Testul oficial de pregătire nr. 1 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20-2\cdot 10$ este numărul: a) $0$ b) $1$ c) $8$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $\frac{1}{3}$ din $60$ este: a) $10$ b) $15$ c) $20$ d) $30$

Exercițiul 3 · 5 puncte Patru elevi, Radu, Gabriel, Alexandru și Mihail, au calculat media aritmetică a numerelor $x=\sqrt{3}+1$ și $y=\sqrt{3}-1$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de: a) Radu b) Gabriel c) Alexandru d) Mihail

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre următoarele secvențe de numere, cea care conține numai numere divizibile cu $5$ este: a) $0$, $5$, $10$, $15$ b) $0$, $2$, $5$, $10$ c) $0$, $2$, $4$, $6$ d) $5$, $6$, $10$, $15$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră mulțimea $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<6\}$. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii $B$ prin enumerarea elementelor sale este: a) $\{3,4,5\}$ b) $\{2,3,4,5\}$ c) $\{3,4,5,6\}$ d) $\{4,5,6\}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la un test de matematică din semestrul I.

Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut note mai mari decât $8$ la testul de matematică este: a) $7$ b) $9$ c) $10$ d) $11$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$, $M$ și $P$. Simetricul punctului $A$ față de punctul $P$ este punctul:

a) $A$ b) $B$ c) $C$ d) $D$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$ cu $AC=6$ cm. Lungimea segmentului $AM$ este:

a) $3$cm b) $3,5$cm c) $4,5$cm d) $6$cm

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu baza $BC$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$, $AB=5$cm și $BD=4$cm. Perimetrul triunghiului $ABC$ este:

a) $9$ cm b) $14$ cm c) $18$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$. Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=160$ m și $CD=100$ m. Aria terenului este:

a) $8000$ m² b) $10400$ m² c) $13000$ m² d) $16000$ m²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, iar măsura arcului mic $BD$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $AOC$ este de:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un acvariu în formă de cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB=30$cm. Pentru umplerea acvariului, care are inițial $9$ litri de apă, Andrei va trebui să adauge:

a) $10$ litri de apă b) $18$ litri de apă c) $27$ litri de apă d) $30$ litri de apă

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrieți rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte În urmă cu $8$ ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are $36$ ani. a) (3 p) Verifică, dacă în prezent, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui. b) (2 p) Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2+2(x+1)(x-2)+(x-2{)}^2$. a) (2 p) Arată că $E(x)=(2x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numărul natural $a$ pentru care $E(\sqrt{2})+a\sqrt{2}$ reprezintă un număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$ și $y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{147}}\right):\frac{\sqrt{3}}{14}$. a) (2 p) Arată că $x=\frac{2}{3}$. b) (3 p) Arată că suma numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ și un triunghi dreptunghic isoscel $AEB$, dreptunghic în $E$, cu $AE=4\sqrt{2}$ cm. Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$.

a) (2 p) Demonstrează că punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare. b) (3 p) Arată că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DE$, atunci $P$ este mijlocul segmentului $DE$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $EBC$, dreptunghic în $B$. Proiecția punctului $B$ pe dreapta $EC$ este punctul $A$, care determină pe $EC$ segmentele $AC=8$cm și $AE=2$cm.

a) (2 p) Arată că $BA=4$cm. b) (3 p) Arată că perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $28$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$cm.

a) (2 p) Arată că valoarea cosinusului unghiului dintre dreapta $B{D}^{\prime }$ și planul $(ADC)$ este $\frac{\sqrt{6}}{3}$. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $A^{\prime }$ la planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat.

Subiectul I (30 p)

1. a) $20-2\cdot 10=20-20=0$.
2. c) $60:3=20$.
3. d) $x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$, deci media aritmetică este $\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ — rezultatul obținut de Mihail.
4. a) $0$, $5$, $10$, $15$ sunt toate divizibile cu $5$ ($0:5=0$, $5:5=1$, $10:5=2$, $15:5=3$); celelalte secvențe conțin numere care nu sunt divizibile cu $5$ (de exemplu $2$, $4$ sau $6$).
5. b) $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<6\}=\{2,3,4,5\}$.
6. a) Note mai mari decât $8$ sunt notele $9$ și $10$: $4+3=7$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) În figură, $P$ este mijlocul segmentului $AC$; simetricul unui punct $X$ față de $P$ este punctul $X^{\prime }$ pentru care $P$ este mijlocul lui $X{X}^{\prime }$, deci simetricul lui $A$ față de $P$ este $C$.
2. a) $M$ fiind mijlocul lui $AC$: $AM=AC:2=6:2=3$cm.
3. c) $D$ mijlocul lui $BC$, $BD=4$cm $\Rightarrow BC=8$cm; triunghiul isoscel are $AB=AC=5$cm, deci perimetrul $=AB+AC+BC=5+5+8=18$cm.
4. b) Cum $CD\parallel AB$, unghiurile $ABD$ și $BDC$ sunt alterne interne, deci congruente; $BD$ fiind bisectoarea unghiului $ABC$, $m(\angle ABD)=m(\angle DBC)$, de unde $m(\angle BDC)=m(\angle DBC)$, deci triunghiul $BDC$ este isoscel, cu $BC=DC=100$m. Notând cu $E$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $AB$, $AECD$ este dreptunghi, deci $AE=DC=100$m, $CE=AD$ și $EB=AB-AE=160-100=60$m. În triunghiul dreptunghic $CEB$: $C{B}^2=C{E}^2+E{B}^2\Rightarrow 100^2=C{E}^2+60^2\Rightarrow C{E}^2=10000-3600=6400\Rightarrow CE=AD=80$m. Aria trapezului: $\frac{AB+CD}{2}\cdot AD=\frac{160+100}{2}\cdot 80=130\cdot 80=10400$ m².
5. b) Unghiul $AOC$ este opus la vârf cu unghiul $BOD$, deci $m(\angle AOC)=m(\angle BOD)=$ măsura arcului mic $BD=60^{\circ }$ (unghi la centru egal cu arcul subîntins).
6. b) Volumul cubului: $30^3=27000$ cm³ $=27$ litri; apa inițială este $9$ litri, deci trebuie adăugați $27-9=18$ litri.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (3 p) În urmă cu $8$ ani, tatăl avea $36-8=28$ de ani, iar fiul avea $28:7=4$ ani, deci în prezent fiul are $4+8=12$ ani (2 p). Cum $36:12=3$, rezultă că, în prezent, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui (1 p). b) (2 p) $36+x=2(12+x)$, unde $x$ reprezintă numărul de ani care vor trece până când vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului (1 p). Rezultă $36+x=24+2x\Rightarrow x=12$ ani (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Notând $m=x+1$ și $n=x-2$, expresia are forma $m^2+2mn+n^2=(m+n{)}^2$ (1 p), deci $E(x)=((x+1)+(x-2){)}^2=(2x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(\sqrt{2})=(2\sqrt{2}-1{)}^2=8-4\sqrt{2}+1=9-4\sqrt{2}$ (1 p). Atunci $E(\sqrt{2})+a\sqrt{2}=9-4\sqrt{2}+a\sqrt{2}=9+(a-4)\sqrt{2}$ (1 p). Pentru ca acest număr să fie natural, coeficientul lui $\sqrt{2}$ trebuie să fie $0$, deci $a-4=0$, adică $a=4$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\frac{8}{\sqrt{18}}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ și $\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{3}$, deci $\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{3}$ (1 p). Atunci $x=\frac{13\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}=\frac{13\cdot 2}{3\cdot 13}=\frac{2}{3}$ (1 p). b) (3 p) Cum $\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3}$, avem $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{147}}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{5}{7\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{21}-\frac{5\sqrt{3}}{21}=\frac{2\sqrt{3}}{21}$ (1 p). Atunci $y=\frac{2\sqrt{3}}{21}:\frac{\sqrt{3}}{14}=\frac{2\sqrt{3}}{21}\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{28}{21}=\frac{4}{3}$ (1 p). Suma numerelor: $x+y=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2$, număr natural (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $AEB$ este dreptunghic isoscel în $E$, deci $m(\angle BAE)=45^{\circ }$ (1 p). Cum $FD=DC$ (simetrie față de $D$) și $DC\perp AD$, rezultă $FD=AD$ și unghiul $ADF$ drept, deci triunghiul $ADF$ este dreptunghic isoscel, cu $m(\angle FAD)=45^{\circ }$. Atunci $m(\angle FAE)=m(\angle FAD)+m(\angle DAB)+m(\angle BAE)=45^{\circ }+90^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$, deci punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare (1 p). b) (3 p) Pătratul are latura $AB=AE\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8$cm, deci diagonala $BD=8\sqrt{2}$cm, iar $DO=\frac{BD}{2}=4\sqrt{2}$cm, unde $O=AC\cap BD$. Cum $AE=4\sqrt{2}$cm$=DO$ și $m(\angle ABD)=45^{\circ }=m(\angle EAB)$, rezultă $AE\parallel BD$; fiind și egale, patrulaterul $ADOE$ este paralelogram (2 p). Cum $P=DE\cap AO$ și $DE$, $AO$ sunt diagonalele paralelogramului $ADOE$, ele se înjumătățesc, deci $P$ este mijlocul segmentului $DE$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $EBC$ este dreptunghic în $B$, iar $BA$ este înălțime pe ipotenuză, deci $B{A}^2=AE\cdot AC=2\cdot 8=16$, de unde $BA=4$cm (2 p). b) (3 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=16+64=80\Rightarrow BC=4\sqrt{5}$cm. Triunghiul $EAB$ este dreptunghic în $A$: $E{B}^2=E{A}^2+A{B}^2=4+16=20\Rightarrow EB=2\sqrt{5}$cm (1 p). Perimetrul triunghiului $BCE$ este $EB+BC+EC=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}+10=6\sqrt{5}+10$. Cum $\sqrt{5}<3$, rezultă $6\sqrt{5}<18$, deci perimetrul este mai mic decât $10+18=28$cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $D{D}^{\prime }\perp (ADC)$, deci proiecția lui $D^{\prime }$ pe planul $(ADC)$ este $D$, de unde $m(\angle (B{D}^{\prime },(ADC)))=m(\angle D^{\prime }BD)$ (1 p). Triunghiul $D^{\prime }DB$ este dreptunghic în $D$, cu $DB=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}$cm (diagonala bazei) și $D{D}^{\prime }=6$cm, deci $D^{\prime }B=\sqrt{D{D}^{\prime 2}+D{B}^2}=\sqrt{36+72}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$cm; $\cos (\angle D^{\prime }BD)=\frac{DB}{D^{\prime }B}=\frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (1 p). b) (3 p) $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat; fie $O=A{D}^{\prime }\cap A^{\prime }D$, centrul acestei fețe, deci $A^{\prime }O\perp A{D}^{\prime }$ (diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare) (1 p). $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ (fiind perpendiculară pe $A{D}^{\prime }$ și pe $D{D}^{\prime }$, drepte din acest plan), deci $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }O$; cum $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ (diagonale ale unor fețe opuse ale cubului) și $A^{\prime }O\perp A{D}^{\prime }$, rezultă $A^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$. Fiind perpendicular pe $C^{\prime }{D}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$, drepte concurente în planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, rezultă $A^{\prime }O\perp (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (1 p). Distanța de la $A^{\prime }$ la planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ este $A^{\prime }O$, jumătate din diagonala feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$: $A^{\prime }O=\frac{A{D}^{\prime }}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$cm (1 p).

Testul 1, test oficial de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020–2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 1 dintr-o serie de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicate de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020–2021. Este un document distinct de un examen efectiv susținut (o „variantă" de Evaluare Națională) sau de o simulare organizată local — este un test de antrenament oficial, emis de minister special pentru pregătirea elevilor înaintea probei reale, cu structură și grad de dificultate identice cu Evaluarea Națională. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul acoperă integrat programa claselor V–VIII: calcul cu numere naturale, procente și fracții, radicali și medii aritmetice, mulțimi definite prin proprietate, divizibilitate; geometrie plană (simetria față de un punct, mijlocul unui segment, triunghi isoscel, trapez dreptunghic cu bisectoare, cerc cu diametre și unghi la centru) și geometrie în spațiu (cub — volum și capacitate); algebră (identități remarcabile, expresii cu radicali și raționalizare); geometrie plană cu demonstrație (pătrat cu triunghi dreptunghic isoscel, coliniaritate, paralelogram, triunghi dreptunghic cu proiecție ortogonală) și geometrie în spațiu cu demonstrație (cub — unghiul dintre o dreaptă și un plan, distanța de la un punct la un plan).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: simetricul unui punct $X$ față de un punct $P$ este punctul $X^{\prime }$ astfel încât $P$ este mijlocul segmentului $X{X}^{\prime }$; unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde; un triunghi isoscel cu $MB=MC$ și un unghi de bază de $60^{\circ }$ este echilateral.