Acasă · Evaluarea Națională · Testul oficial de pregătire nr. 4 — Evaluarea Națională 2021 (Ministerul Educației)

Testul oficial de pregătire nr. 4 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dintre numerele $0$ , $2$ , $4$ și $15$ , numărul prim este: a) $0$ b) $2$ c) $4$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentat numărul manualelor de matematică pentru gimnaziu, pe an de studiu, din biblioteca unei școli:

Tipul manualului	Numărul de manuale
Mate_V	$280$
Mate_VI	$200$
Mate_VII	$250$
Mate_VIII	$270$

Tipul manualului care reprezintă un sfert din totalul manualelor de matematică pentru gimnaziu din biblioteca școlii, este: a) Mate_V b) Mate_VI c) Mate_VII d) Mate_VIII

Exercițiul 3 · 5 puncte După o scumpire cu $20%$ , prețul unui produs a crescut cu $12$ lei. Prețul inițial al produsului este: a) $240$ lei b) $120$ lei c) $72$ lei d) $60$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $\frac{1}{2 ^{4}}$ , $\frac{1}{2 ^{7}}$ , $\frac{1}{2 ^{3}}$ și $\frac{1}{2 ^{8}}$ , cel mai mare este: a) $\frac{1}{2 ^{8}}$ b) $\frac{1}{2 ^{7}}$ c) $\frac{1}{2 ^{4}}$ d) $\frac{1}{2 ^{3}}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Cătălin, Nicolae, Anastasia și Ana, au calculat suma numerelor $a$ și $b$ , știind că $a^{2} - b^{2} = 12$ și $a - b = 4$ . Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Cătălin	Nicolae	Anastasia	Ana
$48$	$16$	$4$	$3$

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de: a) Cătălin b) Nicolae c) Anastasia d) Ana

Exercițiul 6 · 5 puncte Suma numerelor întregi din intervalul $[- 2, 3]$ este egală cu: a) $0$ b) $3$ c) $5$ d) $9$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ , în această ordine, sunt coliniare. Dacă punctul $B$ este mijlocul segmentului $A C$ , punctul $C$ este mijlocul segmentului $A D$ și $B C = 3$ cm, atunci lungimea segmentului $A D$ este egală cu:

a) $15$ cm b) $12$ cm c) $6$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, unghiurile $A O B$ , $B O C$ și $C O A$ sunt unghiuri în jurul punctului $O$ , măsura unghiului $A O B$ este de $12 0^{\circ}$ și măsura unghiului $B O C$ este de $13 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $A O C$ este de:

a) $14 0^{\circ}$ b) $13 0^{\circ}$ c) $12 0^{\circ}$ d) $11 0^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră triunghiul dreptunghic $A B C$ , punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $B C$ , $A B = 4$ cm și măsura unghiului $A C B$ este de $3 0^{\circ}$ . Lungimea segmentului $A M$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $8$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $A B C D$ , punctul $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ , iar $A O + D O = 8$ cm. Suma lungimilor segmentelor $A C$ și $B D$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $12$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, $A B$ este diametru în cercul de centru $O$ , $A B = 8$ cm. Lungimea cercului este egală cu:

a) $64 π$ cm b) $16 π$ cm c) $8 π$ cm d) $4 π$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Măsura unghiului dintre dreptele $B C^{'}$ și $D D^{'}$ este de:

a) $3 0^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $6 0^{\circ}$ d) $9 0^{\circ}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrieți rezolvările complete.

Exercițiul 1 · 5 puncte Împărțind, pe rând, numărul natural $n$ la $12$ și la $18$ , se obțin resturile $7$ , respectiv $13$ . a) (2 p) Numărul natural $n$ poate fi egal cu $103$ ? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Arată că cel mai mic număr natural $n$ cu această proprietate este $31$ .

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = (3 x + 4)^{2} - (2 x + 1)^{2}$ , unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E (1) + E (- 1) = 40$ . b) (3 p) Demonstrează că $E (n)$ este multiplu al lui $5$ , pentru orice număr natural $n$ .

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x = (\frac{8}{18} + \frac{6}{2}) \cdot \frac{2}{13}$ și $y = (\frac{5}{147} - \frac{1}{3}) : \frac{3}{14}$ . a) (2 p) Arată că $x = \frac{2}{3}$ . b) (3 p) Arată că numărul $N = ∣ y - x ∣$ este natural.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi $A B C$ . Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $A B C$ , $M P ∥ B C$ , $G \in M P$ , $M \in A B$ și $P \in A C$ .

a) (2 p) Arată că $\frac{A M}{A B} = \frac{2}{3}$ . b) (3 p) Dacă $A C = 12$ cm, atunci determină lungimea segmentului $P C$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate pătratul $A B C D$ cu $A B = 42$ cm și triunghiul echilateral $B C E$ .

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $C D E$ este egală cu $1 5^{\circ}$ . b) (3 p) Demonstrează că distanța de la punctul $B$ la dreapta $D E$ este egală cu $4$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ cu baza $A B C D$ , $A B = 12$ cm și $V A = 234$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $A C$ și $B D$ iar punctul $M$ este mijlocul muchiei $V D$ .

a) (2 p) Arată că dreapta $O M$ este paralelă cu planul $(V B C)$ . b) (3 p) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(V B C)$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	c)	d)	d)	d)	b)

b) Dintre $0$ , $2$ , $4$ , $15$ , numărul prim este $2$ ( $0$ nu este prim, $4 = 2^{2}$ și $15 = 3 \cdot 5$ sunt compuse).
c) Totalul manualelor este $280 + 200 + 250 + 270 = 1000$ ; un sfert din $1000$ este $250$ , adică Mate_VII.
d) Scumpirea cu $20%$ înseamnă $0, 2 \cdot x = 12$ , deci prețul inițial $x = 60$ lei.
d) Cu baza $\frac{1}{2} \in (0, 1)$ , puterea este cu atât mai mare cu cât exponentul este mai mic; cel mai mic exponent dintre $4, 7, 3, 8$ este $3$ , deci cea mai mare valoare este $\frac{1}{2 ^{3}}$ .
d) $a - b = 4$ și $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = 12$ , deci $a + b = \frac{12}{4} = 3$ — rezultatul Anei.
b) Numerele întregi din $[- 2, 3]$ sunt $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ , cu suma $- 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 3$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	d)	b)	d)	c)	b)

b) $B$ mijlocul lui $A C$ și $B C = 3$ dau $A B = B C = 3$ , deci $A C = 6$ ; $C$ mijlocul lui $A D$ dă $C D = A C = 6$ , deci $A D = A C + C D = 12$ cm.
d) Unghiurile $A O B$ , $B O C$ , $C O A$ sunt în jurul punctului $O$ , cu suma $36 0^{\circ}$ : $m (∠ A O C) = 36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .
b) Cu unghiul drept în $A$ și $m (∠ A C B) = 3 0^{\circ}$ , catetei $A B$ (opusă unghiului $C$ ) îi corespunde $B C = \frac{A B}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{4}{0 , 5} = 8$ cm; mediana din $A$ pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză: $A M = \frac{B C}{2} = 4$ cm.
d) Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc: $A C = 2 \cdot A O$ , $B D = 2 \cdot D O$ , deci $A C + B D = 2 (A O + D O) = 2 \cdot 8 = 16$ cm.
c) Lungimea cercului este $π \cdot A B = 8 π$ cm.
b) $D D^{'} ∥ C C^{'}$ (muchii laterale), deci unghiul dintre $B C^{'}$ și $D D^{'}$ este egal cu unghiul dintre $B C^{'}$ și $C C^{'}$ ; în fața pătrată $B C C^{'} B^{'}$ , diagonala $B C^{'}$ face $4 5^{\circ}$ cu latura $C C^{'}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Împărțind $103$ la $12$ se obține câtul $8$ și restul $7$ (1 p). Împărțind $103$ la $18$ se obține câtul $5$ și restul $13$ , deci $n$ poate fi egal cu $103$ (1 p). b) (3 p) Din $n$ împărțit la $12$ cu rest $7$ rezultă $n + 5$ multiplu de $12$ ; din $n$ împărțit la $18$ cu rest $13$ rezultă $n + 5$ multiplu de $18$ (2 p). Deci $n + 5$ este multiplu comun al lui $12$ și $18$ , iar $c.m.m.m.c. (12, 18) = 36$ ; cel mai mic $n$ natural se obține pentru $n + 5 = 36$ , adică $n = 31$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E (x) = (9 x^{2} + 24 x + 16) - (4 x^{2} + 4 x + 1) = 5 x^{2} + 20 x + 15$ (1 p). $E (1) = 40$ , $E (- 1) = 0$ , deci $E (1) + E (- 1) = 40$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = (3 x + 4)^{2} - (2 x + 1)^{2} = [(3 x + 4) - (2 x + 1)] [(3 x + 4) + (2 x + 1)] = (x + 3) (5 x + 5) = 5 (x + 1) (x + 3)$ (2 p). Pentru orice număr natural $n$ , $(n + 1) (n + 3)$ este număr întreg, deci $E (n) = 5 (n + 1) (n + 3)$ este multiplu al lui $5$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $18 = 32$ , deci $\frac{8}{18} = \frac{8}{3 2} = \frac{4 2}{3}$ și $\frac{6}{2} = 32 = \frac{9 2}{3}$ ; suma este $\frac{13 2}{3}$ (1 p). $x = \frac{13 2}{3} \cdot \frac{2}{13} = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$ (1 p). b) (3 p) $147 = 73$ , deci $\frac{5}{147} = \frac{5 3}{21}$ și $\frac{1}{3} = \frac{7 3}{21}$ ; diferența este $\frac{- 2 3}{21}$ (1 p). $y = \frac{- 2 3}{21} \cdot \frac{14}{3} = \frac{- 28}{21} = - \frac{4}{3}$ (1 p). $N = ∣ y - x ∣ = - \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = ∣ - 2∣ = 2$ , care este natural (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Fie $T$ mijlocul lui $B C$ ; mediana $A T$ trece prin $G$ , cu $A G : GT = 2 : 1$ (1 p). Cum $M P ∥ B C$ trece prin $G$ , triunghiul $A M P \sim A B C$ cu raportul $\frac{A G}{A T} = \frac{2}{3}$ , deci $\frac{A M}{A B} = \frac{2}{3}$ (1 p). b) (3 p) Din asemănare, $\frac{A P}{A C} = \frac{2}{3}$ , deci $A P = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm (2 p). $P C = A C - A P = 12 - 8 = 4$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $m (∠ D C E) = m (∠ D C B) + m (∠ B C E) = 9 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ (1 p). Triunghiul $D C E$ este isoscel ( $D C = C E$ ), deci $m (∠ C D E) = \frac{18 0 ^{\circ} - 15 0 ^{\circ}}{2} = 1 5^{\circ}$ (1 p). b) (3 p) $m (∠ D E C) = m (∠ C D E) = 1 5^{\circ}$ (triunghi isoscel), iar $m (∠ B E C) = 6 0^{\circ}$ , deci $m (∠ B E D) = 6 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ (1 p). Fie $M$ piciorul perpendicularei din $B$ pe $D E$ ; triunghiul $B M E$ este dreptunghic în $M$ cu $m (∠ E) = 4 5^{\circ}$ , deci este și isoscel: $B M = M E$ (1 p). Din $B M^{2} + M E^{2} = B E^{2}$ rezultă $2 B M^{2} = B E^{2} = (42)^{2} = 32$ , deci $B M^{2} = 16$ și $B M = 4$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul $V D B$ , $O$ este mijlocul lui $B D$ și $M$ este mijlocul lui $V D$ , deci $O M$ este linie mijlocie: $O M ∥ V B$ (1 p). Cum $V B \subset (V B C)$ și $O M \neq \subset (V B C)$ , rezultă $O M ∥ (V B C)$ (1 p). b) (3 p) Cum $O M ∥ (V B C)$ , $d (M, (V B C)) = d (O, (V B C))$ . Diagonala bazei $A C = A B 2 = 122$ , deci $A O = 62$ ; din $V A^{2} = V O^{2} + A O^{2}$ , cu $V A^{2} = 4 \cdot 34 = 136$ și $A O^{2} = 72$ , rezultă $V O^{2} = 64$ , deci $V O = 8$ cm (1 p). Fie $P$ mijlocul lui $B C$ : $O P = 6$ cm (apotema bazei), iar în triunghiul dreptunghic $V O P$ , $V P^{2} = V O^{2} + O P^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $V P = 10$ cm (1 p). Distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ se calculează din aria triunghiului $V O P$ în două moduri: $\frac{V O \cdot O P}{2} = \frac{V P \cdot d ( O , ( V B C ))}{2}$ , deci $d (O, (V B C)) = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{24}{5} = 4, 8$ cm, egală și cu distanța de la $M$ la planul $(V B C)$ (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 4 pentru Evaluarea Națională, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 4 din seria testelor oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021. Este o sursă publică, oficială (documentul oficial de pregătire distribuit către școli), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: numere prime, procente, puteri cu exponent negativ (comparare), sisteme cu diferență de pătrate, sume de numere întregi dintr-un interval; geometrie plană (puncte coliniare cu mijloace de segment, unghiuri în jurul unui punct, triunghi dreptunghic cu mediană pe ipotenuză, paralelogram cu diagonale, cerc cu diametru și lungime) și geometrie în spațiu (cub cu unghiul dintre două drepte); algebră (divizibilitate cu resturi și c.m.m.m.c., expresie ca diferență de pătrate, multiplu de 5), numere reale cu radicali (raționalizare, simplificare), centrul de greutate al triunghiului cu linie mijlocie, pătrat cu triunghi echilateral alăturat, piramidă patrulateră regulată cu distanță punct-plan.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: unghiurile în jurul unui punct au suma măsurilor $36 0^{\circ}$ ; într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză; diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc; centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2 : 1$ față de vârf.