Simulare Evaluarea Națională nr. 11

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(24+6\cdot 6):12$ este: a) $3$ b) $5$ c) $15$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $2$ b) $18$ c) $8$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{1,2,5\}$ și $B=\{2,5,7,9\}$. Reuniunea $A\cup B$ este mulțimea: a) $\{2,5\}$ b) $\{1,7,9\}$ c) $\{1,2,5,7,9\}$ d) $\{1,2,5,7\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $45$ b) $30$ c) $15$ d) $50$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $4$ b) $18$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul real $\sqrt{26}$ este cuprins între numerele naturale consecutive: a) $4$ și $5$ b) $5$ și $6$ c) $6$ și $7$ d) $25$ și $27$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $N$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $NB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $2$ cm c) $8$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $125^{\circ }$ d) $55^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $23$ cm c) $289$ cm d) $\sqrt{161}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel DC$, $AB=9$ cm, $DC=5$ cm și latura $AD\perp AB$, $AD=6$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $84{\text{cm}}^2$ b) $42{\text{cm}}^2$ c) $70{\text{cm}}^2$ d) $35{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $64^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $64^{\circ }$ b) $16^{\circ }$ c) $32^{\circ }$ d) $128^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $120{\text{cm}}^3$ b) $148{\text{cm}}^3$ c) $74{\text{cm}}^3$ d) $60{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un depozit are un stoc de cafea. În prima zi livrează $40\%$ din stoc, în a doua zi livrează $30\%$ din cantitatea rămasă, iar în a treia zi livrează ultimele $126$ kg. a) (2 p) Arată că în a doua zi depozitul a livrat mai puțină cafea decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de cafea.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte O familie plătește lunar energia electrică după regula $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=0,5\cdot x+20$, unde $x$ reprezintă numărul de kWh consumați într-o lună, iar $f(x)$ reprezintă suma de plată, în lei (un abonament fix de $20$ lei plus $0,5$ lei pentru fiecare kWh consumat). a) (2 p) Calculează suma de plată pentru un consum de $150$ kWh și determină câți kWh au fost consumați într-o lună în care factura a fost de $80$ lei. b) (3 p) Reprezintă grafic funcția $f$ (desenând dreapta prin punctele $A(0,20)$ și $B(100,70)$) și stabilește dacă punctul $P(80,65)$ aparține graficului funcției $f$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă decorativă are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ cu muchia de $6$ cm. Se notează cu $O$ centrul feței $ABC$ și cu $M$ mijlocul muchiei $BC$ (fața $ABC$ este considerată bază, iar $D$ este vârful). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei bazei $OM$ și lungimea apotemei tetraedrului $DM$. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul tetraedrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(24+6\cdot 6):12=(24+36):12=60:12=5$.
2. d) $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{6\cdot 5}{3}=10$.
3. c) Reuniunea conține toate elementele din $A$ sau din $B$: $A\cup B=\{1,2,5,7,9\}$.
4. a) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. d) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. b) $\sqrt{25}=5$ și $\sqrt{36}=6$; cum $25<26<36$, rezultă $5<\sqrt{26}<6$, deci $\sqrt{26}$ este cuprins între numerele naturale consecutive $5$ și $6$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AN=\frac{AC}{2}=8$ cm; $NB=AN-AB=8-6=2$ cm.
2. d) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+DC)\cdot AD}{2}=\frac{(9+5)\cdot 6}{2}=\frac{14\cdot 6}{2}=42{\text{cm}}^2$.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 64^{\circ }=32^{\circ }$.
6. a) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial de cafea. a) (2 p) Ziua întâi: $40\%$ din $S$. După prima zi rămâne $60\%\cdot S$, iar a doua zi se livrează $30\%$ din rest $=30\%\cdot 60\%\cdot S=18\%$ din $S$ (1 p). Cum $18\%<40\%$, în a doua zi s-a livrat mai puțină cafea decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a livrat $40\%+18\%=58\%$ din $S$, deci a rămas $42\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost livrat a treia zi: $42\%\cdot S=126$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{126}{0,42}=300$ kg (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Pentru $150$ kWh: $f(150)=0,5\cdot 150+20=75+20=95$ lei (1 p). Pentru o factură de $80$ lei: $0,5\cdot x+20=80\Rightarrow 0,5\cdot x=60\Rightarrow x=120$ kWh (1 p). b) (3 p) Graficul funcției este o dreaptă; ea trece prin $A(0,20)$, deoarece $f(0)=20$, și prin $B(100,70)$, deoarece $f(100)=0,5\cdot 100+20=70$ (1 p) (reprezentarea dreptei prin cele două puncte) (1 p). Verificăm punctul $P(80,65)$: $f(80)=0,5\cdot 80+20=40+20=60\ne 65$, deci $P$ nu aparține graficului funcției $f$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Baza $ABC$ este triunghi echilateral cu latura $6$ cm, iar fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale identice cu baza (tetraedru regulat). a) (2 p) Apotema bazei este raza cercului înscris în triunghiul echilateral: $OM=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$ cm (1 p). Apotema tetraedrului $DM$ este înălțimea feței echilaterale $DBC$: $DM=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Aria totală $=$ suma ariilor celor $4$ triunghiuri echilaterale: $A_t=4\cdot \frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}={\ell }^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Înălțimea tetraedrului: în triunghiul $DOM$ dreptunghic în $O$, $DO=\sqrt{D{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{27-3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot \frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.