A doua simulare oficială Evaluarea Națională — 2026

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $39-9:3$ este egal cu: a) $10$ b) $12$ c) $36$ d) $90$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cinci caiete de același fel costă $50$ de lei. Prețul unui astfel de caiet este egal cu: a) $1$ leu b) $5$ lei c) $10$ lei d) $50$ de lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural din intervalul $\left(-1,6\right)$ este egal cu: a) $6$ b) $5$ c) $0$ d) $-1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Fracția subunitară din mulțimea $\left\{\frac{5}{2},\frac{15}{16},\frac{16}{15},5\right\}$ este: a) $\frac{5}{2}$ b) $\frac{15}{16}$ c) $\frac{16}{15}$ d) $5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ana, Mihaela, Paul și Tudor, au calculat suma numerelor $a=3+2\sqrt{2}$ și $b=3-\sqrt{8}$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana b) Mihaela c) Paul d) Tudor

Exercițiul 6 · 5 puncte După o scumpire cu $10\%$, un obiect costă $110$ lei. Ana afirmă: „Prețul inițial al acestui obiect este de $100$ de lei.". Afirmația Anei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=20$ cm, lungimea segmentului $BC$ este jumătate din lungimea segmentului $AB$, iar punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $C$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

a) $40$ cm b) $35$ cm c) $30$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$, cu punctele $A$ și $D$ de o parte și de alta a dreptei $BC$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $75^{\circ }$ c) $135^{\circ }$ d) $145^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Punctul $E$ aparține laturii $BC$, astfel încât $AE=CE$ și măsura unghiului $BEA$ este egală cu $78^{\circ }$. Măsura unghiului $CAB$ este egală cu:

a) $39^{\circ }$ b) $78^{\circ }$ c) $102^{\circ }$ d) $141^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=8$ cm, $CD=4$ cm și $AD=4\sqrt{3}$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $40$ cm² b) $24\sqrt{3}$ cm² c) $32$ cm² d) $8\sqrt{3}$ cm²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $AB$. Punctele $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele și măsura unghiului $BOC$ este egală cu $60^{\circ }$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $110^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Măsura unghiului dreptelor $BF$ și $CD$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Silvia a scris pe o foaie un număr natural pe care, dacă îl împarte la $5$, obține restul $2$, iar dacă îl împarte la $6$ obține restul $3$. a) (2 p) Este posibil ca numărul scris de Silvia să fie $158$? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Silvia a scris pe foaie cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț. Determină acest număr.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x-4}{x-2}-\frac{2-x}{x-4}-2\right):\frac{1}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină suma soluțiilor ecuației $E(x)=\frac{x+4}{12}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$.

Exercițiul 3 · 5 puncte În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$.

a) (2 p) Arată că $AB=5$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$, în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$, dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$, $DN=6$ cm și $MN=3$ cm.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $BMN$ este egală cu $45^{\circ }$. b) (3 p) Calculează aria discului cu centrul în $O$ și rază $OD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Punctul $Q$ se află pe latura $AB$, astfel încât $BQ=2$ cm. Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG\cap BC=\{M\}$.

a) (2 p) Calculează lungimea segmentului $BC$. b) (3 p) Determină perimetrul patrulaterului $BQGP$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}$ cm.

a) (2 p) Calculează perimetrul triunghiului $ABC$. b) (3 p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $M{C}^{\prime }$ și planul $(B^{\prime }BC)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $39-9:3=39-3=36$.
2. c) $50:5=10$ lei (prețul unui caiet).
3. b) În intervalul deschis $\left(-1,6\right)$, numerele naturale sunt $0,1,2,3,4,5$; cel mai mare este $5$.
4. b) $\frac{15}{16}<1$, singura fracție subunitară dintre cele date (celelalte: $\frac{5}{2}>1$, $\frac{16}{15}>1$, $5>1$).
5. b) $a+b=(3+2\sqrt{2})+(3-\sqrt{8})=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$, deci Mihaela are rezultatul corect.
6. a) $100\cdot 1,1=110$ lei, deci afirmația Anei este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $BC=\frac{AB}{2}=10$ cm; $D$ fiind simetricul lui $B$ față de $C$, rezultă $CD=CB=10$ cm. Deci $AD=AB+BC+CD=20+10+10=40$ cm.
2. a) Cum $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$, unghiurile $ABC$ și $BCD$ sunt alterne interne formate de secanta $BC$ cu paralelele $AB$ și $CD$, deci $m(\angle ABC)=m(\angle BCD)=45^{\circ }$.
3. c) Din $AE=CE$, triunghiul $AEC$ este isoscel, deci $m(\angle EAC)=m(\angle ACE)=m(\angle ACB)$; notăm $m(\angle ACB)=m(\angle ABC)=\beta$ (triunghi isoscel $ABC$, $AB=AC$). Cum $m(\angle BEA)=180^{\circ }-m(\angle AEC)=180^{\circ }-(180^{\circ }-2\beta )=2\beta =78^{\circ }$, rezultă $\beta =39^{\circ }$, deci $m(\angle CAB)=180^{\circ }-2\beta =180^{\circ }-78^{\circ }=102^{\circ }$.
4. b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(8+4)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.
5. d) Cum $AB\parallel CD$, arcele $\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}$ și $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ sunt congruente: $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}})=m(\angle BOC)=60^{\circ }$. Unghiul înscris $ADC$ subîntinde arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}$ care nu îl conține pe $D$; acest arc este format din semicercul $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ (partea fără $D$ și $C$, adică $180^{\circ }$) și arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=60^{\circ }$, deci $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}})=240^{\circ }$, iar $m(\angle ADC)=\frac{240^{\circ }}{2}=120^{\circ }$.
6. d) $BF\perp$ planul bazei (planul $ABCD$), iar $CD$ este conținută în acest plan, deci $BF\perp CD$; măsura unghiului dreptelor $BF$ și $CD$ este $90^{\circ }$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) $158=5\cdot 31+3$ (1 p). Cum restul la împărțirea prin $5$ trebuie să fie $2$, iar $158$ dă restul $3\ne 2$, nu este posibil ca numărul scris de Silvia să fie $158$ (1 p). b) (3 p) Fie $n$ numărul căutat: $n=5a+2$ și $n=6b+3$ (1 p). Atunci $n+3=5a+5=5(a+1)$ și $n+3=6b+6=6(b+1)$, deci $n+3$ este multiplu comun al numerelor $5$ și $6$, adică multiplu de $30$ (1 p). Cel mai mic astfel de $n$ natural se obține pentru $n+3=30$, deci $n=27$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-6x+8=x^2-4x-2x+8=x(x-4)-2(x-4)$ (1 p), deci $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) Aducem paranteza la același numitor $(x-2)(x-4)$: $\frac{x-4}{x-2}-\frac{2-x}{x-4}-2=\frac{(x-4{)}^2+(x-2{)}^2-2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)}=\frac{{\left[(x-4)-(x-2)\right]}^2}{(x-2)(x-4)}=\frac{4}{(x-2)(x-4)}$ (1 p). Rezultă $E(x)=\frac{4}{(x-2)(x-4)}\cdot (x-2)=\frac{4}{x-4}$, pentru orice $x$ real, $x\ne 2$, $x\ne 4$ (1 p). Din $\frac{4}{x-4}=\frac{x+4}{12}$ obținem $48=(x+4)(x-4)=x^2-16$, deci $x^2=64$, adică $x=-8$ sau $x=8$ (ambele convin); suma soluțiilor ecuației este egală cu $0$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Punctul $C(6,0)$ este proiecția lui $B$ pe axa $Ox$, deci $AC=6-2=4$ și $BC=3$ (1 p). $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ (1 p). b) (3 p) $OA=2$ (1 p), iar distanța de la $B$ la axa $Ox$ este egală cu ordonata lui $B$, adică $3$ (1 p). ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot 3}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $AB\perp CD$ (diametre perpendiculare), arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ (cel care nu îl conține pe $M$) are măsura $90^{\circ }$ (un sfert de cerc) (1 p). Unghiul înscris $BMD$ (același cu $\angle BMN$, căci $N$ aparține razei $MD$) are măsura egală cu jumătate din arcul subîntins: $m(\angle BMN)=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $DM=DN+NM=6+3=9$ cm (1 p). Triunghiurile $NOD$ și $CMD$ sunt asemenea (ambele dreptunghice, cu unghiul din $D$ comun), de unde $\frac{OD}{DM}=\frac{ND}{DC}$, adică $OD\cdot DC=ND\cdot DM$; cum $DC=2\cdot OD$, rezultă $2\cdot O{D}^2=6\cdot 9=54$, deci $O{D}^2=27$ (1 p). Aria discului cu centrul $O$ și raza $OD$ este $\mathcal{A}=\pi \cdot O{D}^2=27\pi {\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=36+64=100$ (1 p), deci $BC=10$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $G$ este centrul de greutate, $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$; și $\frac{AQ}{AB}=\frac{AB-BQ}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=\frac{AG}{AM}$, deci $QG\parallel BM$ și $QG=\frac{2}{3}\cdot BM=\frac{2}{3}\cdot 5=\frac{10}{3}$ cm (1 p). Din $QP\parallel AC$, triunghiul $BQP\sim BAC$ cu raportul $\frac{BQ}{BA}=\frac{1}{3}$, deci $BP=\frac{1}{3}\cdot BC=\frac{10}{3}$ cm (1 p). Cum $QG\parallel BP$ și $QG=BP$, patrulaterul $BQGP$ este paralelogram, deci $GP=BQ=2$ cm, iar ${\mathcal{P}}_{BQGP}=2\left(BQ+QG\right)=2\left(2+\frac{10}{3}\right)=\frac{32}{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) ${\mathcal{P}}_{ABC}=3\cdot AB$ (1 p) $=3\cdot 12=36$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $N$ piciorul perpendicularei din $M$ pe $BC$; cum $B{B}^{\prime }\perp$ planul bazei, rezultă $MN\perp$ planul $(B^{\prime }BC)$, deci unghiul dintre $M{C}^{\prime }$ și planul $(B^{\prime }BC)$ este $\angle M{C}^{\prime }N$ (1 p). În triunghiul dreptunghic $MNB$ ($BM=6$ cm, jumătate din $AB$), $m(\angle MBN)=60^{\circ }$, deci $MN=BM\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, iar $BN=BM\cdot \cos 60^{\circ }=3$ cm, deci $CN=BC-BN=12-3=9$ cm (1 p). $C^{\prime }N=\sqrt{C{C}^{\prime 2}+C{N}^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm, deci $\text{tg}(\angle M{C}^{\prime }N)=\frac{MN}{C^{\prime }N}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$ (1 p).

A doua simulare oficială de Evaluare Națională, publicată de Ministerul Educației și Cercetării (CNPEE) pentru anul școlar 2025-2026, reprodusă integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este al doilea test oficial de simulare la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării (CNPEE) pentru anul școlar 2025-2026 — distinct de prima simulare (martie 2026) deja publicată pe site. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat; documentul oficial nu indică o dată calendaristică exactă (lună/zi) pe pagina de gardă, doar anul școlar 2025-2026 — enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și ordinea operațiilor, procente, mulțimi/intervale, fracții, calcul algebric și fracții algebrice, aritmetică modulară (resturi), geometrie plană (coliniaritate și simetrie, unghiuri și paralelism, triunghi isoscel, trapez dreptunghic, cerc — unghi la centru și unghi înscris) și geometrie în spațiu (cub — unghiul a două drepte; prismă triunghiulară — unghiul dintre o dreaptă și un plan).

Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.