Simulare Evaluarea Națională nr. 2

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(45-3\cdot 5):6$ este: a) $35$ b) $10$ c) $5$ d) $7$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $12$ b) $\frac{75}{4}$ c) $18$ d) $\frac{3}{4}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră intervalele $A=[-2,3]$ și $B=[0,5]$. Intersecția $A\cap B$ este intervalul: a) $[-2,5]$ b) $[0,5]$ c) $[-2,3]$ d) $[0,3]$

Exercițiul 4 · 5 puncte $35\%$ din numărul $120$ reprezintă: a) $30$ b) $42$ c) $35$ d) $85$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $8,5$ c) $9$ d) $6,5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{26}-5$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=5$ cm și $BC=13$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $4$ cm c) $18$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $17$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $\sqrt{63}$ cm c) $108$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $15^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $148{\text{cm}}^3$ b) $60{\text{cm}}^3$ c) $120{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un bazin conține o cantitate de apă. În prima zi se consumă $25\%$ din apa din bazin, în a doua zi se consumă $20\%$ din apa rămasă, iar în a treia zi se consumă ultimii $240$ de litri. a) (2 p) Arată că în a doua zi s-a consumat mai puțină apă decât în prima zi. b) (3 p) Determină ce cantitate de apă a fost inițial în bazin.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul închirierii unei biciclete la un centru de închiriere este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+8$, unde $x$ reprezintă numărul de ore, taxa fixă este de $8$ lei, iar tariful este de $2$ lei pe oră. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(5)$ (costul pentru $0$ ore, respectiv pentru $5$ ore). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=8$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(45-3\cdot 5):6=(45-15):6=30:6=5$.
2. a) $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 4}{5}=12$.
3. d) Elementele comune ambelor intervale sunt cele cu $0\le x\le 3$, deci $A\cap B=[0,3]$.
4. b) $35\%\cdot 120=\frac{35}{100}\cdot 120=42$.
5. c) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. c) $5=\sqrt{25}<\sqrt{26}<\sqrt{26,01}=5,1$, deci $0<\sqrt{26}-5<0,1<1$; prin urmare $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=5+13=18$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=9$ cm; $MB=AM-AB=9-5=4$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. d) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ }=30^{\circ }$.
6. c) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $C$ cantitatea inițială de apă (în litri). a) (2 p) Ziua întâi: $25\%$ din $C$. Ziua a doua: $20\%$ din rest $=20\%\cdot 75\%\cdot C=15\%$ din $C$ (1 p). Cum $15\%<25\%$, în a doua zi s-a consumat mai puțină apă decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a consumat $25\%+15\%=40\%$ din $C$, deci a rămas $60\%\cdot C$ (1 p). Acest rest a fost consumat a treia zi: $60\%\cdot C=240$ (1 p) $\Rightarrow C=\frac{240}{0,6}=400$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2\cdot 0+8=8$ (1 p); $f(5)=2\cdot 5+8=18$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 2x+8=0\Rightarrow x=-4$, deci $A(-4,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=4$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{32\cdot 5}{2}=80{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=8^2=64{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=80+64=144{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 3=64{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.