Valorile funcțiilor trigonometrice din tabele și cu mijloace digitale (M2, științe ale naturii)

Un chimist știe că, în molecula de hidrogen sulfurat, fiecare atom de hidrogen se află la $1,34$ ångströmi de atomul de sulf, iar unghiul dintre cele două legături are $92^{\circ }$. Ca să afle cât de departe sunt atomii de hidrogen unul de altul, are nevoie de sinusul lui $46^{\circ }$, un unghi pentru care nu există o valoare cu radicali de memorat. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), programa spune explicit că, în aplicațiile trigonometriei în geometrie, valorile se pot obține din tabele ori cu mijloace digitale; aceasta este lecția care te învață să o faci corect. Pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, iar programa probei reia aceeași notă; elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, unde modelul oficial are la Subiectul I o cerință de trigonometrie cu un unghi pentru care valorile sunt exacte.

Lecția continuă recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2: acolo rapoartele recunoscute dădeau unghiuri „rotunde”, aici învățăm ce facem cu toate celelalte. Vom citi un tabel în ambele sensuri, vom folosi calculatorul și foaia de calcul, vom rotunji consecvent și vom estima cât de mult contează eroarea unui unghi măsurat.

Ce vei învăța

• Vei deosebi o valoare exactă, scrisă cu radicali, de o valoare tabelată, scrisă cu patru zecimale și cu semnul $\approx$.
• Vei citi dintr-un tabel sinusul, cosinusul și tangenta unui unghi ascuțit și le vei folosi pentru a afla o latură.
• Vei face citirea inversă, de la un raport la unghi, alegând linia cu valoarea cea mai apropiată.
• Vei folosi tastele inverse ale calculatorului și funcțiile unei foi de calcul, ținând seama că foaia de calcul lucrează în radiani.
• Vei aplica o convenție de rotunjire și vei explica abaterile de pe ultima zecimală.
• Vei estima cum se transmite eroarea unui unghi măsurat asupra unei lungimi calculate, într-o situație din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o valoare tabelată și de ce nu e exactă?

O valoare tabelată a unei funcții trigonometrice este aproximarea zecimală a valorii exacte, rotunjită la un număr fixat de zecimale, de obicei patru. Pentru $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ și pentru punctele de pe axe cunoști valori exacte; pentru un unghi de $37^{\circ }$ nu există o scriere comodă cu radicali, iar valoarea se obține numeric, tot mai precis, și se folosește rotunjită.

Diferența are consecințe de scriere. O egalitate ca $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ este exactă, deci poate fi folosită într-o demonstrație. O valoare tabelată se scrie cu $\approx$: $\sin 37^{\circ }\approx 0,6018$. Dacă o folosești într-un calcul, rezultatul este și el aproximativ și se scrie tot cu $\approx$.

Convenția lecției: patru zecimale pentru sinus, cosinus și tangentă, două zecimale pentru o lungime obținută la final, iar unghiurile găsite prin citire inversă se rotunjesc la grad întreg. Rotunjirea se face o singură dată, la rezultatul final; valorile intermediare se păstrează cu toate zecimalele disponibile.

2. Cum arată tabelul și cum îl citești?

Tabelul de mai jos este un extras cu unghiurile folosite în lecție. Un tabel complet are câte o linie pentru fiecare grad de la $0^{\circ }$ la $90^{\circ }$; forma lui este aceeași, doar mai lungă.

Citirea directă are doi pași: găsești linia unghiului, apoi coloana funcției. Unghiurile sunt în grade, pentru că în aplicațiile de geometrie măsurătorile se fac de obicei în grade. Dacă problema îți dă unghiul în radiani, îl transformi întâi, cu proporția din lecția despre grade și radiani la M2.

3. Ce regularități vezi în tabel?

Prima regularitate: pe coloana sinusului valorile cresc, iar pe coloana cosinusului scad. Este ceea ce arată și graficele funcțiilor sinus și cosinus la M2 pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Tangenta crește și ea, tot mai repede: între $17^{\circ }$ și $18^{\circ }$ urcă cu aproximativ două sutimi, între $67^{\circ }$ și $68^{\circ }$ cu peste o zecime.

A doua regularitate privește perechile de unghiuri complementare. Pe linia lui $37^{\circ }$, sinusul este $0,6018$; pe linia lui $53^{\circ }$, aceeași cifră apare în coloana cosinusului. Nu e o coincidență, ci formula $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, argumentată pe cerc în lecția despre formulele cu π/2 la M2. Practic, un tabel până la $45^{\circ }$ ar fi suficient pentru sinus și cosinus.

Figura arată ambele regularități deodată: linia orizontală de la înălțimea $0,6018$ întâlnește graficul sinusului la $37^{\circ }$ și graficul cosinusului la $53^{\circ }$, simetric față de $45^{\circ }$.

Tangenta nu are această simetrie: la unghiuri complementare, tangentele sunt numere inverse, nu egale. Pe liniile lui $23^{\circ }$ și $67^{\circ }$ produsul lor este aproape $1$, iar abaterea vine din rotunjire.

4. Cum citești tabelul invers, de la valoare la unghi?

În problemele de măsurare obții adesea un raport de laturi și cauți unghiul. Alegi coloana funcției pe care ai calculat-o și cauți în ea valoarea cea mai apropiată de a ta. Dacă raportul este $0,45$ și este un sinus, valorile vecine sunt $0,4384$, pe linia lui $26^{\circ }$, și $0,4540$, pe linia lui $27^{\circ }$.

Compari distanțele: $0,45-0,4384=0,0116$, iar $0,4540-0,45=0,0040$. Linia lui $27^{\circ }$ este mai apropiată, deci unghiul este aproximativ $27^{\circ }$. Nu alegi automat linia de deasupra sau pe cea de dedesubt: decide diferența, calculată de fiecare dată.

Tabelul acoperă unghiurile ascuțite. Dacă în triunghiul tău unghiul căutat poate fi obtuz, citirea inversă îți dă doar varianta ascuțită; cum se obține cealaltă, cu aceeași valoare a sinusului, vei vedea în lecția despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2.

5. Ce fac instrumentele digitale altfel?

Calculatorul științific dă valorile direct, cu mai multe zecimale decât tabelul, iar citirea inversă se face cu tastele marcate ${\sin }^{-1}$, ${\cos }^{-1}$, ${\mathrm{tg}}^{-1}$. Rezultatul tastei inverse este un unghi ascuțit când valoarea introdusă este pozitivă, exact ca la citirea inversă din tabel. Pentru calculele cu grade, calculatorul trebuie pus pe grade; capcana modului de lucru a fost discutată în lecția despre sinus și cosinus pe cercul trigonometric.

Foaia de calcul are o particularitate: funcțiile ei trigonometrice primesc argumentul în radiani. Ca să obții sinusul unui unghi dat în grade, înmulțești întâi numărul de grade cu $\frac{\pi }{180}$, fie direct, fie cu funcția de conversie pe care o au majoritatea programelor de acest tip. Invers, funcțiile care dau unghiul întorc un rezultat în radiani, pe care îl transformi în grade.

Ce câștigi față de tabel? Viteză și zecimale. Ce nu câștigi? Înțelegerea: un număr scris pe ecran nu te avertizează că ai tastat greșit unghiul. De aceea, orice valoare obținută digital o compari cu un reper: tangenta unui unghi mai mare de $45^{\circ }$ trebuie să fie peste $1$, iar un sinus sau un cosinus nu poate trece de $1$.

6. Cât de precis este un rezultat calculat dintr-un unghi măsurat?

Un instrument simplu măsoară unghiuri cu o precizie de aproximativ un grad. Dacă unghiul adevărat poate fi cu un grad mai mic sau mai mare, și lungimea calculată variază. Tabelul permite estimarea directă: calculezi rezultatul pentru unghiul măsurat, apoi pentru unghiurile vecine, și obții un interval.

Monotonia face calculul sigur. Pe un interval de unghiuri ascuțite, tangenta crește, deci o înălțime de forma distanță înmulțită cu tangenta este cea mai mică la unghiul cel mai mic și cea mai mare la unghiul cel mai mare. Nu trebuie verificate valori din interior.

La o distanță dată, mărimea intervalului depinde mult de unghi. La unghiuri mici, tangenta crește încet, deci o eroare de un grad mută puțin rezultatul. La unghiuri mari, tangenta crește repede, iar aceeași eroare de un grad poate strica rezultatul. Comparația privește o distanță fixată: dacă observatorul își schimbă locul, se schimbă și distanța cu care se înmulțește tangenta, iar intervalul trebuie calculat din nou.

7. Cum raportezi un rezultat obținut astfel?

Un rezultat bun conține trei lucruri: valoarea, rotunjită cu sens, unitatea de măsură și, când datele provin dintr-o măsurare, o idee despre precizie. „Înălțimea este aproximativ $10,61$ m, între $10,10$ m și $11,13$ m dacă unghiul e corect până la un grad” spune mult mai mult decât un număr cu cinci zecimale.

Numărul de zecimale nu trebuie să sugereze o precizie pe care datele nu o au. Dacă unghiul a fost măsurat la grad, a doua zecimală a unei lungimi de zece metri nu mai are un înțeles fizic, chiar dacă o scrii din rațiuni de convenție. În lucrările de laborator de la fizică și chimie vei întâlni aceeași regulă sub numele de cifre semnificative.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O linie din tabel pentru două unghiuri

Tabelul nu are linia lui $49^{\circ }$. Folosind linia lui $41^{\circ }$, scrie sinusul și cosinusul lui $49^{\circ }$ fără alt calcul, apoi află tangenta lui $49^{\circ }$ și spune ce operație ai făcut.

Rezolvare. Unghiurile de $41^{\circ }$ și $49^{\circ }$ sunt complementare, deci coloanele se schimbă între ele: $\sin 49^{\circ }=\cos 41^{\circ }\approx 0,7547$ și $\cos 49^{\circ }=\sin 41^{\circ }\approx 0,6561$.

Tangenta nu se schimbă de coloană, ci se inversează: catetele își schimbă rolurile, deci $\mathrm{tg}49^{\circ }=\frac{1}{\mathrm{tg}41^{\circ }}\approx \frac{1}{0,8693}\approx 1,1504$. Un calculator dă tot $1,1504$. Rezultatul este mai mare decât $1$, cum trebuie pentru un unghi mai mare de $45^{\circ }$.

Exemplul 2 — Molecula de hidrogen sulfurat

În molecula ${\text{H}}_2\text{S}$, fiecare legătură sulf–hidrogen are $1,34$ Å, iar unghiul dintre legături este de $92^{\circ }$. Află distanța dintre cei doi atomi de hidrogen.

Rezolvare. Triunghiul format de cei trei atomi este isoscel, cu laturile egale de $1,34$ Å. Înălțimea din atomul de sulf împarte unghiul de $92^{\circ }$ în două unghiuri de $46^{\circ }$ și baza în două jumătăți. În triunghiul dreptunghic obținut, jumătatea bazei este cateta opusă unghiului de $46^{\circ }$, iar ipotenuza este legătura.

Deci distanța cerută este $2\cdot 1,34\cdot \sin 46^{\circ }$, iar cu valoarea din tabel obținem $2\cdot 1,34\cdot 0,7193=1,927724\approx 1,93$ Å. Rezultatul este mai mare decât lungimea unei legături, cum trebuie pentru un unghi mai mare de $60^{\circ }$ la vârf. Modelul tratează atomii ca puncte și folosește valori medii ale distanțelor.

Exemplul 3 — Telecabina

Cablul unei telecabine are $600$ m, iar stația de sus este cu $180$ m mai sus decât cea de jos. Presupunând cablul drept, ce unghi face el cu orizontala, rotunjit la grad?

Rezolvare. Diferența de nivel este cateta opusă unghiului căutat, iar cablul este ipotenuza. Raportul este $\frac{180}{600}=0,3$, deci căutăm în coloana sinusului.

Valorile vecine sunt $0,2924$, la $17^{\circ }$, și $0,3090$, la $18^{\circ }$. Distanțele sunt $0,3-0,2924=0,0076$ și $0,3090-0,3=0,009$, deci unghiul este aproximativ $17^{\circ }$. Modelul ignoră curbura cablului, care în realitate se lasă între stâlpi.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev găsește într-un triunghi dreptunghic raportul catetelor $0,5$ și scrie: „tangenta $0,5$ nu e în tabel; valoarea imediat mai mică este $0,4877$, deci unghiul este $26^{\circ }$”. Unde a greșit?

Rezolvare. Regula nu este „valoarea imediat mai mică”, ci „valoarea cea mai apropiată”. Vecinii lui $0,5$ în coloana tangentei sunt $0,4877$, la $26^{\circ }$, și $0,5095$, la $27^{\circ }$.

Distanțele sunt $0,5-0,4877=0,0123$ și $0,5095-0,5=0,0095$. Mai aproape este linia lui $27^{\circ }$, deci unghiul corect, rotunjit la grad, este aproximativ $27^{\circ }$. Un calculator confirmă: unghiul cu tangenta $0,5$ are aproximativ $26,57^{\circ }$, mai aproape de $27$ decât de $26$.

Exemplul 5 — Eroarea unui unghi măsurat

Un elev măsoară, cu instrumentul așezat la nivelul solului, la $25$ m de un copac, unghiul de elevație spre vârf: $23^{\circ }$, cu o precizie de un grad. Între ce valori poate fi înălțimea copacului?

Rezolvare. Înălțimea este cateta opusă, iar distanța este cateta alăturată, deci $h=25\mathrm{tg}\alpha$. Pentru unghiul măsurat, $25\cdot 0,4245=10,6125\approx 10,61$ m.

Unghiul real este între $22^{\circ }$ și $24^{\circ }$, iar tangenta crește, deci înălțimea este între $25\cdot 0,4040=10,1$ m și $25\cdot 0,4452=11,13$ m. Rezultatul onest este „aproximativ $10,6$ m, cu o incertitudine de circa jumătate de metru”, nu un număr cu patru zecimale.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $AC=9$. Arată că $BC=\sqrt{97}$ și că $\mathrm{tg}C=\frac{4}{9}$, apoi determină, cu ajutorul tabelului, măsurile aproximative ale unghiurilor $B$ și $C$, rotunjite la grad.

Rezolvare. Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=16+81=97$, deci $BC=\sqrt{97}$. Față de unghiul $C$, cateta opusă este $AB$, iar cea alăturată este $AC$, deci $\mathrm{tg}C=\frac{4}{9}\approx 0,4444$.

În coloana tangentei, cea mai apropiată valoare este $0,4452$, la $24^{\circ }$, deci $C$ are aproximativ $24^{\circ }$, iar $B$, complementul lui, aproximativ $66^{\circ }$. Primele două cerințe sunt exacte, ca cerința de trigonometrie din modelul oficial; ultima este o completare cu tabelul. Enunțul este construit în stilul Subiectului I și nu reproduce o cerință oficială.

Să exersăm

Folosește tabelul din lecție. Scrie valoarea citită înaintea calculului și rotunjește la final: lungimile la două zecimale, unghiurile la grad.

1. Un elev calculează cateta opusă unghiului de $24^{\circ }$ într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $15$ și obține $13,70$. Ce a citit greșit din tabel și care este valoarea corectă?

2. Un tobogan drept are lungimea de $4$ m, iar capătul lui de sus este la $2,88$ m deasupra solului orizontal. Ce unghi face toboganul cu solul, rotunjit la grad, și ce distanță ocupă pe orizontală?

3. Catetele unui triunghi dreptunghic au $7$ cm și $11$ cm. Află, rotunjit la grad, unghiul opus catetei de $7$ cm.

4. O rază de lumină traversează o placă de sticlă groasă de $2$ cm, sub un unghi de $18^{\circ }$ față de normala la placă. Ce drum parcurge lumina prin sticlă?

5. Află, rotunjit la grad, unghiul ascuțit $x$ cu $\cos x=0,9$.

6. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, ipotenuza are $BC=40$, iar unghiul $B$ are $27^{\circ }$. Află catetele.

7. Află, rotunjit la grad, unghiul ascuțit $x$ cu $\mathrm{tg}x=2,4$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Din tabel: când unghiul crește de la $17^{\circ }$ la $18^{\circ }$, sinusul crește mai mult decât atunci când unghiul crește de la $67^{\circ }$ la $68^{\circ }$.

9. (Problemă aplicată.) În molecula de apă, fiecare legătură oxigen–hidrogen are $0,96$ Å, iar unghiul dintre legături este de $104,5^{\circ }$. Cu un instrument digital, află distanța dintre atomii de hidrogen.

10. Numărul $0,8$ este măsura în radiani a unui unghi. Transformă-l în grade, cu două zecimale, și află $\sin 0,8$ cu un instrument digital. Care linie a tabelului este cea mai apropiată?

11. Află, cu tabelul, unghiul ascuțit $x$ pentru care $\sin x\approx 0,9272$.

12. Paznicul unui far, aflat la $32$ m deasupra nivelului mării, vede o barcă sub un unghi de depresie de $17^{\circ }$. La ce distanță pe orizontală de far se află barca?

13. Înălțimea unui stâlp se măsoară de două ori, cu un instrument așezat la nivelul solului, care citește unghiul de elevație la grad: din punctul $A$, aflat la $4$ m de stâlp, unghiul este $66^{\circ }$; din punctul $B$, aflat la $20,2$ m, unghiul este $24^{\circ }$. Pentru fiecare poziție, calculează înălțimea și intervalul în care se află ea dacă unghiul poate greși cu un grad (tangentele care lipsesc din tabel le iei cu un instrument digital). Ce constați?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=389$ și $AB=340$. Arătați că $AC=189$ și că $\mathrm{tg}B=\frac{189}{340}$, apoi determinați cu tabelul măsura aproximativă a unghiului $B$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=20$ și $\sin C=0,55$. Arată că $AB=11$ și $AC=3\sqrt{31}$, apoi estimează cu tabelul unghiul $C$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $B=\frac{8\pi }{45}$. Arătați că unghiul $B$ are $32^{\circ }$, apoi calculați cu tabelul catetele $AC$ și $AB$.

17. Într-un triunghi dreptunghic, cateta alăturată unui unghi de $36^{\circ }$ are $7,5$. Află cealaltă catetă și ipotenuza.

18. (Provocare.) Compară $\sin 5^{\circ }$, obținut cu un instrument digital, cu măsura în radiani a unghiului de $5^{\circ }$. Fă aceeași comparație pentru $17^{\circ }$, cu valoarea din tabel. Ce concluzie tragi despre aproximarea sinusului unui unghi mic prin măsura lui în radiani?

Răspunsuri și explicații

1. Elevul a citit coloana cosinusului: $15\cdot 0,9135\approx 13,70$. Cateta opusă cere sinusul: $15\cdot 0,4067=6,1005\approx 6,10$. Controlul prin reper: un unghi mai mic de $30^{\circ }$ are sinusul sub $0,5$, deci cateta opusă trebuie să fie sub jumătatea ipotenuzei, adică sub $7,5$; valoarea $13,70$ e imposibilă.

2. Diferența de nivel este cateta opusă unghiului, iar toboganul este ipotenuza, deci $\sin \alpha =\frac{2,88}{4}=0,72$. În coloana sinusului, cea mai apropiată valoare este $0,7193$, pe linia lui $46^{\circ }$, deci $\alpha \approx 46^{\circ }$. Pe orizontală: $4\cdot \cos 46^{\circ }\approx 4\cdot 0,6947\approx 2,78$ m; teorema lui Pitagora, $\sqrt{16-8,2944}\approx 2,78$, confirmă. Modelul presupune toboganul drept.

3. Unghiul opus catetei de $7$ cm are tangenta $\frac{7}{11}\approx 0,6364$. Vecinii sunt $0,6249$, la $32^{\circ }$, și $0,6494$, la $33^{\circ }$; distanțele sunt $0,0115$ și $0,013$, deci unghiul este aproximativ $32^{\circ }$.

4. Grosimea plăcii este cateta alăturată unghiului față de normală, iar drumul luminii este ipotenuza: $\frac{2}{\cos 18^{\circ }}\approx \frac{2}{0,9511}\approx 2,10$ cm.

5. În coloana cosinusului, vecinii sunt $0,9135$, la $24^{\circ }$, și $0,8988$, la $26^{\circ }$; distanțele sunt $0,0135$ și $0,0012$. Cosinusul scade, deci unghiul este aproape de $26^{\circ }$: $x\approx 26^{\circ }$. Calculatorul dă aproximativ $25,84^{\circ }$.

6. Cateta opusă lui $B$: $AC\approx 40\cdot 0,4540=18,16$. Cateta alăturată: $AB\approx 40\cdot 0,8910=35,64$. Proba: $18,16^2+35,64^2\approx 1600$.

7. Vecinii din coloana tangentei sunt $2,3559$, la $67^{\circ }$, și $2,4751$, la $68^{\circ }$; distanțele sunt $0,0441$ și $0,0751$, deci $x\approx 67^{\circ }$.

8. Adevărat. Între $17^{\circ }$ și $18^{\circ }$, sinusul crește cu $0,3090-0,2924=0,0166$; între $67^{\circ }$ și $68^{\circ }$, cu $0,9272-0,9205=0,0067$, de peste două ori mai puțin. Graficul sinusului se aplatizează spre $90^{\circ }$, invers decât tangenta, care crește tot mai repede.

9. Triunghiul este isoscel, iar înălțimea din oxigen împarte unghiul în două unghiuri de $52,25^{\circ }$. Distanța este $2\cdot 0,96\cdot \sin 52,25^{\circ }\approx 1,52$ Å, cu $\sin 52,25^{\circ }\approx 0,7907$ dat de calculator. Valorile folosite sunt medii măsurate, deci două zecimale sunt suficiente.

10. $0,8\cdot \frac{180}{\pi }\approx 45,84$, deci unghiul are aproximativ $45,84$ de grade, iar $\sin 0,8\approx 0,7174$. Cea mai apropiată linie a tabelului este cea a lui $46^{\circ }$, cu sinusul aproximativ $0,7193$.

11. Valoarea $0,9272$ se găsește în coloana sinusului pe linia lui $68^{\circ }$, deci $x\approx 68^{\circ }$.

12. Unghiul de depresie de sus este egal cu unghiul de elevație de la barcă, iar înălțimea farului este cateta opusă lui. Distanța pe orizontală este cateta alăturată: $\frac{32}{\mathrm{tg}17^{\circ }}\approx \frac{32}{0,3057}\approx 104,68$ m. Modelul neglijează curbura Pământului și înălțimea bărcii deasupra apei.

13. Din $A$: $h\approx 4\cdot 2,2460\approx 8,98$ m, între $4\cdot 2,1445\approx 8,58$ m (la $65^{\circ }$, digital) și $4\cdot 2,3559\approx 9,42$ m (la $67^{\circ }$). Din $B$: $h\approx 20,2\cdot 0,4452\approx 8,99$ m, între $20,2\cdot 0,4245\approx 8,57$ m (la $23^{\circ }$) și $20,2\cdot 0,4663\approx 9,42$ m (la $25^{\circ }$, digital). Intervalele practic coincid: în $B$ tangenta crește încet, dar distanța este de cinci ori mai mare și amplifică fiecare sutime. Pentru o înălțime dată, îndepărtarea nu face măsurarea mai precisă.

14. $A{C}^2=389^2-340^2=(389-340)(389+340)=49\cdot 729$, deci $AC=7\cdot 27=189$. Latura $AC$ este opusă lui $B$, iar $AB$ îi este alăturată: $\mathrm{tg}B=\frac{189}{340}\approx 0,5559$. În coloana tangentei, cea mai apropiată valoare este $0,5543$, pe linia lui $29^{\circ }$, deci $B\approx 29^{\circ }$; calculatorul dă aproximativ $29,07^{\circ }$.

15. $AB$ este opusă lui $C$: $AB=20\cdot 0,55=11$. Apoi $AC=\sqrt{400-121}=\sqrt{279}=3\sqrt{31}\approx 16,70$. În coloana sinusului, $0,55$ are vecinii $0,5446$, la $33^{\circ }$, și $0,5878$, la $36^{\circ }$, la distanțe $0,0054$ și $0,0378$, deci $C\approx 33^{\circ }$; calculatorul dă aproximativ $33,37^{\circ }$.

16. $\frac{8\pi }{45}$ radiani înseamnă $\frac{8\cdot 180^{\circ }}{45}=32^{\circ }$. Latura $AC$ este opusă lui $B$: $AC=12\sin 32^{\circ }\approx 12\cdot 0,5299\approx 6,36$. Latura $AB$ este alăturată: $AB=12\cos 32^{\circ }\approx 12\cdot 0,8480\approx 10,18$. Prima cerință este exactă; catetele sunt aproximări din tabel.

17. Cealaltă catetă, prin tangentă: $7,5\cdot 0,7265=5,44875\approx 5,45$. Ipotenuza, prin cosinus, cu împărțire: $\frac{7,5}{0,8090}\approx 9,27$.

18. $\sin 5^{\circ }\approx 0,0872$, iar $5^{\circ }=\frac{\pi }{36}\approx 0,0873$ radiani: diferența este de o zecime de miime. Pentru $17^{\circ }$: $\sin 17^{\circ }\approx 0,2924$, iar $\frac{17\pi }{180}\approx 0,2967$, diferență de peste patru miimi. Aproximarea sinusului prin măsura în radiani este foarte bună pentru unghiuri mici și se strică pe măsură ce unghiul crește.

De reținut

• Valorile exacte ($\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ și punctele de pe axe) se scriu cu $=$; valorile tabelate sau digitale se scriu cu $\approx$, la fel ca orice rezultat calculat din ele.
• Citirea directă: linia unghiului, coloana funcției. Citirea inversă: coloana funcției calculate, apoi linia cu valoarea cea mai apropiată, decisă prin diferențe, nu prin poziție.
• În tabel, sinusul crește și cosinusul scade pe unghiurile ascuțite; unghiurile complementare au sinusul unuia egal cu cosinusul celuilalt și tangentele inverse.
• Foaia de calcul lucrează în radiani, iar tastele inverse ale calculatorului dau unghiuri ascuțite pentru valori pozitive; unghiurile obtuze cer un pas în plus.
• La aceeași distanță, o eroare de un grad în unghiul măsurat se transmite în rezultat cu atât mai puternic cu cât unghiul este mai mare; un rezultat bun se raportează cu unitate și cu o idee despre precizie.

Greșeli frecvente

• O valoare tabelată folosită ca valoare exactă. Se scrie „$\sin 37^{\circ }=0,6018$” și apoi se „demonstrează” o egalitate cu ea. O valoare rotunjită poate confirma o egalitate, dar nu o poate demonstra.
• Tangenta complementului citită pe aceeași coloană. Se ia $\mathrm{tg}67^{\circ }$ egală cu $\mathrm{tg}23^{\circ }$, după modelul sinus–cosinus. La unghiuri complementare, tangentele sunt inverse, nu egale.
• Un unghi obtuz căutat în tabelul unghiurilor ascuțite. Tabelul și tasta inversă dau un unghi între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$. Dacă triunghiul are un unghi obtuz, rezultatul citit nu este unghiul căutat, ci unghiul ascuțit cu același sinus.
• Rezultatul scris cu mai multe zecimale decât permit datele. Un unghi măsurat la grad nu poate da o lungime precisă la milimetru. Numărul de zecimale trebuie să corespundă preciziei măsurătorii.
• Aceeași toleranță presupusă la orice unghi. Se crede că un grad în plus sau în minus schimbă rezultatul la fel, indiferent de unghi. La aceeași distanță, la unghiuri de elevație mari, aceeași eroare produce abateri de câteva ori mai mari.

Aplică acasă

1. Tabelul de sensibilitate. Într-o foaie de calcul, pune în prima coloană unghiurile de la $10^{\circ }$ la $80^{\circ }$, din zece în zece, iar în următoarele trei înălțimea $20\mathrm{tg}\alpha$ pentru unghiul cu un grad mai mic, pentru unghiul însuși și pentru cel cu un grad mai mare. Nu uita conversia în radiani. Calculează diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică și găsește unghiurile pentru care măsurarea e cea mai sigură.
2. Modelul moleculei de apă. Cu două bețișoare egale și o bilă de plastilină, construiește un model al moleculei de apă la scară, de exemplu $10$ cm pentru $1$ Å, cu unghiul de $104,5^{\circ }$ măsurat cu raportorul. Măsoară distanța dintre capetele bețișoarelor și compar-o cu valoarea calculată în exercițiul 9, adusă la aceeași scară.
3. Unghiul sub care vezi o monedă. Ține o monedă la distanța brațului întins și măsoară diametrul ei și distanța până la ochi. Calculează tangenta jumătății unghiului sub care o vezi și citește unghiul din tabel sau cu calculatorul. Compară rezultatul cu unghiul sub care se vede Luna, de aproximativ o jumătate de grad.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă nota explicită din programa de științe care permite, în aplicațiile trigonometriei în geometrie, folosirea tabelelor ori a mijloacelor digitale pentru valorile trigonometrice. Elevul trebuie să citească un tabel în ambele sensuri, să deosebească valorile exacte de cele aproximative și să raporteze un rezultat cu o precizie potrivită datelor. Pentru un elev de științe, partea a doua, despre transmiterea erorii, este la fel de importantă ca citirea: ea se regăsește în orice lucrare de laborator. Întrebări utile: „De ce se scrie $\approx$ și nu $=$ lângă o valoare din tabel?”; „De ce, la aceeași distanță, aceeași eroare de un grad contează mai mult la $67^{\circ }$ decât la $23^{\circ }$?”. Pentru rădăcinile din gimnaziu ale citirii unui unghi dintr-un raport se poate relua lecția de clasa a VII-a despre valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, iar programa de examen reia nota că, în aplicațiile trigonometriei în geometrie, valorile se pot obține din tabele ori cu mijloace digitale. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține aplicațiile trigonometriei în geometrie, cu rezolvarea triunghiului dreptunghic, dar nu are nota despre tabele trigonometrice ori mijloace digitale. Modelul oficial din 2026 folosește la Subiectul I un unghi cu valori exacte; lecția nu presupune nimic despre instrumentele permise la probă, iar cerințele tip Bacalaureat M2 de aici au o parte exactă și o completare cu tabelul.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: valorile funcțiilor trigonometrice, tabele și instrumente digitale face parte din unitatea de geometrie a clasei a X-a la mate-info. Pe traseul M2 urmează sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la această lecție în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, lecția stă în clasa a IX-a, după funcțiile trigonometrice pe cercul unitate, și pune accent pe felul în care eroarea unui unghi măsurat se transmite în rezultat, ca într-o lucrare de laborator. Exemplele vin din chimie și din măsurători pe teren. Lecția M1 este în clasa a X-a și insistă pe modul de lucru al calculatorului.

La ce subiect al bacalaureatului M2 îmi folosesc tabelele?

Modelul oficial din 2026 are la Subiectul I o cerință de trigonometrie cu un unghi pentru care valorile sunt exacte, deci tabelele nu au fost necesare acolo. Programa de examen pentru 2030 reia însă nota despre tabele și mijloace digitale. De aceea exercițiile tip Bacalaureat M2 din lecție au o parte exactă și o completare cu tabelul.

De ce valorile din tabel se scriu cu semnul aproximativ?

Pentru că sunt rotunjite, de obicei la patru zecimale. Valoarea exactă a sinusului unui unghi de treizeci și șapte de grade are o infinitate de zecimale și nu se scrie comod cu radicali. Semnul aproximativ îi spune cititorului că numărul e rotunjit și că orice rezultat obținut din el este tot aproximativ.

Ce fac când valoarea mea este aproape la mijloc între două rânduri ale tabelului?

Calculezi cu atenție cele două diferențe; chiar la mijloc, una dintre ele este de obicei puțin mai mică. Dacă sunt practic egale, folosește un instrument digital, care dă unghiul cu zecimale, și abia apoi rotunjește. În raport poți scrie că unghiul este între cele două valori, dacă precizia de un grad nu îți ajunge.

De ce o eroare de un grad schimbă diferit înălțimea calculată?

Înălțimea se obține înmulțind distanța cu tangenta unghiului, iar tangenta crește încet la unghiuri mici și foarte repede la unghiuri mari. Un grad în plus la douăzeci și trei de grade schimbă tangenta cu aproximativ două sutimi, dar la șaizeci și șapte de grade cu peste o zecime. Pentru aceeași distanță, rezultatul devine mult mai nesigur.

Ce fac dacă unghiul din problemă este mai mare de nouăzeci de grade?

Tabelul și tastele inverse lucrează cu unghiuri ascuțite. Pentru un unghi obtuz, folosești legătura dintre el și suplementul lui, care are același sinus și cosinusul de semn opus. Această legătură este tema lecției următoare de pe traseul M2, despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze.