Funcția de gradul I: ecuații și inecuații (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

La laborator, o probă se încălzește uniform și ți se cere intervalul de timp în care temperatura ei rămâne sub pragul la care reacția pornește. La ora de biologie, o cultură pierde în fiecare oră aceeași cantitate de substanță, iar întrebarea este până când mai are destulă. În amândouă situațiile mărimea se descrie printr-o funcție de gradul I, iar întrebarea nu mai este „cât face" — ci „pentru ce valori ale lui $x$ ". Lecția aceasta, din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), îți dă răspunsul în scris, cu litere și semne: rezolvarea algebrică a ecuațiilor și a inecuațiilor de forma $a x + b = 0$ și $a x + b > 0$ , cu tabelul de semn ca unealtă de redactare. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră", unde semnul funcției afine apare la conținuturile clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține rezolvarea algebrică a inecuațiilor de gradul I.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: tratarea analitică a funcției de gradul I — inecuațiile de forma $a x + b \leq 0$ , studiate pe $R$ sau pe un interval — este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși programa nouă a clasei a IX-a cere pentru aceeași funcție doar citirea semnului de pe grafic. Diferența nu e de dificultate, ci de mod de lucru: semnul funcției afine citit pe grafic se vede dintr-o privire, dar într-o rezolvare scrisă trebuie argumentat, iar un desen aproximativ nu ține loc de demonstrație. Punctul de plecare îl ai din clasa a VIII-a, de la rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente; aici se adaugă semnul citit dintr-un tabel, fracțiile, modulul și discuția după un parametru.

Ce vei învăța

Vei ști să rezolvi ecuația $a x + b = 0$ și să discuți toate cazurile, inclusiv pe cel în care $a$ se anulează.
Vei ști să deduci semnul funcției de gradul I din coeficienți, fără să desenezi graficul.
Vei ști să construiești și să citești tabelul de semn, forma de redactare obișnuită.
Vei ști să rezolvi inecuații cu numitori numerici, scăpând de fracții fără să schimbi mulțimea soluțiilor.
Vei ști să rezolvi inecuații cu modul simplu, folosind echivalența dintre modul și încadrare.
Vei ști să porți o discuție după un parametru și să scrii soluția pe cazuri, cum se cere la bacalaureatul M2.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi analitic o ecuație de gradul I?

Ecuația de gradul I este o egalitate de forma $a x + b = 0$ , în care $a$ și $b$ sunt numere reale date, cu $a \neq = 0$ , iar $x$ este necunoscuta; a o rezolva înseamnă a găsi fiecare număr real care, pus în locul necunoscutei, transformă egalitatea într-una adevărată. Cuvântul „analitic" spune de unde vine răspunsul: din calcul cu literele din enunț, nu din citirea unui desen.

Rezolvarea are un singur pas: din $a x + b = 0$ trecem termenul liber în dreapta, $a x = - b$ , și, pentru că $a \neq = 0$ , împărțim: $x = - \frac{b}{a}$ . Soluția e unică, iar numărul obținut este exact valoarea în care graficul funcției $f (x) = a x + b$ taie axa $O x$ . Verificarea se face întotdeauna în ecuația inițială, nu în vreuna dintre cele scrise pe parcurs — dacă s-a strecurat o greșeală, doar enunțul de la început o mai poate da în vileag.

Când în locul lui $a$ apare o expresie cu un parametru, cazul $a = 0$ nu mai poate fi ignorat, pentru că ecuația își schimbă natura:

dacă $a \neq = 0$ , ecuația are soluția unică $x = - \frac{b}{a}$ ;
dacă $a = 0$ și $b \neq = 0$ , rămâne egalitatea $b = 0$ , falsă, deci ecuația nu are soluții;
dacă $a = 0$ și $b = 0$ , rămâne $0 = 0$ , adevărată pentru orice $x$ , deci orice număr real este soluție.

Ultimele două cazuri nu mai sunt „de gradul I" — condiția $a \neq = 0$ e chiar ceea ce dă numele ecuației. De aceea, la o cerință cu parametru, prima mișcare este să afli pentru ce valoare a parametrului se anulează coeficientul necunoscutei.

2. Cum se citește semnul funcției de gradul I fără grafic?

Fie $f (x) = a x + b$ , cu $a \neq = 0$ . Dăm factor comun pe $a$ :

$f (x) = a (x + \frac{b}{a}) = a (x - x_{0}), unde x_{0} = - \frac{b}{a} .$

Am scris funcția ca produs de doi factori: numărul fix $a$ și diferența $x - x_{0}$ . Al doilea factor își schimbă semnul o singură dată, la trecerea prin $x_{0}$ : e negativ pentru $x < x_{0}$ , nul în $x_{0}$ și pozitiv pentru $x > x_{0}$ . Produsul urmează regula semnelor, așa că obținem regula pe care se sprijină toată lecția: funcția de gradul I are, înainte de rădăcină, semn contrar coeficientului $a$ , iar după rădăcină, semnul lui $a$ . Nu e o formulă de memorat, ci o consecință în două rânduri a scrierii de mai sus — și, la o adică, se reface în timpul lucrării.

Rădăcina $x_{0}$ este exact soluția ecuației din prima subsecțiune: ecuația dă punctul, inecuația cere ce se întâmplă de o parte și de alta a lui.

3. Cum se construiește tabelul de semn?

Tabelul de semn este forma în care se scrie concluzia de mai sus, ca să poată fi citită și punctată. Are două rânduri: pe primul, notat cu $x$ , apar capetele $- \infty$ și $+ \infty$ și rădăcina, în ordine crescătoare; pe al doilea, notat $f (x)$ , apare semnul funcției pe fiecare interval și valoarea $0$ în rădăcină. Celulele de la capete, în dreptul lui $\pm \infty$ , rămân goale: acolo funcția nu ia nicio valoare.

Pentru $f (x) = 3 x - 12$ avem $a = 3 > 0$ și rădăcina $x_{0} = 4$ :

$x$	$- \infty$		$4$		$+ \infty$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$

Se citește așa: $f (x) < 0$ pentru $x \in (- \infty, 4)$ , $f (4) = 0$ și $f (x) > 0$ pentru $x \in (4, + \infty)$ . Pentru $g (x) = - 2 x + 6$ , cu $a = - 2 < 0$ și rădăcina $3$ , semnele se așază invers:

$x$	$- \infty$		$3$		$+ \infty$
$g (x)$		$+$	$0$	$-$

O inecuație de forma $a x + b > 0$ (sau $\geq$ , $<$ , $\leq$ ) se rezolvă, așadar, în trei pași: aduci totul într-un singur membru, afli rădăcina, construiești tabelul și citești din el intervalul cerut. La semnele „tari" ( $<$ , $>$ ) rădăcina nu intră în soluție, deci capătul e paranteză rotundă; la cele „slabe" ( $\leq$ , $\geq$ ) rădăcina intră, iar capătul e paranteză dreaptă. Capetele infinite se scriu întotdeauna cu paranteză rotundă.

4. De ce se schimbă sensul inegalității la înmulțirea cu un număr negativ?

Pentru că înmulțirea cu un număr negativ răstoarnă ordinea pe axă. Din $2 < 5$ , înmulțind cu $- 3$ , obținem $- 6 > - 15$ : numerele mari devin, după înmulțire, cele mici. Regula, în formă utilizabilă: dacă $u < v$ și $c > 0$ , atunci $c u < c v$ ; dacă $u < v$ și $c < 0$ , atunci $c u > c v$ . Adunarea aceluiași număr la ambii membri nu schimbă niciodată sensul.

Consecința practică: poți muta termeni dintr-un membru în altul fără nicio grijă, dar în clipa în care împarți la coeficientul lui $x$ trebuie să te uiți la semnul lui. Din $- 4 x < 12$ rezultă $x > - 3$ , nu $x < - 3$ . Dacă preferi să nu ții minte răsturnarea, mută necunoscuta în membrul în care coeficientul ei iese pozitiv: din $- 4 x < 12$ se obține $- 12 < 4 x$ și, împărțind la $4 > 0$ , tot $x > - 3$ .

5. Cum scap de numitori într-o inecuație?

Când numitorii sunt numere, înmulțești ambii membri cu cel mai mic multiplu comun al lor. Fiind un număr pozitiv, sensul inegalității rămâne neschimbat, iar inecuația obținută are exact aceleași soluții ca cea de la care ai pornit. Pentru

$\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} \leq \frac{1}{6},$

cel mai mic multiplu comun al numitorilor $3$ , $2$ și $6$ este $6$ . Înmulțim fiecare termen cu $6$ și obținem $2 (2 x - 1) - 3 (x + 1) \leq 1$ , adică $4 x - 2 - 3 x - 3 \leq 1$ , deci $x - 5 \leq 1$ și, în final, $x \leq 6$ . Soluția se scrie $S = (- \infty, 6]$ .

Atenție la o capcană de scriere: înmulțirea se aplică fiecărui termen, nu doar celor cu numitor, iar numărătorii cu mai mulți termeni se pun în paranteză. Fără paranteză, minusul din fața fracției se pierde pe drum.

Și o graniță care trebuie spusă limpede: dacă necunoscuta apare la numitor, inecuația nu mai este de gradul I, iar înmulțirea cu numitorul e interzisă atâta timp cât nu-i cunoști semnul. La o inecuație de forma $\frac{2 x + 1}{x - 3} \geq 0$ se lucrează cu semnul câtului, nu cu metoda de aici; la clasa a IX-a, la profilul științe ale naturii, programa de examen numește inecuațiile de forma $a x + b \leq 0$ , iar aici le tratăm doar pe cele reductibile la această formă prin înmulțire cu un număr.

6. Cum rezolv o inecuație cu modul?

Folosind o singură echivalență, pe care ai fixat-o la modulul unui număr real: pentru $c > 0$ ,

$∣ u ∣ \leq c ⟺ - c \leq u \leq c, ∣ u ∣ \geq c ⟺ u \leq - c sau u \geq c .$

Prima spune că numerele aflate la distanță cel mult $c$ de origine formează un segment; a doua, că numerele aflate la distanță cel puțin $c$ formează semidreptele rămase. Cu o expresie de gradul I în locul lui $u$ , încadrarea se rezolvă din două mișcări simultane: $∣ 2 x - 5 ∣ \leq 3$ devine $- 3 \leq 2 x - 5 \leq 3$ ; adunăm $5$ peste tot, $2 \leq 2 x \leq 8$ , împărțim la $2$ și obținem $1 \leq x \leq 4$ , deci $S = [1, 4]$ .

Două verificări scurte îți spun dacă echivalența a fost aplicată corect: capătul din mijloc al intervalului găsit trebuie să anuleze expresia din modul (aici $x = \frac{5}{2}$ ), iar un număr din afara intervalului trebuie să nu verifice inecuația (pentru $x = 5$ iese $∣ 5 ∣ = 5 > 3$ ). Cazurile $c = 0$ și $c < 0$ se tratează separat, direct din definiția modulului: $∣ u ∣ \leq - 2$ nu are nicio soluție, iar $∣ u ∣ \geq - 2$ e verificată de orice număr, fiindcă un modul nu e niciodată negativ.

7. Cum se discută o inecuație cu parametru?

Un parametru este o literă care nu se rezolvă, ci se discută: enunțul cere ce se întâmplă pentru fiecare valoare a ei. Folosim litera $m$ pentru parametru și păstrăm $a$ , $b$ pentru coeficienți, ca cele două roluri să nu se amestece.

Fie inecuația $(m - 2) x + 6 > 0$ . Coeficientul necunoscutei este $m - 2$ și el hotărăște totul:

pentru $m > 2$ coeficientul e pozitiv, deci $x > - \frac{6}{m - 2}$ ;
pentru $m < 2$ coeficientul e negativ, iar la împărțire sensul se schimbă: $x < - \frac{6}{m - 2}$ ;
pentru $m = 2$ inecuația devine $6 > 0$ , adevărată indiferent de $x$ , deci orice număr real o verifică.

Observă că numai cazul $m = 2$ dă soluția $R$ : dacă funcția chiar este de gradul I, ea ia și valori negative, oricât de mare ar fi termenul liber. Aceeași concluzie răspunde unei cerințe formulate ca „determinați $m$ astfel încât inecuația să fie verificată de orice număr real".

8. Ce rămâne vecinilor din traseu?

Trei lucruri, ca să știi unde să cauți. Monotonia funcției de gradul I — faptul că ea crește când $a > 0$ și scade când $a < 0$ — și citirea semnului de pe desen aparțin lecțiilor de lectură grafică pe care le-ai parcurs deja; aici doar le folosim ca verificare. Rezolvarea grafică, adică intersecția a două drepte citită pe ecran, e tratată în ecuații și inecuații rezolvate grafic. Iar mai multe inecuații impuse simultan formează un sistem și se rezolvă intersectând mulțimile de soluții — aceasta este lecția despre sisteme de ecuații și de inecuații de gradul I, pasul imediat următor din traseul tău.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație cu numitori numerici

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{x + 3}{2} - \frac{2 x - 5}{6} = 3$ .

Rezolvare. Cel mai mic multiplu comun al numitorilor $2$ și $6$ este $6$ ; înmulțim fiecare termen cu $6$ și punem numărătorii în paranteze:

$3 (x + 3) - (2 x - 5) = 18.$

Desfacem parantezele, cu grijă la semnul din fața celei de-a doua: $3 x + 9 - 2 x + 5 = 18$ , adică $x + 14 = 18$ , deci $x = 4$ .

Verificare în enunțul inițial: $\frac{4 + 3}{2} - \frac{2 \cdot 4 - 5}{6} = \frac{7}{2} - \frac{3}{6} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$ . ✓

Exemplul 2 — Inecuație rezolvată cu tabel de semn

Rezolvați inecuația $5 - 2 x < 3 (x - 1) + 3$ .

Rezolvare. Desfacem paranteza în membrul drept: $5 - 2 x < 3 x - 3 + 3$ , adică $5 - 2 x < 3 x$ . Aducem totul într-un singur membru, ca să obținem forma $a x + b$ : $0 < 5 x - 5$ , deci studiem semnul funcției $f (x) = 5 x - 5$ . Rădăcina ei este $x = 1$ , iar $a = 5 > 0$ :

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$

Cerem $f (x) > 0$ , iar semnul $+$ apare după rădăcină; inegalitatea fiind strictă, $1$ nu intră. Deci $S = (1, + \infty)$ .

Control numeric: pentru $x = 2$ enunțul dă $5 - 4 = 1$ și $3 \cdot 1 + 3 = 6$ , iar $1 < 6$ ✓; pentru $x = 0$ dă $5 < 0$ , fals ✓.

Exemplul 3 — Inecuație cu fracții

Rezolvați inecuația $\frac{2 x + 1}{5} - \frac{x - 2}{2} < 1$ .

Rezolvare. Înmulțim cu $10 > 0$ , deci sensul se păstrează: $2 (2 x + 1) - 5 (x - 2) < 10$ . Desfacem: $4 x + 2 - 5 x + 10 < 10$ , adică $- x + 12 < 10$ , deci $- x < - 2$ . Împărțim la $- 1$ , schimbând sensul: $x > 2$ , prin urmare $S = (2, + \infty)$ .

Control numeric: pentru $x = 4$ membrul stâng este $\frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$ , mai mic decât $1$ ✓; pentru $x = 0$ el este $\frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5}$ , mai mare decât $1$ ✓.

Exemplul 4 — Inecuație cu modul

Rezolvați inecuația $∣ 3 x - 1 ∣ \leq 8$ .

Rezolvare. Cum $8 > 0$ , echivalența cu încadrarea se poate aplica: $- 8 \leq 3 x - 1 \leq 8$ . Adunăm $1$ în toate cele trei locuri: $- 7 \leq 3 x \leq 9$ . Împărțim la $3 > 0$ , deci sensurile rămân: $- \frac{7}{3} \leq x \leq 3$ , adică $S = [- \frac{7}{3}, 3]$ .

Control numeric: în mijlocul intervalului, pentru $x = \frac{1}{3}$ , modulul se anulează ✓; la capătul din dreapta, $x = 3$ dă $∣ 8 ∣ = 8$ , adică exact egalitate ✓; pentru $x = 4$ iese $∣ 11 ∣ = 11 > 8$ , deci $4$ este corect lăsat afară ✓.

Exemplul 5 — Un prag de siguranță la laborator

Într-un vas, concentrația unui reactant scade uniform și este descrisă de $c (t) = 48 - 6 t$ , unde $c$ se măsoară în miligrame pe litru, iar $t$ în ore, $t \in [0, 8]$ . Determinați intervalul de timp în care concentrația se menține la cel puțin $12$ mg/L.

Rezolvare. Condiția se scrie $48 - 6 t \geq 12$ . Trecem termenii: $- 6 t \geq - 36$ și împărțim la $- 6 < 0$ , schimbând sensul: $t \leq 6$ . Inecuația se studiază pe intervalul impus de context, $t \in [0, 8]$ , deci rețin valorile lui $t$ care sunt și mai mici sau egale cu $6$ , și mai mari sau egale cu $0$ : intervalul căutat este $[0, 6]$ .

Concentrația se menține la cel puțin $12$ mg/L în primele $6$ ore. Control: la $t = 6$ avem $c (6) = 48 - 36 = 12$ mg/L, exact pragul ✓; la $t = 7$ , $c (7) = 48 - 42 = 6$ mg/L, sub prag ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = 5 - 2 x$ . a) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = g (x)$ . b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f (x) \leq g (x)$ .

Rezolvare. a) Egalitatea $3 x - 4 = 5 - 2 x$ se aduce la forma cunoscută: $5 x - 9 = 0$ , deci $x = \frac{9}{5}$ .

b) Inecuația $3 x - 4 \leq 5 - 2 x$ devine $5 x - 9 \leq 0$ . Funcția $h (x) = 5 x - 9$ are $a = 5 > 0$ și rădăcina $\frac{9}{5}$ :

$x$	$- \infty$		$\frac{9}{5}$		$+ \infty$
$h (x)$		$-$	$0$	$+$

Semnul $-$ apare înaintea rădăcinii, iar inegalitatea nefiind strictă, rădăcina intră: $S = (- \infty, \frac{9}{5}]$ .

Observă legătura dintre cele două puncte: numărul găsit la a) este chiar capătul intervalului de la b). Așa se și verifică rapid un asemenea răspuns.

Să exersăm

Înainte de orice: adu inecuația la forma $a x + b$ comparat cu $0$ , notează-ți semnul lui $a$ și abia apoi împarte. La final, pune în enunțul de la început un număr din interval și unul din afara lui — două înlocuiri care costă zece secunde și prind aproape orice greșeală de semn.

1. Rezolvă ecuația $4 x - 7 = 2 x + 5$ .

2. Rezolvă ecuația $3 (x - 2) + 5 = 2 (x + 4)$ .

3. Rezolvă ecuația $\frac{x + 1}{2} + \frac{x - 3}{4} = 2$ .

4. Rezolvă inecuația $5 x - 3 > 2 x + 9$ și scrie soluția ca interval.

5. Rezolvă inecuația $7 - 3 x \geq 1$ și scrie soluția ca interval.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă înmulțești ambii membri ai unei inecuații cu același număr real, sensul inegalității se păstrează."

7. Construiește tabelul de semn al funcției $f (x) = - 4 x - 6$ și precizează pe ce interval funcția este strict pozitivă.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 7$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = 4 - x$ . Determină numerele reale $x$ pentru care $f (x) \leq g (x)$ .

9. Rezolvă inecuația $\frac{3 x - 2}{4} - \frac{x + 1}{3} \geq 0$ .

10. (Problemă aplicată.) Un laborator școlar are un buget lunar de $200$ de lei pentru consumabile: $60$ de lei costă abonamentul la furnizor, iar fiecare probă analizată costă $4$ lei. Determină câte probe se pot analiza într-o lună, știind că numărul lor este un număr natural.

11. Rezolvă inecuația $∣ x - 4 ∣ \leq 2$ și scrie soluția ca interval.

12. Rezolvă inecuația $∣ 3 x + 2 ∣ > 7$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ știind că soluția ecuației $(m + 1) x = 8$ este $x = 2$ .

14. Determină numerele întregi $x$ care verifică încadrarea $- 5 < 2 x - 1 \leq 7$ .

15. Rezolvă inecuația $3 x - 1 \geq 5$ pe intervalul $[0, 3]$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = a x - 5$ , unde $a$ este număr real. Determină $a$ știind că $f (3) = 4$ , apoi rezolvă inecuația $f (x) < 0$ .

17. Discută, după valorile numărului real $m$ , soluțiile ecuației $(m - 2) x = m - 2$ .

18. (Provocare.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care inecuația $(m - 1) x + 3 > 0$ este verificată de orice număr real $x$ .

Răspunsuri și explicații

1. Trecem necunoscutele în stânga și numerele în dreapta: $4 x - 2 x = 5 + 7$ , deci $2 x = 12$ și $x = 6$ . Verificare în enunț: $4 \cdot 6 - 7 = 17$ și $2 \cdot 6 + 5 = 17$ ✓.

2. Desfacem parantezele: $3 x - 6 + 5 = 2 x + 8$ , adică $3 x - 1 = 2 x + 8$ , deci $x = 9$ . Verificare: $3 (9 - 2) + 5 = 26$ și $2 (9 + 4) = 26$ ✓.

3. Înmulțim cu $4$ : $2 (x + 1) + (x - 3) = 8$ , adică $2 x + 2 + x - 3 = 8$ , deci $3 x - 1 = 8$ și $x = 3$ . Verificare: $\frac{3 + 1}{2} + \frac{3 - 3}{4} = 2 + 0 = 2$ ✓.

4. $5 x - 2 x > 9 + 3$ , deci $3 x > 12$ și, împărțind la $3 > 0$ , $x > 4$ . Soluția este $S = (4, + \infty)$ . Control: $x = 5$ dă $22 > 19$ ✓, iar $x = 4$ dă $17 > 17$ , fals — corect exclus.

5. $- 3 x \geq 1 - 7$ , adică $- 3 x \geq - 6$ ; împărțim la $- 3 < 0$ și schimbăm sensul: $x \leq 2$ . Soluția este $S = (- \infty, 2]$ . Control: $x = 0$ dă $7 \geq 1$ ✓, $x = 3$ dă $- 2 \geq 1$ , fals ✓.

6. Fals. Sensul se păstrează doar la înmulțirea cu un număr strict pozitiv. Din $2 < 5$ , înmulțind cu $- 3$ , se obține $- 6 > - 15$ : sensul s-a răsturnat. Iar la înmulțirea cu $0$ se obține $0 = 0$ , adică inegalitatea se pierde cu totul.

7. Rădăcina lui $f$ este soluția ecuației $- 4 x - 6 = 0$ , adică $- 4 x = 6$ și $x = - \frac{3}{2}$ ; coeficientul dominant este $a = - 4 < 0$ , deci semnul este $+$ înainte de rădăcină și $-$ după.

$x$	$- \infty$		$- \frac{3}{2}$		$+ \infty$
$f (x)$		$+$	$0$	$-$

Funcția este strict pozitivă pe intervalul $(- \infty, - \frac{3}{2})$ . Control: $f (- 2) = 8 - 6 = 2 > 0$ , iar $f (0) = - 6 < 0$ .

8. Inecuația $2 x - 7 \leq 4 - x$ se aduce la $3 x - 11 \leq 0$ . Funcția $h (x) = 3 x - 11$ are $a = 3 > 0$ și rădăcina $\frac{11}{3}$ , deci este negativă înaintea ei; inegalitatea nu e strictă, deci rădăcina intră: $S = (- \infty, \frac{11}{3}]$ . Control: $x = 3$ dă $- 1 \leq 1$ ✓, $x = 4$ dă $1 \leq 0$ , fals ✓.

9. Înmulțim cu $12 > 0$ , deci sensul se păstrează: $3 (3 x - 2) - 4 (x + 1) \geq 0$ , adică $9 x - 6 - 4 x - 4 \geq 0$ , deci $5 x - 10 \geq 0$ și, împărțind la $5 > 0$ , $x \geq 2$ . Soluția este $S = [2, + \infty)$ , iar capătul intră, fiindcă inegalitatea nu este strictă. Control: pentru $x = 2$ cei doi termeni sunt $1$ și $1$ , deci diferența este $0$ ✓.

10. Cu $n$ numărul de probe, costul lunar este $60 + 4 n$ lei, iar condiția de buget se scrie $60 + 4 n \leq 200$ . Rezultă $4 n \leq 140$ , deci $n \leq 35$ . Cum $n$ este număr natural, valorile posibile sunt $0, 1, \dots, 35$ : se pot analiza cel mult $35$ de probe. Control: la $35$ de probe costul este $60 + 140 = 200$ de lei, exact bugetul, iar la $36$ ar fi $204$ de lei ✓.

11. Cum $2 > 0$ , inecuația devine $- 2 \leq x - 4 \leq 2$ ; adunăm $4$ : $2 \leq x \leq 6$ , deci $S = [2, 6]$ . Interpretare: sunt numerele aflate la distanță cel mult $2$ de $4$ pe axă.

12. Cum $7 > 0$ , inecuația $∣ 3 x + 2 ∣ > 7$ se desface în două cazuri: $3 x + 2 > 7$ , adică $x > \frac{5}{3}$ , sau $3 x + 2 < - 7$ , adică $x < - 3$ . Reunind, mulțimea soluțiilor este $(- \infty, - 3) \cup (\frac{5}{3}, + \infty)$ . Control: $x = 2$ dă $∣ 8 ∣ = 8 > 7$ ✓, iar $x = 0$ dă $∣ 2 ∣ = 2 > 7$ , fals ✓.

13. Dacă $x = 2$ este soluție, atunci înlocuirea trebuie să dea o egalitate adevărată: $2 (m + 1) = 8$ , deci $m + 1 = 4$ și $m = 3$ . Verificare: pentru $m = 3$ ecuația devine $4 x = 8$ , cu soluția $x = 2$ ✓.

14. Adunăm $1$ în toate cele trei locuri: $- 4 < 2 x \leq 8$ , apoi împărțim la $2 > 0$ : $- 2 < x \leq 4$ . Numerele întregi din acest interval sunt $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ și $4$ . Atenție la capete: $- 2$ nu intră, fiindcă inegalitatea din stânga este strictă, iar $4$ intră.

15. Din $3 x - 1 \geq 5$ rezultă $3 x \geq 6$ , deci $x \geq 2$ , adică $x \in [2, + \infty)$ . Cum se cere numai în intervalul $[0, 3]$ , rămân valorile lui $x$ din $[2, 3]$ . Control: $x = 2$ dă $5 \geq 5$ ✓, iar $x = 1$ dă $2 \geq 5$ , fals ✓.

16. Din $f (3) = 4$ obținem $3 a - 5 = 4$ , deci $a = 3$ și $f (x) = 3 x - 5$ . Inecuația $3 x - 5 < 0$ dă $3 x < 5$ și, împărțind la $3 > 0$ , $x < \frac{5}{3}$ , adică $S = (- \infty, \frac{5}{3})$ . Control: $f (1) = - 2 < 0$ ✓, iar $f (2) = 1 > 0$ , deci $2$ este corect lăsat afară ✓.

17. Coeficientul necunoscutei este $m - 2$ , deci se anulează pentru $m = 2$ . Dacă $m \neq = 2$ , împărțim la $m - 2$ și obținem soluția unică $x = 1$ . Dacă $m = 2$ , ecuația devine $0 \cdot x = 0$ , adevărată pentru orice număr real, deci orice $x$ este soluție. Nu există valoare a lui $m$ pentru care ecuația să nu aibă soluții, fiindcă termenul liber se anulează odată cu coeficientul.

18. Dacă $m - 1 \neq = 0$ , expresia $(m - 1) x + 3$ este o funcție de gradul I: ea este pozitivă de o parte a rădăcinii și negativă de cealaltă, deci inecuația nu poate fi verificată de orice număr real. Rămâne cazul $m - 1 = 0$ , adică $m = 1$ : atunci inecuația devine $3 > 0$ , adevărată indiferent de $x$ . Așadar singura valoare este $m = 1$ .

De reținut

Ecuația $a x + b = 0$ cu $a \neq = 0$ are soluția unică $x = - \frac{b}{a}$ ; când coeficientul lui $x$ conține un parametru, cazul $a = 0$ se discută separat și duce fie la o ecuație fără soluții, fie la una verificată de orice număr real.
Funcția de gradul I are, înainte de rădăcină, semn contrar lui $a$ , iar după rădăcină, semnul lui $a$ — regula se obține din scrierea $f (x) = a (x - x_{0})$ și nu trebuie memorată.
Tabelul de semn are două rânduri, iar în dreptul lui $\pm \infty$ celulele rămân goale; la inegalități stricte rădăcina se exclude din interval, la cele nestricte se include.
Adunarea aceluiași număr la ambii membri și înmulțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul unei inegalități; înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ îl răstoarnă.
Pentru $c > 0$ , $∣ u ∣ \leq c$ înseamnă $- c \leq u \leq c$ , iar $∣ u ∣ \geq c$ înseamnă $u \leq - c$ sau $u \geq c$ ; un modul nu este niciodată negativ, de unde se rezolvă imediat cazurile cu $c \leq 0$ .

Greșeli frecvente

Sensul nemodificat la împărțirea cu un coeficient negativ. Din $- 4 x < 12$ se scrie, din reflex, $x < - 3$ . Corect este $x > - 3$ , pentru că împărțirea cu un număr negativ răstoarnă ordinea. Obișnuiește-te să încercuiești semnul coeficientului lui $x$ înainte de ultima împărțire — acolo se strecoară greșelile la o inecuație de gradul I.
Numărătorul lăsat fără paranteză la eliminarea numitorilor. În $\frac{x + 3}{2} - \frac{2 x - 5}{6}$ , înmulțirea cu $6$ dă $3 (x + 3) - (2 x - 5)$ , nu $3 (x + 3) - 2 x - 5$ : minusul din fața fracției se aplică întregului numărător. O paranteză care lipsește schimbă complet rezultatul, deși toți pașii de după arată corecți.
Capătul intervalului trecut greșit în paranteză. La $x \geq 2$ soluția este $[2, + \infty)$ , cu paranteză dreaptă la stânga și rotundă la infinit. Elevii scriu deseori $(2, + \infty)$ la o inegalitate nestrictă și pierd tocmai valoarea care face egalitatea — cea pe care problemele de prag o cer cel mai des.
Modulul „desfăcut" ca și cum ar dispărea. Din $∣ 3 x - 1 ∣ \leq 8$ nu rezultă $3 x - 1 \leq 8$ , ci încadrarea $- 8 \leq 3 x - 1 \leq 8$ : jumătatea negativă a soluției se pierde dacă scrii o singură inegalitate. Regula de control: mulțimea găsită trebuie să fie simetrică față de valoarea care anulează expresia din modul.
Cazul $a = 0$ uitat la discuția după parametru. La $(m - 2) x = m - 2$ , împărțirea directă cu $m - 2$ dă $x = 1$ și pare că rezolvarea s-a încheiat — dar pentru $m = 2$ nu ai voie să împarți, iar acolo soluția este cu totul alta: orice număr real. Prima întrebare la orice cerință cu parametru este „pentru ce valoare se anulează coeficientul necunoscutei?".

Aplică acasă

Pragurile din caietul de chimie. Caută în manual o mărime care scade sau crește uniform — o concentrație, o temperatură, o masă rămasă — și scrie-i legea sub forma $a x + b$ . Formulează apoi două întrebări de prag („când depășește…", „cât timp rămâne sub…"), rezolvă-le cu tabel de semn și scrie răspunsul ca interval de timp, cu unitatea de măsură. Verifică fiecare răspuns înlocuind capătul intervalului în lege.
Zece secunde de control. Ia cinci inecuații rezolvate la clasă și, pentru fiecare, alege un număr din interiorul mulțimii de soluții și unul din afara ei. Înlocuiește-le în enunțul inițial și notează într-un tabel dacă rezultatul confirmă. Vei descoperi că greșelile pe care le găsești astfel sunt, aproape toate, de același fel: un semn schimbat la înmulțirea cu un număr negativ.
Harta capetelor. Desenează pe o singură axă a numerelor mulțimile de soluții ale inecuațiilor $2 x - 6 > 0$ , $2 x - 6 \geq 0$ , $6 - 2 x > 0$ și $6 - 2 x \geq 0$ . Marchează capătul cu bulină plină când valoarea intră și cu bulină goală când nu intră, apoi scrie sub fiecare desen intervalul corespunzător. Patru desene mici fixează, mai bine decât orice regulă memorată, legătura dintre semnul lui $a$ , felul inegalității și forma parantezei.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută o deprindere dintr-un registru în altul: elevul știe, de la lecțiile de lectură grafică, unde este dreapta deasupra axei, dar într-o rezolvare scrisă trebuie să spună acest lucru cu litere, într-un lanț de transformări echivalente. De aceea partea grea nu este calculul, ci redactarea — mai exact, două locuri din ea: împărțirea la un coeficient negativ și forma parantezei la capătul intervalului. La profilul științe ale naturii subiectul are un sprijin firesc: pragurile din laborator (temperaturi, concentrații, doze) sunt inecuații de gradul I, iar răspunsul „de la minutul 15 încolo" are sens imediat, ceea ce face redactarea să pară utilă, nu birocratică.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă la eliminarea numitorilor numărătorii au fost puși în paranteze; dacă înainte de ultima împărțire a fost notat semnul coeficientului; dacă la o inegalitate nestrictă capătul e paranteză dreaptă; dacă inecuația cu modul a fost transformată în încadrare, nu într-o singură inegalitate; dacă la o cerință cu parametru s-a discutat și cazul în care coeficientul necunoscutei se anulează. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Care e rădăcina și ce semn are funcția înainte de ea?"; „De ce ai voie să înmulțești cu $6$ fără să schimbi sensul?"; „Ce număr din afara intervalului ai încercat ca să te convingi?"; „Ce se întâmplă la $m = 2$ ?". Semn că elevul a înțeles: își face singur cele două înlocuiri de control înainte de a scrie răspunsul final.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la clasa a IX-a, „inecuații de forma $a x + b \leq 0$ , studiate pe $R$ sau pe intervale de numere reale", în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, cere pentru funcția afină doar observarea proprietăților prin lectură grafică. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a doua de la Subiectul I cere determinarea unui număr real dintr-o egalitate cu două funcții de gradul I. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tratarea analitică nu dispare, dar se mută: semnul funcției afine apare în domeniul „Algebră", la conținuturile clasei a X-a. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o inecuație de gradul I, pas cu pas? Aduci toți termenii într-un singur membru, ca inecuația să capete forma $a x + b$ comparat cu $0$ . Afli rădăcina din ecuația $a x + b = 0$ , construiești tabelul de semn și citești din el intervalul cerut. Capătul se scrie cu paranteză dreaptă la inegalități nestricte și cu paranteză rotundă la cele stricte.

Se dă tabelul de semn și la M1, și la M2? Ce diferă? Unealta e aceeași, dar locul ei în traseu diferă. La științe ale naturii ea intră în clasa a IX-a, pentru că programa de examen M2 cere rezolvarea algebrică a inecuațiilor de gradul I. La matematică-informatică inecuațiile de gradul I nu au lecție proprie în clasa a IX-a și revin abia în recapitularea pentru examen: ecuații și inecuații, recapitulare pentru Subiectul I la mate-info (M1).

La ce subiect apare funcția de gradul I la bacalaureatul M2? Programa 2027–2029 trece funcția de gradul I la materia clasei a IX-a, fără să spună la ce subiect se cere. În modelul oficial al probei M_șt-nat pentru 2026, a doua cerință de la Subiectul I dă două funcții de gradul I și cere numărul real care verifică o egalitate între valorile lor. O inecuație de gradul I nu apare în acel model; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă.

De ce se schimbă semnul inegalității când împart la un număr negativ? Pentru că ordinea numerelor pe axă se răstoarnă atunci când le înmulțești cu un factor negativ. Din $2 < 5$ , înmulțind cu $- 3$ , obținem $- 6 > - 15$ . Așadar, de fiecare dată când împarți o inecuație la coeficientul lui $x$ , uită-te întâi la semnul acestuia; adunarea unui număr la ambii membri, în schimb, nu schimbă niciodată sensul.

Cum rezolv o inecuație cu fracții? Dacă numitorii sunt numere, înmulțești ambii membri cu cel mai mic multiplu comun al lor — fiind pozitiv, sensul se păstrează — și pui numărătorii în paranteze înainte de a înmulți. Dacă necunoscuta apare la numitor, inecuația nu mai este de gradul I și nu ai voie să înmulțești cu numitorul fără să-i cunoști semnul.

Ce înseamnă că o inecuație este verificată de orice număr real? Înseamnă că mulțimea soluțiilor este $R$ . La o inecuație de forma $(m - 1) x + 3 > 0$ acest lucru se întâmplă numai când coeficientul lui $x$ se anulează: o funcție de gradul I veritabilă ia și valori negative, oricât de mare ar fi termenul liber. De aceea discuția după parametru începe întotdeauna cu anularea coeficientului.

Cum verific repede dacă intervalul găsit este corect? Alegi un număr din interiorul intervalului și unul din afara lui și le înlocuiești în enunțul inițial: primul trebuie să dea o inegalitate adevărată, al doilea una falsă. La inecuațiile cu modul mai ai o verificare: mulțimea soluțiilor este simetrică față de valoarea care anulează expresia din modul.