Acasă · Lecții · clasa a X-a · Valorile funcțiilor trigonometrice: tabele și instrumente digitale

Valorile funcțiilor trigonometrice: tabele și instrumente digitale

Un topograf măsoară pe teren un unghi și obține $5 2^{\circ}$ . Un constructor calculează panta unui acoperiș și îi iese $3 8^{\circ}$ . Un marinar citește pe hartă o direcție de $6 2^{\circ}$ . Niciunul dintre aceste unghiuri nu este $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ sau $6 0^{\circ}$ — și, sinceră să fie vorba, realitatea nu are niciun motiv să ne facă pe plac. Unghiurile „frumoase" apar în manuale; pe teren apar unghiurile pe care le arată instrumentul.

Vestea bună este că matematicienii au rezolvat problema aceasta cu multe secole înainte de calculatoare. Valorile sinusului, cosinusului și tangentei pentru fiecare grad au fost calculate o singură dată, cu mare efort, și tipărite în tabele trigonometrice — pagini de numere pe care le citești ca pe un orar de trenuri. Astăzi ai și varianta rapidă: orice calculator științific, orice foaie de calcul și orice telefon îți dau valoarea într-o secundă. Programa clasei a X-a spune explicit că valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale, iar lecția aceasta te învață să folosești corect ambele — inclusiv drumul invers, de la valoare la unghi, și capcanele care strică cel mai des rezultatul.

Ce vei învăța

Vei ști să citești din tabel valoarea sinusului, cosinusului și tangentei pentru un unghi dat în grade.
Vei ști să folosești valoarea citită pentru a calcula o latură într-un triunghi dreptunghic.
Vei ști să faci citirea inversă: să afli unghiul când îi cunoști sinusul, cosinusul sau tangenta.
Vei ști să folosești un calculator științific sau o foaie de calcul și să eviți capcana modului de lucru (grade sau radiani).
Vei ști să aplici o convenție de rotunjire consecventă și să explici de ce rezultatele diferă uneori la a doua zecimală.
Vei ști să duci la capăt o problemă practică de măsurare, de la unghiul citit pe instrument până la lungimea cerută.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ne ajung cele trei unghiuri memorate

În lecția despre trigonometria în triunghiul dreptunghic am fixat valorile pentru $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ . Ele se obțin din figuri, sunt exacte și se scriu cu radicali: $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{2}$ și așa mai departe.

Pentru orice alt unghi, situația e diferită. Nu există nicio construcție geometrică simplă care să dea $sin 3 8^{\circ}$ , iar valoarea lui nu se scrie cu radicali obișnuiți. Ea se calculează prin metode de aproximare și se reține sub formă zecimală, cu un număr fixat de zecimale. Din acest motiv, de aici înainte vei lucra cu numere ca $0, 6157$ în loc de expresii exacte — și e perfect în regulă, atâta timp cât ești consecvent.

Convenția lecției (și a întregii unități): valorile trigonometrice se iau cu patru zecimale, iar rezultatele finale (lungimi) se rotunjesc la două zecimale. Unghiurile obținute prin citire inversă se rotunjesc la grade întregi. Scriem mereu semnul $\approx$ acolo unde am rotunjit.

2. Cum arată un tabel trigonometric

Un tabel trigonometric are pe prima coloană unghiul, în grade, iar pe celelalte valorile celor trei funcții. Tabelele tipărite au câte o linie pentru fiecare grad (uneori pentru fiecare minut). Mai jos ai un extras din cinci în cinci grade, suficient pentru cea mai mare parte a exercițiilor:

Unghi	$sin$	$cos$	$tg$
$0^{\circ}$	$0, 0000$	$1, 0000$	$0, 0000$
$5^{\circ}$	$0, 0872$	$0, 9962$	$0, 0875$
$1 0^{\circ}$	$0, 1736$	$0, 9848$	$0, 1763$
$1 5^{\circ}$	$0, 2588$	$0, 9659$	$0, 2679$
$2 0^{\circ}$	$0, 3420$	$0, 9397$	$0, 3640$
$2 5^{\circ}$	$0, 4226$	$0, 9063$	$0, 4663$
$3 0^{\circ}$	$0, 5000$	$0, 8660$	$0, 5774$
$3 5^{\circ}$	$0, 5736$	$0, 8192$	$0, 7002$
$4 0^{\circ}$	$0, 6428$	$0, 7660$	$0, 8391$
$4 5^{\circ}$	$0, 7071$	$0, 7071$	$1, 0000$
$5 0^{\circ}$	$0, 7660$	$0, 6428$	$1, 1918$
$5 5^{\circ}$	$0, 8192$	$0, 5736$	$1, 4281$
$6 0^{\circ}$	$0, 8660$	$0, 5000$	$1, 7321$
$6 5^{\circ}$	$0, 9063$	$0, 4226$	$2, 1445$
$7 0^{\circ}$	$0, 9397$	$0, 3420$	$2, 7475$
$7 5^{\circ}$	$0, 9659$	$0, 2588$	$3, 7321$
$8 0^{\circ}$	$0, 9848$	$0, 1736$	$5, 6713$
$8 5^{\circ}$	$0, 9962$	$0, 0872$	$11, 4301$
$9 0^{\circ}$	$1, 0000$	$0, 0000$	nedefinită

Iar acesta este extrasul de detaliu, cu unghiurile care apar în exemplele și exercițiile lecției:

Unghi	$sin$	$cos$	$tg$
$7^{\circ}$	$0, 1219$	$0, 9925$	$0, 1228$
$8^{\circ}$	$0, 1392$	$0, 9903$	$0, 1405$
$9^{\circ}$	$0, 1564$	$0, 9877$	$0, 1584$
$2 8^{\circ}$	$0, 4695$	$0, 8829$	$0, 5317$
$3 8^{\circ}$	$0, 6157$	$0, 7880$	$0, 7813$
$4 7^{\circ}$	$0, 7314$	$0, 6820$	$1, 0724$
$5 2^{\circ}$	$0, 7880$	$0, 6157$	$1, 2799$
$5 6^{\circ}$	$0, 8290$	$0, 5592$	$1, 4826$
$6 2^{\circ}$	$0, 8829$	$0, 4695$	$1, 8807$

✏️Ilustrație: pagină de tabel trigonometric cu o riglă transparentă așezată pe linia de 38°, cu cele trei valori evidențiate și cu săgeți către coloanele sin, cos, tg

3. Trei lucruri pe care le observi imediat în tabel

Sinusul crește, cosinusul scade. De la $0^{\circ}$ la $9 0^{\circ}$ , sinusul urcă de la $0$ la $1$ , iar cosinusul coboară de la $1$ la $0$ . Este exact ceea ce spune figura: dacă unghiul se mărește, cateta opusă crește, iar cea alăturată se micșorează.

Sinusul și cosinusul sunt mereu cel mult $1$ . Ele sunt rapoarte în care numitorul e ipotenuza, adică latura cea mai lungă. Dacă îți iese vreodată $sin x = 1, 3$ , ai greșit undeva — nu există așa ceva. Tangenta, în schimb, poate fi oricât de mare: la $8 5^{\circ}$ trece deja de $11$ , iar la $9 0^{\circ}$ nu mai există.

Coloanele se oglindesc. Uită-te la linia de $3 8^{\circ}$ și la cea de $5 2^{\circ}$ : $sin 3 8^{\circ} = 0, 6157 = cos 5 2^{\circ}$ și $cos 3 8^{\circ} = 0, 7880 = sin 5 2^{\circ}$ . Nu e o coincidență, ci relația unghiurilor complementare, $3 8^{\circ} + 5 2^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , pe care ai întâlnit-o în clasa a IX-a la valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază. Practic, un tabel până la $4 5^{\circ}$ îți ajunge: restul îl citești invers.

4. Citirea directă: de la unghi la latură

Aceasta este utilizarea de zi cu zi. Ai un triunghi dreptunghic, cunoști o latură și un unghi ascuțit, vrei altă latură. Rețeta are trei pași:

Scrie relația cu litere: de exemplu $sin B = \frac{A C}{B C}$ .
Citește valoarea din tabel și înlocuiește-o.
Izolează necunoscuta și rotunjește la final, nu pe parcurs.

Exemplu scurt: într-un triunghi dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B C = 12$ și $m (∠ B) = 3 8^{\circ}$ , cateta opusă lui $B$ este

$A C = B C \cdot sin 3 8^{\circ} = 12 \cdot 0, 6157 = 7, 3884 \approx 7, 39.$

Atenție la pasul 3: dacă necunoscuta este la numitor, se schimbă operația. Din $sin B = \frac{A C}{B C}$ , cu $A C$ cunoscut și $B C$ necunoscut, rezultă $B C = \frac{A C}{sin B}$ — deci împărțire, nu înmulțire.

5. Citirea inversă: de la valoare la unghi

Aici tabelul se folosește „pe dos": ai un număr și cauți unghiul care îl produce. Rețeta:

Alege coloana potrivită (sinus, cosinus sau tangentă), în funcție de raportul pe care l-ai calculat.
Caută în acea coloană valoarea cea mai apropiată de numărul tău.
Citește unghiul de pe aceeași linie.

De pildă, dacă într-un triunghi dreptunghic raportul „cateta opusă pe ipotenuză" iese $0, 7314$ , cauți în coloana sinusului și găsești exact această valoare pe linia lui $4 7^{\circ}$ . Deci unghiul are $4 7^{\circ}$ .

De cele mai multe ori valoarea ta nu apare exact în tabel. Atunci alegi linia cu valoarea cea mai apropiată și scrii rezultatul cu $\approx$ . Dacă raportul e $0, 15$ , în coloana sinusului ai $0, 1392$ pe linia lui $8^{\circ}$ și $0, 1564$ pe linia lui $9^{\circ}$ ; diferențele sunt $0, 0108$ și, respectiv, $0, 0064$ , deci mai aproape e linia lui $9^{\circ}$ și scriem $x \approx 9^{\circ}$ .

✏️Ilustrație: fragment de tabel cu coloana sinusului, cu valorile 0,1392 și 0,1564 încercuite și cu valoarea căutată 0,15 marcată între ele pe o axă verticală, mai aproape de 0,1564

6. Instrumentele digitale și capcana modului de lucru

Pe un calculator științific, valorile se obțin cu tastele sin, cos, tan, iar citirea inversă cu tastele scrise deasupra lor, $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ , $tg^{- 1}$ (uneori notate asin, acos, atan). În foile de calcul de tip tabel electronic există funcții echivalente, cu observația că multe dintre ele cer unghiul în radiani, nu în grade.

Capcana numărul unu, cea care strică cele mai multe teze: calculatorul are trei moduri de lucru pentru unghiuri — DEG (grade), RAD (radiani) și GRAD (grade centesimale). Dacă apeși sin 30 în modul RAD, aparatul nu îți dă $0, 5$ , ci $- 0, 9880$ , pentru că interpretează $30$ ca pe $30$ radiani. Înainte de orice calcul, verifică indicatorul de pe ecran: la problemele din această unitate el trebuie să arate DEG sau D.

Un test rapid de siguranță pe care merită să îl faci de fiecare dată: calculează $sin 30$ . Dacă rezultatul este $0, 5$ , ești în grade și poți continua liniștit.

7. De ce apar mici diferențe și cum le tratăm

Dacă verifici cu tabelul relația $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ la $6 5^{\circ}$ , obții $\frac{0 , 9063}{0 , 4226} \approx 2, 1446$ , în timp ce în coloana tangentei scrie $2, 1445$ . Nu e o eroare a tabelului și nici a ta: fiecare valoare a fost rotunjită separat la patru zecimale, iar când împarți două numere rotunjite, mica imprecizie se amplifică.

Trei reguli practice care te scutesc de confuzii:

Rotunjește la final, nu la fiecare pas. Dacă lucrezi cu calculatorul, păstrează valorile intermediare pe ecran.
Când un rezultat trebuie verificat, acceptă o mică abatere. De exemplu, dintr-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $12$ obții catetele $7, 39$ și $9, 46$ , iar verificarea cu Pitagora dă $7, 3 9^{2} + 9, 4 6^{2} = 144, 10$ în loc de $144$ — perfect normal.
Nu inventa precizie. Dacă unghiul a fost măsurat cu o precizie de un grad, nu are sens să dai rezultatul cu cinci zecimale.

Un ultim lucru de care vei avea nevoie foarte curând: tabelul de mai sus se oprește la $9 0^{\circ}$ , dar triunghiurile din problemele practice au adesea un colț obtuz. Cum obții atunci sinusul și cosinusul unui unghi de $11 8^{\circ}$ ? Cu o singură regulă simplă, pe care o învățăm în lecția următoare, despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea unei linii din tabel

Citiți din tabel $sin 3 5^{\circ}$ , $cos 3 5^{\circ}$ și $tg 3 5^{\circ}$ , apoi verificați relația dintre ele.

Rezolvare. De pe linia lui $3 5^{\circ}$ : $sin 3 5^{\circ} = 0, 5736$ , $cos 3 5^{\circ} = 0, 8192$ , $tg 3 5^{\circ} = 0, 7002$ .

Verificarea formulei fundamentale: $0, 573 6^{2} + 0, 819 2^{2} = 0, 3290 + 0, 6711 = 1, 0001 \approx 1$ ✓. Verificarea tangentei: $\frac{0 , 5736}{0 , 8192} \approx 0, 7002$ ✓. Micile abateri vin din rotunjirea la patru zecimale.

Exemplul 2 — De la unghi la laturi

Într-un triunghi $A B C$ dreptunghic în $A$ se cunosc ipotenuza $B C = 12$ și $m (∠ B) = 3 8^{\circ}$ . Calculați catetele.

Rezolvare. Din tabel: $sin 3 8^{\circ} = 0, 6157$ și $cos 3 8^{\circ} = 0, 7880$ . Cateta opusă lui $B$ este $A C$ , cea alăturată este $A B$ :

$A C = 12 \cdot 0, 6157 = 7, 3884 \approx 7, 39, A B = 12 \cdot 0, 7880 = 9, 456 \approx 9, 46.$

Verificare cu Pitagora: $7, 3 9^{2} + 9, 4 6^{2} = 54, 6121 + 89, 4916 = 144, 1037 \approx 144 = 1 2^{2}$ ✓.

Exemplul 3 — De la valoare la unghi

Într-un triunghi dreptunghic, raportul dintre cateta alăturată unui unghi ascuțit și ipotenuză este $0, 5592$ . Cât are unghiul?

Rezolvare. Raportul „alăturată pe ipotenuză" este cosinusul, deci căutăm în coloana cosinusului. Găsim valoarea $0, 5592$ pe linia lui $5 6^{\circ}$ . Așadar unghiul are $5 6^{\circ}$ .

Control de bun-simț: cosinusul e mai mic decât $0, 7071 = cos 4 5^{\circ}$ , deci unghiul trebuie să fie mai mare de $4 5^{\circ}$ ✓ (cosinusul scade când unghiul crește).

Exemplul 4 — Capcana modului de lucru

Un elev calculează $sin 30$ la calculator și obține $- 0, 9880$ . Ce s-a întâmplat și cum se repară?

Rezolvare. Calculatorul era în modul RAD și a calculat sinusul numărului $30$ interpretat ca $30$ radiani, adică al unui unghi de aproximativ $171 9^{\circ}$ — după mai multe rotații complete, punctul ajunge într-un cadran în care sinusul e negativ. Reparația: se comută pe DEG (de obicei cu tasta MODE sau DRG) și se reia calculul, care dă $0, 5$ .

Reține testul de siguranță: înainte de orice problemă de geometrie, calculează $sin 30$ și verifică dacă îți dă $0, 5$ .

Exemplul 5 — Înălțimea unui bloc

Te afli la $30$ de metri de un bloc și vezi streașina sub un unghi de elevație de $5 2^{\circ}$ , măsurat de la nivelul ochilor, aflați la $1, 60$ m de sol. Cât de înalt este blocul?

Rezolvare. Triunghiul dreptunghic are cateta alăturată $30$ m (distanța) și cateta opusă $h$ (înălțimea de la nivelul ochilor până la streașină). Din tabel, $tg 5 2^{\circ} = 1, 2799$ :

$h = 30 \cdot 1, 2799 = 38, 397 \approx 38, 40 m .$

Înălțimea totală a blocului se obține adăugând înălțimea ochilor: $38, 40 + 1, 60 = 40, 00$ m. Pasul acesta se uită foarte des, deși e cel mai simplu din toată problema.

✏️Ilustrație: siluetă de elev la 30 m de un bloc, cu linia privirii spre streașină, unghiul de 52° marcat la nivelul ochilor, cota de 1,60 m de la sol și înălțimea h marcată punctat

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , se cunosc $A B = 18$ și $m (∠ B) = 3 8^{\circ}$ . Calculați $B C$ și $A C$ , cu două zecimale.

Rezolvare. Latura $A B$ este cateta alăturată unghiului $B$ , deci o legăm de ipotenuză prin cosinus:

$cos 3 8^{\circ} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow B C = \frac{18}{0 , 7880} = 22, 8426 \approx 22, 84.$

Pentru cealaltă catetă folosim tangenta, care leagă direct cele două catete:

$A C = A B \cdot tg 3 8^{\circ} = 18 \cdot 0, 7813 = 14, 0634 \approx 14, 06.$

Verificare: $1 8^{2} + 14, 0 6^{2} = 324 + 197, 68 = 521, 68$ , iar $22, 8 4^{2} = 521, 67$ — diferența de o sutime vine din rotunjiri ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, folosind cele două tabele din lecție. Scrie de fiecare dată valoarea citită din tabel înainte de a calcula, iar la final rotunjește: lungimile la două zecimale, unghiurile la grade întregi.

1. Citește din tabel $sin 2 5^{\circ}$ , $cos 2 5^{\circ}$ și $tg 2 5^{\circ}$ .

2. Citește $sin 7 0^{\circ}$ și $cos 2 0^{\circ}$ . Ce observi și cum explici?

3. În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , $B C = 20$ și $m (∠ B) = 3 5^{\circ}$ . Calculează $A C$ și $A B$ .

4. Într-un triunghi dreptunghic, cateta alăturată unghiului de $4 0^{\circ}$ are $15$ . Calculează cealaltă catetă.

5. Află unghiul ascuțit $x$ pentru care $sin x = 0, 5000$ .

6. Află unghiul ascuțit $x$ pentru care $sin x = 0, 7314$ .

7. Află unghiul ascuțit $x$ pentru care $cos x = 0, 6157$ .

8. Află unghiul ascuțit $x$ pentru care $tg x = 1, 4826$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $cos 5 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}$ ."

10. (Problemă aplicată.) Umbra unui copac are $9$ m, iar razele soarelui fac cu solul un unghi de $3 8^{\circ}$ . Cât de înalt este copacul?

11. (Problemă aplicată.) Sfoara unui zmeu are $40$ m și este perfect întinsă, făcând cu solul un unghi de $5 0^{\circ}$ . La ce înălțime față de mâna care ține sfoara zboară zmeul?

12. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $2 8^{\circ}$ are $15$ . Calculează ipotenuza.

13. Un elev tastează la calculator sin 30 și obține $- 0, 9880$ . Explică ce a greșit și ce trebuie să facă.

14. (Problemă aplicată.) O rampă are lungimea de $8$ m și urcă la o înălțime de $1, 2$ m. Ce unghi face rampa cu orizontala?

15. (Problemă aplicată.) Un drum urcă sub un unghi de $7^{\circ}$ . Cu câți metri urci pe verticală după ce ai parcurs $250$ m măsurați pe orizontală?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , se cunosc $B C = 25$ și $m (∠ B) = 6 2^{\circ}$ . Calculează $A C$ și $A B$ , cu două zecimale.

17. Verifică, folosind valorile din tabel, că $sin^{2} 3 5^{\circ} + cos^{2} 3 5^{\circ}$ este aproximativ $1$ . De unde vine diferența?

18. (Provocare.) Verifică pe unghiul de $6 5^{\circ}$ relația $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , folosind valorile din tabel. Explică de ce rezultatul împărțirii nu coincide perfect cu valoarea din coloana tangentei și spune care dintre cele două este mai aproape de adevăr.

Răspunsuri și explicații

1. $sin 2 5^{\circ} = 0, 4226$ , $cos 2 5^{\circ} = 0, 9063$ , $tg 2 5^{\circ} = 0, 4663$ .

2. Ambele valori sunt $0, 9397$ . Explicația: $7 0^{\circ}$ și $2 0^{\circ}$ sunt unghiuri complementare, iar $sin (9 0^{\circ} - x) = cos x$ . În triunghiul dreptunghic, cateta opusă unuia dintre unghiurile ascuțite este cateta alăturată celuilalt.

3. $A C = 20 \cdot sin 3 5^{\circ} = 20 \cdot 0, 5736 = 11, 472 \approx 11, 47$ și $A B = 20 \cdot cos 3 5^{\circ} = 20 \cdot 0, 8192 = 16, 384 \approx 16, 38$ .

4. Raportul dintre catete este tangenta: cealaltă catetă $= 15 \cdot tg 4 0^{\circ} = 15 \cdot 0, 8391 = 12, 5865 \approx 12, 59$ .

5. În coloana sinusului, $0, 5000$ apare pe linia lui $3 0^{\circ}$ , deci $x = 3 0^{\circ}$ . (Este una dintre valorile exacte, memorate.)

6. În coloana sinusului găsim $0, 7314$ pe linia lui $4 7^{\circ}$ , deci $x = 4 7^{\circ}$ .

7. În coloana cosinusului, $0, 6157$ apare pe linia lui $5 2^{\circ}$ , deci $x = 5 2^{\circ}$ . Observă că aceeași cifră apare și în coloana sinusului, pe linia lui $3 8^{\circ}$ — motiv în plus să verifici mereu în ce coloană cauți.

8. În coloana tangentei, $1, 4826$ apare pe linia lui $5 6^{\circ}$ , deci $x = 5 6^{\circ}$ .

9. Adevărat. Din tabel, $cos 5 0^{\circ} = 0, 6428$ și $sin 4 0^{\circ} = 0, 6428$ . Egalitatea vine din complementaritate: $5 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

10. Umbra este cateta alăturată, iar copacul este cateta opusă unghiului de $3 8^{\circ}$ : $h = 9 \cdot tg 3 8^{\circ} = 9 \cdot 0, 7813 = 7, 0317 \approx 7, 03$ m. Copacul e mai scurt decât umbra, ceea ce se potrivește cu un unghi mai mic de $4 5^{\circ}$ .

11. Sfoara este ipotenuza, iar înălțimea este cateta opusă: $h = 40 \cdot sin 5 0^{\circ} = 40 \cdot 0, 7660 = 30, 64$ m.

12. Din $sin 2 8^{\circ} = \frac{15}{ipotenuz a ˘}$ rezultă ipotenuza $= \frac{15}{0 , 4695} = 31, 9489 \approx 31, 95$ . Aici necunoscuta era la numitor, deci am împărțit.

13. Calculatorul era în modul RAD și a calculat sinusul unui unghi de $30$ radiani. Trebuie comutat pe modul DEG (grade) și reluat calculul, care dă $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ .

14. Lungimea rampei este ipotenuza, iar înălțimea este cateta opusă: $sin x = \frac{1 , 2}{8} = 0, 15$ . În coloana sinusului, $0, 15$ se află între $0, 1392$ (linia lui $8^{\circ}$ ) și $0, 1564$ (linia lui $9^{\circ}$ ); diferențele sunt $0, 0108$ , respectiv $0, 0064$ , deci mai aproape este $9^{\circ}$ . Răspuns: $x \approx 9^{\circ}$ .

15. Distanța orizontală este cateta alăturată, iar urcarea este cateta opusă: $250 \cdot tg 7^{\circ} = 250 \cdot 0, 1228 = 30, 7$ m.

16. $A C = 25 \cdot sin 6 2^{\circ} = 25 \cdot 0, 8829 = 22, 0725 \approx 22, 07$ și $A B = 25 \cdot cos 6 2^{\circ} = 25 \cdot 0, 4695 = 11, 7375 \approx 11, 74$ . Verificare: $22, 0 7^{2} + 11, 7 4^{2} = 487, 08 + 137, 83 = 624, 91 \approx 625 = 2 5^{2}$ ✓.

17. $0, 573 6^{2} + 0, 819 2^{2} = 0, 32901696 + 0, 67108864 = 1, 0001056 \approx 1, 0001$ . Diferența de o zecime de miime vine din faptul că ambele valori au fost rotunjite la patru zecimale înainte de a fi ridicate la pătrat; formula însăși este exactă.

18. $\frac{0 , 9063}{0 , 4226} \approx 2, 1446$ , în timp ce în tabel $tg 6 5^{\circ} = 2, 1445$ . Mai aproape de adevăr este valoarea din tabel: ea a fost rotunjită o singură dată, direct din calculul exact, pe când împărțirea folosește două numere deja rotunjite, iar erorile lor se combină. Morala: când ai valoarea gata calculată în tabel, folosește-o pe ea, nu o reconstrui din altele.

De reținut

Pentru unghiurile care nu sunt $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ sau $6 0^{\circ}$ , valorile trigonometrice se iau din tabele sau cu instrumente digitale — programa prevede explicit această variantă.
Convenția de lucru: valori trigonometrice cu patru zecimale, lungimi finale cu două zecimale, unghiuri obținute prin citire inversă rotunjite la grade întregi, cu semnul $\approx$ .
Citirea directă (unghi $\to$ valoare $\to$ latură) și citirea inversă (raport $\to$ coloană $\to$ unghi) sunt cele două utilizări ale tabelului; în citirea inversă alegi valoarea cea mai apropiată.
Pe calculator, verifică întotdeauna modul de lucru: trebuie să scrie DEG. Testul rapid: $sin 30$ trebuie să dea $0, 5$ .
$sin$ și $cos$ sunt mereu cel mult $1$ ; tangenta poate fi oricât de mare și nu există la $9 0^{\circ}$ . Coloanele se oglindesc prin complementaritate: $sin x = cos (9 0^{\circ} - x)$ .

Greșeli frecvente

Calculatorul lăsat pe RAD. Este cauza numărul unu a rezultatelor absurde (sinusuri negative, lungimi imposibile). Verifică indicatorul de pe ecran înainte de fiecare problemă.
Coloana greșită. Aceleași cifre apar în coloane diferite, pe linii diferite: $0, 6157$ este $sin 3 8^{\circ}$ , dar și $cos 5 2^{\circ}$ . Stabilește întâi ce raport ai calculat și abia apoi caută.
Înmulțire în loc de împărțire. Când necunoscuta e la numitor, ca în $sin B = \frac{A C}{B C}$ cu $B C$ necunoscut, se împarte: $B C = \frac{A C}{sin B}$ . Scrie proporția întreagă înainte de a calcula.
Rotunjirea prea devreme. Dacă rotunjești la fiecare pas, erorile se adună. Rotunjește doar rezultatul final și păstrează pe parcurs toate zecimalele.
Acceptarea unui sinus supraunitar. Dacă îți iese $sin x = 1, 2$ , nu căuta în tabel: nu vei găsi nimic. Ai greșit raportul — cel mai probabil ai pus cateta la numitor și ipotenuza la numărător.

Aplică acasă

Fă-ți propriul tabel. Cu un calculator științific sau cu o foaie de calcul, completează un tabel cu sinusul, cosinusul și tangenta din $5$ în $5$ grade, de la $0^{\circ}$ la $9 0^{\circ}$ , cu patru zecimale. Compară-l cu cel din lecție. Apoi adaugă o coloană cu raportul $\frac{sin}{cos}$ și verifică dacă îți dă coloana tangentei.
Măsoară un unghi cu telefonul. Instalează o aplicație de tip clinometru (multe aplicații de busolă au funcția inclusă) și măsoară unghiul de elevație spre vârful unui copac sau al unui stâlp, de la o distanță pe care o măsori în pași. Calculează înălțimea și notează atât unghiul, cât și valoarea tangentei folosite.
Detectivul de erori. Cere-i unui coleg să calculeze cinci valori trigonometrice la calculator, dintre care una cu aparatul comutat pe RAD, fără să îți spună care. Găsește-o doar uitându-te la rezultate. Ce indicii te-au ajutat?

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă competența X.CS.2.1 din programa de trunchi comun a clasei a X-a — utilizarea tabelelor trigonometrice și a instrumentelor digitale pentru determinarea elementelor unui triunghi — și este cheia practică a întregii unități: fără ea, elevul rămâne blocat la cele trei unghiuri memorate și nu poate rezolva nicio problemă reală de teren. Nota din programă este explicită: valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale.

Întrebări bune de control: „Ce citești în tabel dacă ai ipotenuza și vrei cateta opusă?" (coloana sinusului); „Ai obținut raportul $0, 68$ — în ce coloană cauți dacă e vorba de cateta alăturată pe ipotenuză?" (cosinus); „De ce $sin$ nu poate depăși $1$ ?" (numitorul este ipotenuza, latura cea mai lungă); „Cum verifici că aparatul e pe grade?" ( $sin 30$ trebuie să dea $0, 5$ ). Semne că a înțeles: notează valoarea citită înainte de a calcula, rotunjește doar la final și își verifică rezultatul cu teorema lui Pitagora sau cu bunul-simț geometric.

La Bacalaureat, subiectele de trunchi comun folosesc de regulă unghiuri remarcabile, dar problemele cu context practic pot cere valori aproximative; în plus, deprinderea de a lucra corect cu calculatorul este necesară la toate lecțiile care urmează, unde teorema cosinusului și teorema sinusurilor produc rapoarte care nu ies niciodată „rotund". Merită insistat pe disciplina rotunjirii: valorile intermediare se păstrează, rezultatul se rotunjește o singură dată.

Întrebări frecvente

Ce este un tabel trigonometric și cum îl citesc? Este un tabel care are pe prima coloană unghiul, în grade, iar pe celelalte valorile sinusului, cosinusului și tangentei. Cauți linia unghiului tău și citești valoarea din coloana funcției care te interesează, de obicei cu patru zecimale.

Cum aflu unghiul dacă știu sinusul lui? Cauți valoarea în coloana sinusului și citești unghiul de pe aceeași linie. Dacă valoarea nu apare exact, iei linia cu valoarea cea mai apropiată și scrii rezultatul cu semnul $\approx$ . Pe calculator, aceeași operație se face cu tasta $sin^{- 1}$ .

De ce îmi dă calculatorul un rezultat negativ la $sin 30$ ? Pentru că este comutat pe modul RAD și interpretează $30$ ca $30$ radiani. Comută pe DEG (grade) și vei obține $0, 5$ . Verifică modul înainte de fiecare problemă de geometrie.

Cât este $sin 5 2^{\circ}$ ? Din tabel, $sin 5 2^{\circ} = 0, 7880$ . Aceeași valoare este și $cos 3 8^{\circ}$ , pentru că unghiurile $5 2^{\circ}$ și $3 8^{\circ}$ sunt complementare.

De ce sinusul și cosinusul nu pot fi mai mari decât $1$ ? Pentru că ambele sunt rapoarte în care numitorul este ipotenuza, adică latura cea mai lungă a triunghiului dreptunghic. O catetă nu poate fi mai lungă decât ipotenuza, deci raportul nu poate depăși $1$ .

Cu câte zecimale rotunjesc rezultatul? Convenția folosită în această unitate: valorile trigonometrice cu patru zecimale, lungimile finale cu două zecimale, unghiurile la grade întregi. Rotunjește o singură dată, la sfârșit, și marchează aproximarea cu $\approx$ .

De ce nu îmi iese perfect verificarea cu teorema lui Pitagora? Pentru că lucrezi cu valori rotunjite. O abatere de câteva sutimi este normală și nu înseamnă că ai greșit. Dacă abaterea e mare (unități întregi), atunci chiar ai o eroare de raport sau de operație.

Pot folosi telefonul în loc de tabel? Da — calculatorul științific al telefonului, o foaie de calcul sau o aplicație de matematică dau exact aceleași valori, mai repede. Programa acceptă explicit instrumentele digitale. Important e să știi ce ceri aparatului și să verifici că lucrează în grade.