Simulare Evaluarea Națională nr. 3

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 4^2-20$ este: a) $124$ b) $16$ c) $28$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezultatul calculului $\sqrt{49}+\sqrt{9}$ este egal cu: a) $10$ b) $58$ c) $\sqrt{58}$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6\}$ și $B=\{4,6,8\}$. Numărul de elemente ale mulțimii $A\cup B$ este egal cu: a) $6$ b) $3$ c) $8$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte $20\%$ din numărul $45$ reprezintă: a) $25$ b) $9$ c) $65$ d) $90$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $2$, $5$, $8$ și $9$ este egală cu: a) $24$ b) $8$ c) $6$ d) $5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=2\sqrt{5}-4$. Numărul $a$ aparține intervalului: a) $(-1,0)$ b) $(0,1)$ c) $(1,2)$ d) $(2,3)$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $2$ cm c) $3$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $35^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $145^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $\sqrt{119}$ cm c) $13$ cm d) $169$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=12$ cm și $BD=16$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu:

a) $192{\text{cm}}^2$ b) $96{\text{cm}}^2$ c) $48{\text{cm}}^2$ d) $28{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, iar $A$, $B$, $C$ sunt puncte pe cerc. Măsura unghiului la centru $AOB$ este de $100^{\circ }$. Măsura unghiului înscris $ACB$ este egală cu:

a) $100^{\circ }$ b) $25^{\circ }$ c) $50^{\circ }$ d) $200^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=5$ cm, $BC=3$ cm și $AE=4$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $94{\text{cm}}^3$ b) $120{\text{cm}}^3$ c) $47{\text{cm}}^3$ d) $60{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un elev economisește bani în trei luni consecutive. În prima lună economisește $35\%$ din suma totală economisită, în a doua lună $40\%$ din suma totală, iar în a treia lună restul, adică $250$ de lei. a) (2 p) Determină ce procent din suma totală a economisit elevul în a treia lună. b) (3 p) Determină suma totală economisită și suma economisită în prima lună.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o parcare, costul staționării, exprimat în lei, este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$, unde $x$ este numărul de ore de staționare, $6$ lei reprezintă taxa pentru primul interval (accesul în parcare), iar $3$ lei este costul fiecărei ore. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(4)$ și precizează cât costă staționarea timp de $4$ ore. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ (toate muchiile egale) cu muchia $AB=6$ cm. a) (2 p) Calculează aria totală a tetraedrului. b) (3 p) Calculează înălțimea și volumul tetraedrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Se acordă zece puncte din oficiu. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $3\cdot 4^2-20=3\cdot 16-20=48-20=28$ (întâi ridicarea la putere, apoi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) $\sqrt{49}+\sqrt{9}=7+3=10$.
3. d) $A\cup B=\{2,4,6,8\}$, care are $4$ elemente.
4. b) $20\%\cdot 45=\frac{20}{100}\cdot 45=9$.
5. c) Media $=\frac{2+5+8+9}{4}=\frac{24}{4}=6$.
6. b) $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$ și $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$, deci $4<2\sqrt{5}<5$; scăzând $4$: $0<2\sqrt{5}-4<1$, adică $a\in (0,1)$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
4. b) Aria rombului $=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{12\cdot 16}{2}=96{\text{cm}}^2$.
5. c) Unghiul înscris $ACB$ și unghiul la centru $AOB$ subîntind același arc $AB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{1}{2}\cdot m(\angle AOB)=\frac{1}{2}\cdot 100^{\circ }=50^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=5\cdot 3\cdot 4=60{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma totală economisită. a) (2 p) În primele două luni s-a economisit $35\%+40\%=75\%$ din $S$ (1 p). În a treia lună s-a economisit restul, adică $100\%-75\%=25\%$ din $S$ (1 p). b) (3 p) Restul de $25\%$ din $S$ înseamnă $250$ de lei: $25\%\cdot S=250$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{250}{0,25}=1000$ de lei (1 p). În prima lună a economisit $35\%\cdot 1000=350$ de lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=3\cdot 0+6=6$ (1 p); $f(4)=3\cdot 4+6=18$, deci staționarea timp de $4$ ore costă $18$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Tetraedrul regulat are toate fețele triunghiuri echilaterale cu latura $a=6$ cm. a) (2 p) Aria unei fețe: $A_f=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Tetraedrul are $4$ fețe, deci aria totală $A_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Piciorul înălțimii din $D$ cade în centrul de greutate $O$ al bazei $ABC$. Mediana bazei are lungimea $\frac{a\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, iar distanța de la vârf la centrul de greutate este $OA=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm (1 p). Din triunghiul dreptunghic $DOA$: $DO=\sqrt{D{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, romb, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.