Reducerea la primul cadran: formulele pentru π − x (M2, științe ale naturii)

Un calculator de buzunar, un tabel tipărit sau o aplicație dau fără efort valorile sinusului și cosinusului pentru unghiuri ascuțite. Problemele de fizică și de geometrie aduc însă și arce mai mari decât un sfert de tură, iar semnul greșit al unui cosinus schimbă sensul unei componente sau lungimea unei laturi. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), programa cere formulele de reducere, începând cu cele pentru $\pi -x$, argumentate pe cercul trigonometric. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen conține explicit „Reducerea la primul cadran”, în capitolul „Elemente de trigonometrie”; modelul oficial publicat are o cerință de trigonometrie la Subiectul I.

Folosim formula fundamentală a trigonometriei și graficele funcțiilor sinus și cosinus, studiate chiar înainte. Lecția de față tratează numai arcele de forma $\pi -x$, adică trecerea dintre cadranul I și cadranul al II-lea; celelalte simetrii ale cercului primesc lecții proprii.

Ce vei învăța

• Vei argumenta pe cercul trigonometric formulele $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$, pornind de la o simetrie.
• Vei scrie un arc din cadranul al II-lea, dat în grade sau în radiani, sub forma $\pi -x$, cu $x$ din primul cadran.
• Vei calcula valori exacte pentru arcele remarcabile și valori aproximative, cu un instrument digital, pentru arcele oarecare.
• Vei controla fiecare rezultat cu semnele din cadranul al II-lea, înainte de a-l folosi mai departe.
• Vei recunoaște formula pe graficul sinusului și pe cel al cosinusului.
• Vei folosi reducerea în modele cu poziții simetrice și în calcule cerute în forma „arătați că”.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de o reducere pentru cadranul al II-lea?

Valorile exacte pe care le știi sunt ale arcelor din primul cadran și ale celor de pe axe. Tabelele și aplicațiile lucrează cel mai simplu tot acolo. Un arc din cadranul al II-lea are însă un „frate” în primul cadran, legat de el printr-o simetrie a cercului. Dacă descoperim legătura, nu mai avem nevoie de valori noi.

Reducerea la primul cadran este procedeul prin care valorile funcțiilor trigonometrice ale unui arc dintr-un alt cadran se exprimă prin valorile unui arc din intervalul $[0,\pi /2]$. Pentru cadranul al II-lea, arcul din primul cadran este $\pi$ minus arcul dat.

Procedeul are trei pași: localizezi arcul pe cerc, scrii arcul corespunzător din primul cadran și aplici formula, care spune ce se păstrează și ce își schimbă semnul. Formula vine din geometria cercului, nu dintr-o convenție, iar în lecția aceasta o obținem din coordonate.

2. Unde se află pe cerc punctul asociat lui π − x?

Fie $x$ un arc din primul cadran și $P_1$ punctul lui pe cercul trigonometric. Pentru a ajunge la arcul $\pi -x$, parcurgi o jumătate de tură, până în punctul $(-1,0)$, apoi te întorci cu arcul $x$. Punctul obținut, $P_2$, se află la aceeași distanță pe cerc de $(-1,0)$ cât se află $P_1$ de $(1,0)$.

Altfel spus, $P_1$ pleacă din capătul drept al diametrului orizontal și urcă pe cerc cu arcul $x$, în sens trigonometric. $P_2$ pleacă din capătul stâng și urcă cu același arc, dar în sensul acelor de ceasornic. Cele două drumuri sunt imagini în oglindă unul al celuilalt, iar oglinda este axa verticală.

În figură, $P_1$ corespunde lui $52^{\circ }$, iar $P_2$ lui $128^{\circ }=180^{\circ }-52^{\circ }$. Cele două puncte sunt la aceeași înălțime, iar segmentul care le unește este orizontal și este tăiat în jumătăți egale de axa $Oy$. Cu alte cuvinte, $P_2$ este simetricul lui $P_1$ față de axa $Oy$. Faptul geometric a fost stabilit în lecția despre cercul trigonometric și punctele asociate; aici îl transformăm în formule.

3. Cum rezultă formulele din coordonatele celor două puncte?

Simetricul unui punct $(a,b)$ față de axa $Oy$ este punctul $(-a,b)$: ordonata se păstrează, iar abscisa trece la opusul ei. Punctul asociat lui $x$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$, deci simetricul lui are coordonatele $(-\cos x,\sin x)$.

Același punct se scrie și ca punctul asociat lui $\pi -x$, adică $(\cos (\pi -x),\sin (\pi -x))$. Două scrieri ale aceluiași punct au coordonatele egale, deci $$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi -x)=-\cos x.$$

Raționamentul nu a folosit faptul că $x$ este în primul cadran: simetria față de $Oy$ leagă punctele lui $x$ și $\pi -x$ oriunde s-ar afla ele pe cerc. Pentru $x$ din $[0,\pi ]$, ambele arce sunt în $[0,2\pi ]$. Pentru $x$ mai mare decât $\pi$, numărul $\pi -x$ devine negativ și iese din intervalul $[0,2\pi ]$ pe care lucrăm în clasa a IX-a (vezi lecția despre cercul trigonometric); acele arce se reduc cu formulele lecției următoare. Prin urmare, în lecția aceasta formulele se aplică pentru $x\in [0,\pi ]$.

4. Cum scriem un arc din cadranul al II-lea sub forma π − x?

În grade, scazi arcul din $180^{\circ }$. În radiani, scazi arcul din $\pi$, după ce aduci $\pi$ la numitorul fracției. De exemplu, $\pi -\frac{9\pi }{14}=\frac{14\pi -9\pi }{14}=\frac{5\pi }{14}$, deci $\frac{9\pi }{14}=\pi -\frac{5\pi }{14}$.

Controlul se face pe două căi. Arcul obținut trebuie să fie între $0$ și $\pi /2$, iar suma dintre el și arcul dat trebuie să fie exact $\pi$. Dacă obții un arc mai mare decât $\pi /2$, arcul inițial nu era în cadranul al II-lea, iar formula pentru $\pi -x$ nu te aduce în primul cadran.

Arcul $\pi -x$ se numește suplementul lui $x$, iar în grade suplementul unui unghi $\alpha$ este $180^{\circ }-\alpha$. Nu îl confunda cu complementul, $90^{\circ }-\alpha$, care leagă sinusul de cosinus și are formulele lui, într-o lecție separată. Aici, suma celor două arce este întotdeauna o jumătate de tură.

Pentru arcele date ca numere fără $\pi$, compară-le cu $\pi /2\approx 1,5708$ și cu $\pi \approx 3,1416$. Un număr între acestea este în cadranul al II-lea, iar arcul redus este $\pi$ minus el, calculat cu suficiente zecimale ca să nu pierzi precizie la pasul următor.

5. Ce semne trebuie să iasă?

În cadranul al II-lea, punctul de pe cerc este deasupra axei $Ox$ și la stânga axei $Oy$. Sinusul este deci pozitiv, iar cosinusul negativ. Formulele respectă automat aceste semne: pentru $x$ din primul cadran, $\sin x>0$ se păstrează, iar $\cos x>0$ devine $-\cos x<0$.

Minusul din formula cosinusului nu este un detaliu de memorat separat; el este chiar semnul cadranului al II-lea. Dacă după reducere obții un cosinus pozitiv pentru un arc obtuz, ai greșit formula sau calculul arcului redus. Controlul acesta durează o secundă și se face la fiecare exercițiu, ca în lecția despre semnele pe cadrane la M2.

6. Cum se vede formula pe graficele funcțiilor?

Pe graficul sinusului, punctele de abscise $x$ și $\pi -x$ sunt așezate simetric față de $\pi /2$: unul este la stânga lui $\pi /2$, celălalt la aceeași distanță la dreapta. Formula $\sin (\pi -x)=\sin x$ spune că au aceeași înălțime. De aceea porțiunea sinusoidei de pe $[0,\pi ]$ este simetrică față de dreapta verticală $x=\pi /2$, iar o dreaptă orizontală o taie în perechi de puncte cu abscise care însumează $\pi$.

Pe graficul cosinusului, aceleași două abscise dau înălțimi opuse. Porțiunea de pe $[0,\pi ]$ este simetrică față de punctul $(\pi /2,0)$, nu față de o dreaptă verticală: dacă întorci curba cu o jumătate de rotație în jurul acestui punct, ea se suprapune peste ea însăși.

Imaginea grafică ajută la verificare. Când ai de găsit al doilea punct în care sinusul ia o valoare dată pe $[0,\pi ]$, îl obții scăzând primul punct din $\pi$. Aceasta este legătura cu numărarea soluțiilor pe grafic din lecția anterioară: acum le putem și calcula.

7. Ce facem cu arcele care nu sunt valori de bază?

Nota programei permite folosirea tabelelor și a mijloacelor digitale pentru valorile funcțiilor trigonometrice în aplicații. Reducerea rămâne utilă și atunci: ea spune semnul fără calculator și mută calculul în primul cadran, unde tabelele sunt organizate.

Pentru arcul $\frac{9\pi }{14}$ de mai sus, reducerea dă $\sin \frac{9\pi }{14}=\sin \frac{5\pi }{14}\approx 0,9010$ și $\cos \frac{9\pi }{14}=-\cos \frac{5\pi }{14}\approx -0,4339$. Aplicația poate da direct aceleași numere, dar semnul și ordinul de mărime se știu dinainte, iar o eroare de introducere se observă imediat.

Aproximările se rotunjesc, nu se trunchiază, iar semnul $\approx$ rămâne în scriere până la final. Când rezultatul intră într-un calcul mai lung, păstrează patru zecimale și rotunjește abia la răspuns.

8. Unde întâlnim perechi de arce x și π − x în științe?

În problemele de deplasare din această lecție, o direcție orizontală se descrie prin unghiul pe care îl face cu direcția est, măsurat în sens trigonometric, exact ca pe cercul trigonometric. Direcțiile $x$ și $\pi -x$ sunt atunci oglindite față de axa nord–sud. O deplasare de aceeași lungime pe cele două direcții are aceeași componentă spre nord și componente est–vest opuse.

Același tipar apare la orice mecanism care se leagănă simetric față de verticală: pozițiile extreme ale unui braț, ale unei pârghii sau ale unei lămpi suspendate. Înălțimea capătului, dată de sinus, este aceeași în ambele poziții; abaterea orizontală, dată de cosinus, își schimbă semnul. Formulele lecției sunt limbajul exact al acestei simetrii.

Atenție la convenții. În navigație și în meteorologie se lucrează altfel: direcțiile se măsoară de la nord, în sensul acelor de ceasornic, iar direcția vântului se raportează ca direcția din care bate. În exercițiile noastre unghiul este măsurat de la est, în sens trigonometric, și descrie direcția în care se mișcă aerul. Citește convenția din enunț înainte de a scrie componentele: aceeași direcție reală poate avea numere diferite în convenții diferite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un unghi oarecare, cu instrumentul digital

Calculează $\sin 123^{\circ }$ și $\cos 123^{\circ }$ cu patru zecimale, folosind reducerea la primul cadran și valorile pentru arcul redus.

Rezolvare. Arcul $123^{\circ }$ este între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$, deci în cadranul al II-lea. Scriem $123^{\circ }=180^{\circ }-57^{\circ }$. Tabelul sau aplicația dau $\sin 57^{\circ }\approx 0,8387$ și $\cos 57^{\circ }\approx 0,5446$.

Prin reducere, $\sin 123^{\circ }=\sin 57^{\circ }\approx 0,8387$ și $\cos 123^{\circ }=-\cos 57^{\circ }\approx -0,5446$. Semnele sunt cele ale cadranului al II-lea: sinusul pozitiv, cosinusul negativ. Valorile rămân scrise cu $\approx$, fiindcă $57^{\circ }$ nu este un arc de bază.

Exemplul 2 — Tabelul arcelor remarcabile din cadranul al II-lea

Completează valorile sinusului și cosinusului pentru $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{6}$, apoi verifică formula fundamentală pe coloana lui $\frac{5\pi }{6}$.

Rezolvare. Arcele reduse sunt $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$, $\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$ și $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$.

Pe ultima coloană, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. Linia sinusurilor este linia primului cadran citită de la dreapta la stânga, iar linia cosinusurilor este aceeași citire, cu semnul schimbat. Tabelul nu trebuie memorat separat: el se reface în câteva secunde din tabelul primului cadran și din cele două formule.

Exemplul 3 — Ștergătorul de parbriz

Brațul unui ștergător de parbriz are lungimea de $50$ cm și se rotește în jurul unui ax fix. Pozițiile lui extreme fac cu direcția orizontală spre dreapta unghiurile $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$. La ce înălțime față de ax este capătul brațului în fiecare poziție extremă și ce distanță separă cele două poziții ale capătului?

Rezolvare. Capătul are coordonatele $(50\cos x,50\sin x)$ față de ax. Pentru $x=\frac{\pi }{6}$, înălțimea este $50\sin \frac{\pi }{6}=25$ cm. Pentru $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, formula dă $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}$, deci aceeași înălțime, $25$ cm.

Abaterile orizontale sunt $50\cos \frac{\pi }{6}=25\sqrt{3}$ cm spre dreapta și $50\cos \frac{5\pi }{6}=-25\sqrt{3}$ cm, adică spre stânga. Cele două poziții sunt la aceeași înălțime, deci distanța dintre ele este diferența abscisei: $25\sqrt{3}-(-25\sqrt{3})=50\sqrt{3}\approx 86,60$ cm. Semnul minus al cosinusului a arătat de ce parte a axului se află capătul. Modelul presupune că brațul se rotește într-un plan și că unghiurile sunt măsurate față de orizontala care trece prin ax; pe un parbriz real, înclinat, distanța măsurată pe sticlă este aceeași, fiindcă mișcarea are loc în planul parbrizului.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: cosinusul „împărțit” pe diferență

Un elev scrie: $\cos (\pi -x)=\cos \pi -\cos x=-1-\cos x$. Arată că formula este greșită și scrie forma corectă.

Rezolvare. Cosinusul nu se distribuie peste o diferență de arce. Un singur contraexemplu ajunge: pentru $x=0$, membrul stâng este $\cos \pi =-1$, iar expresia elevului dă $-1-\cos 0=-2$. Cele două numere diferă.

Forma corectă, obținută din simetria față de $Oy$, este $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Pentru $x=0$ ea dă $-1$, exact valoarea lui $\cos \pi$. Aceeași greșeală de „distribuire” apare și la sinus; formula lecției o înlocuiește.

Exemplul 5 — O identitate construită cu ambele formule

Arată că ${\sin }^2(\pi -x)-\cos (\pi -x)\cos x=1$ pentru orice $x\in [0,\pi ]$.

Rezolvare. Înlocuim după formulele de reducere: ${\sin }^2(\pi -x)={\sin }^{2}x$, iar $\cos (\pi -x)\cos x=-\cos x\cdot \cos x=-{\cos }^{2}x$. Expresia devine ${\sin }^{2}x-(-{\cos }^{2}x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Controlul în $x=\pi /2$: ${\sin }^2\frac{\pi }{2}-\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=1-0=1$. Un al doilea control, în $x=0$, dă ${\sin }^{2}0-\cos \pi \cos 0=0+1=1$. Minusul din formula cosinusului s-a combinat cu minusul din expresie și a produs suma din formula fundamentală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $\sin \frac{3\pi }{4}\cdot \cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Rezolvare. Reducem fiecare factor: $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Produsul este $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{4}$, ceea ce trebuia arătat. O redactare completă scrie explicit arcele reduse, pentru că acolo se decide semnul. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte „arătați că” ale probei, fără a prezice un subiect anume.

Să exersăm

La fiecare arc, scrie întâi descompunerea sub forma $\pi -x$ sau $180^{\circ }-x$, apoi valoarea, apoi controlul de semn. Valorile aproximative se rotunjesc la patru zecimale.

1. Scrie fiecare dintre arcele $\frac{11\pi }{15}$, $\frac{5\pi }{7}$ și $\frac{13\pi }{16}$ sub forma $\pi -x$, cu $x$ din primul cadran.

2. Calculează $\sin 166^{\circ }$ și $\cos 166^{\circ }$ cu patru zecimale, prin reducere la primul cadran.

3. Arcul $2,6$ (în radiani) se află în cadranul al II-lea. Scrie $\sin 2,6$ ca sinus al unui arc din primul cadran și dă valoarea cu patru zecimale.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, atunci $\cos (\pi -x)>0$.

5. Calculează $E=2\cos \frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}\sin \frac{2\pi }{3}$.

6. Se știe că $\sin x=\frac{11}{61}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\sin (\pi -x)$ și $\cos (\pi -x)$.

7. Simplifică expresia $F=2\sin (\pi -x)-3\sin x+\cos (\pi -x)$.

8. (Problemă aplicată.) Un balon meteorologic este purtat de vânt $14$ km pe o direcție care face $120^{\circ }$ cu direcția est, măsurat în sens trigonometric. Care sunt componentele deplasării spre est și spre nord? Interpretează semnul.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin \frac{5\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}=1$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\sin }^2\frac{3\pi }{4}+\cos \frac{2\pi }{3}=0$.

11. Ordonează crescător numerele $\sin \frac{7\pi }{12}$, $\sin \frac{3\pi }{4}$ și $\sin \frac{11\pi }{12}$, folosind reducerea și monotonia sinusului pe $[0,\pi /2]$.

12. Arată că $\sin \frac{\pi }{11}-\sin \frac{10\pi }{11}+\cos \frac{\pi }{11}+\cos \frac{10\pi }{11}=0$.

13. Pe intervalul $[0,\pi ]$, ecuația $\sin x=\sin \frac{2\pi }{11}$ are două soluții. Folosind simetria graficului, determină-le.

14. Determină numărul $y\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ pentru care $\cos y=-\cos \frac{3\pi }{13}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin (\pi -x)\cos (\pi -x)=-\sin x\cos x$ pentru orice $x\in [0,\pi ]$ și calculați valoarea expresiei pentru $x=\frac{\pi }{3}$.

16. (Găsește greșeala.) Un elev crede că $\sin (\pi -x)=-\sin x$ și își „verifică” formula pentru $x=0$, unde ambii membri sunt zero. De ce nu dovedește nimic verificarea? Găsește un contraexemplu.

17. Punctele $P$ și $Q$ ale cercului trigonometric sunt asociate arcelor $x$ și $\pi -x$. Arată că $PQ=2|\cos x|$ și calculează $PQ$ pentru $x=\frac{3\pi }{20}$, cu patru zecimale.

18. (Provocare.) Determină numerele $x\in [0,\pi ]$ pentru care ${\sin }^2(\pi -x)=\cos (\pi -x)+1$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{11\pi }{15}=\pi -\frac{4\pi }{15}$, $\frac{5\pi }{7}=\pi -\frac{2\pi }{7}$, $\frac{13\pi }{16}=\pi -\frac{3\pi }{16}$. Fiecare arc redus este mai mic decât $\pi /2$, iar suma cu arcul dat este $\pi$.

2. Unghiul este în cadranul al II-lea, iar $166^{\circ }=180^{\circ }-14^{\circ }$. Deci $\sin 166^{\circ }=\sin 14^{\circ }\approx 0,2419$ și $\cos 166^{\circ }=-\cos 14^{\circ }\approx -0,9703$. Sinusul mic și cosinusul aproape de $-1$ arată un punct apropiat de $(-1,0)$.

3. $\pi -2,6\approx 0,5416$, arc din primul cadran. Atunci $\sin 2,6=\sin (\pi -2,6)\approx 0,5155$, un număr pozitiv, cum cere cadranul al II-lea.

4. Adevărat. Dacă $x$ este în cadranul al II-lea, atunci $\pi -x$ este în primul cadran, unde cosinusul este pozitiv. Același lucru rezultă din formulă: $\cos (\pi -x)=-\cos x$, iar $\cos x<0$ în cadranul al II-lea.

5. Prin reducere, $\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $E=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$. Primul termen e negativ, cum cere cosinusul din cadranul al II-lea.

6. $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{11}{61}$. Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-\frac{121}{3721}=\frac{3600}{3721}$, iar în primul cadran $\cos x=\frac{60}{61}$. Atunci $\cos (\pi -x)=-\frac{60}{61}$.

7. $F=2\sin x-3\sin x-\cos x=-\sin x-\cos x$. Control în $x=0$: $2\sin \pi -3\sin 0+\cos \pi =-1=-\sin 0-\cos 0$.

8. Componenta spre est este $14\cos 120^{\circ }=-14\cos 60^{\circ }=-7$ km, iar componenta spre nord este $14\sin 120^{\circ }=14\sin 60^{\circ }=7\sqrt{3}\approx 12,12$ km. Minusul arată că balonul s-a deplasat spre vest cu $7$ km, în timp ce s-a îndepărtat spre nord cu aproximativ $12,12$ km.

9. $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci suma este $1$.

10. $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\sin }^2\frac{3\pi }{4}=\frac{1}{2}$; $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Suma este $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

11. Prin reducere, $\sin \frac{7\pi }{12}=\sin \frac{5\pi }{12}$, $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}$ și $\sin \frac{11\pi }{12}=\sin \frac{\pi }{12}$. Pe $[0,\pi /2]$ sinusul crește, iar $\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{4}<\frac{5\pi }{12}$. Ordinea crescătoare este $\sin \frac{11\pi }{12}<\sin \frac{3\pi }{4}<\sin \frac{7\pi }{12}$.

12. Arcul $\frac{10\pi }{11}$ este suplementul lui $\frac{\pi }{11}$. Cum $\frac{10\pi }{11}=\pi -\frac{\pi }{11}$, avem $\sin \frac{10\pi }{11}=\sin \frac{\pi }{11}$ și $\cos \frac{10\pi }{11}=-\cos \frac{\pi }{11}$. Termenii se anulează doi câte doi, iar suma este $0$.

13. O soluție este chiar $\frac{2\pi }{11}$. A doua este simetrica ei față de $\pi /2$, adică $\pi -\frac{2\pi }{11}=\frac{9\pi }{11}$, pentru că $\sin \frac{9\pi }{11}=\sin \frac{2\pi }{11}$.

14. Din formulă, $-\cos \frac{3\pi }{13}=\cos \left(\pi -\frac{3\pi }{13}\right)=\cos \frac{10\pi }{13}$, iar $\frac{10\pi }{13}$ este în cadranul al II-lea. Pe $[0,\pi ]$ cosinusul scade, deci ia această valoare o singură dată: $y=\frac{10\pi }{13}$.

15. $\sin (\pi -x)\cos (\pi -x)=\sin x\cdot (-\cos x)=-\sin x\cos x$. Pentru $x=\frac{\pi }{3}$: $-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

16. O egalitate între expresii trebuie să fie adevărată pentru orice $x$; o singură valoare potrivită nu o dovedește. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$, membrul stâng este $\sin \frac{\pi }{2}=1$, iar membrul drept $-\sin \frac{\pi }{2}=-1$. Formula corectă este $\sin (\pi -x)=\sin x$.

17. Punctele sunt $P(\cos x,\sin x)$ și $Q(-\cos x,\sin x)$, la aceeași înălțime. Distanța dintre ele este diferența absciselor în modul: $PQ=|\cos x-(-\cos x)|=2|\cos x|$. Pentru $x=\frac{3\pi }{20}$, $\cos \frac{3\pi }{20}\approx 0,8910$, deci $PQ\approx 1,7820$.

18. Cu formulele lecției, ecuația se scrie ${\sin }^{2}x=1-\cos x$. Din formula fundamentală, $1-{\cos }^{2}x=1-\cos x$, deci $\cos x-{\cos }^{2}x=0$, adică $\cos x(1-\cos x)=0$. Pe $[0,\pi ]$, $\cos x=0$ dă $x=\frac{\pi }{2}$, iar $\cos x=1$ dă $x=0$. Verificare: în $0$, ${\sin }^2\pi =0=\cos \pi +1$; în $\frac{\pi }{2}$, ${\sin }^2\frac{\pi }{2}=1=\cos \frac{\pi }{2}+1$.

De reținut

• Simetria față de axa $Oy$ duce punctul lui $x$ în punctul lui $\pi -x$; de aici $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$, pentru orice $x$ din $[0,\pi ]$; dacă $x$ trece de $\pi$, arcul $\pi -x$ iese din intervalul $[0,2\pi ]$ pe care lucrăm în clasa a IX-a, iar cadranele al III-lea și al IV-lea se tratează cu formulele lecției următoare.
• Un arc din cadranul al II-lea se reduce scăzându-l din $\pi$ sau din $180^{\circ }$; arcul redus trebuie să iasă între $0$ și $\pi /2$.
• După reducere, sinusul unui arc din cadranul al II-lea iese pozitiv și cosinusul negativ; orice alt rezultat semnalează o greșeală.
• Pentru arcele oarecare, reducerea dă semnul și mută calculul în primul cadran, unde se folosesc tabelele sau aplicația.
• Funcțiile nu se distribuie peste o diferență de arce: $\cos (\pi -x)$ nu este $\cos \pi -\cos x$.

Greșeli frecvente

• Cosinusul „distribuit” peste diferență. $\cos (\pi -x)$ se înlocuiește cu $-\cos x$, nu cu $\cos \pi -\cos x$; un contraexemplu în $x=0$ arată imediat diferența.
• Minusul mutat în argument. A scrie $\cos \frac{5\pi }{6}$ ca $\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ pune semnul pe arc, nu pe valoare, iar arcul $-\frac{\pi }{6}$ nici nu aparține intervalului $[0,2\pi ]$ pe care lucrăm. Semnul stă în fața valorii, nu în argument. Corect: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}$.
• Unități amestecate în descompunere. Scrierea $\pi -40^{\circ }$ scade grade din radiani. Descompune în aceeași unitate în care e dat arcul: $180^{\circ }-40^{\circ }$ sau, în radiani, $\pi -\frac{2\pi }{9}$.
• Arcul redus scris în locul valorii. Cine dă pentru $\sin \frac{8\pi }{13}$ rezultatul $\frac{5\pi }{13}$ oprește calculul la jumătate: arcul redus e un argument, nu rezultatul. Urmează valoarea, $\sin \frac{5\pi }{13}\approx 0,9350$.
• Semnul componentei pierdut în interpretare. Un cosinus negativ într-o problemă de deplasare înseamnă sensul opus al axei, nu o eroare; spune explicit încotro este deplasarea.

Aplică acasă

1. V-ul din două rigle. Prinde două rigle egale cu o agrafă la un capăt și așază capătul prins în originea unui reper desenat pe o foaie. Deschide riglele simetric față de axa $Oy$, deasupra axei $Ox$. Măsoară unghiul fiecărei rigle cu semiaxa $Ox$ pozitivă și coordonatele celor două capete libere, apoi verifică suma unghiurilor, înălțimile și abscisele.
2. Sinusoida îndoită. Desenează pe hârtie milimetrică graficul sinusului pe $[0,\pi ]$, cu $\pi$ reprezentat de $12$ cm, și îndoaie foaia după dreapta $x=\frac{\pi }{2}$: cele două jumătăți trebuie să se suprapună. Fă același lucru cu graficul cosinusului și explică de ce jumătățile lui nu se suprapun la îndoire, ci abia după o jumătate de rotație.
3. Vântul de ieri. Caută pe un site meteo direcția și viteza vântului de ieri, convertește direcția în unghiul față de est, în sens trigonometric, și calculează componentele spre est și spre nord ale deplasării aerului într-o oră. Folosește reducerea dacă unghiul este în cadranul al II-lea.

Pentru părinți și profesori

Nota programei de științe cere ca toate formulele trigonometrice de bază să fie argumentate pe cercul trigonometric. Lecția face asta pentru primele două formule de reducere, prin simetria față de axa $Oy$, iar raționamentul este scurt tocmai ca să poată fi refăcut de elev. Cine a prins mecanismul își reface formula oricând: înălțimea punctului rămâne, partea stânga–dreapta se inversează. Un răspuns complet la un calcul conține descompunerea arcului, valoarea obținută și controlul de semn. Întrebări bune de control: ce se păstrează și ce se schimbă la simetria față de axa $Oy$; de ce minusul stă la cosinus și nu la sinus; cum verifici, fără calculator, semnul lui $\cos \frac{11\pi }{15}$; de ce $\sin 123^{\circ }$ nu poate ieși negativ. Un elev care răspunde desenând cercul, nu recitând formula, stăpânește lecția. Pentru reluarea simetriilor în plan, lecția de clasa a VII-a despre reprezentarea punctelor în plan, cadrane și simetrii este un sprijin bun.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; formulele $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$ sunt scrise explicit printre formulele trigonometrice de bază ale unității IX.7, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține rândul „Reducerea la primul cadran”, în capitolul „Elemente de trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de trigonometrie de la Subiectul I privește un triunghi dreptunghic cu un unghi dat în radiani; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: reducerea la primul cadran are alt parcurs și alte exemple. Următoarea lecție din traseul M2 continuă cu formulele pentru π + x și 2π − x, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 despre reducere față de lecția M1?

Formulele sunt aceleași, dar aici arcele sunt adesea date în radiani sau ca numere zecimale, valorile oarecare se obțin cu instrumentul digital, iar modelele folosesc poziții simetrice din tehnică și din meteorologie. Toate definițiile de care ai nevoie sunt pe această pagină. Lecția de mate-info rămâne o comparație opțională, utilă dacă vrei să vezi și alte exemple cu unghiuri în grade.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 apare reducerea la primul cadran?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține explicit rândul „Reducerea la primul cadran”, în capitolul de trigonometrie. În modelul oficial 2026, singura cerință de trigonometrie este la Subiectul I și privește un triunghi, cu un unghi dat în radiani. Reducerea îți trebuie oricând apare un arc din cadranul al II-lea într-un calcul.

De ce trebuie să argumentez formula pe cerc, dacă o pot memora?

Programa de științe cere explicit argumentarea tuturor formulelor pe cercul trigonometric. În plus, argumentul este cea mai bună protecție împotriva semnului greșit: dacă îți amintești că simetria față de $Oy$ păstrează înălțimea și schimbă partea, refaci formula în câteva secunde, fără să ghicești unde stă minusul.

Când folosesc aplicația și când îmi trebuie valoarea exactă?

Când arcul redus este o valoare de bază, rezultatul se scrie exact, cu radicali. Când este un arc oarecare, cum ar fi $57^{\circ }$ sau $0,5416$ radiani, folosești aplicația sau tabelul și scrii rezultatul cu $\approx$. Reducerea îți spune în ambele cazuri semnul și îți permite să verifici numărul dat de aplicație. Dacă cele două nu se potrivesc, reia întâi descompunerea arcului.

De ce la M2 nu învăț și formula pentru π/2 + x?

Programa de științe numește exact unsprezece formule de bază, iar dintre cele cu $\frac{\pi }{2}$ are numai $\frac{\pi }{2}-x$. Un arc din cadranul al II-lea se reduce oricum cu $\pi -x$, deci nu îți lipsește nimic. Celelalte formule ale unității, pentru $\pi +x$, $2\pi -x$, $\frac{\pi }{2}-x$ și două pentru tangentă, vin în lecțiile următoare, fiecare argumentată printr-o altă simetrie a cercului.

Formulele pentru π − x sunt valabile și când x nu este în primul cadran?

Da, pentru orice $x$ din $[0,\pi ]$: simetria față de $Oy$ leagă punctele lui $x$ și $\pi -x$, iar amândouă arcele rămân în intervalul $[0,2\pi ]$. Dacă $x$ trece de $\pi$, numărul $\pi -x$ devine negativ și iese din intervalul pe care lucrăm în clasa a IX-a, așa că nu îl folosim. Pentru arcele din cadranele al III-lea și al IV-lea ai formulele lecției următoare, cu $\pi +x$ și $2\pi -x$, care rămân mereu în interval.