Simulare Evaluarea Națională nr. 7

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(36+4\cdot 6):5$ este: a) $12$ b) $60$ c) $48$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6}=\frac{5}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $30$ b) $15$ c) $3$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,3,5,9\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{3,5,7\}$ b) $\{1,2,3,5,7,9\}$ c) $\{3,5\}$ d) $\{1,2,7,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $200$ reprezintă: a) $15$ b) $45$ c) $20$ d) $30$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $9$ b) $18$ c) $8$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{17}-4$. Atunci numărul $a$ este: a) negativ b) irațional și pozitiv c) natural d) egal cu $1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $M$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=5$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $2$ cm c) $7$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $50^{\circ }$ d) $55^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $17$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $6\sqrt{2}$ cm b) $12$ cm c) $36$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $40^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei $r=3$ cm și înălțimea $h=5$ cm. Volumul cilindrului este egal cu:

a) $30\pi {\text{cm}}^3$ b) $90\pi {\text{cm}}^3$ c) $45\pi {\text{cm}}^3$ d) $15\pi {\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un colecționar are o colecție de timbre. Dintre acestea, $40\%$ sunt timbre românești, iar dintre cele rămase $25\%$ sunt timbre franțuzești; celelalte $360$ de timbre sunt din alte țări. a) (2 p) Arată că în colecție sunt mai multe timbre românești decât franțuzești. b) (3 p) Determină câte timbre are în total colecția.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar, în lei, plătit de un abonat pentru $x$ gigabytes (GB) de internet mobil este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$ (abonamentul de bază plus $3$ lei pentru fiecare GB consumat). a) (2 p) Calculează $f(0)$ (costul abonamentului de bază) și $f(4)$ (costul pentru $4$ GB consumați). b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide triunghiulare regulate $VABC$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(36+4\cdot 6):5=(36+24):5=60:5=12$.
2. b) $\frac{x}{6}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{6\cdot 5}{2}=15$.
3. c) Elementele comune sunt $3$ și $5$, deci $A\cap B=\{3,5\}$.
4. d) $15\%\cdot 200=\frac{15}{100}\cdot 200=30$.
5. a) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. b) $\sqrt{17}>\sqrt{16}=4$, deci $\sqrt{17}-4>0$; cum $\sqrt{17}$ este irațional, $a$ este un număr irațional și pozitiv.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=5+9=14$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=7$ cm; $MB=AM-AB=7-5=2$ cm.
2. d) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. a) Diagonala pătratului: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. c) $V=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot 3^2\cdot 5=\pi \cdot 9\cdot 5=45\pi {\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ numărul total de timbre. a) (2 p) Timbrele românești reprezintă $40\%$ din $S$. Cele franțuzești reprezintă $25\%$ din rest, adică $25\%\cdot 60\%\cdot S=15\%$ din $S$ (1 p). Cum $15\%<40\%$, sunt mai multe timbre românești decât franțuzești (1 p). b) (3 p) Timbrele din alte țări reprezintă $100\%-40\%-15\%=45\%$ din $S$ (1 p). Acestea sunt $360$ de timbre: $45\%\cdot S=360$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{360}{0,45}=800$ de timbre (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=5$ (și $x=0$), rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=3\cdot 0+6=6$ lei (1 p); $f(4)=3\cdot 4+6=12+6=18$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Baza este triunghi echilateral cu latura $6$ cm; apotema bazei este $OM=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ cm (2 p). b) (3 p) Perimetrul bazei $P_{baza}=3\cdot 6=18$ cm; aria laterală $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{18\cdot 2\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=18\sqrt{3}+9\sqrt{3}=27\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.