Cum aflu termenul aₙ dacă știu suma Sₙ=n²+2n?

Termenul de rang n este diferența dintre două sume consecutive: aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²+2n-(n-1)²-2(n-1)=2n+1. Verificare la început: a₁=S₁=3, iar formula dă tot 3. Șirul 3, 5, 7,… este o progresie aritmetică.

Cum aflu suma termenilor de la rangul p la q?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Suma unei PA

Numeri termenii blocului, $q - p + 1$ , și înmulțești numărul lor cu media capetelor blocului. Pentru progresia $a_{n} = 3 n + 2$ , blocul $a_{6} + \dots + a_{15}$ are $10$ termeni, cu $a_{6} = 20$ și $a_{15} = 47$ , deci suma este $10 \cdot \frac{20 + 47}{2} = 335$ . Verificare prin diferență de sume: $S_{15} = 390$ și $S_{5} = 55$ , iar $390 - 55 = 335$ . Din $S_{15}$ se scade doar ce stă înaintea blocului, adică $S_{5}$ , nu $S_{6}$ .

Suma primilor $n$ termeni este $S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}$ . Ea se deosebește de termenul final, care reprezintă o singură valoare. Pentru o progresie aritmetică, perechile formate dinspre capete au aceeași sumă. Scrierea listei în două ordine opuse conduce la $S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) /2$ .

Când cunoști începutul și rația, poți afla mai întâi capătul final ori aplica direct expresia echivalentă $S_{n} = n [2 a_{1} + (n - 1) r] /2$ . Numărul de termeni trebuie stabilit separat. Formula rămâne valabilă pentru un număr impar de termeni, pentru rație zero și pentru valori negative.

Un bloc de la rangul $p$ până la rangul $q$ conține $q - p + 1$ valori. Îi poți calcula suma din capetele proprii sau scăzând suma de dinaintea lui din suma care se termină la $q$ . Ambele capete ale blocului cerut trebuie păstrate.

La o sumă dată, verifică toate soluțiile admise pentru numărul termenilor. Totalurile nu cresc automat: diferența dintre două sume succesive este termenul nou adăugat. Un adaos zero păstrează totalul, iar unul negativ îl micșorează. În contexte practice, stabilește dacă termenii sunt cantități separate sau valori deja cumulate; însumarea unor totaluri succesive poate număra aceleași obiecte de mai multe ori.

De reținut

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ]}{2}$
blocul $a_{p} + \dots + a_{q}$ are $q - p + 1$ termeni
$a_{p} + \dots + a_{q} = S_{q} - S_{p - 1}$

Greșeala tipică

Se calculează suma blocului de la $a_{6}$ la $a_{15}$ ca $S_{15} - S_{6}$ , pierzând termenul $a_{6}$ ; corect se scade $S_{5}$ .

Exerciții din această mini-lecție

O PA finită are 11 termeni, primul egal cu 8 și ultimul egal cu 38. Care este suma?
- a) $230$
- b) $253$
- c) $418$
- d) $506$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $253$

Media capetelor este $(8 + 38) /2 = 23$ , deci suma celor 11 termeni este $11 \cdot 23 = 253$ .
Câți termeni conține blocul $a_{7} + a_{8} + \dots + a_{19}$ ?
- a) $12$
- b) $19$
- c) $26$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $13$

Sunt incluse ambele capete, deci $19 - 7 + 1 = 13$ termeni.
O PA constantă are fiecare termen egal cu $3/2$ . Care este suma primilor 14 termeni?
- a) $21$
- b) $14$
- c) $3/2$
- d) $42$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $21$

Rația zero păstrează aceeași valoare. Suma este $14 \cdot 3/2 = 21$ .

Întrebări conexe

Cum aflu termenul $a_{n}$ dacă știu suma $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ?

Termenul de rang $n$ este diferența dintre două sume consecutive: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n^{2} + 2 n - (n - 1)^{2} - 2 (n - 1) = 2 n + 1$ . Verificare la început: $a_{1} = S_{1} = 3$ , iar formula dă tot $3$ . Șirul $3, 5, 7, \dots$ este o progresie aritmetică.

Ce distanță parcurge un corp care străbate în fiecare secundă cu $2$ m mai mult?

Dacă în prima secundă parcurge $3$ m, distanțele pe secunde sunt $3, 5, 7, \dots$ metri, o progresie aritmetică. În $10$ secunde, ultima distanță este $3 + 9 \cdot 2 = 21$ m, iar totalul este $10 \cdot \frac{3 + 21}{2} = 120$ m.

Poate suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice să scadă?

Da, când termenii adăugați sunt negativi. Pentru $12, 7, 2, - 3, - 8$ , sumele parțiale sunt $12$ , $19$ , $21$ , $18$ , $10$ . Suma crește cât timp termenii sunt pozitivi și începe să scadă după ce apar termeni negativi.

Ce legătură are suma unei progresii aritmetice cu aria unui trapez?

Dacă desenezi termenii ca bare de lățime $1$ , vârfurile barelor stau pe o dreaptă, iar figura seamănă cu un trapez. Formula $S_{n} = n \cdot \frac{a _{1} + a _{n}}{2}$ are aceeași formă ca aria trapezului: înălțimea $n$ înmulțită cu media bazelor.

Cum aflu rația dacă știu $S_{5} = 40$ și $a_{1} = 2$ ?

Folosești $S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ]}{2}$ : $\frac{5 ( 4 + 4 r )}{2} = 40$ , deci $4 + 4 r = 16$ și $r = 3$ . Termenii sunt $2, 5, 8, 11, 14$ , iar adunarea lor directă dă $40$ , ceea ce confirmă rezultatul. Primul termen dat și suma au fixat împreună rația.

Oamenii mai întreabă și: suma unui bloc de termeni consecutivi · suma termenilor de la a p la a q · suma unei părți dintr-o progresie aritmetică · suma de la rangul 6 la 15