Simulare Evaluarea Națională nr. 8

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2\cdot 3^2-4$ este: a) $18$ b) $14$ c) $32$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $18$ b) $9$ c) $10$ d) $2,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,3,5,9\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{3,5\}$ b) $\{1,2,7,9\}$ c) $\{3,5,7,9\}$ d) $\{1,2,3,5,7,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $90$ reprezintă: a) $3$ b) $60$ c) $27$ d) $120$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{25}$ și $b=9$ este: a) $14$ b) $45$ c) $2$ d) $7$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{15}-4$. Atunci numărul $a$ este: a) natural b) pozitiv c) negativ d) egal cu $0$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=3$ cm și $BC=7$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $4$ cm c) $1$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $125^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=15$ cm și $AC=8$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $17$ cm c) $289$ cm d) $\sqrt{161}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $108$ cm c) $15$ cm d) $27$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei $R=3$ cm și înălțimea $h=5$ cm. Volumul cilindrului este egal cu:

a) $30\pi {\text{cm}}^3$ b) $15\pi {\text{cm}}^3$ c) $90\pi {\text{cm}}^3$ d) $45\pi {\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin are un stoc de tricouri. În prima zi vinde $30\%$ din stoc, în a doua zi vinde $40\%$ din câte au rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $105$ de tricouri. a) (2 p) Arată că în a doua zi magazinul a vândut mai puține tricouri decât în prima zi. b) (3 p) Determină numărul inițial de tricouri din stoc.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte La un curs de înot se plătește o taxă de înscriere de $40$ de lei, apoi $25$ de lei pentru fiecare ședință. Costul total, în lei, pentru $x$ ședințe este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=25x+40$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(6)$. b) (3 p) Un elev dispune de un buget de $240$ de lei. Determină numărul maxim de ședințe la care se poate înscrie.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $AD=7$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=6$ cm. a) (2 p) Calculează aria totală și volumul cubului. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ a unei fețe și lungimea diagonalei $AG$ a cubului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $2\cdot 3^2-4=2\cdot 9-4=18-4=14$.
2. c) $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{6\cdot 5}{3}=\frac{30}{3}=10$.
3. a) Elementele comune sunt $3$ și $5$, deci $A\cap B=\{3,5\}$.
4. c) $30\%\cdot 90=\frac{30}{100}\cdot 90=27$.
5. d) $a=\sqrt{25}=5$; media $=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$.
6. c) $\sqrt{15}<\sqrt{16}=4$, deci $a=\sqrt{15}-4<0$, adică $a$ este un număr negativ.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=3+7=10$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=5$ cm; $MB=AM-AB=5-3=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. c) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. d) $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 5=\pi \cdot 9\cdot 5=45\pi {\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ numărul inițial de tricouri. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $S$. După prima zi rămân $70\%$ din $S$, deci ziua a doua se vinde $40\%\cdot 70\%\cdot S=28\%$ din $S$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua zi s-au vândut mai puține tricouri decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-au vândut $30\%+28\%=58\%$ din $S$, deci au rămas $42\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $42\%\cdot S=105$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{105}{0,42}=250$ de tricouri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2+4x=x(x+4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-4$, rămân $x\in \{-2,-1,1,2,4\}$ (1 p) (verificare: $E(-2)=3$, $E(-1)=5$, $E(1)=-3$, $E(2)=-1$, $E(4)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=25\cdot 0+40=40$ (taxa de înscriere) (1 p); $f(6)=25\cdot 6+40=150+40=190$ lei (1 p). b) (3 p) Costul pentru $x$ ședințe nu poate depăși bugetul: $25x+40\le 240$ (1 p) $\Rightarrow 25x\le 200\Rightarrow x\le 8$ (1 p). Numărul maxim este $8$ ședințe, iar costul este exact $25\cdot 8+40=240$ lei (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(24+7)=62$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=24\cdot 7=168{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria totală: $A_t=6\cdot {\ell }^2=6\cdot 6^2=6\cdot 36=216{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V={\ell }^3=6^3=216{\text{cm}}^3$ (1 p). b) (3 p) Diagonala feței (în pătratul $ABCD$): $AC=\ell \sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Muchia $CG\perp$ planul bazei, deci triunghiul $ACG$ este dreptunghic în $C$: $AG=\sqrt{A{C}^2+C{G}^2}=\sqrt{(6\sqrt{2}{)}^2+6^2}=\sqrt{72+36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.