Cât face sin75^°+sin15^°?

Semisuma argumentelor este 45^°, iar semidiferența 30^°. Deci sin75^°+sin15^°=2sin45^°cos30^°=2· √2/2· √3/2= √6/2≈1,22. Fără formulă ar fi trebuit calculate separat două valori care nu sunt în tabelul de bază.

Cât face cos105^°+cos15^°?

Semisuma este 60^° și semidiferența 45^°, deci suma este 2cos60^°cos45^°=2· 1/2· √2/2= √2/2. Rezultatul este pozitiv, deși cos105^° este negativ, fiindcă cos15^° este mai mare în modul. Proba numerică: -0,259+0,966≈0,707.

Ce amplitudine are suma a două unde defazate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sume în produse

Două oscilații cu aceeași amplitudine $A$ , decalate cu faza $φ$ , se adună după formula sumei de sinusuri: $A sin ω t + A sin (ω t + φ) = 2 A cos \frac{φ}{2} sin (ω t + \frac{φ}{2})$ . Amplitudinea rezultată este $2 A cos \frac{φ}{2}$ . Exemplu: pentru $A = 3$ cm și $φ = \frac{π}{3}$ , ea este $6 cos \frac{π}{6} = 33 \approx 5, 2$ cm. Fără decalaj ar fi $6$ cm. Amplitudinea depinde doar de decalajul dintre unde, nu de momentul în care pornește fiecare.

O sumă sau o diferență de două sinusuri, ori de două cosinusuri, se poate rescrie ca produs. În toate cele patru formule apar semisuma $\frac{p + q}{2}$ și semidiferența $\frac{p - q}{2}$ : $sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ , iar la diferența de cosinusuri produsul de sinusuri are minus în față. Formulele se obțin adunând și scăzând formulele pentru sinusul și cosinusul sumei și diferenței, apoi schimbând notația.

Pe axa reală semidiferența poate ieși negativă; aplici formula așa cum e și scoți semnul la final, știind că sinusul schimbă semnul argumentului, iar cosinusul nu. Produsul arată ce ascunde suma: semnul ei, valoarea exactă atunci când semisuma și semidiferența sunt unghiuri cunoscute, sau faptul că se anulează. În fizică, suma a două unde egale, una întârziată față de cealaltă cu unghiul $φ$ , este tot o undă, cu factorul $2 A cos \frac{φ}{2}$ în față; mărimea rezultatului depinde doar de întârziere, nu de momentul în care pornește fiecare undă. Formula se aplică numai când cei doi termeni au același coeficient și aceeași funcție.

De reținut

$sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
$cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$
două unde egale defazate cu $φ$ dau amplitudinea $2 A cos \frac{φ}{2}$

Greșeala tipică

Se adună amplitudinile a două unde defazate ca și cum ar fi în fază și se obține $2 A$ ; decalajul micșorează rezultatul prin factorul $cos \frac{φ}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt semisuma și semidiferența argumentelor în suma $cos 11 x + cos 5 x$ ?
- a) $16 x$ și $6 x$
- b) $3 x$ și $8 x$
- c) $8 x$ și $3 x$
- d) $8 x$ și $8 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8 x$ și $3 x$

Semisuma este $\frac{11 x + 5 x}{2} = 8 x$ , iar semidiferența $\frac{11 x - 5 x}{2} = 3 x$ ; suma devine $2 cos 8 x cos 3 x$ .
Cum se scrie ca produs $sin 11 x + sin 3 x$ ?
- a) $2 sin 4 x cos 7 x$
- b) $2 sin 7 x cos 4 x$
- c) $2 cos 7 x cos 4 x$
- d) $2 sin 14 x cos 8 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2 sin 7 x cos 4 x$

Semisuma este $\frac{11 x + 3 x}{2} = 7 x$ , semidiferența $\frac{11 x - 3 x}{2} = 4 x$ , deci $2 sin 7 x cos 4 x$ .
Cât este $cos 28 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ}$ ?
- a) $- \frac{6}{2}$
- b) $\frac{6}{2}$
- c) $\frac{2}{2}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{6}{2}$

Semisuma $15 0^{\circ}$ , semidiferența $13 5^{\circ}$ : $2 cos 15 0^{\circ} cos 13 5^{\circ} = 2 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{2}{2}) = \frac{6}{2}$ .

Întrebări conexe

Cât face $sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ}$ ?

Semisuma argumentelor este $4 5^{\circ}$ , iar semidiferența $3 0^{\circ}$ . Deci $sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{2} \approx 1, 22$ . Fără formulă ar fi trebuit calculate separat două valori care nu sunt în tabelul de bază.

Când se anulează suma a două unde egale?

Amplitudinea $2 A cos \frac{φ}{2}$ este zero când $cos \frac{φ}{2} = 0$ , adică la $φ = π$ : undele sunt în opoziție de fază și se sting reciproc. Aceasta este interferența distructivă, folosită de căștile care reduc zgomotul.

Cum scriu $cos 5 x - cos x$ ca produs?

Diferența de cosinusuri are minus în față: $cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$ . Aici $cos 5 x - cos x = - 2 sin 3 x sin 2 x$ . Proba la $x = \frac{π}{6}$ : stânga dă $- 3$ , dreapta $- 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = - 3$ . Minusul din față vine din scăderea formulei lui $cos (a - b)$ din cea a lui $cos (a + b)$ .

Ce frecvență au bătăile a două sunete cu frecvențe apropiate?

Pentru $440$ Hz și $444$ Hz, suma $sin (2 π \cdot 440 t) + sin (2 π \cdot 444 t)$ devine $2 cos (2 π \cdot 2 t) sin (2 π \cdot 442 t)$ . Se aude un sunet de $442$ Hz a cărui intensitate crește și scade de $4$ ori pe secundă, adică de un număr de ori egal cu diferența frecvențelor.

Cât face $cos 10 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ}$ ?

Semisuma este $6 0^{\circ}$ și semidiferența $4 5^{\circ}$ , deci suma este $2 cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}$ . Rezultatul este pozitiv, deși $cos 10 5^{\circ}$ este negativ, fiindcă $cos 1 5^{\circ}$ este mai mare în modul. Proba numerică: $- 0, 259 + 0, 966 \approx 0, 707$ .

Oamenii mai întreabă și: suma a două oscilații defazate · amplitudinea rezultantă a două unde · interferența a două unde egale · 2A cos de fi supra 2