Testul oficial de pregătire nr. 5 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2+3\cdot (4+5)$ este egal cu: a) $19$ b) $20$ c) $29$ d) $45$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$, atunci rezultatul calculului $3x-2y$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $5$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi negative din intervalul $(-5;4]$ este egală cu: a) $-15$ b) $-10$ c) $0$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $\frac{2018}{2019}$, $\frac{2019}{2020}$, $\frac{2020}{2021}$ și $\frac{2021}{2022}$ cel mai mare este: a) $\frac{2018}{2019}$ b) $\frac{2019}{2020}$ c) $\frac{2020}{2021}$ d) $\frac{2021}{2022}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi au calculat media geometrică a numerelor $4\sqrt{2}$ și $2\sqrt{2}$ și au obținut rezultatele înregistrate în tabelul de mai jos.

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este: a) Ana b) Andrei c) Anca d) Alin

Exercițiul 6 · 5 puncte Ana are $14$ ani, iar fratele ei are $10$ ani. Ana afirmă că: „Peste trei ani, suma dintre vârsta mea și a fratelui meu va fi egală cu $27$ de ani”. Afirmația Anei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, iar punctele $D$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, respectiv $AC$. Proiecția punctului $E$ pe $AC$ este punctul:

a) $A$ b) $C$ c) $D$ d) $F$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt intersectate de secanta $d$, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de $35^{\circ }$ și de $(2x+5{)}^{\circ }$. Valoarea lui $x$ este de:

a) $15^{\circ }$ b) $25^{\circ }$ c) $70^{\circ }$ d) $75^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $m(\angle ABC)=60^{\circ }$ și $m(\angle BAC)=40^{\circ }$. Punctul $D$ aparține dreptei $BC$, astfel încât distanța dintre punctul $A$ și punctul $D$ să fie minimă. Măsura unghiului $\angle DAC$ este de:

a) $10^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $80^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată schița unei foi de tablă în formă de pătrat $ABCD$, cu $AB=2$ m. Un tinichigiu vrea să taie din tablă o bucată în forma triunghiului $BMC$, unde punctul $M$ aparține dreptei $DC$, astfel încât aria triunghiului $BMC$ să fie un sfert din aria pătratului $ABCD$. Lungimea segmentului $CM$ este egală cu:

a) $0,25$ m b) $0,5$ m c) $1$ m d) $1,5$ m

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, $BD$ este raza cercului mare de centru $B$, $CD=2$ cm este raza cercului mic de centru $C$, punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare și punctul $E$ aparține cercului mic, astfel încât dreapta $CE$ este perpendiculară pe dreapta $AE$. Distanța dintre punctele $A$ și $E$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $4\sqrt{2}$ cm c) $4\sqrt{3}$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o cutie în formă de cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ care are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu $60$ cm. Volumul cutiei este egal cu:

a) $25$ cm³ b) $100$ cm³ c) $125$ cm³ d) $150$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Radu a citit în prima zi $\frac{1}{4}$ din cartea pe care a primit-o de ziua lui de la Andreea. A doua zi citește $27$ de pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții. a) (2 p) Este posibil să aibă $100$ de pagini cartea pe care a primit-o Radu de ziua lui de la Andreea? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul de pagini din cartea lui Radu.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x-1{)}^2-(x-2{)}^2+(1-x{)}^2-(2-x{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (3 p) Arată că $E(x)=4x-6$, pentru orice număr real $x$. b) (2 p) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația: $2-E(x)\le 0$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\frac{1}{2}$ și $b=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$. a) (2 p) Arată că $a=\frac{16}{15}$. b) (3 p) Arată că numărul $a$ este de $16$ ori mai mare decât numărul $b$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată schița unui teren agricol în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=600$ m și $AD=400$ m. Punctul $E$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$.

a) (2 p) Arată că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $2000$ m. b) (3 p) Arată că aria patrulaterului $AEMF$ este de trei ori mai mare decât aria triunghiului $CFM$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, iar punctul $M$ este proiecția punctului $A$ pe $BC$. Lungimea segmentului $BM$ este de $16$ cm, iar lungimea segmentului $CM$ este de $4$ cm.

a) (2 p) Arată că $AM=8$ cm. b) (3 p) Demonstrează că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mare decât $44$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră o prismă dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm.

a) (2 p) Demonstrează că dreptele $A^{\prime }C$ și $A{C}^{\prime }$ sunt perpendiculare. b) (3 p) Demonstrează că dreapta $O{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $2+3\cdot (4+5)=2+3\cdot 9=2+27=29$.
2. a) Din $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=k$ rezultă $x=2k$, $y=3k$: $3x-2y=6k-6k=0$.
3. b) Numerele întregi negative din $(-5;4]$ sunt $-4,-3,-2,-1$; suma lor este $-10$.
4. d) Funcția $n\mapsto \frac{n}{n+1}$ este crescătoare, deci cea mai mare fracție corespunde celui mai mare $n$: $\frac{2021}{2022}$.
5. a) Media geometrică a lui $4\sqrt{2}$ și $2\sqrt{2}$ este $\sqrt{4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\sqrt{16}=4$, valoarea obținută de Ana.
6. b) Peste trei ani, Ana are $17$ ani, iar fratele ei $13$ ani, deci suma este $30\ne 27$; afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $EF$ este linie mijlocie în $△ABC$, deci $EF\parallel AB$; cum $AB\perp AC$, rezultă $EF\perp AC$, deci proiecția lui $E$ pe $AC$ este $F$.
2. c) Unghiurile de $35^{\circ }$ și $(2x+5{)}^{\circ }$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei (co-interioare), deci suplementare: $35+(2x+5)=180\Rightarrow x=70$.
3. a) $m(\angle ACB)=180^{\circ }-60^{\circ }-40^{\circ }=80^{\circ }$; $D$ fiind piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$, $m(\angle DAC)=90^{\circ }-80^{\circ }=10^{\circ }$.
4. c) Aria pătratului este $4$ m², un sfert din ea este $1$ m²; aria $△BMC=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot 2=CM$, deci $CM=1$ m.
5. b) Cercul mic are diametrul $BD$ (trece prin $B$ și $D$), deci $BD=2\cdot CD=4$ cm, iar $AB=BD=4$ cm (rază a cercului mare); $AC=AB+BC=4+2=6$ cm. $AE$ fiind tangentă din $A$ la cercul mic, $AE=\sqrt{A{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm.
6. c) Suma celor $12$ muchii ale cubului este $60$ cm, deci muchia este $5$ cm; volumul este $5^3=125$ cm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă cartea ar avea $100$ de pagini, în prima zi Radu ar citi $\frac{1}{4}\cdot 100=25$ pagini, iar în primele două zile $25+27=52$ de pagini (1 p). Cum $52\ne \frac{100}{2}=50$, nu este posibil ca respectiva carte să aibă $100$ de pagini (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul de pagini al cărții. Condiția „a citit jumătate din pagini după a doua zi” se scrie $\frac{x}{4}+27=\frac{x}{2}$ (2 p). Rezultă $27=\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}$, deci $x=108$ pagini (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (3 p) $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$, $(1-x{)}^2=(x-1{)}^2$, $(2-x{)}^2=(x-2{)}^2$ (1 p). $E(x)=(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)+(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)$ (1 p) $=(2x-3)+(2x-3)=4x-6$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (2 p) $2-E(x)\le 0\iff 2-(4x-6)\le 0\iff -4x+8\le 0$ (1 p) $\iff x\ge 2$, deci mulțimea soluțiilor este $S=[2,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$ (1 p); $a=\frac{8}{15}:\frac{1}{2}=\frac{8}{15}\cdot 2=\frac{16}{15}$ (1 p). b) (3 p) $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}$, deci $b=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}$ (1 p). Cum $a,b>0$ (1 p) și $\frac{a}{b}=\frac{16/15}{1/15}=16$, rezultă că numărul $a$ este de $16$ ori mai mare decât numărul $b$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)$ (1 p) $=2(600+400)=2000$ m (1 p). b) (3 p) $AECF$ este paralelogram ($AE\parallel CF$ și $AE=CF=300$ m), deci diagonala $EF$ îl împarte în două triunghiuri de arii egale, $△AEF$ și $△CFE$ (1 p). Cum $M$ este mijlocul lui $CE$, triunghiurile $EMF$ și $CMF$ au aceeași arie (baze egale $EM=MC$, aceeași înălțime din $F$), deci $\text{Aria}(CFM)=\frac{1}{2}\text{Aria}(CFE)=\frac{1}{2}\text{Aria}(AEF)$ (1 p). Atunci $\text{Aria}(AEMF)=\text{Aria}(AEF)+\text{Aria}(EMF)=2\cdot \text{Aria}(CFM)+\text{Aria}(CFM)=3\cdot \text{Aria}(CFM)$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu înălțimea $AM$ pe ipotenuză, are loc relația $A{M}^2=BM\cdot CM$ (1 p) $=16\cdot 4=64$, deci $AM=8$ cm (1 p). b) (3 p) $A{C}^2=CM\cdot CB=4\cdot 20=80$, deci $AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ cm; $A{B}^2=BM\cdot CB=16\cdot 20=320$, deci $AB=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$ cm (1 p). Perimetrul este $P=AB+AC+BC=8\sqrt{5}+4\sqrt{5}+20=12\sqrt{5}+20$ cm (1 p). Cum $\sqrt{5}>2$ (pentru că $5>4$), rezultă $12\sqrt{5}>24$, deci $P>24+20=44$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $AC=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm $=AC$ și $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi (deoarece $A{A}^{\prime }\perp$ planul bazei), rezultă că $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, deci diagonalele sale $A^{\prime }C$ și $A{C}^{\prime }$ sunt perpendiculare (1 p). b) (3 p) Fie $O^{\prime }$ intersecția diagonalelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ ale bazei superioare. $DO=O^{\prime }{B}^{\prime }$ (jumătăți din diagonalele celor două pătrate congruente) și $DO\parallel O^{\prime }{B}^{\prime }$ (translație de vector $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$), deci $DO{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ este paralelogram (1 p), de unde $O{B}^{\prime }\parallel D{O}^{\prime }$ (1 p). Cum $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, dreapta $D{O}^{\prime }$ este conținută în planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$, deci $O{B}^{\prime }\parallel (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ (1 p).

Test oficial de pregătire pentru Evaluarea Națională, Testul 5, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE pentru anul școlar 2020-2021, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 5 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, elaborată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021. Este o sursă publică, oficială (documentul de pregătire publicat de CNPEE), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: ordinea operațiilor, rapoarte și proporții, numere întregi negative pe un interval, compararea fracțiilor, media geometrică a radicalilor, raționament cu vârste adevărat/fals; geometrie plană (proiecție ortogonală pe o linie mijlocie, unghiuri formate de drepte paralele cu o secantă, distanța minimă de la un punct la o dreaptă, aria unui triunghi dintr-un pătrat, cercuri tangente interior) și geometrie în spațiu (cub cu suma muchiilor dată); algebră (expresie cu pătrate perfecte, inecuație de gradul întâi), rapoarte de numere raționale, geometrie cu paralelogram inscris într-un dreptunghi, relații metrice în triunghiul dreptunghic, prismă patrulateră regulată cu diagonale perpendiculare și paralelism dreaptă-plan.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: media geometrică a două numere pozitive $u$ și $v$ este $\sqrt{u\cdot v}$; distanța minimă de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei; într-un triunghi dreptunghic cu înălțimea $AM$ pe ipotenuză, $A{M}^2=BM\cdot CM$, iar $A{C}^2=CM\cdot CB$, $A{B}^2=BM\cdot CB$ (relațiile catetei și înălțimii); tangenta dintr-un punct exterior la un cerc este perpendiculară pe rază în punctul de tangență.