Testul oficial de pregătire nr. 3 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dintre numerele $12$, $13$, $14$ și $15$, numărul divizibil cu $6$ este: a) $12$ b) $13$ c) $14$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{4}=\frac{5}{b}$, $b\ne 0$, atunci valoarea produsului $a\cdot b$ este: a) $20$ b) $9$ c) $\frac{5}{4}$ d) $\frac{4}{5}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Luni, temperatura înregistrată la ora $10$ la o stație meteo a fost de $-3^{\circ }$C, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $3^{\circ }$C. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu: a) $-3^{\circ }$C b) $0^{\circ }$C c) $3^{\circ }$C d) $6^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ și $\frac{4}{5}$ cel mai mare este: a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $\frac{3}{4}$ d) $\frac{4}{5}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Lara, Patrick, Tudor și Sofia, au calculat produsul numerelor $-4\sqrt{2}$ și $8\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de: a) Lara b) Patrick c) Tudor d) Sofia

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră intervalele $A=(-1,5)$ și $B=[2,9]$. Un număr care aparține mulțimii $A\cap B$ este: a) $-1$ b) $2$ c) $5$ d) $9$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(1,3)$, reprezentate într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. Coordonatele punctului de intersecție a mediatoarei segmentului $AB$ cu axa $Oy$ sunt:

a) $(0,2)$ b) $(2,0)$ c) $(1,2)$ d) $(2,1)$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $COD$ sunt opuse la vârf. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $AOC$ și $BOD$ este egală cu:

a) $180^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $89^{\circ }$ d) $0^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ și punctul $G$, centrul de greutate al triunghiului. Dacă lungimea ipotenuzei $BC$ este de $12$ cm, atunci lungimea segmentului $AG$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $3$ cm c) $4$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$, cu $AB=6$ cm. Dacă dreptele $BD$ și $BM$ sunt perpendiculare și punctele $D$, $C$ și $M$ coliniare, atunci lungimea segmentului $DM$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $8$ cm c) $10$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, iar măsura arcului mic $BD$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $CDA$ este de:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$. Diagonala bazei $EG$ are lungimea egală cu $4\sqrt{2}$ cm. Aria totală a cubului este egală cu:

a) $32$ cm² b) $48$ cm² c) $64$ cm² d) $96$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dina are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește $\frac{3}{4}$ din sumă, iar în a doua zi $\frac{1}{3}$ din rest, adică $12$ lei. a) (3 p) Ce sumă de bani mai are Dina după cele două zile? b) (2 p) Determină suma de bani avută inițial de Dina.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(3x-1{)}^2-7(x+1)(x-2)-(x+3{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $(x+1)(x-2)=x^2-x-2$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că $E(x)=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}\right)\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}$ și $y={\left(5^6\right)}^3\cdot 25^3:125^8$. a) (2 p) Arată că $x=5$. b) (3 p) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este un număr natural prim.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră rombul $ABCD$, cu $AB=18$ cm și $m(\angle ABC)=60^{\circ }$.

a) (2 p) Arată că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $72$ cm. b) (3 p) Arată că lungimea diagonalei $BD$ este egală cu $18\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ cm și $BC=20$ cm. Punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$ și punctul $F$ este situat pe segmentul $AE$, astfel încât $BF\perp AE$.

a) (2 p) Arată că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $200\sqrt{2}$ cm². b) (3 p) Demonstrează că punctele $B$, $F$ și $D$ sunt coliniare.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=6\sqrt{2}$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $CD$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $AMB$ este egală cu $36$ cm². b) (3 p) Determină distanța de la punctul $A^{\prime }$ la dreapta $MB$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) Dintre $12$, $13$, $14$, $15$, doar $12=6\cdot 2$ este divizibil cu $6$.
2. a) Din $\frac{a}{4}=\frac{5}{b}$ rezultă $a\cdot b=4\cdot 5=20$.
3. d) $3-(-3)=6^{\circ }$C.
4. d) Comparând $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}$, cea mai mare este $\frac{4}{5}$.
5. b) $(-4\sqrt{2})\cdot (8\sqrt{2})=-32\cdot 2=-64$, valoare obținută de Patrick.
6. b) $A\cap B=[2,5)$; dintre variante, doar $2$ aparține acestei mulțimi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Mediatoarea segmentului vertical $AB$ ($A(1,1)$, $B(1,3)$) este dreapta orizontală $y=2$ (prin mijlocul $(1,2)$); intersecția cu $Oy$ este $(0,2)$.
2. a) $OA$ opusă lui $OD$ și $OB$ opusă lui $OC$; bisectoarea unghiului $AOC$ este perpendiculară pe $AC$ (unghi drept, $180^{\circ }$ înjumătățit), la fel bisectoarea unghiului $BOD$ pe $BD$; calculând direcțiile celor două bisectoare (folosind $m(\angle AOB)=\theta$), acestea rezultă opuse, deci unghiul dintre ele este $180^{\circ }$, indiferent de $\theta$.
3. c) Mediana din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic către ipotenuză este jumătate din ipotenuză: $AM=6$ cm (unde $M$ e mijlocul lui $BC$); centrul de greutate $G$ împarte mediana $AM$ în raport $2:1$ de la vârf, deci $AG=\frac{2}{3}\cdot 6=4$ cm.
4. d) Cu $A(0,6)$, $B(6,6)$, $D(0,0)$, $C(6,0)$: dreapta $BD$ are panta $1$, perpendiculara din $B$ are panta $-1$; intersectând-o cu dreapta $DC$ ($y=0$) rezultă $M(12,0)$, deci $DM=12$ cm.
5. a) Arcele $AC$ și $BD$ (opuse prin diametrele $AB$, $CD$) sunt egale, deci arcul $AC=60^{\circ }$; unghiul înscris $CDA$ subîntinde acest arc, deci $m(\angle CDA)=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.
6. d) $EG$ este diagonala feței, deci latura cubului este $\ell =\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$ cm; aria totală este $6{\ell }^2=6\cdot 16=96$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (3 p) Suma cheltuită în a doua zi ($12$ lei) reprezintă $\frac{1}{3}$ din restul rămas după prima zi, deci restul este $12\cdot 3=36$ lei (1 p). Suma pe care o mai are Dina după cele două zile este $36-12=24$ lei (2 p). b) (2 p) Notând cu $x$ suma inițială, restul de $36$ lei reprezintă $\frac{1}{4}$ din $x$ (deoarece $\frac{3}{4}$ din $x$ s-au cheltuit în prima zi): $\frac{1}{4}x=36$ (1 p), deci $x=144$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$, pentru orice număr real $x$ (2 p). b) (3 p) $E(x)=(9x^2-6x+1)-7(x^2-x-2)-(x^2+6x+9)$ (1 p) $=9x^2-6x+1-7x^2+7x+14-x^2-6x-9=x^2-5x+6$ (1 p) $=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $x$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$, deci $\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$ (1 p). Cum ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}=\sqrt{3}$, obținem $x=\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=5$ (1 p). b) (3 p) $y={\left(5^6\right)}^3\cdot 25^3:125^8=5^{18}\cdot 5^6:5^{24}=5^{18+6-24}=5^0=1$ (2 p). Produsul $x\cdot y=5\cdot 1=5$, care este un număr natural prim (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $ABCD$ fiind romb, toate laturile sunt egale cu $AB=18$ cm, deci perimetrul $P=4\cdot 18=72$ cm (2 p). b) (3 p) Triunghiul $ABC$ are $AB=BC=18$ cm și $m(\angle ABC)=60^{\circ }$, deci este echilateral, cu $AC=18$ cm (1 p). Diagonalele rombului se înjumătățesc perpendicular în $O$, deci $AO=9$ cm; în triunghiul dreptunghic $AOB$, $BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{324-81}=\sqrt{243}=9\sqrt{3}$ cm (1 p). $BD=2\cdot BO=18\sqrt{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Aria dreptunghiului $ABCD$ este $AB\cdot BC=10\sqrt{2}\cdot 20=200\sqrt{2}$ cm² (2 p). b) (3 p) Cu $A(0,0)$, $B(10\sqrt{2},0)$, $C(10\sqrt{2},20)$, $D(0,20)$ și $E(10\sqrt{2},10)$ (mijlocul lui $BC$): panta dreptei $AE$ este $\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, iar panta dreptei $BD$ este $\frac{20-0}{0-10\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$ (1 p). Produsul pantelor este $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (-\sqrt{2})=-1$, deci $AE\perp BD$ (1 p). Cum $F$ este exact piciorul perpendicularei din $B$ pe $AE$, iar $BD$ este perpendiculară pe $AE$ și trece prin $B$, rezultă că $F$ se află pe dreapta $BD$, deci $B$, $F$ și $D$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Cu $A(0,0)$, $B(12,0)$, $C(12,6)$, $D(0,6)$, $M(6,6)$ (mijlocul lui $CD$): $AM=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$ cm, $MB=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $A{M}^2+M{B}^2=72+72=144=A{B}^2$, triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $M$, deci aria $=\frac{AM\cdot MB}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=36$ cm² (1 p). b) (3 p) $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $(ABC)$, deci $A{A}^{\prime }\perp MB$; cum și $AM\perp MB$ (din triunghiul dreptunghic în $M$), rezultă $MB\perp (AM{A}^{\prime })$, deci $MB\perp A^{\prime }M$ (1 p). Triunghiul $AM{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$ (căci $A{A}^{\prime }\perp$ planul bazei), deci $A^{\prime }M=\sqrt{A{M}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=12$ cm (1 p). Cum $A^{\prime }M\perp MB$, distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $MB$ este chiar $A^{\prime }M=12$ cm (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 3 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020–2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire (nu simularea finală susținută în examen) la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul 3, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), pentru anul școlar 2020–2021. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: divizibilitate, proporții, numere negative, compararea fracțiilor, calcul cu radicali, mulțimi/intervale (Subiectul I); geometrie plană — mediatoare în reper cartezian, unghiuri opuse la vârf cu bisectoare, centrul de greutate al triunghiului dreptunghic, pătrat cu drepte perpendiculare, cerc cu diametre și unghi înscris — și geometrie în spațiu cu cubul (Subiectul al II-lea); probleme cu rezolvare completă — fracții succesive dintr-o sumă de bani, expresie algebrică cu pătrate de binoame, radicali și numere naturale prime, romb cu diagonale, dreptunghi cu coliniaritate, paralelipiped dreptunghic cu distanță punct-dreaptă (Subiectul al III-lea).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: mediana dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic către ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză, iar centrul de greutate împarte orice mediană în raportul $2:1$ față de vârf; un unghi înscris în cerc este jumătate din arcul pe care îl subîntinde; diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc; un triunghi isoscel cu un unghi de bază de $60^{\circ }$ este echilateral.