Simulare Evaluarea Națională nr. 5

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(30 + 6 \cdot 5) : 6$ este: a) $10$ b) $6$ c) $36$ d) $60$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{9} = \frac{2}{3}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $27$ b) $6$ c) $4, 5$ d) $13, 5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 3, 4, 5}$ și $B = {4, 5, 6, 7}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${2, 3, 6, 7}$ b) ${4, 5, 6}$ c) ${4, 5}$ d) ${2, 3, 4, 5, 6, 7}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30%$ din numărul $90$ reprezintă: a) $30$ b) $3$ c) $60$ d) $27$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 25$ și $b = 9$ este: a) $7$ b) $14$ c) $4$ d) $3, 5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 5 - 24$ . Atunci numărul $a$ verifică: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 6$ cm și $B C = 10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $8$ cm c) $4$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $5 0^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 0^{\circ}$ b) $4 0^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $13 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 15$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $161$ cm b) $23$ cm c) $289$ cm d) $17$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $A B C D$ cu $A B ∥ C D$ , în care $A B = 10$ cm (baza mare), $C D = 6$ cm (baza mică) și latura $A D ⊥ A B$ , cu $A D = 4$ cm. Aria trapezului $A B C D$ este egală cu:

a) $64 cm^{2}$ b) $40 cm^{2}$ c) $32 cm^{2}$ d) $20 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $8 0^{\circ}$ b) $4 0^{\circ}$ c) $2 5^{\circ}$ d) $16 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu dimensiunile $A B = 5$ cm, $B C = 4$ cm și $A E = 3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $47 cm^{3}$ b) $94 cm^{3}$ c) $120 cm^{3}$ d) $60 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezervorul plin de combustibil al unui generator conține o cantitate de motorină. În prima zi se consumă $35%$ din cantitatea de combustibil, în a doua zi se consumă $40%$ din cât a rămas, iar în rezervor mai rămân $39$ de litri de motorină. a) (2 p) Arată că în a doua zi s-a consumat mai puțin combustibil decât în prima zi. b) (3 p) Determină ce cantitate de combustibil se afla inițial în rezervor.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 4$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 4}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Salariul lunar al unui agent de vânzări, exprimat în sute de lei, este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 8$ , unde $x$ reprezintă numărul de produse vândute într-o lună. a) (2 p) Calculează $f (0)$ (partea fixă a salariului) și $f (6)$ (salariul pentru $6$ produse vândute). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 15$ cm și $A D = 8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 12$ cm și $A C = 5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte Un recipient are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R = 3$ cm și înălțimea $h = 5$ cm. Se folosește $π \approx 3, 14$ doar dacă se cere aproximarea; rezultatele se pot lăsa în funcție de $π$ . a) (2 p) Calculează aria unei baze și aria laterală a cilindrului. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul cilindrului.

Barem și răspunsuri

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	b)	c)	d)	a)	c)

a) $(30 + 6 \cdot 5) : 6 = (30 + 30) : 6 = 60 : 6 = 10$ .
b) $\frac{x}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{9 \cdot 2}{3} = 6$ .
c) Elementele comune sunt $4$ și $5$ , deci $A \cap B = {4, 5}$ .
d) $30% \cdot 90 = \frac{30}{100} \cdot 90 = 27$ .
a) $a = 25 = 5$ ; media $= \frac{5 + 9}{2} = 7$ .
c) $16 = 4 < 24 < 25 = 5$ ; din $24 < 5$ rezultă $a = 5 - 24 > 0$ , iar din $24 > 4$ rezultă $a = 5 - 24 < 1$ . Deci $0 < a < 1$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	b)	d)	c)	b)	d)

a) $A C = A B + B C = 6 + 10 = 16$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 8$ cm; $M B = A M - A B = 8 - 6 = 2$ cm.
b) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm.
c) $A_{A B C D} = \frac{( A B + C D ) \cdot A D}{2} = \frac{( 10 + 6 ) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = 32 cm^{2}$ .
b) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
d) $V = A B \cdot B C \cdot A E = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ cantitatea inițială de combustibil (în litri). a) (2 p) Ziua întâi: se consumă $35%$ din $S$ . După prima zi rămâne $65% \cdot S$ ; a doua zi se consumă $40%$ din rest $= 40% \cdot 65% \cdot S = 26%$ din $S$ (1 p). Cum $26% < 35%$ , în a doua zi s-a consumat mai puțin decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a consumat $35% + 26% = 61%$ din $S$ , deci a rămas $39% \cdot S$ (1 p). Acest rest este de $39$ litri: $39% \cdot S = 39$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{39}{0 , 39} = 100$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ și $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 4$ , deci $x \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 4$ , rămân $x \in {- 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p) (verificare: $E (- 2) = 3$ , $E (- 1) = 5$ , $E (1) = - 3$ , $E (2) = - 1$ , $E (4) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 2 \cdot 0 + 8 = 8$ (1 p); $f (6) = 2 \cdot 6 + 8 = 20$ (1 p). (Partea fixă este de $8$ sute de lei, iar pentru $6$ produse salariul este de $20$ sute de lei.) b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = - 4$ , deci $A (- 4, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 8$ , deci $B (0, 8)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2} = 16$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (15 + 8) = 46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 15 \cdot 8 = 120 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 5$ , cateta alăturată $A B = 12$ , ipotenuza $B C = 13$ . $sin B = \frac{5}{13}, cos B = \frac{12}{13}, tg B = \frac{5}{12} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 12 + 5 + 13 = 30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria unei baze: $A_{b} = π R^{2} = π \cdot 3^{2} = 9 π cm^{2}$ (1 p). Aria laterală: $A_{ℓ} = 2 π R h = 2 π \cdot 3 \cdot 5 = 30 π cm^{2}$ (1 p). b) (3 p) Aria totală: $A_{t} = A_{ℓ} + 2 \cdot A_{b} = 30 π + 2 \cdot 9 π = 30 π + 18 π = 48 π cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = π R^{2} h = π \cdot 9 \cdot 5$ (1 p) $= 45 π cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.