sunt rezultate diferite, deși suma lor e aceeași.

O urnă cu bile. O urnă conține $3$ bile roșii și $2$ bile albastre; extragem o bilă. Scriem

$$\Omega =\{R_1,R_2,R_3,A_1,A_2\},\mathrm{card}(\Omega )=5,$$

numerotând bilele, deși ele sunt identice la pipăit. Evenimentul „bila extrasă e roșie" devine atunci $\{R_1,R_2,R_3\}$, cu $3$ cazuri favorabile din $5$ posibile. Dacă am fi scris $\Omega =\{\text{roșu},\text{albastru}\}$, am fi ajuns la concluzia absurdă că cele două culori au aceeași șansă, deși în urnă sunt mai multe bile roșii.

Ține minte formularea: rezultatele din $\Omega$ trebuie să fie la fel de „mărunte", adică nedecompozabile. Bilele se numerotează, zarurile se colorează, monedele se numesc „prima" și „a doua".

7. Câte evenimente poate avea un experiment?

Dacă orice submulțime a lui $\Omega$ este un eveniment, întrebarea vine de la sine: câte evenimente există?

Pentru $\Omega$ cu $n$ elemente, numărul submulțimilor este $2^n$. Explicația e o numărare curată: fiecare element ori intră în submulțime, ori nu — două variante independente, repetate de $n$ ori, deci $2\cdot 2\cdots 2=2^n$. Aceeași cifră se obține și adunând submulțimile după numărul de elemente:

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^n,$$

identitate demonstrată în lecția Identități cu coeficienți binomiali.

La zar, $n=6$, deci există $2^6=64$ de evenimente. Printre ele se află și submulțimea vidă, și $\Omega$ însuși — două evenimente speciale, cu nume proprii, de care ne ocupăm în lecția următoare, Eveniment sigur, imposibil, elementar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două monede, scris corect

Se aruncă simultan două monede. Scrieți $\Omega$ și evenimentele: $A$ = „apare exact o stemă", $B$ = „apare cel puțin o stemă", $C$ = „nu apare nicio stemă".

Rezolvare. Deosebim monedele: prima și a doua. Rezultatul e o pereche de fețe, deci

$$\Omega =\{SS,SB,BS,BB\},\mathrm{card}(\Omega )=4.$$

Traducem fiecare propoziție:

• $A=\{SB,BS\}$, cu $\mathrm{card}(A)=2$ (stema poate fi la prima sau la a doua monedă);
• $B=\{SS,SB,BS\}$, cu $\mathrm{card}(B)=3$ („cel puțin una" înseamnă una sau două);
• $C=\{BB\}$, cu $\mathrm{card}(C)=1$.

Observă că $A$ și $B$ nu coincid: „exact o stemă" e mai restrictiv decât „cel puțin o stemă". Este cea mai frecventă confuzie de la începutul capitolului.

Exemplul 2 — Urna cu bile

O urnă conține $3$ bile roșii și $2$ bile albastre, identice la pipăit. Se extrage o bilă. Scrieți $\Omega$ și evenimentul „bila este albastră". Câte cazuri favorabile are?

Rezolvare. Numerotăm bilele, ca să obținem rezultate de aceeași „mărime":

$$\Omega =\{R_1,R_2,R_3,A_1,A_2\},\mathrm{card}(\Omega )=5.$$

Evenimentul cerut este $\{A_1,A_2\}$, cu $2$ cazuri favorabile din $5$ cazuri posibile. Evenimentul contrar, „bila este roșie", are $3$ cazuri favorabile, iar $2+3=5$ — toate cazurile sunt acoperite, ceea ce e un bun test de control.

Exemplul 3 — Două zaruri și suma fețelor

Se aruncă un zar roșu și un zar albastru. Câte rezultate posibile există? Scrieți evenimentul „suma fețelor este $8$" și numărați cazurile favorabile.

Rezolvare. $\Omega$ este mulțimea perechilor ordonate $(r,a)$ cu $r,a\in \{1,\dots ,6\}$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=36$.

Pentru sumă $8$ parcurgem sistematic valorile zarului roșu:

$$\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\},$$

adică $5$ cazuri favorabile. Perechea $(1,7)$ nu există (zarul nu are fața $7$), iar $(4,4)$ apare o singură dată, spre deosebire de $(3,5)$ și $(5,3)$, care sunt rezultate distincte.

Compară cu suma $7$: acolo cazurile favorabile sunt $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, adică $6$ — cel mai mare număr posibil. De aceea $7$ e suma „vedetă" la jocurile cu două zaruri.

Exemplul 4 — Pachetul de cărți

Dintr-un pachet de $52$ de cărți de joc se extrage o carte. Câte cazuri favorabile au evenimentele: $A$ = „carte de inimă roșie", $B$ = „as", $C$ = „figură (valet, damă sau rege)"?

Rezolvare. Pachetul are $4$ culori (inimă roșie, romb, treflă, pică), fiecare cu $13$ cărți: $2,3,\dots ,10$, valet, damă, rege, as. Deci $\mathrm{card}(\Omega )=4\cdot 13=52$.

• $\mathrm{card}(A)=13$ — toate cărțile unei culori;
• $\mathrm{card}(B)=4$ — câte un as de fiecare culoare;
• $\mathrm{card}(C)=3\cdot 4=12$ — trei feluri de figuri, în patru culori.

Atenție la un detaliu de numărare: asul de inimă roșie este numărat și în $A$, și în $B$. Nu e o greșeală — un rezultat poate face parte din mai multe evenimente. Vom învăța cum se tratează suprapunerea în lecția Evenimente disjuncte. Diagrame Venn.

Exemplul 5 — Traducere în ambele sensuri

La aruncarea unui zar se consideră $M=\{1,2,3,6\}$. Găsiți o propoziție în limbaj obișnuit care să descrie $M$. Scrieți apoi, ca mulțimi, evenimentele „a apărut un număr care nu este divizor al lui $6$" și „a apărut un număr de o cifră".

Rezolvare. Elementele lui $M$ sunt exact divizorii lui $6$: $1$, $2$, $3$ și $6$ ($4$ și $5$ nu îl divid). Deci $M$ = „a apărut un divizor al lui $6$".

• „nu este divizor al lui $6$" $=\{4,5\}$, adică restul lui $\Omega$;
• „număr de o cifră" $=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega$ — toate fețele zarului au o singură cifră, deci propoziția e adevărată orice s-ar întâmpla.

Al doilea răspuns arată că un eveniment poate fi chiar întregul $\Omega$. Îi vom spune eveniment sigur.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4\}$. Se alege la întâmplare un număr din această mulțime. Determinați numărul cazurilor posibile și numărul cazurilor favorabile evenimentului „numărul ales este par".

Rezolvare. Construim întâi $\Omega$. Cifra zecilor se poate alege în $4$ moduri, iar cea a unităților în $3$ moduri (trebuie să difere de prima), deci $\mathrm{card}(\Omega )=4\cdot 3=12$. Iată lista completă:

$$12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.$$

Un număr e par dacă se termină în $2$ sau în $4$. Le citim din listă: $12$, $14$, $24$, $32$, $34$, $42$ — deci $6$ cazuri favorabile.

Verificare fără listă: cifra unităților se alege în $2$ moduri ($2$ sau $4$), iar cifra zecilor în $3$ moduri (oricare dintre cele rămase), deci $2\cdot 3=6$. ✓ Cele două metode dau același rezultat, ceea ce e semnul că numărătoarea e bună.

Să exersăm

1. Precizează dacă experimentul este determinist sau aleator: a) aprinzi becul cu întrerupătorul; b) arunci o monedă; c) calculezi $12:4$; d) extragi un bilet dintr-o urnă cu $20$ de bilete; e) încălzești gheață la $50$ de grade.

2. Scrie mulțimea $\Omega$ pentru: a) aruncarea unui zar; b) aruncarea unei monede; c) extragerea unei bile dintr-o urnă cu $4$ bile numerotate de la $1$ la $4$.

3. La aruncarea unui zar, scrie ca mulțimi evenimentele: $A$ = „număr impar", $B$ = „număr mai mare decât $3$", $C$ = „număr multiplu de $2$", $D$ = „număr mai mic decât $1$".

4. Se aruncă două monede. Scrie $\Omega$ și evenimentul „apar două fețe la fel". Câte cazuri favorabile are?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La aruncarea a două monede, mulțimea rezultatelor posibile are trei elemente: două steme, o stemă, nicio stemă."

6. O urnă conține $4$ bile albe și $3$ bile negre. Scrie $\Omega$ numerotând bilele și precizează câte cazuri favorabile are evenimentul „bila extrasă este neagră".

7. Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul albastru. Câte cazuri posibile există? Scrie evenimentul „suma fețelor este $5$" și numără cazurile favorabile.

8. Pentru aceleași două zaruri, scrie evenimentul „ambele fețe sunt egale" (numit dublă) și numără-i elementele.

9. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage o carte. Câte cazuri favorabile are evenimentul „carte roșie" (inimă roșie sau romb)? Dar „damă"?

10. La aruncarea unui zar se dă mulțimea $N=\{2,3,5\}$. Descrie evenimentul $N$ printr-o propoziție în limbaj obișnuit.

11. Câte evenimente pot fi asociate experimentului „aruncarea unei monede"? Enumeră-le pe toate, ca submulțimi.

12. (Problemă aplicată.) Într-o clasă sunt $28$ de elevi, dintre care $16$ fete. Se alege la întâmplare un elev pentru a răspunde. Care este $\mathrm{card}(\Omega )$ și câte cazuri favorabile are evenimentul „a fost ales un băiat"?

13. Se aruncă trei monede. Scrie $\Omega$ (toate cele opt rezultate) și evenimentul „apar exact două steme".

14. La aruncarea a două zaruri, câte cazuri favorabile are evenimentul „cel puțin un zar arată $6$"? Atenție: perechea $(6,6)$ se numără o singură dată.

15. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Scrie evenimentele „număr multiplu de $3$" și „pătrat perfect" și numără-le elementele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea numerelor de două cifre distincte formate cu cifre din $\{1,2,3,4,5\}$. Câte cazuri posibile sunt? Câte dintre numere sunt pare?

17. Explică, în două-trei rânduri, de ce la o urnă cu $3$ bile roșii și $2$ albastre nu este corect să scriem $\Omega =\{\text{roșu},\text{albastru}\}$.

18. (Provocare.) Câte evenimente diferite se pot forma la aruncarea a două zaruri? Nu e nevoie să le enumeri — scrie doar puterea lui $2$ care dă răspunsul și explică de ce.

Răspunsuri și explicații

1. Deterministe: a), c), e) — becul se aprinde de fiecare dată, împărțirea dă mereu $3$, gheața se topește mereu la $50$ de grade. Aleatoare: b) și d) — rezultatul se schimbă de la o probă la alta, deși condițiile sunt aceleași.

2. a) $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$; b) $\Omega =\{S,B\}$; c) $\Omega =\{1,2,3,4\}$.

3. $A=\{1,3,5\}$, $B=\{4,5,6\}$, $C=\{2,4,6\}$, $D=\varnothing$ (nicio față a zarului nu e mai mică decât $1$).

4. $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$; evenimentul „două fețe la fel" $=\{SS,BB\}$, cu $2$ cazuri favorabile din $4$.

5. Fals. Lista celor trei situații acoperă într-adevăr tot ce se poate întâmpla, dar rezultatele nu mai sunt de aceeași „mărime": „o stemă" se obține în două feluri ($SB$ și $BS$), pe când „două steme" într-unul singur. Mulțimea corectă a rezultatelor posibile este $\{SS,SB,BS,BB\}$, cu patru elemente.

6. $\Omega =\{A_1,A_2,A_3,A_4,N_1,N_2,N_3\}$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=7$. Evenimentul „bilă neagră" $=\{N_1,N_2,N_3\}$, cu $3$ cazuri favorabile.

7. $\mathrm{card}(\Omega )=36$. Suma $5$: $\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}$, adică $4$ cazuri favorabile.

8. Dublele sunt $\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$, deci $6$ cazuri favorabile din $36$.

9. Cărți roșii: $2\cdot 13=26$ cazuri favorabile. Dame: $4$ (una de fiecare culoare).

10. $N$ = „a apărut un număr prim" (numerele prime dintre $1$ și $6$ sunt $2$, $3$ și $5$; atenție, $1$ nu este prim). O descriere alternativă corectă: „a apărut $2$, $3$ sau $5$".

11. $2^2=4$ evenimente: $\varnothing$, $\{S\}$, $\{B\}$, $\{S,B\}$.

12. $\mathrm{card}(\Omega )=28$ (fiecare elev e un rezultat posibil). Băieți: $28-16=12$, deci $12$ cazuri favorabile.

13. $\Omega =\{SSS,SSB,SBS,SBB,BSS,BSB,BBS,BBB\}$, cu $8$ elemente. „Exact două steme" $=\{SSB,SBS,BSS\}$, cu $3$ cazuri favorabile.

14. $11$ cazuri. Perechile cu $6$ pe primul loc sunt $6$, cele cu $6$ pe al doilea loc sunt tot $6$, dar $(6,6)$ apare în ambele liste, deci $6+6-1=11$.

15. Multipli de $3$: $\{3,6,9,12,15,18\}$, adică $6$ elemente. Pătrate perfecte: $\{1,4,9,16\}$, adică $4$ elemente.

16. Cazuri posibile: $5\cdot 4=20$. Numere pare: cifra unităților e $2$ sau $4$ ($2$ variante), iar cifra zecilor se alege dintre cele $4$ rămase, deci $2\cdot 4=8$ numere pare. (Lista: $12$, $14$, $24$, $32$, $34$, $42$, $52$, $54$.)

17. Pentru că cele două rezultate nu au aceeași „greutate": în urnă sunt trei bile roșii și doar două albastre, deci roșul apare în mai multe feluri. Scrierea corectă numerotează bilele, $\Omega =\{R_1,R_2,R_3,A_1,A_2\}$, astfel încât fiecare rezultat să corespundă unui singur obiect din urnă.

18. $2^{36}$ evenimente. Mulțimea rezultatelor posibile are $36$ de elemente, iar orice submulțime a ei este un eveniment; fiecare dintre cele $36$ de perechi ori intră în submulțime, ori nu, ceea ce dă $2^{36}$ variante — un număr de peste $68$ de miliarde. Rețineți ideea, nu cifra: numărul evenimentelor crește exponențial, deși $\Omega$ crește modest.

De reținut

• Un experiment aleator se poate repeta în aceleași condiții, are rezultat imprevizibil, dar lista rezultatelor posibile e cunoscută dinainte.
• Mulțimea rezultatelor posibile $\Omega$ se scrie completă și cu rezultate care se exclud reciproc; numărul lor este $\mathrm{card}(\Omega )$, adică numărul cazurilor posibile.
• Un eveniment este o submulțime $A\subseteq \Omega$; el se realizează dacă rezultatul obținut aparține lui $A$. Elementele lui $A$ sunt cazurile favorabile.
• La experimentele compuse, obiectele identice se numerotează (bile) sau se deosebesc (zar roșu / zar albastru, prima / a doua monedă), altfel $\Omega$ minte.
• Un experiment cu $\mathrm{card}(\Omega )=n$ generează $2^n$ evenimente, pentru că atâtea submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente.

Greșeli frecvente

• Scrii $\Omega$ incomplet sau cu rezultate „de mărimi diferite". La două monede, $\Omega$ are patru elemente, nu trei. Verifică întotdeauna: pot obține fiecare rezultat din listă într-un singur fel?
• Confunzi „exact unul" cu „cel puțin unul". „Exact o stemă" $=\{SB,BS\}$; „cel puțin o stemă" $=\{SS,SB,BS\}$. Subliniază cuvintele exact, cel puțin, cel mult înainte de a scrie mulțimea.
• Nu numerotezi bilele identice. Dacă scrii $\Omega =\{\text{roșu},\text{albastru}\}$, pierzi faptul că roșul are mai multe bile. Numerotarea nu schimbă experimentul, ci doar felul în care îl descriem.
• Numeri de două ori rezultatele comune. La „cel puțin un $6$" din două zaruri, perechea $(6,6)$ apare în ambele liste parțiale; răspunsul e $11$, nu $12$.
• Crezi că un rezultat poate realiza un singur eveniment. Fața $2$ a zarului realizează simultan „număr par", „număr prim" și „număr mai mic decât $4$". Evenimentele se pot suprapune liniștit.

Aplică acasă

1. Jurnalul zarului. Aruncă un zar de $60$ de ori și notează rezultatele într-un tabel de frecvențe. Numără de câte ori s-a realizat evenimentul „număr par". Ai obținut exact jumătate? Păstrează tabelul: îl vei folosi din nou peste câteva lecții, când vom compara frecvența cu probabilitatea.

2. Ω din bucătărie. Alege un experiment aleator din casă (extragi un tacâm cu ochii închiși dintr-un sertar, tragi o carte dintr-un pachet, alegi un șosetă din coș). Scrie pe o foaie mulțimea $\Omega$, completă, apoi trei evenimente diferite, ca submulțimi, și numără cazurile favorabile fiecăruia.

3. Vânătoarea de formulări. Timp de o zi, notează toate propozițiile din jurul tău care conțin „șanse", „risc", „probabil" sau un procent (știri, aplicații, reclame, conversații). Pentru fiecare, întreabă-te: care ar fi experimentul aleator și care ar fi $\Omega$? Vei descoperi că unele afirmații nu se pot traduce — și tocmai ele merită discutate la clasă.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de probabilități și are un singur obiectiv mare: transformarea unei propoziții din limbaj natural într-o submulțime a mulțimii rezultatelor posibile. Toate greșelile de mai târziu — la reuniune, la intersecție, la probabilități condiționate — se nasc din traduceri greșite făcute aici. Programa de trunchi comun cere abordarea prin contexte practice, de aceea exemplele sunt luate din jocuri, urne, cărți, clase de elevi și situații cotidiene.

Ce verifică lecția: dacă elevul scrie $\Omega$ complet și cu rezultate de aceeași natură; dacă deosebește „exact unul" de „cel puțin unul"; dacă numerotează obiectele identice; dacă numără corect cazurile favorabile fără să dubleze rezultatele comune. Întrebări bune de control: „Câte elemente are $\Omega$ la două monede și de ce nu trei?"; „Scrie ca mulțime evenimentul «cel mult $2$»"; „De ce numerotăm bilele dacă oricum sunt identice?". Semne că a înțeles: scrie spontan lista rezultatelor înainte de orice calcul și explică singur de ce perechea $(2,5)$ diferă de $(5,2)$.

La Bacalaureat, exercițiile din acest capitol apar la subiectul I și cer, aproape întotdeauna, exact acest lucru: „determinați numărul cazurilor favorabile" sau „calculați probabilitatea ca…". Baremul acordă puncte separate pentru numărul cazurilor posibile și pentru cel al cazurilor favorabile, deci elevul care scrie corect $\Omega$ ia punctele chiar dacă greșește la final. Continuarea firească este Eveniment sigur, imposibil, elementar.

Întrebări frecvente

Ce este un experiment aleator la clasa a 10-a? Este o experiență care poate fi repetată în aceleași condiții, al cărei rezultat nu poate fi prevăzut cu certitudine, dar despre care știm dinainte toate rezultatele care ar putea apărea. Aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-o urnă sau tragerea la sorți sunt exemple tipice; aprinderea unui bec cu întrerupătorul nu este, pentru că rezultatul e mereu același.

Ce înseamnă mulțimea rezultatelor posibile și cum se notează? Este lista completă a tuturor rezultatelor pe care le poate da experimentul și se notează cu litera grecească $\Omega$. La zar, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$; la aruncarea a două monede, $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$. Numărul elementelor ei, $\mathrm{card}(\Omega )$, este numărul cazurilor posibile.

Ce este un eveniment în probabilități? Un eveniment este o submulțime a mulțimii rezultatelor posibile, adică un grup de rezultate care ne interesează împreună. Evenimentul se realizează dacă rezultatul obținut la efectuarea experimentului face parte din acel grup. De exemplu, „a apărut un număr par" la zar este mulțimea $\{2,4,6\}$.

Care e diferența dintre cazuri favorabile și cazuri posibile? Cazurile posibile sunt toate rezultatele experimentului, adică elementele lui $\Omega$. Cazurile favorabile unui eveniment sunt doar acele rezultate care fac evenimentul să se realizeze, adică elementele submulțimii respective. La zar, evenimentul „număr par" are $3$ cazuri favorabile din $6$ posibile.

De ce la două monede sunt patru rezultate, nu trei? Pentru că rezultatul unei probe este perechea de fețe, în ordine: prima monedă și a doua monedă. Situația „o stemă" se poate obține în două feluri diferite, $SB$ și $BS$, pe când „două steme" într-unul singur. Dacă am scrie doar trei rezultate, ele nu ar mai avea aceeași greutate, iar calculele de mai târziu ar ieși greșite.

De ce numerotăm bilele dintr-o urnă dacă sunt identice? Numerotarea nu schimbă experimentul, ci doar felul în care îl scriem: ea face ca fiecare rezultat din $\Omega$ să corespundă unui singur obiect fizic. Fără ea, o urnă cu $3$ bile roșii și $2$ albastre ar părea să dea două rezultate egale ca șansă, ceea ce e vizibil fals dacă te uiți în urnă.

Câte evenimente poate avea un experiment? Dacă $\Omega$ are $n$ elemente, există $2^n$ evenimente, pentru că atâtea submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente: fiecare element ori intră în submulțime, ori nu. La zar, $2^6=64$ de evenimente, printre care și mulțimea vidă, și $\Omega$ însuși.

La ce îmi folosește să scriu mulțimea rezultatelor posibile, dacă tot voi aplica o formulă? Pentru că formula probabilității cere numărul cazurilor posibile și numărul cazurilor favorabile — două numere care se citesc direct din $\Omega$ și din submulțimea evenimentului. Mai mult, baremele de Bacalaureat acordă puncte separat pentru fiecare dintre aceste două numere, deci scrierea corectă a mulțimii aduce puncte chiar și când calculul final iese greșit.