Transformarea sumelor în produse (M2, științe ale naturii)

Două difuzoare legate la același generator emit același ton, dar semnalul unuia ajunge la tine cu o mică întârziere. Presiunea aerului din dreptul urechii este suma a două oscilații de aceeași frecvență, decalate una față de alta, iar sunetul pe care îl auzi poate fi mai puternic decât al fiecărui difuzor sau aproape stins. Cât de tare e rezultatul nu se vede din sumă, ci din produsul în care ea se poate rescrie. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta arată cum se transformă o sumă sau o diferență de sinusuri ori de cosinusuri într-un produs și ce afli din produs: valori exacte, semne, amplitudini. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține transformarea sumelor în produse: în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” rămân formulele de bază. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere explicit transformarea sumei în produs.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: transformarea sumei în produs e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Punctul de plecare sunt formulele pentru sumă și diferență la M2, pe care le vei aduna și scădea, iar valorile de tabel vin din reducerea la primul cadran la M2. Traseul de bază a lucrat pe $[0,2\pi ]$; programa de examen definește sinusul și cosinusul pe $\mathbb{R}$, deci aici argumentele pot fi orice numere reale, inclusiv negative, iar semidiferența a două unghiuri iese adesea negativă fără ca asta să fie o problemă.

Ce vei învăța

• Vei deduce formula pentru $\sin p+\sin q$ adunând două formule de adunare și schimbând notația.
• Vei scrie toate cele patru transformări, cu semisuma $\frac{p+q}{2}$ și semidiferența $\frac{p-q}{2}$, și vei ști de unde vine minusul din $\cos p-\cos q$.
• Vei lucra cu argumente negative și cu argumente fără $\pi$, folosind $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$.
• Vei calcula valori exacte ale unor sume de funcții trigonometrice și vei decide semnul unei diferențe fără calculator.
• Vei demonstra identități în care termenii se grupează câte doi.
• Vei afla amplitudinea sumei a două oscilații de aceeași frecvență, decalate cu un unghi dat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să transformi o sumă în produs?

Transformarea sumei în produs este rescrierea unei sume sau a unei diferențe de două sinusuri, sau de două cosinusuri, ca produs de două funcții trigonometrice ale semisumei și ale semidiferenței argumentelor. Pentru orice numere reale $p$ și $q$:

$$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}.$$

La ce folosește forma de produs? Ea arată trei lucruri pe care suma le ține ascunse. Primul este semnul: semnul rezultatului se află din semnele factorilor, luați pe rând. Al doilea sunt zerourile: expresia se anulează dacă măcar un factor se anulează, iar un factor se studiază mai ușor decât o sumă. Al treilea este amplitudinea: când unul dintre factori nu depinde de variabilă, el devine un număr fix care înmulțește o singură oscilație. Toate trei vor apărea în lecție, în exemple din calcul și din fizică.

Pentru un elev de științe, a treia idee e cea mai importantă. În fizică, în chimie și în biologie apar des mărimi care oscilează: presiunea unui sunet, tensiunea dintr-o rețea electrică, concentrația unei substanțe care urmează un ritm zilnic. Când două asemenea oscilații se suprapun, instrumentul măsoară suma lor, iar întrebarea practică este cât de mare iese suma. Transformarea în produs răspunde direct, fără tabele de valori și fără grafice desenate punct cu punct.

Formula nu se ține minte ca fapt izolat. Ea se obține în două rânduri din formulele de adunare, iar deducerea e mai sigură decât memoria.

2. De unde vine prima formulă?

Scrie una sub alta formulele pentru sinusul sumei și al diferenței, cu $a$ și $b$ numere reale:

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$

Adunându-le, termenii $\cos a\sin b$ se reduc și rămâne $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$. Egalitatea aceasta este un pas intermediar: în stânga argumentele sunt $a+b$ și $a-b$, iar noi vrem să pornim de la o sumă cu argumente date. Notezi $p=a+b$ și $q=a-b$. Adunând și scăzând cele două egalități obții $a=\frac{p+q}{2}$ și $b=\frac{p-q}{2}$, iar formula devine exact cea din definiție.

Numărul $\frac{p+q}{2}$ se numește semisuma argumentelor, iar $\frac{p-q}{2}$ semidiferența lor. Toate cele patru transformări folosesc aceste două numere, așa că primul lucru pe care îl scrii într-un exercițiu sunt ele două, calculate separat.

Un control rapid îți spune dacă ai scris formula corect: adună semisuma cu semidiferența și trebuie să obții $p$, scade-le și trebuie să obții $q$. Dacă argumentele sunt, de pildă, $9x$ și $5x$, semisuma este $7x$ și semidiferența $2x$, iar $7x+2x=9x$, $7x-2x=5x$. Controlul durează câteva secunde și previne cele mai multe greșeli de calcul ale lecției.

3. Cum arată celelalte trei transformări și de unde vine minusul?

Scăzând aceleași două formule, în loc să le aduni, se reduc termenii $\sin a\cos b$ și rămâne $2\cos a\sin b$. Procedând la fel cu formulele cosinusului, $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$, adunarea lasă $2\cos a\cos b$, iar scăderea lasă $-2\sin a\sin b$. După aceeași schimbare de notație, cele patru transformări sunt:

$$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2},$$

$$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}.$$

Minusul din ultima formulă nu e o convenție: el vine direct din deducere. În $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, produsul sinusurilor intră cu minus, iar în $\cos (a-b)$ intră cu plus. Diferența $\cos (a+b)-\cos (a-b)$ lasă deci de două ori termenul cu minus, adică $-2\sin a\sin b$. Dacă îți amintești de unde vine, nu-l mai poți uita.

Formulele sunt valabile pentru orice $p$ și $q$ reali. Nu cer ca $p$ să fie mai mare decât $q$ și nu cer argumente pe $[0,2\pi ]$.

4. Ce fac când semidiferența iese negativă?

Pe $\mathbb{R}$ se întâmplă des ca argumentul mai mic să fie scris primul, iar semidiferența să iasă negativă. De exemplu, la $\cos x-\cos 5x$ semisuma este $3x$, iar semidiferența este $-2x$. Formula se aplică exact la fel:

$$\cos x-\cos 5x=-2\sin 3x\sin (-2x).$$

Pe $\mathbb{R}$, sinusul și cosinusul se repetă după fiecare tură, cum ai văzut în funcția cotangentă și periodicitatea la M2. Ca să aduci rezultatul la o formă curată folosești două proprietăți: $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$, pentru orice $t$ real. Ele vin din formulele de reducere pentru $2\pi -x$ pe care le știi din traseul de bază: $\sin (2\pi -t)=-\sin t$ și $\cos (2\pi -t)=\cos t$, iar pe $\mathbb{R}$ unghiul $-t$ are aceleași valori ca unghiul $2\pi -t$, fiindcă diferă de el printr-o tură întreagă. Cu ele, expresia devine $2\sin 3x\sin 2x$: cele două minusuri s-au anulat.

Regula practică este să nu schimbi ordinea termenilor din enunț ca să eviți semidiferența negativă. Aplici formula așa cum e scrisă și simplifici semnul la sfârșit, cu una dintre cele două proprietăți.

La sumele de cosinusuri semnul semidiferenței nici nu contează, fiindcă ea intră sub un cosinus: $\cos (-t)=\cos t$. Grija e necesară la diferențe și la sumele de sinusuri, unde semidiferența intră sub un sinus și minusul trebuie scos în fața produsului.

5. Cum decid semnul unei diferențe fără calculator?

O diferență ca $\sin p-\sin q$ nu îți spune din privire dacă e pozitivă sau negativă, mai ales când argumentele nu sunt unghiuri din tabel. Produsul îți spune. De exemplu, pentru $0<q<p<\frac{\pi }{2}$, semidiferența $\frac{p-q}{2}$ este între $0$ și $\frac{\pi }{4}$, deci sinusul ei e pozitiv, iar semisuma $\frac{p+q}{2}$ este tot în primul cadran, cu cosinusul pozitiv. Produsul $2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$ este pozitiv, deci $\sin p>\sin q$: pe primul cadran sinusul crește, ceea ce știai din graficele funcțiilor sinus și cosinus la M2, dar acum ai argumentul scris.

Aceeași metodă merge acolo unde graficul nu mai e la fel de limpede, de exemplu când argumentele sunt numere reale fără $\pi$, măsurate în radiani. Ai nevoie doar să știi unde se află semisuma și semidiferența față de $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$ și față de $\pi \approx 3,14$.

Pentru cosinusuri raționamentul e asemănător, cu o singură diferență de care trebuie să ții seama: formula lui $\cos p-\cos q$ are minus în față. Dacă ambele sinusuri din produs sunt pozitive, diferența de cosinusuri este negativă. Așa se regăsește faptul că, pe intervalul $(0,\pi )$, cosinusul scade: pentru $0<q<p<\pi$, semisuma și semidiferența sunt tot în $(0,\pi )$, sinusurile lor sunt pozitive, iar $\cos p-\cos q<0$. Nu mai ai nevoie de grafic ca să justifici; produsul e argumentul scris.

Metoda funcționează și pentru comparații între o funcție și ea însăși, la două momente diferite. Într-un model din fizică, poziția unui corp care oscilează este $A\sin t$; ca să știi dacă, între două momente, corpul a urcat sau a coborât, compari $A\sin t_2$ cu $A\sin t_1$, adică studiezi semnul diferenței. Produsul îți spune răspunsul fără să calculezi cele două poziții.

Merită observat și ce nu poate face metoda. Dacă semisuma sau semidiferența cade exact într-un punct în care un factor se anulează, produsul este zero, iar cele două valori sunt egale. Dacă un factor are semnul greu de stabilit, de exemplu un unghi foarte aproape de $\frac{\pi }{2}$, atunci ai nevoie de o estimare mai fină a numerelor, nu de o altă formulă.

6. Cum obțin valori exacte dintr-o sumă?

Suma a două funcții trigonometrice ale unor unghiuri „urâte” poate avea o valoare exactă simplă, dacă semisuma și semidiferența sunt unghiuri din tabel. Pentru $\cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{5\pi }{12}$, semisuma este $\frac{2\pi }{3}$, iar semidiferența $\frac{\pi }{4}$, deci

$$\cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{5\pi }{12}=2\cos \frac{2\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

De ce funcționează alegerea multiplilor de $\frac{\pi }{12}$? Suma și diferența a doi asemenea multipli sunt multipli de $\frac{\pi }{12}$, iar jumătățile lor sunt multipli de $\frac{\pi }{24}$. Numai când jumătățile cad pe $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ sau pe unghiurile obținute din ele prin reducere obții valori exacte; altfel transformarea e corectă, dar nu te ajută la calcul. Primul unghi, $\frac{11\pi }{12}$, e în al doilea cadran, unde cosinusul e negativ, iar al doilea e în primul cadran, cu cosinusul pozitiv; din sumă nu se vedea nici măcar semnul rezultatului. Produsul are un factor negativ și unul pozitiv, deci suma e negativă. Când primești o sumă de acest fel, verifici întâi dacă semisuma și semidiferența sunt multipli simpli de $\frac{\pi }{12}$. Dacă sunt, rezultatul iese fără nicio aproximare.

7. Ce se întâmplă când se adună două oscilații?

Revino la cele două difuzoare. O oscilație de amplitudine $A$ se descrie prin $y_1=A\sin t$, unde $t$ măsoară faza, iar a doua, întârziată cu unghiul $\phi$, prin $y_2=A\sin (t+\phi )$. Cu prima formulă, semisuma este $t+\frac{\phi }{2}$ și semidiferența $-\frac{\phi }{2}$, iar cosinusul nu ține seama de semn:

$$y_1+y_2=2A\cos \frac{\phi }{2}\sin \left(t+\frac{\phi }{2}\right).$$

Suma este tot o oscilație de aceeași frecvență, iar factorul constant $2A\cos \frac{\phi }{2}$ joacă rolul amplitudinii; amplitudinea propriu-zisă este valoarea lui absolută. Faza rezultatului, $t+\frac{\phi }{2}$, e la mijloc între fazele celor două oscilații: unda sumă nu urmează nici prima, nici a doua undă, ci o medie a lor. Pentru $\phi =0$ amplitudinea este $2A$: undele se întăresc. Pentru $\phi =\pi$ ea este $0$: undele se sting reciproc. Pentru $\phi =\frac{\pi }{3}$, desenul de mai jos, amplitudinea este $2A\cos \frac{\pi }{6}=A\sqrt{3}$. Fenomenul se numește interferență, iar formula lui e chiar transformarea unei sume în produs. Modelul presupune oscilații de aceeași amplitudine și aceeași frecvență; dacă amplitudinile diferă, formula nu se mai aplică direct.

Formula pune în evidență și un lucru care nu se vede din sumă: rezultatul nu depinde de faza fiecărei unde luate separat, ci numai de diferența dintre faze. Dacă ambele difuzoare întârzie la fel, suma se mută în timp, dar amplitudinea ei rămâne aceeași.

Decalajul $\phi$ nu e o abstracțiune. La două difuzoare el vine din diferența de drum: dacă sunetul de la al doilea difuzor parcurge o jumătate de lungime de undă în plus, el ajunge cu o jumătate de tură în urmă, adică $\phi =\pi$, iar în acel loc sunetul aproape dispare. Dacă diferența de drum este o lungime de undă întreagă, decalajul este o tură completă, cosinusul semidecalajului este $\cos \pi =-1$, iar amplitudinea este din nou $2A$. De aceea, într-o sală cu două surse, mergând de-a lungul unui perete auzi zone mai tari și zone mai slabe care alternează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O sumă de cosinusuri cu valoare exactă

Calculați $\cos 165^{\circ }+\cos 105^{\circ }$.

Rezolvare. Semisuma este $\frac{165^{\circ }+105^{\circ }}{2}=135^{\circ }$, iar semidiferența $\frac{165^{\circ }-105^{\circ }}{2}=30^{\circ }$. Atunci

$$\cos 165^{\circ }+\cos 105^{\circ }=2\cos 135^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Semnul se potrivește: ambele unghiuri sunt în al doilea cadran, unde cosinusul e negativ, deci și suma lor e negativă. Controlul cu valori aproximative: $-0,9659-0,2588=-1,2247$, iar $\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1,2247$.

Exemplul 2 — O diferență de sinusuri scrisă ca produs

Scrieți ca produs $\sin 7x-\sin x$ și verificați rezultatul pentru $x=\frac{\pi }{6}$.

Rezolvare. Semisuma este $4x$, iar semidiferența $3x$. La diferența de sinusuri, semidiferența merge la sinus:

$$\sin 7x-\sin x=2\sin 3x\cos 4x.$$

Pentru $x=\frac{\pi }{6}$, membrul stâng este $\sin \frac{7\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$, iar membrul drept este $2\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{2\pi }{3}=2\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$. Cele două valori coincid.

Exemplul 3 — Citește semnul: care sinus e mai mare?

Fără calculator, stabiliți semnul numărului $\sin 1-\sin 2$, unde argumentele sunt în radiani.

Rezolvare. Transformi în produs, cu semisuma $\frac{3}{2}$ și semidiferența $-\frac{1}{2}$:

$$\sin 1-\sin 2=2\sin \left(-\frac{1}{2}\right)\cos \frac{3}{2}=-2\sin \frac{1}{2}\cos \frac{3}{2}.$$

Numărul $\frac{1}{2}$ e în primul cadran, deci $\sin \frac{1}{2}>0$. Numărul $\frac{3}{2}=1,5$ e mai mic decât $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, deci și el e în primul cadran, iar $\cos \frac{3}{2}>0$. Produsul cu minus în față este negativ, deci $\sin 1<\sin 2$. Rezultatul surprinde la prima vedere, fiindcă $2>\frac{\pi }{2}$: sinusul a început deja să scadă, dar $2$ e mai aproape de $\frac{\pi }{2}$ decât $1$.

Exemplul 4 — O sumă de oscilații care se reduce la una singură

Arătați că $\sin x+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. Semisuma argumentelor este $x+\frac{\pi }{3}$, iar semidiferența $-\frac{\pi }{3}$. Cu prima formulă și cu $\cos (-t)=\cos t$:

$$\sin x+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right).$$

Două oscilații de amplitudine $1$, decalate cu o treime de tură, dau o oscilație tot de amplitudine $1$, decalată cu o șesime de tură față de prima. Suma nu a crescut deloc.

Exemplul 5 — Două difuzoare defazate

Două difuzoare produc, în dreptul unui microfon, oscilații ale presiunii aerului de aceeași frecvență și de amplitudine $0,3$ Pa fiecare, decalate cu faza $\phi =\frac{\pi }{2}$. Calculați amplitudinea oscilației rezultate.

Rezolvare. Cu formula din descoperire, amplitudinea este $2A\cos \frac{\phi }{2}$, cu $A=0,3$ Pa:

$$2\cdot 0,3\cdot \cos \frac{\pi }{4}=0,6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0,3\sqrt{2}\approx 0,42\text{ Pa}.$$

Rezultatul e între amplitudinea unui singur difuzor ($0,3$ Pa) și dublul ei ($0,6$ Pa), cum trebuie pentru un decalaj de un sfert de tură: undele nu se întăresc complet, dar nici nu se sting.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră expresia $E(x)=\cos 4x-\cos 2x$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $E(x)=-2\sin 3x\sin x$. b) Calculați $E\left(\frac{\pi }{6}\right)$. c) Arătați că $E(x)<0$ pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{3}\right)$.

Rezolvare. a) Semisuma este $3x$, semidiferența $x$, iar la diferența de cosinusuri apare minusul: $E(x)=-2\sin 3x\sin x$.

b) Din forma de produs, $E\left(\frac{\pi }{6}\right)=-2\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{6}=-2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=-1$. Control din forma inițială: $\cos \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$.

c) Pentru $0<x<\frac{\pi }{3}$ avem $0<3x<\pi$, deci $\sin 3x>0$, și $\sin x>0$. Produsul celor două sinusuri e pozitiv, iar factorul $-2$ îl face negativ, deci $E(x)<0$ pe tot intervalul.

Să exersăm

1. Scrie ca produs $\sin 13x+\sin 7x$.

2. Scrie ca produs $\cos 8x+\cos 2x$.

3. Scrie ca produs $\cos 3x-\cos 9x$ și simplifică semnul.

4. Calculează $\sin 255^{\circ }-\sin 15^{\circ }$.

5. Calculează $\sin 195^{\circ }+\sin 75^{\circ }$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Are loc egalitatea $\cos 50^{\circ }-\cos 10^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$.”

7. Arată că $\sin 10x+\sin 2x=4\sin 3x\cos 3x\cos 4x$ pentru orice număr real $x$.

8. Arată că $\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\cos 7x=4\cos x\cos 2x\cos 4x$ pentru orice număr real $x$.

9. Calculează $\cos \frac{\pi }{12}-\cos \frac{7\pi }{12}$.

10. (Problemă aplicată.) Pe o coardă se suprapun două unde de aceeași frecvență, fiecare cu amplitudinea de $5$ mm, decalate cu faza $\phi =\frac{5\pi }{6}$. Calculează amplitudinea mișcării rezultate, exact și aproximativ, la zecimi de milimetru.

11. Scrie ca produs $\sin 2x-\sin 6x$.

12. Arată că $\sin x-\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ pentru orice $x$ real și deduce cea mai mare valoare a expresiei.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin \frac{23\pi }{12}+\sin \frac{19\pi }{12}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(\cos 105^{\circ }-\cos 345^{\circ }\right)}^2=\frac{3}{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Triunghiul $ABC$ are unghiul $C$ de măsură $\frac{\pi }{3}$. Arătați că $\sin A+\sin B=\sqrt{3}\cos \frac{A-B}{2}$.

16. Stabilește, fără calculator, semnul numărului $\cos 3-\cos 1$, cu argumentele în radiani.

17. Explică de ce $\sin p+\sin q=0$ ori de câte ori $p+q=2\pi$ și verifică pe perechea $p=\frac{7\pi }{6}$, $q=\frac{5\pi }{6}$.

18. Arată că ${\cos }^{2}x-{\cos }^{2}y=-\sin (x+y)\sin (x-y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspunsuri și explicații

1. Semisuma $10x$, semidiferența $3x$: $\sin 13x+\sin 7x=2\sin 10x\cos 3x$.

2. Semisuma $5x$, semidiferența $3x$: $\cos 8x+\cos 2x=2\cos 5x\cos 3x$.

3. Semisuma $6x$, semidiferența $-3x$: $\cos 3x-\cos 9x=-2\sin 6x\sin (-3x)=2\sin 6x\sin 3x$, fiindcă $\sin (-3x)=-\sin 3x$.

4. Semisuma $135^{\circ }$, semidiferența $120^{\circ }$: $\sin 255^{\circ }-\sin 15^{\circ }=2\sin 120^{\circ }\cos 135^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}$. Semnul se vede și direct: $\sin 255^{\circ }$ e negativ, iar din el se scade un număr pozitiv.

5. Semisuma $135^{\circ }$, semidiferența $60^{\circ }$: $2\sin 135^{\circ }\cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Primul unghi e în al treilea cadran, pe $\mathbb{R}$ fără nicio grijă în plus.

6. Adevărat. Semisuma lui $50^{\circ }$ și $10^{\circ }$ este $30^{\circ }$, iar semidiferența $20^{\circ }$, deci $\cos 50^{\circ }-\cos 10^{\circ }=-2\sin 30^{\circ }\sin 20^{\circ }=-2\cdot \frac{1}{2}\sin 20^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$. Control cu valori aproximative: $0,6428-0,9848=-0,342$, iar $\sin 20^{\circ }\approx 0,342$.

7. Semisuma $6x$, semidiferența $4x$: $\sin 10x+\sin 2x=2\sin 6x\cos 4x$. Cu formula unghiului dublu, $\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x$, deci suma este $2\cdot 2\sin 3x\cos 3x\cos 4x=4\sin 3x\cos 3x\cos 4x$.

8. Grupezi termenii de la capete și pe cei din mijloc: $\cos 7x+\cos x=2\cos 4x\cos 3x$ și $\cos 5x+\cos 3x=2\cos 4x\cos x$. Suma lor este $2\cos 4x(\cos 3x+\cos x)=2\cos 4x\cdot 2\cos 2x\cos x=4\cos x\cos 2x\cos 4x$.

9. Semisuma $\frac{\pi }{3}$, semidiferența $-\frac{\pi }{4}$: $\cos \frac{\pi }{12}-\cos \frac{7\pi }{12}=-2\sin \frac{\pi }{3}\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

10. Amplitudinea este $2A\cos \frac{\phi }{2}=10\cos \frac{5\pi }{12}$ mm. Cu $\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, din formulele de adunare, rezultă $\frac{10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=\frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}\approx 2,6$ mm. Decalajul e aproape o jumătate de tură, deci undele aproape se sting.

11. Semisuma $4x$, semidiferența $-2x$: $\sin 2x-\sin 6x=2\sin (-2x)\cos 4x=-2\sin 2x\cos 4x$.

12. Semisuma este $x+\frac{\pi }{6}$, iar semidiferența $-\frac{\pi }{6}$: $\sin x-\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$. Cosinusul ia toate valorile din $[-1,1]$, deci cea mai mare valoare a expresiei este $1$.

13. Semisuma $\frac{7\pi }{4}$, semidiferența $\frac{\pi }{6}$: $\sin \frac{23\pi }{12}+\sin \frac{19\pi }{12}=2\sin \frac{7\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$. Ambele unghiuri sunt în al patrulea cadran, unde sinusul e negativ, deci suma trebuia să iasă negativă.

14. Semisuma $225^{\circ }$, semidiferența $-120^{\circ }$: $\cos 105^{\circ }-\cos 345^{\circ }=-2\sin 225^{\circ }\sin (-120^{\circ })=-2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}$. Pătratul este $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Semnul se potrivește: $\cos 105^{\circ }<0<\cos 345^{\circ }$, deci diferența e negativă.

15. În triunghi, $A+B=\pi -C=\frac{2\pi }{3}$, deci semisuma lui $A$ și $B$ este $\frac{\pi }{3}$. Atunci $\sin A+\sin B=2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{A-B}{2}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{A-B}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{A-B}{2}$.

16. $\cos 3-\cos 1=-2\sin 2\sin 1$. Numerele $1$ și $2$ sunt între $0$ și $\pi \approx 3,14$, unde sinusul e pozitiv, deci produsul $\sin 2\sin 1$ e pozitiv, iar diferența e negativă: $\cos 3<\cos 1$.

17. Dacă $p+q=2\pi$, semisuma este $\pi$, iar $\sin \pi =0$ anulează produsul $2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$. Pentru perechea dată: $\sin \frac{7\pi }{6}+\sin \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$.

18. Diferența de pătrate se factorizează: ${\cos }^{2}x-{\cos }^{2}y=(\cos x-\cos y)(\cos x+\cos y)$. Transformi fiecare paranteză: $-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$ și $2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$. Produsul lor, grupat pe perechi, este $-\left(2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2}\right)\left(2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\right)=-\sin (x+y)\sin (x-y)$, cu formula unghiului dublu.

De reținut

• Cele patru transformări folosesc semisuma $\frac{p+q}{2}$ și semidiferența $\frac{p-q}{2}$: $\sin p\pm \sin q$ dă un produs sinus–cosinus, $\cos p+\cos q$ dă $2\cos \cdot \cos$, iar $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$.
• Deducerea se face adunând sau scăzând formulele pentru $\sin (a\pm b)$ și $\cos (a\pm b)$, apoi notând $p=a+b$ și $q=a-b$; minusul de la $\cos p-\cos q$ vine din produsul sinusurilor din $\cos (a+b)$.
• Pe $\mathbb{R}$ semidiferența poate fi negativă: aplici formula ca atare și simplifici cu $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$.
• Produsul se citește: semnul lui dă semnul sumei, iar un factor nul anulează toată expresia.
• Două oscilații $A\sin t$ și $A\sin (t+\phi )$ se adună într-una singură, cu factorul constant $2A\cos \frac{\phi }{2}$.

Greșeli frecvente

• Formula aplicată unei sume „amestecate”. Se scrie „$\sin p+\cos q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$”. Formulele cer două funcții de același fel; întâi transformi cosinusul, $\cos q=\sin \left(\frac{\pi }{2}-q\right)$, apoi aplici formula.
• Coeficienți diferiți în fața termenilor. O expresie ca $\sin x+2\sin 3x$ nu este o sumă de două sinusuri cu același coeficient, deci formula nu se aplică direct. Poți transforma doar partea în care coeficienții sunt egali.
• Sinusul tratat ca o funcție care ignoră semnul. Se scrie „$\sin (-2x)=\sin 2x$”, confundând sinusul cu cosinusul. Corect: $\sin (-t)=-\sin t$, iar numai cosinusul păstrează valoarea când schimbi semnul argumentului.
• Semisuma calculată doar pe jumătate. Pentru $7x$ și $x$ se scrie semisuma „$\frac{7x}{2}+x$”, împărțind la $2$ numai primul termen. Semisuma este $\frac{7x+x}{2}=4x$: împarți toată suma.
• Radianii citiți ca grade. În $\sin 1-\sin 2$ argumentele sunt numere reale, adică radiani. Citite ca $1^{\circ }$ și $2^{\circ }$, ar duce la concluzia corectă din motivul greșit; citite corect, cer comparația cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$.

Aplică acasă

1. Unde pe apă. Umple o tavă mare cu apă și atinge suprafața în același timp, în ritm egal, cu două degete așezate la câțiva centimetri unul de altul. Privește din lateral, cu o lanternă: vei vedea direcții pe care apa se agită tare și direcții aproape liniștite. Explică în două fraze legătura cu factorul $2A\cos \frac{\phi }{2}$.

2. Tabelul decalajelor. Într-o foaie de calcul, scrie în prima coloană decalaje $\phi$ de la $0$ la $2\pi$, din $\frac{\pi }{12}$ în $\frac{\pi }{12}$, iar în a doua factorul $2\cos \frac{\phi }{2}$, pentru două oscilații de amplitudine $1$. Desenează graficul celei de-a doua coloane. Caută pe el decalajul la care suma are aceeași amplitudine ca o singură oscilație și decalajul la care se stinge, apoi explică ce înseamnă valorile negative ale factorului.

3. Harta semnelor. Desenează cercul trigonometric și alege cinci perechi de unghiuri din cadrane diferite. Pentru fiecare pereche, prezice semnul lui $\sin p-\sin q$ numai din semisumă și semidiferență, apoi verifică-l cu calculatorul. Notează perechea la care ai greșit și pasul care te-a păcălit.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie grupul formulelor derivate din formulele de adunare: unghiul dublu era cazul $a=b$, iar aici se adună și se scad formulele pentru $a$ și $b$ oarecare. Un elev care a înțeles deducerea poate reface toate cele patru transformări în câteva rânduri, fără să le fi memorat; merită cerută deducerea măcar o dată la tablă. Formula intermediară, cea în care un produs apare ca jumătate dintr-o sumă, e folosită numai în deducere; programa de examen cere transformarea sumei în produs, nu și drumul invers, așa că exercițiile merg într-o singură direcție. De urmărit în caiet: semisuma și semidiferența scrise explicit înainte de formulă, semnul argumentelor negative simplificat abia la final, radianii recunoscuți când argumentul nu conține $\pi$. Întrebări de control: „Ce spune produsul despre semnul sumei?”; „Ce faci dacă semidiferența iese negativă?”; „Când nu se poate aplica formula direct?”. Semn că elevul a înțeles: prezice semnul unei diferențe de sinusuri înainte de a o calcula.

La profilul științe ale naturii tema are o aplicație directă în fizica undelor: suma a două oscilații de aceeași frecvență este tot o oscilație, cu amplitudinea dată de cosinusul semidecalajului. Aceeași formulă explică sunetul care se întărește sau se stinge între două difuzoare și franjele de interferență din optică.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a IX-a, în capitolul „Elemente de trigonometrie”, formulele $\sin a+\sin b$, $\sin a-\sin b$, $\cos a+\cos b$ și $\cos a-\cos b$, cu mențiunea „transformarea sumei în produs”, în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu le mai cuprinde la nicio clasă. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, singura cerință de trigonometrie este a șasea de la Subiectul I, despre un triunghi dreptunghic, fără sume de funcții trigonometrice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține transformarea sumelor în produse. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sumele transformate în produse și drumul invers tratează și transformarea produselor în sume, pe care programa M2 nu o cere. Pe traseul M2, lecția precedentă este formulele unghiului dublu la M2, iar exercițiile de sinteză ale suplimentului sunt în testul M2 de produs scalar și formule trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce diferă la transformarea sumelor între M1 și M2? La științe ale naturii (M2) lecția se oprește la cele patru transformări ale unei sume sau diferențe în produs, cerute de programa de examen, și la aplicațiile lor. La matematică-informatică (M1) aceeași lecție tratează și drumul invers, de la produs la sumă, și alte formule derivate. Deducerea din formulele de adunare este comună ambelor profiluri.

La ce subiect apare transformarea sumei în produs la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 o pune în capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a, fără să spună la ce subiect. În modelul oficial publicat pentru 2026, singura cerință de trigonometrie este a șasea de la Subiectul I, despre un triunghi dreptunghic, fără sume de funcții trigonometrice; formula rămâne însă în lista de conținuturi, deci o exersezi ca pe orice temă din programă.

Ce fac când semidiferența iese negativă? Aplici formula exact cum e scrisă, cu semidiferența negativă, apoi o simplifici la sfârșit cu una dintre proprietățile $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$. De exemplu, $\sin 4x-\sin 10x$ are semidiferența $-3x$ și devine $-2\sin 3x\cos 7x$. Nu inversa termenii din enunț, fiindcă atunci schimbi semnul întregii expresii.

Cum aflu semnul unei diferențe de sinusuri fără calculator? O transformi în produs și stabilești separat semnul fiecărui factor, după cadranul în care se află semisuma și semidiferența. Pentru argumente fără $\pi$ compari cu $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$ și cu $\pi \approx 3,14$. Semnul produsului, cu tot cu eventualul minus din față, este semnul diferenței.

Pot aplica formula la o sumă ca sin x + 2 sin 3x? Nu direct. Formulele sunt pentru suma a două sinusuri sau a două cosinusuri cu același coeficient. Poți scrie $\sin x+2\sin 3x=(\sin x+\sin 3x)+\sin 3x$ și transforma doar paranteza, dar rezultatul nu va fi un singur produs. La fel, la o sumă sinus plus cosinus transformi întâi cosinusul în sinus.

Ce legătură are formula cu interferența undelor? Două oscilații de aceeași frecvență și amplitudine $A$, decalate cu faza $\phi$, se adună după prima formulă într-o singură oscilație, înmulțită cu factorul $2A\cos \frac{\phi }{2}$. Fără decalaj amplitudinea se dublează, la o jumătate de tură undele se sting, iar între aceste cazuri obții valori intermediare.