Cum calculez primii termeni ai șirului a₁=2, aₙ₊₁=3aₙ-1?

Pornești de la valoarea dată și aplici regula pas cu pas: a₂=3· 2-1=5, a₃=3· 5-1=14, a₄=3· 14-1=41. Fără a₁, regula singură nu ar fixa șirul, pentru că fiecare valoare de pornire dă alt șir.

Câți termeni ai șirului aₙ=2n+1 sunt mai mici decât 50?

Rezolvi 2n+1<50, adică n<24,5. Cum rangul este natural nenul, sunt valabile rangurile 1,2,…,24, deci 24 de termeni. Verificare: a₂₄=49<50, iar a₂₅=51 trece de prag, deci numărătoarea se oprește exact la rangul 24.

Ce înseamnă notația a₂ₙ la un șir?

Notația desemnează termenii de pe rangurile pare: a₂, a₄, a₆ și așa mai departe. Pentru aₙ=5n-2 înlocuiești n cu 2n și obții a₂ₙ=10n-2. Termenii obținuți formează un nou șir: 8, 18, 28, …

Ce diferență este între a(n+1) și a(n)+1?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Poziția și valoarea unei observații

$a_{n + 1}$ este termenul de pe rangul următor, iar $a_{n} + 1$ este termenul de pe rangul $n$ mărit cu o unitate. Pentru a le calcula, înlocuiești indicele, respectiv aduni la valoare. Exemplu: la $a_{n} = n^{2}$ , $a_{n + 1} = (n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$ , dar $a_{n} + 1 = n^{2} + 1$ . Pentru $n = 3$ obții $16$ și $10$ , deci scrierile nu sunt egale. Ele coincid doar la șiruri speciale, cum este $a_{n} = n$ .

Un șir asociază fiecărui rang admis o valoare. În notația $a_{n}$ , indicele $n$ identifică poziția, iar $a_{n}$ este valoarea de la acea poziție. Aceeași valoare poate apărea la ranguri diferite; ordinea și repetările fac parte din înregistrare.

Citește domeniul indicilor înainte să calculezi. Numerotarea poate începe de la zero sau de la unu, iar un model practic poate avea un număr finit de observații. Faptul că poți calcula expresia și în afara acelui domeniu nu adaugă observații la model.

O formulă explicită oferă valoarea direct din rang. Înlocuiește toate aparițiile indicelui și păstrează parantezele necesare. Termenul $a_{n + 1}$ folosește rangul următor; expresia $a_{n} + 1$ adaugă o unitate valorii curente. Cele două scrieri nu sunt automat egale.

O recurență folosește termeni cunoscuți pentru a produce alții. Ea trebuie însoțită de valoarea inițială și de rangul acesteia. Fără punctul de pornire, aceeași regulă poate descrie mai multe șiruri.

Când cauți rangul unei valori, rezolvă ecuația corespunzătoare și verifică rezultatul în domeniul declarat, apoi în formulă. Un tabel finit nu determină singur continuarea: distinge observațiile oferite de ipoteza suplimentară folosită pentru o predicție.

De reținut

$a_{n + 1}$ : înlocuiești indicele cu $n + 1$ peste tot
$a_{n} + 1$ : aduni $1$ la valoarea termenului de rang $n$
un șir dat prin recurență are nevoie și de valoarea inițială

Greșeala tipică

Se scrie $a_{n + 1} = n^{2} + 1$ pentru $a_{n} = n^{2}$ , adică se adaugă $1$ la valoare în loc să se înlocuiască rangul; corect este $(n + 1)^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Citirile sunt $a_{0} = 5$ , $a_{1} = 8$ , $a_{2} = 8$ , $a_{3} = 10$ . La ce ranguri apare valoarea $8$ ?
- a) Numai la rangul 8.
- b) La rangurile 1 și 2.
- c) La rangurile 2 și 3.
- d) Numai la rangul 1.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) La rangurile 1 și 2.

Indicii egalităților $a_{1} = 8$ și $a_{2} = 8$ sunt rangurile căutate. Repetarea valorii se păstrează.
Pentru $a_{n} = 2 n^{2} + 7$ , $n \geq 1$ , care este termenul de rang trei?
- a) $43$
- b) $19$
- c) $25$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $25$

Înlocuim rangul: $a_{3} = 2 \cdot 3^{2} + 7 = 25$ . Pătratul se aplică rangului înaintea înmulțirii.
Se dau $u_{0} = 10$ și $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ , pentru $n \geq 0$ . Cât este $u_{2}$ ?
- a) $40$
- b) $20$
- c) $12$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $40$

Prima aplicare dă $u_{1} = 20$ , iar a doua $u_{2} = 40$ . Pornirea are rangul zero.

Întrebări conexe

Cum calculez primii termeni ai șirului $a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ ?

Pornești de la valoarea dată și aplici regula pas cu pas: $a_{2} = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ , $a_{3} = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ , $a_{4} = 3 \cdot 14 - 1 = 41$ . Fără $a_{1}$ , regula singură nu ar fixa șirul, pentru că fiecare valoare de pornire dă alt șir.

Cum numerotez măsurătorile dintr-un experiment cu un șir?

Dacă citești temperatura la fiecare $10$ minute timp de o oră, începând de la momentul $0$ , obții $7$ citiri, cu rangurile $0, 1, \dots, 6$ . Rangul $k$ corespunde momentului $10 k$ minute. Șirul este finit: formula nu adaugă citiri după rangul $6$ .

Câți termeni ai șirului $a_{n} = 2 n + 1$ sunt mai mici decât $50$ ?

Rezolvi $2 n + 1 < 50$ , adică $n < 24, 5$ . Cum rangul este natural nenul, sunt valabile rangurile $1, 2, \dots, 24$ , deci $24$ de termeni. Verificare: $a_{24} = 49 < 50$ , iar $a_{25} = 51$ trece de prag, deci numărătoarea se oprește exact la rangul $24$ .

Ce înseamnă notația $a_{2 n}$ la un șir?

Notația desemnează termenii de pe rangurile pare: $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ și așa mai departe. Pentru $a_{n} = 5 n - 2$ înlocuiești $n$ cu $2 n$ și obții $a_{2 n} = 10 n - 2$ . Termenii obținuți formează un nou șir: $8$ , $18$ , $28$ , $\dots$

Ce este un șir periodic?

Un șir ale cărui valori se repetă după un număr fix de ranguri. De exemplu, restul împărțirii lui $n$ la $3$ dă, pentru $n = 1, 2, 3, \dots$ , valorile $1, 2, 0, 1, 2, 0, \dots$ , cu perioada $3$ . Șirul $(- 1)^{n}$ are perioada $2$ .

Oamenii mai întreabă și: a indice n plus 1 · termenul următor al unui șir · a n plus 1 față de a indice n plus 1 · cum se scrie termenul de rang n+1