Formulele unghiului dublu (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe o terasă bătută de vânt, un grup de elevi care cresc răsaduri pentru cercul de biologie le apără cu un paravan în două foi de aceeași lățime, prinse într-o balama. Cât loc ferit rămâne în colțul dintre foi depinde de cât de larg e deschis paravanul, iar în formula ariei acestui colț nu apare unghiul dintre fiecare foaie și axa paravanului, ci dublul lui. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta arată cum se calculează sinusul și cosinusul unui unghi dublu din valorile unghiului inițial și cum afli în ce loc al cercului cade dublul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține formulele unghiului dublu: în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” rămân formula fundamentală și formulele de reducere. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere explicit formulele pentru $sin 2 a$ și $cos 2 a$ .

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: tema unghiului dublu e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Ca s-o parcurgi, îți trebuie trei lucruri din traseul tău: formula fundamentală a trigonometriei la M2, care leagă sinusul de cosinus, reducerea la primul cadran la M2, pentru semne și valori, și lecția precedentă a suplimentului, formulele pentru sumă și diferență la M2, din care se obțin toate formulele de aici. În traseul de bază ai lucrat cu sinusul și cosinusul pe $[0, 2 π]$ ; programa de examen le definește pe $R$ , așa că în supliment lucrăm pe toată axa reală, iar dublul unui unghi poate trece liniștit de o tură completă.

Ce vei învăța

Vei obține formulele $sin 2 x = 2 sin x cos x$ și $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ din formulele de adunare, punând același unghi de două ori.
Vei scrie $cos 2 x$ în trei feluri și vei alege forma care folosește exact ce ți se dă în enunț.
Vei decide semnul lui $cos x$ din intervalul lui $x$ înainte de a calcula $sin 2 x$ și vei vedea de ce $cos 2 x$ nu are nevoie de acest pas.
Vei afla intervalul în care se află $2 x$ , chiar și atunci când el depășește $2 π$ , și vei citi de acolo semnele.
Vei calcula tangenta unghiului dublu ca raport între $sin 2 x$ și $cos 2 x$ , cu condiția de existență scrisă.
Vei recunoaște unghiul dublu în modele din științe: colțul ferit de un paravan în două foi și lumina care trece printr-un filtru rotit în doi pași egali.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt formulele unghiului dublu?

Formulele unghiului dublu sunt egalitățile care exprimă sinusul și cosinusul lui $2 x$ prin sinusul și cosinusul lui $x$ , adevărate pentru orice număr real $x$ :

$sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x .$

Nu sunt reguli noi, ci un caz particular al formulelor de adunare. În lecția despre sumă ai văzut că $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ și $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ . Dacă pui $a = b = x$ , suma devine $2 x$ , iar cei doi termeni din dreapta devin egali la sinus, respectiv produse de același fel la cosinus. Nimic altceva nu trebuie reținut: drumul de la formula sumei la formula dublului are un singur pas.

Prima reacție a multor elevi este să creadă că dublarea unghiului dublează sinusul. Un singur unghi ajunge ca să vezi că nu e așa. Pentru $x = \frac{π}{4}$ , dublul este $\frac{π}{2}$ și $sin \frac{π}{2} = 1$ , în timp ce $2 sin \frac{π}{4} = 2$ , un număr mai mare decât $1$ , deci imposibil pentru un sinus. Cosinusul lui $x$ din formulă face diferența: el micșorează produsul exact cât trebuie ca rezultatul să rămână între $- 1$ și $1$ .

Formulele sunt adevărate pentru orice $x$ real, nu numai pentru unghiuri din primul cadran sau de pe $[0, 2 π]$ . Asta contează în supliment: programa de examen definește sinusul și cosinusul pe $R$ , iar dublul unui unghi din $(π, 2 π)$ ajunge în $(2 π, 4 π)$ , unde traseul de bază nu te-a dus. Semnele și valorile de acolo le afli prin periodicitate, pe care o găsești discutată în funcția cotangentă și periodicitatea la M2: după o tură completă, sinusul și cosinusul revin la aceleași valori.

2. De ce are cosinusul dublului trei forme?

Forma $cos^{2} x - sin^{2} x$ are un dezavantaj practic: cere amândouă funcțiile lui $x$ . Formula fundamentală, $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , îți permite să elimini una dintre ele. Înlocuind $sin^{2} x$ cu $1 - cos^{2} x$ obții o formă care folosește numai cosinusul, iar înlocuind $cos^{2} x$ cu $1 - sin^{2} x$ obții una care folosește numai sinusul:

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x .$

Cele trei scrieri sunt aceeași funcție, nu trei formule diferite. Le alegi după date. Dacă enunțul îți dă cosinusul lui $x$ , folosești $2 cos^{2} x - 1$ și nici nu mai calculezi sinusul. Dacă îți dă sinusul, folosești $1 - 2 sin^{2} x$ . Forma cu diferența de pătrate e bună când ai deja ambele valori sau când vrei să factorizezi, pentru că $cos^{2} x - sin^{2} x = (cos x - sin x) (cos x + sin x)$ .

După ce ai calculat $sin 2 x$ și $cos 2 x$ , ai la îndemână un control gratuit: pentru unghiul $2 x$ trebuie să fie adevărată tot formula fundamentală, $sin^{2} 2 x + cos^{2} 2 x = 1$ . Dacă suma pătratelor nu iese $1$ , ai greșit un calcul, chiar dacă nu știi încă unde.

Observația cea mai utilă de aici este că formele doi și trei conțin numai pătrate. Semnul lui $sin x$ sau al lui $cos x$ dispare la ridicarea la pătrat, deci cosinusul unghiului dublu se poate calcula fără să știi în ce cadran este $x$ . Cu sinusul unghiului dublu lucrurile stau altfel, cum vei vedea imediat.

3. Cum decid semnele când știu doar sinusul?

Să presupunem că știi $sin x = \frac{4}{9}$ . Cosinusul lui $2 x$ iese direct din a treia formă: $cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{16}{81} = \frac{49}{81}$ . Nu ai folosit nicio informație despre poziția lui $x$ .

Pentru $sin 2 x$ ai nevoie de $cos x$ , iar formula fundamentală ți-l dă numai până la semn: $cos^{2} x = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ , deci $cos x$ poate fi $\frac{65}{9}$ sau $- \frac{65}{9}$ . Enunțul trebuie să spună unde se află $x$ . Dacă $x \in (\frac{π}{2}, π)$ , cadranul al doilea, cosinusul este negativ, deci $cos x = - \frac{65}{9}$ , iar produsul $2 sin x cos x$ va fi negativ. Dacă același sinus ar fi venit cu $x$ în primul cadran, produsul ar fi fost pozitiv, cu aceeași valoare absolută.

De aici regula de lucru pentru orice exercițiu cu date: scrii întâi intervalul lui $x$ , decizi semnul funcției lipsă, abia apoi înmulțești. Pasul nu e o formalitate de redactare, pentru că schimbă răspunsul.

Intervalul mai are un rol: el trebuie să se potrivească și cu funcția dată. Dacă un enunț ar da un sinus pozitiv și ar pune $x$ în al treilea cadran, unde sinusul e negativ, datele s-ar contrazice și niciun unghi nu le-ar satisface. Înainte de calcul verifici, deci, și semnul funcției cunoscute; controlul te ajută să prinzi o greșeală de copiere în propria rezolvare, înainte ca ea să se propage în toate calculele următoare.

4. În ce interval se află dublul unui unghi?

Dacă $x$ se află într-un interval, $2 x$ se află în intervalul cu capetele dublate. De exemplu, din $\frac{5 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ rezultă, înmulțind cu $2$ , $\frac{5 π}{2} < 2 x < 3 π$ . Intervalul lui $2 x$ are lungimea dublă față de al lui $x$ , deci un cadran întreg pentru $x$ înseamnă o jumătate de tură pentru $2 x$ , adică două cadrane.

Când intervalul lui $2 x$ trece de $2 π$ , scazi o tură întreagă ca să vezi pe cerc unde ajunge punctul. Intervalul $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ se citește ca $(\frac{π}{2}, π)$ după o tură, adică al doilea cadran: sinusul pozitiv, cosinusul negativ. În traseul de bază, pe $[0, 2 π]$ , un asemenea unghi n-ar fi avut loc; în cadrul examenului 2027–2029, pe $R$ , el are valori bine definite, aceleași ca ale unghiului cu o tură mai mic.

Uneori intervalul lui $2 x$ acoperă două cadrane, iar numai semnele calculate decid care dintre ele este. Dacă $x$ e în al doilea cadran, adică $\frac{π}{2} < x < π$ , atunci $π < 2 x < 2 π$ : dublul poate fi în al treilea sau în al patrulea cadran. Sinusul lui $2 x$ e negativ în ambele, deci nu te ajută; cosinusul lui $2 x$ decide, pozitiv pentru al patrulea cadran, negativ pentru al treilea. Asta e o altă ocazie în care $cos 2 x$ , calculat fără cadran, îți dă o informație pe care intervalul singur nu o are.

Semnele lui $sin 2 x$ și $cos 2 x$ , calculate din formule, trebuie să se potrivească cu intervalul lui $2 x$ . Dacă nu se potrivesc, ai greșit un semn pe drum. Controlul acesta este gratuit și prinde cele mai multe greșeli.

Pentru x între 5π/4 și 3π/2, dublul 2x ajunge între 5π/2 și 3π: după o tură completă, punctul lui 2x stă în al doilea cadran.

5. Cum se calculează tangenta unghiului dublu?

La M2 tangenta unghiului dublu se obține direct din definiția tangentei, ca raport:

$tg 2 x = \frac{sin 2 x}{cos 2 x}, cu condi ț ia cos 2 x \neq = 0.$

Nu ai nevoie de o formulă separată. Calculezi $sin 2 x$ și $cos 2 x$ cu formulele de mai sus, apoi le împarți. Condiția spune că $2 x$ nu poate fi $\frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ sau oricare alt unghi cu cosinusul zero; pe $R$ acestea sunt $\frac{π}{2} + k π$ , cu $k \in Z$ , adică exact punctele pe care le exclude domeniul tangentei pe toată axa reală, descris în funcția cotangentă și periodicitatea la M2, privite acum pentru argumentul $2 x$ .

O capcană de domeniu: $x$ poate fi un unghi pentru care $tg x$ nu există, iar $tg 2 x$ să existe. Pentru $x = \frac{π}{2}$ , tangenta lui $x$ nu are sens, dar $2 x = π$ și $tg π = 0$ . Raportul $\frac{sin 2 x}{cos 2 x}$ nu întreabă nimic despre $tg x$ , deci îl poți folosi fără grijă.

6. Unde apare unghiul dublu în modele din științe?

Revino la paravanul de pe terasă, privit de sus. Foile au aceeași lățime $L$ , iar fiecare face unghiul $θ$ cu axa de simetrie a paravanului, dreapta care pleacă din balama printre cele două foi. Colțul ferit, închis de foi și de dreapta care le unește marginile libere, este un triunghi isoscel cu două laturi de lungime $L$ și unghiul dintre ele de $2 θ$ . Din aria triunghiului cu formula sinusului la M2, aria colțului este

$S = \frac{1}{2} L^{2} sin 2 θ = L^{2} sin θ cos θ .$

Cele două scrieri spun același lucru din două unghiuri de vedere. Prima arată că aria depinde de deschiderea totală $2 θ$ și este cea mai mare atunci când $sin 2 θ = 1$ , adică atunci când foile sunt perpendiculare între ele. A doua arată cum calculezi aria dacă ai măsurat înclinarea unei singure foi și știi $sin θ$ : îți trebuie și $cos θ$ , pe care îl scoți din formula fundamentală, cu semnul plus, fiindcă $θ$ este un unghi ascuțit.

Modelul are un domeniu de valabilitate: $0 < 2 θ < π$ . Pentru un unghi de deschidere de $0$ foile ar fi lipite, iar pentru $π$ paravanul ar fi întins într-un singur perete drept; în ambele capete aria iese $0$ , iar formula spune asta singură.

Unghiul dublu apare și în optică. Lumina polarizată care trece printr-un filtru polarizant, numit analizor, rotit cu unghiul $φ$ față de direcția de polarizare, iese cu intensitatea $I = I_{0} cos^{2} φ$ , unde $I_{0}$ este intensitatea care intră; aceasta este legea lui Malus. Într-un polarimetru, instrumentul cu care chimiștii măsoară concentrația unei soluții de zahăr, analizorul se poate roti în pași egali. După doi pași de câte $θ$ unghiul total este $2 θ$ , iar $cos 2 θ$ se calculează din valoarea măsurată pentru un singur pas, cu una dintre formele de mai sus, fără să afli unghiul.

Paravanul văzut de sus: foile de lățime L fac fiecare unghiul θ cu axa de simetrie, deci unghiul de la balama este 2θ, iar aria colțului ferit este ½·L²·sin 2θ.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dublul unui unghi din al patrulea cadran

Se știe că $cos x = \frac{9}{10}$ și $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ . Calculați $sin 2 x$ și $cos 2 x$ , apoi precizați în ce interval de lungime $\frac{π}{2}$ se află $2 x$ .

Rezolvare. În al patrulea cadran sinusul este negativ. Din formula fundamentală, $sin^{2} x = 1 - \frac{81}{100} = \frac{19}{100}$ , deci $sin x = - \frac{19}{10}$ . Atunci

$sin 2 x = 2 \cdot (- \frac{19}{10}) \cdot \frac{9}{10} = - \frac{9 19}{50}, cos 2 x = 2 \cdot \frac{81}{100} - 1 = \frac{31}{50} .$

Pentru cosinus am folosit forma care cere numai $cos x$ . Din $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ rezultă $3 π < 2 x < 4 π$ . Sinusul dublului e negativ, iar cosinusul pozitiv, deci $2 x \in (\frac{7 π}{2}, 4 π)$ : după ce scazi o tură completă, punctul stă în al patrulea cadran. Control: $\frac{81 \cdot 19}{2500} + \frac{961}{2500} = \frac{1539 + 961}{2500} = 1$ .

Exemplul 2 — Găsește greșeala: semnul cosinusului

Un elev are de calculat $sin 2 x$ și $cos 2 x$ știind că $sin x = - \frac{7}{11}$ și $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ . El scrie: „ $cos x = - \frac{6 2}{11}$ , fiindcă și sinusul e negativ, deci $sin 2 x = \frac{84 2}{121}$ ”. Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Greșeala este semnul cosinusului. Elevul a copiat semnul sinusului, dar în al patrulea cadran cosinusul este pozitiv. Din $cos^{2} x = 1 - \frac{49}{121} = \frac{72}{121}$ rezultă $cos x = \frac{6 2}{11}$ . Atunci

$sin 2 x = 2 \cdot (- \frac{7}{11}) \cdot \frac{6 2}{11} = - \frac{84 2}{121} .$

Cosinusul dublului nu era afectat de greșeală: $cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{49}{121} = \frac{23}{121}$ . Control pe interval: $3 π < 2 x < 4 π$ , iar un sinus negativ cu un cosinus pozitiv pune $2 x$ în al patrulea cadran al turei a doua, ceea ce se potrivește. Varianta elevului, cu sinusul pozitiv, ar fi pus $2 x$ într-un cadran în care intervalul nu ajunge.

Exemplul 3 — Produse și diferențe comprimate într-o singură valoare

Calculați, fără tabele: a) $2 sin \frac{7 π}{8} cos \frac{7 π}{8}$ ; b) $1 - 2 sin^{2} \frac{7 π}{8}$ ; c) $sin \frac{11 π}{12} cos \frac{11 π}{12}$ .

Rezolvare. Recunoști formulele citite de la dreapta la stânga. a) Expresia are forma $2 sin u cos u$ , cu $u = \frac{7 π}{8}$ , deci este $sin \frac{7 π}{4} = - \frac{2}{2}$ . b) Forma $1 - 2 sin^{2} u$ este $cos 2 u$ , deci rezultatul este $cos \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}$ . c) Aici lipsește factorul $2$ , deci scrii produsul ca jumătate din sinusul dublului:

$sin \frac{11 π}{12} cos \frac{11 π}{12} = \frac{1}{2} sin \frac{11 π}{6} = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} .$

Valoarea $sin \frac{11 π}{6} = - \frac{1}{2}$ vine din formula de reducere pentru $2 π - x$ . Semnul minus e plauzibil: $\frac{11 π}{12}$ e în al doilea cadran, unde sinusul e pozitiv și cosinusul negativ.

Exemplul 4 — Un dublu care trece de o tură

Se știe că $sin x = - \frac{3}{4}$ și $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ . Calculați $sin 2 x$ , $cos 2 x$ și $tg 2 x$ și stabiliți în ce cadran se află punctul asociat lui $2 x$ .

Rezolvare. În al treilea cadran cosinusul este negativ: $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ , deci $cos x = - \frac{7}{4}$ . Produsul a două numere negative este pozitiv:

$sin 2 x = 2 \cdot (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{7}{4}) = \frac{3 7}{8}, cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{16} = - \frac{1}{8} .$

Cum $cos 2 x \neq = 0$ , tangenta există: $tg 2 x = \frac{3 7}{8} : (- \frac{1}{8}) = - 37$ . Din $π < x < \frac{3 π}{2}$ rezultă $2 π < 2 x < 3 π$ , o jumătate de tură după prima tură completă. Sinus pozitiv și cosinus negativ înseamnă că $2 x \in (\frac{5 π}{2}, 3 π)$ , iar punctul asociat este în al doilea cadran.

Exemplul 5 — Colțul ferit de un paravan

Foile unui paravan de vânt au câte $0, 97$ m lățime și $1, 5$ m înălțime. Paravanul stă deschis pe terasă, iar fiecare foaie face cu axa lui de simetrie un unghi $θ$ cu $sin θ = \frac{65}{97}$ . Calculați aria colțului triunghiular dintre foi și dreapta care le unește marginile libere, apoi volumul de aer ferit de paravan.

Rezolvare. Unghiul $θ$ este ascuțit, deci $cos θ = 1 - \frac{4225}{9409} = \frac{72}{97}$ . Sinusul unghiului dintre foi este

$sin 2 θ = 2 \cdot \frac{65}{97} \cdot \frac{72}{97} = \frac{9360}{9409} .$

Aria colțului este $S = \frac{1}{2} \cdot 0, 9 7^{2} \cdot \frac{9360}{9409} = \frac{1}{2} \cdot 0, 9409 \cdot \frac{9360}{9409} = 0, 468$ m². Foile sunt verticale, deci aerul ferit ocupă o prismă cu această bază și cu înălțimea paravanului: $0, 468 \cdot 1, 5 = 0, 702$ m³. Unghiul dintre foi are sinusul foarte aproape de $1$ , deci este aproape drept, iar aria e aproape cea mai mare pe care o pot închide două foi de $0, 97$ m.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul real $x \in (\frac{π}{2}, π)$ cu $sin x = \frac{6}{11}$ . a) Arătați că $cos x = - \frac{85}{11}$ . b) Arătați că $sin 2 x = - \frac{12 85}{121}$ . c) Arătați că $cos 2 x = \frac{49}{121}$ și precizați cadranul punctului asociat lui $2 x$ .

Rezolvare. a) Din formula fundamentală, $cos^{2} x = 1 - \frac{36}{121} = \frac{85}{121}$ . Pe $(\frac{π}{2}, π)$ cosinusul este negativ, deci $cos x = - \frac{85}{11}$ .

b) $sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{6}{11} \cdot (- \frac{85}{11}) = - \frac{12 85}{121}$ .

c) Cum se cunoaște sinusul, se alege forma $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 1 - \frac{72}{121} = \frac{49}{121}$ . Din $\frac{π}{2} < x < π$ rezultă $π < 2 x < 2 π$ ; sinusul negativ și cosinusul pozitiv pun punctul asociat lui $2 x$ în al patrulea cadran. Control: $\frac{12 240}{14 641} + \frac{2 401}{14 641} = 1$ .

Să exersăm

1. Se știe că $sin x = \frac{1}{11}$ și $x \in (0, \frac{π}{2})$ . Calculează $cos x$ , $sin 2 x$ și $cos 2 x$ .

2. Se știe că $cos x = \frac{4}{7}$ , fără alte informații despre $x$ . Calculează $cos 2 x$ , apoi $cos 4 x$ , fără să afli $sin x$ .

3. Calculează $sin \frac{2 π}{3} cos \frac{2 π}{3}$ în două feluri: direct, din valorile de tabel, și cu formula unghiului dublu.

4. Calculează $cos^{2} \frac{5 π}{12} - sin^{2} \frac{5 π}{12}$ .

5. Calculează $2 cos^{2} \frac{5 π}{8} - 1$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru $x = \frac{2 π}{5}$ , numerele $sin 2 x$ și $cos 2 x$ sunt amândouă negative.”

7. Arată că $\frac{sin 2 x}{sin x} - \frac{cos 2 x}{cos x} = \frac{1}{cos x}$ pentru orice $x$ real cu $sin x \neq = 0$ și $cos x \neq = 0$ .

8. Simplifică expresia $E (x) = \frac{cos 2 x}{cos x + sin x} + sin x$ , pentru numerele reale $x$ cu $cos x + sin x \neq = 0$ .

9. Determină numerele $x \in [0, 2 π]$ pentru care $tg 2 x$ nu există.

10. Se știe că $cos x = - \frac{4}{11}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ . Calculează $sin 2 x$ , $cos 2 x$ și $tg 2 x$ , apoi precizează cadranul punctului asociat lui $2 x$ .

11. Arată, fără să calculezi valori, că $sin 2 x < 0$ pentru orice $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ .

12. (Problemă aplicată.) Într-un polarimetru, lumina polarizată cu intensitatea $I_{0} = 64$ W/m² trece printr-un analizor. Analizorul, aliniat la început cu direcția de polarizare, se rotește în doi pași egali, fiecare cu un unghi $θ$ pentru care $sin θ = \frac{1}{4}$ . După legea lui Malus, intensitatea care iese este $I = I_{0} cos^{2} φ$ , unde $φ$ este unghiul total de rotire. Calculează $cos 2 θ$ și intensitatea care iese după al doilea pas.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ cu $cos x = - \frac{2}{7}$ . a) Calculați $sin x$ . b) Arătați că $cos 2 x = - \frac{41}{49}$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(sin 10 5^{\circ} - cos 10 5^{\circ})^{2} = \frac{3}{2}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(sin x + cos x)^{2} - (sin x - cos x)^{2} = 2 sin 2 x$ pentru orice număr real $x$ .

16. Arată că $sin 2 x tg x = 2 sin^{2} x$ pentru orice $x$ real cu $cos x \neq = 0$ .

17. Arată că $sin x cos x \leq \frac{1}{2}$ pentru orice număr real $x$ și determină numerele $x \in [0, 2 π]$ pentru care are loc egalitatea.

18. Se știe că $sin x = \frac{8}{11}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ . Calculează $sin 4 x$ , folosind de două ori formula unghiului dublu.

Răspunsuri și explicații

1. În primul cadran cosinusul e pozitiv: $cos x = 1 - \frac{1}{121} = \frac{2 30}{11}$ . Atunci $sin 2 x = 2 \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{2 30}{11} = \frac{4 30}{121}$ și $cos 2 x = 1 - \frac{2}{121} = \frac{119}{121}$ .

2. Cu forma care folosește numai cosinusul: $cos 2 x = 2 \cdot \frac{16}{49} - 1 = - \frac{17}{49}$ . Aplici aceeași formă unghiului $2 x$ , al cărui dublu este $4 x$ : $cos 4 x = 2 cos^{2} 2 x - 1 = 2 \cdot \frac{289}{2401} - 1 = - \frac{1823}{2401}$ . Nici la al doilea pas nu ai avut nevoie de $sin x$ sau de cadranul lui $x$ .

3. Direct: $\frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$ . Cu unghiul dublu: produsul este jumătate din $sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}$ , deci tot $- \frac{3}{4}$ . Cele două drumuri se controlează reciproc.

4. Diferența de pătrate este cosinusul dublului: $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ .

5. Forma $2 cos^{2} u - 1$ este $cos 2 u$ , deci rezultatul este $cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}$ .

6. Fals. Unghiul $\frac{2 π}{5}$ e în primul cadran, deci $sin x > 0$ și $cos x > 0$ , iar $sin 2 x = 2 sin x cos x$ e pozitiv. Același lucru îl spune intervalul: $2 x = \frac{4 π}{5}$ e în al doilea cadran, unde sinusul e pozitiv și cosinusul negativ. Doar $cos 2 x$ e negativ; nu ai avut nevoie de valorile exacte.

7. Prima fracție este $\frac{2 sin x cos x}{sin x} = 2 cos x$ . Pentru a doua folosești forma cu cosinusul: $\frac{2 cos ^{2} x - 1}{cos x} = 2 cos x - \frac{1}{cos x}$ . Diferența lor este $2 cos x - 2 cos x + \frac{1}{cos x} = \frac{1}{cos x}$ . Condițiile asigură că împărțirile au sens.

8. Scrii $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = (cos x - sin x) (cos x + sin x)$ și simplifici prin $cos x + sin x$ , nenul prin ipoteză. Rămâne $E (x) = cos x - sin x + sin x = cos x$ .

9. Tangenta lui $2 x$ nu există exact când $cos 2 x = 0$ . Din $x \in [0, 2 π]$ rezultă $2 x \in [0, 4 π]$ , iar pe acest interval cosinusul se anulează în $\frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ , $\frac{5 π}{2}$ și $\frac{7 π}{2}$ . Împărțind la $2$ , numerele căutate sunt $\frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $\frac{5 π}{4}$ și $\frac{7 π}{4}$ . În toate patru numerele tangenta lui $x$ există; lipsește numai tangenta dublului.

10. În al doilea cadran sinusul e pozitiv: $sin x = 1 - \frac{16}{121} = \frac{105}{11}$ . Atunci $sin 2 x = 2 \cdot \frac{105}{11} \cdot (- \frac{4}{11}) = - \frac{8 105}{121}$ , $cos 2 x = 2 \cdot \frac{16}{121} - 1 = - \frac{89}{121}$ și $tg 2 x = \frac{8 105}{89}$ . Din $\frac{π}{2} < x < π$ rezultă $π < 2 x < 2 π$ ; ambele valori sunt negative, deci punctul lui $2 x$ este în al treilea cadran.

11. Pe $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$ sinusul este negativ și cosinusul pozitiv, deci produsul $2 sin x cos x$ este negativ. Același lucru îl spune intervalul: $3 π < 2 x < 4 π$ , adică a doua jumătate a turei a doua, unde sinusul e negativ.

12. După doi pași, $φ = 2 θ$ . Cu forma care folosește sinusul, $cos 2 θ = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{7}{8}$ , deci $I = 64 \cdot (\frac{7}{8})^{2} = 64 \cdot \frac{49}{64} = 49$ W/m². Rezultatul este pozitiv și mai mic decât $64$ W/m², cum trebuie pentru lumina care trece printr-un filtru.

13. a) În al treilea cadran sinusul este negativ: $sin x = - 1 - \frac{4}{49} = - \frac{3 5}{7}$ . b) Cu forma care folosește cosinusul: $cos 2 x = 2 \cdot \frac{4}{49} - 1 = - \frac{41}{49}$ .

14. Dezvolți pătratul: $sin^{2} 10 5^{\circ} + cos^{2} 10 5^{\circ} - 2 sin 10 5^{\circ} cos 10 5^{\circ} = 1 - sin 21 0^{\circ}$ . Cum $sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , rezultatul este $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

15. Dezvolți: $(sin x + cos x)^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ și $(sin x - cos x)^{2} = 1 - 2 sin x cos x$ . Diferența este $4 sin x cos x = 2 sin 2 x$ .

16. $sin 2 x tg x = 2 sin x cos x \cdot \frac{sin x}{cos x} = 2 sin^{2} x$ ; simplificarea prin $cos x$ e permisă, fiindcă $cos x \neq = 0$ .

17. Din formula sinusului dublu, $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ , iar un sinus nu depășește $1$ , deci $sin x cos x \leq \frac{1}{2}$ . Egalitatea cere $sin 2 x = 1$ . Pentru $x \in [0, 2 π]$ avem $2 x \in [0, 4 π]$ , unde sinusul ia valoarea $1$ în $\frac{π}{2}$ și în $\frac{5 π}{2}$ , deci $x = \frac{π}{4}$ sau $x = \frac{5 π}{4}$ . Al doilea număr apare numai pentru că $2 x$ trece de o tură.

18. $cos x = - 1 - \frac{64}{121} = - \frac{57}{11}$ , deci $sin 2 x = 2 \cdot \frac{8}{11} \cdot (- \frac{57}{11}) = - \frac{16 57}{121}$ și $cos 2 x = 1 - \frac{128}{121} = - \frac{7}{121}$ . Aplici încă o dată formula, pentru unghiul $2 x$ : $sin 4 x = 2 \cdot (- \frac{16 57}{121}) \cdot (- \frac{7}{121}) = \frac{224 57}{14 641}$ .

De reținut

Unghiul dublu: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ și $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ , pentru orice $x$ real; toate vin din formulele de adunare cu $a = b = x$ .
Cosinusul dublului se calculează din $sin x$ sau din $cos x$ singure, fără cadran; sinusul dublului cere semnul funcției lipsă, decis din intervalul lui $x$ .
Intervalul lui $2 x$ se obține dublând capetele intervalului lui $x$ ; pe $R$ el poate trece de $2 π$ , iar semnele se citesc după ce scazi ture întregi.
Tangenta dublului se calculează ca raport, $tg 2 x = \frac{sin 2 x}{cos 2 x}$ , numai când $cos 2 x \neq = 0$ .
Controlul gratuit: după calcul, $sin^{2} 2 x + cos^{2} 2 x$ trebuie să dea $1$ ; o sumă diferită arată o greșeală, chiar dacă nu știi încă unde.

Greșeli frecvente

Cadranul lui $2 x$ ghicit din numele cadranului lui $x$ . „ $x$ e în primul cadran, deci și $2 x$ ” e fals: din $0 < x < \frac{π}{2}$ rezultă doar $0 < 2 x < π$ , iar $2 x$ poate fi în al doilea cadran. Dublezi capetele intervalului, nu eticheta.
Semnul cosinusului copiat de la sinus. Formula fundamentală dă $cos x$ numai până la semn. Semnul vine din cadranul lui $x$ , iar în cadranele al doilea și al patrulea sinusul și cosinusul au semne opuse.
Confuzia dintre $sin 2 x$ și $sin^{2} x$ . Primul este sinusul unghiului dublu, al doilea este pătratul sinusului lui $x$ . Pentru $x = \frac{π}{2}$ ele valorează $0$ , respectiv $1$ , deci nu pot fi schimbate între ele.
Tangenta dublului „dublată”. Se scrie „ $tg 2 x = 2 tg x$ ”. Pentru $x = \frac{π}{6}$ , membrul stâng este $tg \frac{π}{3} = 3$ , iar membrul drept $\frac{2 3}{3}$ . La M2 tangenta dublului se calculează ca raport, după ce ai aflat $sin 2 x$ și $cos 2 x$ .
Unghiul $2 x$ declarat „în afara cercului”. Când $2 x$ trece de $2 π$ , unii elevi cred că valorile nu mai există. Pe $R$ ele există: scazi o tură și citești sinusul și cosinusul unghiului rămas.

Aplică acasă

Ochelarii polarizați rotiți în doi pași. Ține o pereche de ochelari de soare polarizați în fața ecranului unui telefon sau al unui laptop, rotește-i cu aproximativ $3 0^{\circ}$ , apoi cu încă $3 0^{\circ}$ , și notează de fiecare dată cât de luminos pare ecranul. Cu legea lui Malus, $I = I_{0} cos^{2} φ$ , calculează fracția $\frac{I}{I _{0}}$ după primul pas și după al doilea, obținând $cos 6 0^{\circ}$ din $cos 3 0^{\circ}$ cu forma $2 cos^{2} θ - 1$ . Compară cu ce ai văzut și spune la ce unghi total ecranul ar trebui să se întunece complet.
Paravanul din carton. Îndoaie o foaie de carton A4 pe mijloc, pe lungime, și așaz-o în picioare pe masă, ca pe un paravan deschis. Privește de sus, măsoară cu raportorul unghiul dintre foi și distanța dintre marginile libere. Calculează aria colțului dintre foi în două feluri: cu $\frac{1}{2} L^{2} sin 2 θ$ și cu baza înmulțită cu înălțimea triunghiului, împărțite la $2$ . Pentru ce deschidere aria e cea mai mare?
Tabelul care verifică formula. Într-o foaie de calcul, pune în prima coloană valori ale lui $x$ din $0, 25$ în $0, 25$ , de la $0$ la $12$ , adică aproape două ture. În coloanele următoare calculează $sin 2 x$ , apoi $2 sin x cos x$ , apoi diferența lor. Diferența trebuie să fie zero pe toate rândurile, inclusiv după $2 π \approx 6, 28$ , unde traseul de bază nu ajunge.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima dintre cele două care derivă din formulele de adunare: unghiul dublu este cazul $a = b$ , iar transformarea sumelor în produse, lecția următoare, adună și scade aceleași formule. Elevul nu are de memorat nimic în plus dacă a înțeles pasul de la sumă la dublu. De urmărit în caiet: intervalul lui $x$ scris înaintea oricărui radical, semnul funcției lipsă justificat printr-un cuvânt („cadranul al treilea, cosinusul negativ”), forma lui $cos 2 x$ aleasă după dată, intervalul lui $2 x$ obținut prin dublarea capetelor. Întrebări de control: „Poți calcula $cos 2 x$ dacă știi doar $sin x$ ?”; „Unde este $2 x$ dacă $x$ e în al treilea cadran?”; „De ce tangenta dublului se poate calcula și atunci când $tg x$ nu există?”. Semn că elevul a înțeles: controlează singur semnele rezultatelor cu intervalul lui $2 x$ .

La profilul științe ale naturii tema are sprijin în fizică: pătratul cosinusului apare în legea lui Malus și, mai târziu, în puterea curentului alternativ, iar produsul $sin θ cos θ$ apare ori de câte ori o mărime depinde de două componente ale aceluiași unghi. Deprinderea cea mai utilă este cea din Exemplul 3: recunoașterea formulei de la dreapta la stânga.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a IX-a, în capitolul „Elemente de trigonometrie”, formulele pentru $sin 2 a$ și $cos 2 a$ , alături de formulele de adunare și de transformarea sumei în produs, în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu le mai cuprinde la nicio clasă: la clasa a IX-a rămân formula fundamentală și cele zece formule de reducere, adică unsprezece formule de bază în total. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, singura cerință de trigonometrie este a șasea de la Subiectul I, despre un triunghi dreptunghic și raza cercului circumscris, fără unghi dublu. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține formulele unghiului dublu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: unghiul dublu și continuarea lui spre jumătatea de unghi merge mai departe, spre unghiul pe jumătate, pe care programa M2 nu îl cere. Pe traseul M2, lecția următoare este transformarea sumelor în produse la M2, iar exercițiile de sinteză ale suplimentului sunt în testul M2 de produs scalar și formule trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce diferă la unghiul dublu între M1 și M2? La științe ale naturii (M2) lecția se oprește la sinusul și cosinusul unghiului dublu, la cele trei forme ale cosinusului și la tangenta calculată ca raport. La matematică-informatică (M1) aceeași temă continuă cu unghiul pe jumătate și cu alte formule derivate. Diferența vine din programa de examen: M2 cere doar $sin 2 a$ și $cos 2 a$ .

La ce subiect apare unghiul dublu la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 îl pune în capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a, fără să spună la ce subiect. În modelul oficial publicat pentru 2026, singura cerință de trigonometrie este a șasea de la Subiectul I, despre un triunghi dreptunghic, fără unghi dublu; formulele rămân totuși în lista de conținuturi, deci le exersezi ca pe orice temă din programă.

Am nevoie de cadranul lui x ca să calculez cos 2x? Nu. Formele $2 cos^{2} x - 1$ și $1 - 2 sin^{2} x$ conțin numai pătrate, iar pătratul unui număr nu mai spune semnul numărului. Din $sin x$ singur obții deci o singură valoare pentru $cos 2 x$ . Cadranul devine necesar pentru $sin 2 x$ , unde apare produsul $sin x cos x$ , și pentru controlul final al intervalului în care se află $2 x$ .

Cum aflu în ce cadran se află 2x? Dublezi capetele intervalului în care se află $x$ , apoi scazi ture întregi de $2 π$ până ajungi pe primul cerc. De exemplu, din $π < x < \frac{3 π}{2}$ rezultă $2 π < 2 x < 3 π$ , adică prima jumătate a turei a doua. Semnele lui $sin 2 x$ și $cos 2 x$ precizează apoi cadranul exact.

Cum se calculează tg 2x la M2? Ca raport între $sin 2 x$ și $cos 2 x$ , pe care le calculezi întâi cu formulele unghiului dublu. Raportul are sens numai dacă $cos 2 x \neq = 0$ , adică atunci când $2 x$ nu cade într-un punct în care cosinusul se anulează. Metoda merge și atunci când tangenta lui $x$ nu există: pentru $x = \frac{π}{2}$ obții $tg π = 0$ .

Unde apare unghiul dublu în științe? În optică, un analizor rotit de două ori cu același unghi $θ$ ajunge la unghiul $2 θ$ , iar legea lui Malus dă intensitatea $I_{0} cos^{2} 2 θ$ ; cosinusul dublului se află direct din valoarea pentru un pas. În practică, aria colțului ferit de un paravan cu foi egale depinde de sinusul unghiului dintre foi, dublul unghiului dintre o foaie și axa paravanului. Formula arată imediat deschiderea cu aria cea mai mare.