Trigonometria în triunghiul dreptunghic, recapitulare (M2, științe ale naturii)

Un pădurar urcat într-un foișor de observație vede o căprioară la marginea poienii și are la îndemână doar un instrument care măsoară unghiuri. Înălțimea foișorului o știe, distanța până la animal nu. Un triunghi dreptunghic și un singur raport trigonometric îi dau distanța în câteva secunde, fără să coboare. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție recapitulează trigonometria triunghiului dreptunghic, învățată în gimnaziu, și o leagă de cercul trigonometric al unității, ca pregătire pentru triunghiurile oarecare. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, unde programa de examen cere explicit rezolvarea triunghiului dreptunghic, iar modelul oficial are la Subiectul I o cerință cu un triunghi dreptunghic; pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”.

Nu reluăm definițiile de la zero. Le ai din clasa a VII-a, iar lecția despre sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric la M2 a arătat deja că definiția de pe cerc dă aceleași valori pentru unghiurile ascuțite. Aici le folosim: alegem raportul potrivit, lucrăm cu unghiuri date în radiani, citim unghiuri de elevație și de depresie și verificăm rezultatele.

Ce vei învăța

• Vei spune precis ce înseamnă să rezolvi un triunghi dreptunghic și de ce datele trebuie să conțină cel puțin o latură.
• Vei alege, pentru fiecare pereche „latură cunoscută – latură căutată”, raportul care le leagă direct.
• Vei lucra cu unghiuri date în radiani, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, ca în modelul oficial de bacalaureat M2.
• Vei recunoaște un unghi din raportul a două laturi și vei ști când ai nevoie de tabele sau de un instrument digital.
• Vei modela situații de măsurare cu unghiuri de elevație și de depresie, din biologie, meteorologie și geologie.
• Vei controla fiecare rezultat cu trei reflexe: ipotenuza cea mai lungă, unghiul mai mare opus laturii mai mari, teorema lui Pitagora.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi un triunghi dreptunghic?

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina laturile și unghiurile lui necunoscute pornind de la două elemente date, în afara unghiului drept, dintre care cel puțin unul este o latură. Rezultatul complet conține trei laturi și trei unghiuri.

De ce e nevoie de o latură? Două unghiuri nu fixează mărimea: toate triunghiurile dreptunghice cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$ sunt asemenea, de la unul desenat pe caiet până la unul cu laturi de kilometri. Unghiurile dau forma, o latură dă scara. Tocmai asemănarea explică de ce rapoartele trigonometrice ale unui unghi ascuțit nu depind de triunghiul ales, lucru pe care l-ai văzut în lecția de clasa a VII-a despre sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit.

În triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare, deci unul îl dă pe celălalt. În radiani, suma lor este $\frac{\pi }{2}$: dacă un unghi ascuțit are $\frac{\pi }{6}$, celălalt are $\frac{\pi }{3}$. Complementaritatea mai are o consecință pe care o folosești des: cateta opusă unui unghi ascuțit este alăturată celuilalt, deci sinusul unuia este cosinusul celuilalt, iar tangentele lor sunt numere inverse.

2. Cum alegi raportul potrivit?

Fie un triunghi $DEF$, dreptunghic în $E$, și unghiul ascuțit din $D$. Față de acest unghi, $EF$ este cateta opusă, $DE$ este cateta alăturată, iar $DF$ este ipotenuza. Fiecare dintre cele trei rapoarte leagă două dintre aceste laturi, iar alegerea se face după o singură întrebare: care două laturi apar în problemă, cea dată și cea căutată?

Ultimul rând cere atenție: când necunoscuta este ipotenuza, ea stă la numitor, deci calculul devine o împărțire. Scrie întâi egalitatea completă, de pildă $\sin D=\frac{EF}{DF}$, și abia apoi izolează necunoscuta. Dacă ai de ales între două rapoarte, îl preferi pe cel care folosește datele din enunț, nu un rezultat intermediar: o eventuală greșeală anterioară nu se mai propagă.

În problemele de măsurare mai contează un lucru: unitatea. Rapoartele trigonometrice sunt numere fără unitate, pentru că împart două lungimi măsurate la fel. Latura calculată primește unitatea laturii date, deci trebuie ca toate lungimile din enunț să fie exprimate în aceeași unitate înainte de calcul. Un unghi, în schimb, se poate scrie în grade sau în radiani fără să schimbe vreun raport.

3. Ce se schimbă când unghiul este dat în radiani?

La științe ale naturii, unghiurile unei probleme de geometrie pot fi scrise în radiani, ca în modelul oficial de bacalaureat din 2026, unde un unghi al triunghiului este $\frac{\pi }{6}$. Nu se schimbă nimic în metodă: rapoartele sunt aceleași, doar eticheta unghiului e alta. Legătura cu gradele, din lecția despre măsura arcului în grade și radiani la M2, îți permite să recunoști imediat $\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$, $\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$ și $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$.

Un triunghi cu ipotenuza $18$ și un unghi de $\frac{\pi }{6}$ are cateta opusă acestui unghi egală cu $18\sin \frac{\pi }{6}=9$, iar cealaltă catetă egală cu $18\cos \frac{\pi }{6}=9\sqrt{3}$. Valorile folosite sunt cele din lecția despre valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază la M2.

Un reper util: cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$ este mereu jumătate din ipotenuză, iar cele două catete ale triunghiului cu un unghi de $\frac{\pi }{4}$ sunt egale. Orice rezultat care contrazice aceste repere semnalează o greșeală de rol al laturilor.

4. Cum afli un unghi din două laturi?

Drumul se inversează: calculezi raportul și cauți unghiul care îl are. Dacă un triunghi dreptunghic are catetele $5$ și $5\sqrt{3}$, tangenta unghiului opus catetei mai lungi este $\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$, deci unghiul este $\frac{\pi }{3}$. Celălalt unghi ascuțit este $\frac{\pi }{6}$, iar ipotenuza rezultă din teorema lui Pitagora.

Recunoașterea funcționează numai pentru valorile de bază: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ la sinus și cosinus; $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$, $\sqrt{3}$ la tangentă. Pentru un raport ca $\frac{3}{10}$ nu există un unghi „rotund”, iar programa de științe prevede explicit că valorile se pot obține din tabele ori cu mijloace digitale. Aceasta este tema lecției despre valorile funcțiilor trigonometrice din tabele la M2, care urmează.

Chiar și fără unghi „rotund”, raportul spune multe. Un sinus mai mic decât $\frac{1}{2}$ înseamnă un unghi mai mic decât $\frac{\pi }{6}$; o tangentă mai mare decât $1$ înseamnă un unghi mai mare decât $\frac{\pi }{4}$. Aceste comparații, bazate pe faptul că sinusul și tangenta cresc pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, sunt un bun control al ordinului de mărime.

5. Ce sunt unghiul de elevație și unghiul de depresie?

Ambele se măsoară față de orizontală. Unghiul de elevație este unghiul dintre orizontala observatorului și linia privirii ridicate spre un obiect mai înalt; unghiul de depresie este unghiul dintre aceeași orizontală și linia privirii coborâte spre un obiect aflat dedesubt. Cine măsoară de la verticală obține complementul unghiului căutat.

Cele două unghiuri sunt egale atunci când doi observatori se privesc unul pe altul. Orizontala de sus și solul sunt paralele, iar linia privirii este o secantă: unghiul de depresie de la vârf și unghiul de elevație de la sol sunt unghiuri alterne interne. De aceea poți muta unghiul măsurat sus în triunghiul dreptunghic de jos, unde se află catetele de care ai nevoie.

În triunghiul format de baza foișorului, vârful lui și punctul observat, înălțimea este cateta opusă unghiului de la sol, iar distanța pe orizontală este cateta alăturată. Tangenta leagă direct cele două mărimi, iar ipotenuza este distanța măsurată de-a lungul privirii.

6. Ce legătură are triunghiul cu cercul trigonometric?

Așază vârful unui unghi ascuțit $t$ în origine, cu o catetă pe semiaxa pozitivă $Ox$. Vârful de la capătul ipotenuzei, de lungime $a$, se află pe cercul de rază $a$ cu centrul în origine, deci are coordonatele $(a\cos t,a\sin t)$, forma pe care ai întâlnit-o pentru punctele de pe un cerc de rază oarecare. Catetele sunt chiar aceste coordonate: una orizontală, una verticală.

Această privire explică de ce, în triunghiul dreptunghic, cateta alăturată este ipotenuza înmulțită cu cosinusul, iar cea opusă este ipotenuza înmulțită cu sinusul. Nu sunt două reguli noi, ci citirea coordonatelor unui punct. Tot de aici vine și programa clasei: legătura dintre coordonatele unghiulare, cele metrice și cele carteziene.

Avantajul apare în problemele cu desen în reper: dacă știi distanța unui punct față de origine și unghiul semidreptei care trece prin el, îi scrii imediat coordonatele. Invers, din coordonate obții distanța cu teorema lui Pitagora și tangenta unghiului ca raport între ordonată și abscisă.

7. Cum controlezi un rezultat?

Primul reflex: ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură. O catetă calculată mai mare decât ipotenuza arată că ai înmulțit în loc să împarți sau invers. Al doilea: unghiului mai mare i se opune latura mai mare, deci cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{3}$ trebuie să fie mai lungă decât cea opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$.

Al treilea reflex este teorema lui Pitagora: suma pătratelor catetelor trebuie să dea pătratul ipotenuzei. Cu radicali, calculul este exact; cu valori aproximative, acceptă o mică abatere, provenită din rotunjire.

Un al patrulea control, specific acestei unități, leagă rapoartele între ele: pătratul sinusului plus pătratul cosinusului aceluiași unghi dă $1$, iar produsul tangentelor celor două unghiuri ascuțite este tot $1$. Dacă ai calculat rapoartele ambelor unghiuri, aceste două egalități verifică dintr-odată toate cele șase valori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate rapoartele dintr-un triunghi cu laturi întregi

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, catetele au lungimile $AB=180$ și $AC=19$. Determină ipotenuza, rapoartele unghiului $B$ și sinusul unghiului $C$.

Rezolvare. Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=32400+361=32761$, deci $BC=181$. Față de $B$, cateta opusă este $AC$, iar cea alăturată este $AB$: $\sin B=\frac{19}{181}$, $\cos B=\frac{180}{181}$ și $\mathrm{tg}B=\frac{19}{180}$.

Unghiul $C$ are cateta opusă $AB$, deci $\sin C=\frac{180}{181}$, egal cu $\cos B$, cum cere complementaritatea. Tangenta lui $C$ este $\frac{180}{19}$, inversa tangentei lui $B$. Cateta foarte scurtă face ca unghiul $B$ să fie mic: sinusul lui este sub $\frac{1}{2}$, deci $B$ este mai mic decât $\frac{\pi }{6}$.

Exemplul 2 — O catetă și un unghi în radiani

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se cunosc $AB=15$ și $B=\frac{\pi }{6}$. Rezolvă triunghiul.

Rezolvare. Unghiul $C$ este $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$. Latura $AB$ este alăturată lui $B$, iar $AC$ îi este opusă, deci le leagă tangenta: $AC=15\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$.

Ipotenuza vine din cosinus, cu împărțire: $BC=\frac{15}{\cos \frac{\pi }{6}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}$. Controlul cu Pitagora: $15^2+(5\sqrt{3}{)}^2=225+75=300=(10\sqrt{3}{)}^2$. În plus, cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$ este jumătate din ipotenuză: $5\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{2}$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev are triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=11$ și $B=\frac{\pi }{4}$, și scrie: „$BC=AC\cdot \sin B=\frac{11\sqrt{2}}{2}$”. De ce rezultatul nu poate fi corect și care este valoarea bună?

Rezolvare. Rezultatul elevului, aproximativ $7,78$, este mai mic decât cateta $AC=11$, iar ipotenuza nu poate fi mai scurtă decât o catetă. Greșeala este de rol: în $\sin B=\frac{AC}{BC}$ necunoscuta $BC$ stă la numitor, deci trebuie împărțit.

Corect, $BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{11}{\sqrt{2}/2}=11\sqrt{2}$, aproximativ $15,56$. Triunghiul are un unghi de $\frac{\pi }{4}$, deci este isoscel: $AB=11$, iar proba $121+121=242=(11\sqrt{2}{)}^2$ confirmă.

Exemplul 4 — Căprioara văzută din foișor

Un pădurar se află în vârful unui foișor, la $18$ m deasupra solului orizontal. Vede o căprioară sub un unghi de depresie de $\frac{\pi }{6}$, iar după un timp o vede sub un unghi de depresie de $\frac{\pi }{4}$, pe aceeași direcție. La ce distanță de baza foișorului era căprioara de fiecare dată și cât s-a apropiat?

Rezolvare. Unghiul de depresie de sus este egal cu unghiul de elevație de la sol. În triunghiul dreptunghic cu cateta verticală de $18$ m, distanța pe orizontală este cateta alăturată unghiului de la sol, deci $d=\frac{18}{\mathrm{tg}t}$.

Pentru $t=\frac{\pi }{6}$: $d_1=\frac{18}{\sqrt{3}/3}=18\sqrt{3}\approx 31,18$ m. Pentru $t=\frac{\pi }{4}$: $d_2=18$ m. Căprioara s-a apropiat cu $18\sqrt{3}-18\approx 13,18$ m. Un unghi de depresie mai mare înseamnă un punct mai apropiat de bază; modelul presupune terenul orizontal și neglijează înălțimea animalului.

Exemplul 5 — Barza care planează

O barză coboară planând în linie dreaptă de la $150$ m înălțime până la sol, pe un drum care face cu orizontala un unghi $\alpha$ cu $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{12}$. Ce distanță parcurge pe orizontală și cât de lung este drumul ei prin aer?

Rezolvare. Înălțimea este cateta opusă unghiului $\alpha$, iar distanța pe orizontală este cateta alăturată: $d=\frac{150}{1/12}=1800$ m. Drumul prin aer este ipotenuza: $\sqrt{150^2+1800^2}=150\sqrt{145}\approx 1806,24$ m.

Observă cât de puțin diferă cele două distanțe: la un unghi atât de mic, cosinusul este aproape $1$. Raportul $12$ dintre distanța orizontală și înălțime se numește finețea planării: cu cât e mai mare, cu atât pasărea ajunge mai departe din aceeași înălțime. Modelul neglijează vântul și curenții ascendenți, pe care păsările planoare îi folosesc tocmai ca să nu coboare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $C=\frac{\pi }{4}$. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $3\sqrt{2}$. Arată că $AB=6$.

Rezolvare. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza este un diametru: $BC=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, deci $AB=BC\sin C=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$.

Enunțul este construit în forma cerinței de trigonometrie de la Subiectul I din modelul oficial din 2026, cu alt unghi și altă rază, și nu reproduce o cerință oficială. Proprietatea mijlocului ipotenuzei este din gimnaziu; formula generală a razei, valabilă în orice triunghi, vine în lecțiile despre teorema sinusurilor.

Să exersăm

Desenează triunghiul, marchează unghiul de lucru și scrie lângă fiecare latură rolul ei. Rezultatele cu radicali rămân exacte; aproximarea se adaugă la final.

1. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $AB=36$ și $AC=77$. Află $BC$ și rapoartele unghiului $C$.

2. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $BC=269$ și $\sin B=\frac{69}{269}$. Află catetele.

3. Un elev are triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=19$ și $B=\frac{\pi }{3}$, și scrie: „$C=\frac{\pi }{6}$, deci $AC=AB\cdot \mathrm{tg}C=\frac{19\sqrt{3}}{3}$”. Găsește greșeala, arată de ce rezultatul nu poate fi corect și calculează $AC$.

4. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $BC=16$ și $C=\frac{\pi }{3}$. Află catetele $AB$ și $AC$.

5. În reperul $xOy$, punctul $R$ are coordonatele $\left(4\sqrt{3},4\right)$. Află distanța $OR$ și unghiul, în radiani, dintre semidreapta $OR$ și semiaxa pozitivă $Ox$.

6. Un cormoran se scufundă după pește în linie dreaptă, pe un drum de $22$ m înclinat cu $\frac{\pi }{6}$ față de suprafața apei. La ce adâncime ajunge și cât s-a depărtat pe orizontală de locul în care a intrat în apă?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) În orice triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, are loc $\sin B+\cos B>1$.

8. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $BC=14$ și $AB=7\sqrt{2}$. Determină măsura unghiului $B$, în radiani, și cateta $AC$.

9. Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC=26$ și $\cos B=\frac{5}{13}$. Află baza $BC$ și înălțimea din $A$.

10. (Problemă aplicată.) Un ceilometru meteorologic proiectează vertical un fascicul de lumină pe baza unui nor. Detectorul, aflat pe sol la $400$ m de proiector, vede pata luminoasă sub un unghi de elevație de $\frac{\pi }{3}$. La ce înălțime se află baza norului?

11. Diagonala unui dreptunghi are lungimea $12$ și face cu latura mai lungă un unghi de $\frac{\pi }{6}$. Află laturile dreptunghiului.

12. Punctul $P$ se află la distanța $6,4$ de origine, pe semidreapta care face cu semiaxa pozitivă $Ox$ un unghi de $\frac{\pi }{3}$. Află coordonatele lui $P$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $B=\frac{\pi }{6}$ și $AC=4,5$. Arată că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $4,5$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $AC=6$. Determină măsura unghiului $B$ și arată că $AB=6\sqrt{3}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=9$ și $\cos B=\frac{1}{3}$. Arată că $AC=6\sqrt{2}$.

16. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $BC=46$ și $B=\frac{\pi }{6}$. Punctul $D$ este piciorul înălțimii din $A$. Află $AD$, $BD$ și $DC$.

17. Un strat de rocă sedimentară coboară sub un unghi de $\frac{\pi }{6}$ față de orizontală, pornind de la linia unde iese la suprafață. La ce adâncime întâlnește stratul un foraj vertical făcut la $36$ m de acea linie, măsurați pe orizontală, perpendicular pe ea?

18. (Provocare.) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are lungimea $10$, iar suma catetelor este $14$. Află sinusul și cosinusul unghiului ascuțit mai mic.

Răspunsuri și explicații

1. $B{C}^2=1296+5929=7225$, deci $BC=85$. Față de $C$, cateta opusă este $AB=36$, iar cea alăturată este $AC=77$: $\sin C=\frac{36}{85}$, $\cos C=\frac{77}{85}$, $\mathrm{tg}C=\frac{36}{77}$.

2. Cateta opusă lui $B$ este $AC=269\cdot \frac{69}{269}=69$. Cealaltă catetă, din Pitagora, cu diferența de pătrate: $A{B}^2=269^2-69^2=(269-69)(269+69)=200\cdot 338=67600$, deci $AB=260$. Proba: $\cos B=\frac{260}{269}$, iar $69^2+260^2=4761+67600=72361=269^2$.

3. Raportul ales este bun, tangenta, dar unghiul nu: față de $C$, latura $AC$ este cateta alăturată, nu cea opusă. Rezultatul elevului, aproximativ $10,97$, este mai mic decât $AB=19$, deși $AC$ se opune unghiului de $\frac{\pi }{3}$, mai mare decât unghiul $C=\frac{\pi }{6}$ opus lui $AB$. Tangenta trebuie scrisă pentru unghiul $B$, căruia $AC$ îi este opusă: $AC=AB\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=19\sqrt{3}\approx 32,91$.

4. $AB$ este opusă lui $C$: $AB=16\sin \frac{\pi }{3}=8\sqrt{3}$. $AC$ este alăturată lui $C$: $AC=16\cos \frac{\pi }{3}=8$. Proba: $192+64=256=16^2$.

5. Proiecția lui $R$ pe $Ox$ formează cu $O$ și $R$ un triunghi dreptunghic cu catetele $4\sqrt{3}$ și $4$. Ipotenuza este $OR=\sqrt{48+16}=8$. Tangenta unghiului din $O$ este $\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci unghiul este $\frac{\pi }{6}$. Control: ordonata $4$ este jumătate din $OR$, ca pentru orice punct aflat pe semidreapta unghiului de $\frac{\pi }{6}$.

6. Drumul pasării este ipotenuza, adâncimea este cateta opusă unghiului, iar deplasarea pe orizontală este cateta alăturată. Adâncimea: $22\sin \frac{\pi }{6}=11$ m. Pe orizontală: $22\cos \frac{\pi }{6}=11\sqrt{3}\approx 19,05$ m. Adâncimea este jumătate din drum, cum cere unghiul de $\frac{\pi }{6}$. Modelul presupune drumul drept și suprafața apei orizontală.

7. Adevărat. $\sin B+\cos B=\frac{AC+AB}{BC}$, iar suma a două laturi ale unui triunghi este mai mare decât a treia, deci fracția este supraunitară. Egalitatea ar cere un triunghi turtit, care nu există.

8. $\cos B=\frac{7\sqrt{2}}{14}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $B=\frac{\pi }{4}$. Triunghiul este isoscel, iar $AC=7\sqrt{2}$.

9. Înălțimea $AM$ cade în mijlocul bazei. Din $\cos B=\frac{5}{13}$, $BM=26\cdot \frac{5}{13}=10$, deci $BC=20$. Din formula fundamentală, $\sin B=\frac{12}{13}$, iar înălțimea este $AM=26\cdot \frac{12}{13}=24$. Proba: $100+576=676=26^2$.

10. Fasciculul, solul și linia privirii detectorului formează un triunghi dreptunghic cu cateta orizontală de $400$ m. Înălțimea norului este cateta opusă unghiului de elevație: $400\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=400\sqrt{3}\approx 692,82$ m. Modelul presupune solul orizontal și fasciculul perfect vertical.

11. Diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu laturile. Latura mai lungă: $12\cos \frac{\pi }{6}=6\sqrt{3}\approx 10,39$; latura mai scurtă: $12\sin \frac{\pi }{6}=6$.

12. Coordonatele sunt $\left(6,4\cos \frac{\pi }{3},6,4\sin \frac{\pi }{3}\right)=\left(3,2;3,2\sqrt{3}\right)$. Proiecția lui $P$ pe $Ox$ formează cu $O$ și $P$ un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $6,4$; proba: $3,2^2+3\cdot 3,2^2=4\cdot 10,24=40,96=6,4^2$.

13. $AC$ este opusă unghiului $B$, deci $BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{4,5}{1/2}=9$. Ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci raza este $4,5$, egală cu cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$.

14. $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, iar $B$ fiind ascuțit, $B=\frac{\pi }{6}$. Atunci $AB=BC\cos B=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$; proba: $144-36=108=(6\sqrt{3}{)}^2$.

15. $AB=BC\cos B=9\cdot \frac{1}{3}=3$. Din Pitagora, $AC=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Se poate ajunge și prin $\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, obținut din formula fundamentală: $AC=9\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2}$.

16. $AB=46\cos \frac{\pi }{6}=23\sqrt{3}$. În triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$: $AD=AB\sin \frac{\pi }{6}=\frac{23\sqrt{3}}{2}$ și $BD=AB\cos \frac{\pi }{6}=23\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=34,5$. Atunci $DC=46-34,5=11,5$.

17. Forajul, orizontala și stratul formează un triunghi dreptunghic; adâncimea este cateta opusă unghiului stratului: $36\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=12\sqrt{3}\approx 20,78$ m.

18. Notăm catetele cu $p$ și $q$: $p+q=14$ și $p^2+q^2=100$. Din $(p+q{)}^2=196$ rezultă $2pq=96$, deci $pq=48$, iar catetele sunt $6$ și $8$. Unghiul mai mic se opune catetei $6$: sinusul lui este $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, iar cosinusul este $\frac{4}{5}$.

De reținut

• A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a afla toate laturile și unghiurile din două elemente date, dintre care cel puțin unul este o latură; unghiurile ascuțite sunt complementare, cu suma $\frac{\pi }{2}$.
• Raportul se alege după perechea „latură dată – latură căutată”: ipotenuza cu o catetă prin sinus sau cosinus, două catete prin tangentă; când necunoscuta este ipotenuza, se împarte.
• Unghiurile date în radiani nu schimbă metoda: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ se recunosc ca $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, iar pentru alte rapoarte se folosesc tabele sau mijloace digitale.
• Unghiurile de elevație și de depresie se măsoară față de orizontală și sunt egale când doi observatori se privesc; în triunghiul dreptunghic, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză.
• Controlul rezultatului: ipotenuza cea mai lungă, latura mai mare opusă unghiului mai mare, teorema lui Pitagora și produsul tangentelor unghiurilor ascuțite egal cu $1$.

Greșeli frecvente

• Unghiul de depresie măsurat de la verticală. Unghiul dintre direcția privirii și verticală este complementul unghiului de depresie. Folosit în locul lui, dă distanța și înălțimea inversate.
• Raza cercului circumscris luată egală cu ipotenuza. Ipotenuza este diametrul, nu raza. Raza este jumătate din ipotenuză, ca în cerința din modelul oficial.
• Rapoarte scrise pentru unghiul drept. Sinusul, cosinusul și tangenta din triunghi se scriu pentru unghiurile ascuțite. Un „$\sin A$” calculat ca raport de laturi, cu $A$ unghiul drept, nu are sens în această lecție.
• Al doilea unghi calculat din $\pi$. În triunghiul dreptunghic, unghiul ascuțit rămas este $\frac{\pi }{2}$ minus cel dat, nu $\pi$ minus cel dat. Suma tuturor unghiurilor este $\pi$, dar unul dintre ele este deja drept.
• Tangenta calculată cu ipotenuza. Tangenta este raportul celor două catete, nu al unei catete la ipotenuză. Dacă tangenta ți-a ieșit mai mică decât sinusul aceluiași unghi, ai împărțit la ipotenuză.

Aplică acasă

1. Foaia A4 și un raport ascuns. Măsoară laturile unei foi A4 și calculează tangenta unghiului dintre diagonală și latura lungă. Compară valoarea cu $\frac{\sqrt{2}}{2}$: formatele de hârtie din seria A au raportul laturilor egal cu $\sqrt{2}$. Deduce apoi sinusul și cosinusul exacte ale acelui unghi.
2. Planarea unui avion de hârtie. Lansează un avion de hârtie de la o înălțime măsurată, de pe o treaptă sau de la o fereastră de la parter, și măsoară distanța pe orizontală până unde atinge solul. Calculează tangenta unghiului de coborâre pentru trei forme de pliere și compară-le cu finețea planării unei păsări.
3. Triunghiul din cerc, în program. Într-un program de geometrie dinamică, desenează cercul de rază $5$ cu centrul în origine și un punct pe el, comandat de un cursor. Coboară perpendiculara pe $Ox$ și afișează lungimile catetelor. Compară-le, pentru trei poziții, cu $5\cos t$ și $5\sin t$.

Pentru părinți și profesori

La profilul științe ale naturii, această recapitulare stă în clasa a IX-a, între partea de funcții trigonometrice și aplicațiile în geometrie, nu la începutul clasei a X-a, ca la mate-info. Elevul nu reînvață definițiile, ci le aplică: alege raportul fără ezitare, lucrează cu unghiuri în radiani și își verifică singur rezultatul. Întrebări utile: „Ce lipsește dintr-un enunț care dă doar două unghiuri?”; „Unghiul de depresie se măsoară de la orizontală sau de la verticală?”; „De ce raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză?”. O dificultate frecventă nu ține de trigonometrie, ci de desen: elevul care nu marchează unghiul de lucru pe figură confundă ușor catetele. Cereți desenul înaintea oricărui calcul și, la problemele cu context, o propoziție care spune ce reprezintă fiecare latură a triunghiului. Pentru reluarea tehnicii din gimnaziu se poate folosi rezolvarea triunghiului dreptunghic din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde programa cuprinde rezolvarea triunghiurilor, cu triunghiul dreptunghic drept caz particular, și permite valori din tabele ori obținute cu mijloace digitale. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) numește explicit rezolvarea triunghiului dreptunghic printre aplicațiile trigonometriei. Modelul oficial din 2026 conține la Subiectul I o cerință cu un triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$ și raza cercului circumscris; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: trigonometria în triunghiul dreptunghic, recapitulare și extindere deschide la mate-info unitatea de geometrie a clasei a X-a. Pe traseul M2, înainte de această lecție este calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la această recapitulare în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, recapitularea se face în clasa a IX-a, imediat după funcțiile trigonometrice pe cercul unitate, iar unghiurile apar des în radiani, ca în modelul de bacalaureat M2. Exemplele vin din biologie, meteorologie și geologie. Lecția M1 este prima lecție a clasei a X-a și pune accent pe trecerea spre triunghiul oarecare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare triunghiul dreptunghic?

Programa de examen pentru 2027–2029 numește explicit rezolvarea triunghiului dreptunghic. În modelul oficial din 2026, cerința a șasea de la Subiectul I cere, pentru un triunghi dreptunghic cu un unghi de pi supra șase și raza cercului circumscris dată, să arăți lungimea unei catete. Tipul de raționament din Exemplul 6 este exact acesta.

De ce unghiurile din triunghi apar la M2 și în radiani?

Programa de științe definește funcțiile trigonometrice pe cercul unitate, cu argumente în radiani, iar modelul de examen scrie unghiurile triunghiului tot în radiani. Pentru calcul nu se schimbă nimic: pi supra șase are aceleași rapoarte ca unghiul de treizeci de grade. Trebuie doar să recunoști repede corespondența dintre cele două scrieri.

Cum aflu raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic?

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei, proprietate pe care o știi din gimnaziu. Prin urmare, ipotenuza este un diametru, iar raza este jumătate din ea. Mai întâi afli ipotenuza cu un raport trigonometric sau cu teorema lui Pitagora, apoi o împarți la doi.

De ce unghiul de depresie văzut de sus este egal cu cel de elevație văzut de jos?

Orizontala observatorului de sus și solul sunt drepte paralele, iar linia privirii le taie pe amândouă. Cele două unghiuri, unul sus și unul jos, sunt unghiuri alterne interne, deci au aceeași măsură. De aceea poți lucra cu unghiul măsurat sus în triunghiul dreptunghic format la sol.

De ce nu pot rezolva un triunghi dreptunghic numai din unghiuri?

Două triunghiuri dreptunghice cu aceleași unghiuri sunt asemenea: au aceeași formă, dar pot avea orice mărime. Unghiurile fixează rapoartele laturilor, nu laturile însele. Ai nevoie de cel puțin o lungime care să stabilească scara; abia apoi rapoartele îți dau celelalte laturi.