Testul oficial de pregătire nr. 6 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $44-4\cdot 4$ este egal cu: a) $0$ b) $28$ c) $60$ d) $160$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{3}{x+1}=\frac{1}{674}$, atunci numărul real $x$ este egal cu: a) $3$ b) $674$ c) $2021$ d) $2022$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor $-18$ și $3$ este egal cu: a) $-54$ b) $-21$ c) $-15$ d) $-6$

Exercițiul 4 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată oferta cu reduceri de prețuri pentru două produse, în funcție de numărul de produse cumpărate.

Știind că un cumpărător a achiziționat $8$ bucăți de săpun și $4$ bucăți de pastă de dinți, prețul total plătit de acesta în urma aplicării reducerilor este: a) $49,6$ lei b) $45,6$ lei c) $43,2$ lei d) $32$ lei

Exercițiul 5 · 5 puncte Maria scrie mulțimea formată din literele comune următoarelor trei cuvinte: matematică, gramatică, informatică. Numărul elementelor mulțimii scrise de Maria este egal cu: a) $11$ b) $10$ c) $9$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Dintre următoarele secvențe de numere, cea care reprezintă o enumerare în ordine crescătoare este: a) $-\sqrt{2},-2,2,\sqrt{2}$ b) $-\sqrt{2},-2,\sqrt{2},2$ c) $-2,-\sqrt{2},2,\sqrt{2}$ d) $-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$ și $B$. Andrei trebuie să poziționeze pe segmentul $AB$ punctele $C$, $D$ și $E$ astfel încât $AB=2\cdot AC=4\cdot AD=5\cdot AE$. Ordinea pe dreapta $AB$ a celor $5$ puncte este:

a) $A-C-D-E-B$ b) $A-E-D-C-B$ c) $A-C-E-D-B$ d) $A-E-C-D-B$

Exercițiul 2 · 5 puncte Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare, iar măsura unghiului $BOC$ este de $30^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu: a) $15^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $60^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ cu ipotenuza $BC$. Punctele $D$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $BC$, $AB$, respectiv $AC$.

Perimetrul patrulaterului $AEDF$ este: a) egal cu suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$ b) mai mare decât suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$ c) mai mic decât suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$ d) mai mic decât lungimea laturii $BC$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o morișcă despre care știm că este compusă din patru triunghiuri dreptunghice, congruente, $AOB$, $COD$, $EOF$ și $GOH$, dispuse astfel încât punctele $B$, $D$, $F$ și $H$ sunt mijloacele segmentelor $OC$, $OE$, $OG$, respectiv $OA$. Știind că $AH=10\text{ cm}$ și că cele patru triunghiuri au fost decupate dintr-un carton, fără pierderi de material, aria suprafeței cartonului era egală cu:

a) $1{\text{ dm}}^2$ b) $4{\text{ dm}}^2$ c) $10{\text{ dm}}^2$ d) $40{\text{ dm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Segmentele $AB$ și $CD$ sunt două diametre perpendiculare în cercul de centru $O$ din figura alăturată. Punctul $N$ aparține acestui cerc, iar punctele $M$ și $P$ aparțin segmentelor $OB$, respectiv $OD$, astfel încât patrulaterul $OMNP$ să fie dreptunghi. Dacă lungimea coardei $AC$ este $\sqrt{2}\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $MP$ este:

a) $2$ cm b) $1$ cm c) $0,5$ cm d) $\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară regulată dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, de baze $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu muchiile $AB$ și $A{A}^{\prime }$ egale. Știind că aria laterală a prismei reprezentate este egală cu $27{\text{ cm}}^2$, volumul aceleiași prisme este egal cu:

a) $3{\text{ cm}}^3$ b) $9{\text{ cm}}^3$ c) $\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{ cm}}^3$ d) $27{\text{ cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Pe un lot cu suprafața de $48{\text{ m}}^2$, un agricultor a cultivat cartofi. Întreaga recoltă obținută o vinde la piață cu $1,85$ lei kilogramul și încasează $266,40$ lei. a) (2 p) Verifică dacă întreaga recoltă este de $150$ kg de cartofi. b) (3 p) Află câte kilograme de cartofi au fost recoltate de pe un metru pătrat. (Se consideră că producția este aceeași pe fiecare metru pătrat al lotului.)

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(-2)-8=0$. b) (3 p) Demonstrează că $E(x)\ge 7$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numărul întreg $a=2^{2048}-2048^2$. a) (2 p) Arată că la împărțirea numărului $2048$ cu $64$ câtul este egal cu $2^5$. b) (3 p) Arată că numărul $a$ este un număr natural.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$. Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=16\text{ cm}$ și $CD=10\text{ cm}$.

a) (2 p) Știind că $E\in AB$ astfel încât $CE\perp AB$, demonstrează că $BE=6\text{ cm}$. b) (3 p) Știind că $P$ este punctul de intersecție a laturii $AB$ cu perpendiculara din $C$ pe dreapta $BD$, demonstrează că $DP\parallel BC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AC$, respectiv $BC$ ale unui triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC=24\text{ cm}$ și măsura unghiului $C$ egală cu $30^{\circ }$.

a) (2 p) Determină lungimea segmentului $MN$. b) (3 p) Calculează raportul dintre perimetrul triunghiului $AMN$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat acoperișul unei case sub forma suprafeței laterale a piramidei patrulatere regulate $VABCD$, de înălțime $VO=3\text{ m}$, în care unghiul de înclinație a acoperișului, adică unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei, are măsura egală cu $30^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$.

a) (2 p) Arată că $AB=6\sqrt{3}\text{ m}$. b) (3 p) Știind că acoperișul este realizat din tablă și că proprietarul casei dorește să-l vopsească într-un singur strat cu vopsea specială pentru tablă care se vinde la bidon de $3$ litri care costă $125$ de lei și care, conform specificațiilor producătorului, acoperă $12{\text{ m}}^2$ la utilizarea unui litru, determină prețul minim pe care trebuie să-l achite proprietarul pentru cumpărarea cantității de vopsea necesară la bidon de $3$ litri. (Pentru justificare, se poate folosi inegalitatea $1,73<\sqrt{3}<1,74$.)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $44-4\cdot 4=44-16=28$.
2. c) $\frac{3}{x+1}=\frac{1}{674}\Rightarrow x+1=3\cdot 674=2022\Rightarrow x=2021$.
3. a) $(-18)\cdot 3=-54$.
4. c) Săpun: $8\cdot 2,5\cdot (1-0,12)=20\cdot 0,88=17,6$ lei; pastă de dinți: $4\cdot 8\cdot (1-0,20)=32\cdot 0,8=25,6$ lei; total $17,6+25,6=43,2$ lei.
5. d) Literele comune celor trei cuvinte sunt $\{m,a,t,i,c,\breve{a}\}$ — $6$ elemente.
6. d) $-2\approx -2$, $-\sqrt{2}\approx -1,41$, $\sqrt{2}\approx 1,41$, deci ordinea crescătoare este $-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Notând $AB=L$: $AC=\frac{L}{2}$, $AD=\frac{L}{4}$, $AE=\frac{L}{5}$. Cum $\frac{L}{5}<\frac{L}{4}<\frac{L}{2}<L$, ordinea punctelor pe dreaptă, în funcție de distanța față de $A$, este $A-E-D-C-B$.
2. d) Unghiuri adiacente complementare: suma măsurilor este $90^{\circ }$, deci $m(\angle AOB)=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
3. a) $AEDF$ este paralelogram ($ED$ linie mijlocie, $ED\parallel AC$, $ED=\frac{AC}{2}$; $FD$ linie mijlocie, $FD\parallel AB$, $FD=\frac{AB}{2}$), deci perimetrul $=2\left(\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}\right)=AB+AC$.
4. b) Notând $AH=b=10\text{ cm}$ catetă scurtă și $OA=a=2b=20\text{ cm}$ catetă lungă (din congruența triunghiurilor și condiția de mijloc), aria cartonului (4 triunghiuri dreptunghice de catete $a$ și $b$) este $4\cdot \frac{a\cdot b}{2}=2ab=2\cdot 20\cdot 10=400{\text{ cm}}^2=4{\text{ dm}}^2$.
5. b) Din $OA=OC=R$ perpendiculare, $AC=R\sqrt{2}=\sqrt{2}\Rightarrow R=1$. $OMNP$ este dreptunghi cu diagonala $ON=R=1$ (rază), iar $MP$ este cealaltă diagonală a dreptunghiului, egală cu prima, deci $MP=1$ cm.
6. c) Aria laterală $=3a^2=27\Rightarrow a=3\text{ cm}$ (muchia bazei egală cu muchia laterală). Volumul $=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{ cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă recolta ar fi de $150$ kg, venitul ar fi $150\cdot 1,85=277,5$ lei. Cum $277,5\ne 266,40$, recolta nu este de $150$ kg de cartofi. b) (3 p) Cantitatea totală recoltată este $266,40:1,85=144$ kg. Producția pe metru pătrat este $144:48=3$ kg.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=2(x^2+6x+9)-(x^2-4)-(10x+14)=2x^2+12x+18-x^2+4-10x-14=x^2+2x+8$. $E(-2)=4-4+8=8$, deci $E(-2)-8=0$. b) (3 p) $E(x)=x^2+2x+8=(x+1{)}^2+7$. Cum $(x+1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $E(x)\ge 7$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $2048=2^{11}$ și $64=2^6$, deci $2048:64=2^{11}:2^6=2^5$. b) (3 p) $2048^2=(2^{11}{)}^2=2^{22}$. Cum $2^{2048}>2^{22}$ (deoarece $2048>22$), $a=2^{2048}-2^{22}$ este diferența pozitivă a două numere naturale, deci $a$ este un număr natural.

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Din $AD\perp AB$, $CE\perp AB$ și $AB\parallel CD$ rezultă $AECD$ dreptunghi, deci $AE=CD=10\text{ cm}$. Atunci $BE=AB-AE=16-10=6\text{ cm}$. b) (3 p) Din $AB\parallel CD$, unghiurile $DBA$ și $BDC$ sunt alterne interne, deci congruente. Cum $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $m(\angle DBC)=m(\angle DBA)=m(\angle BDC)$, deci triunghiul $BCD$ este isoscel, cu $BC=CD$. În triunghiul $BCP$, $BD$ este bisectoarea unghiului $B$ și $BD\perp CP$; o bisectoare care este și înălțime apare doar în triunghiul isoscel, deci $BP=BC=CD$. Cum $BP\parallel CD$ (drepte incluse în $AB$, respectiv $CD$, iar $AB\parallel CD$) și $BP=CD$, patrulaterul $BPDC$ este paralelogram, deci $DP\parallel BC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $AB=BC\cdot \sin C=24\cdot \sin 30^{\circ }=24\cdot 0,5=12\text{ cm}$. $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN=\frac{AB}{2}=6\text{ cm}$. b) (3 p) $AN$ este mediană corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $ABC$, deci $AN=\frac{BC}{2}=12\text{ cm}$. $AC=BC\cdot \cos 30^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\text{ cm}$, iar $M$ este mijlocul lui $AC$, deci $AM=\frac{AC}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$. Cum $AM=\frac{AC}{2}$, $MN=\frac{AB}{2}$ și $AN=\frac{BC}{2}$, triunghiul $AMN$ este asemenea cu triunghiul $ABC$ în raportul $\frac{1}{2}$, deci $\frac{P_{AMN}}{P_{ABC}}=\frac{1}{2}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, cu $m(\angle VMO)=30^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}(\angle VMO)=\frac{VO}{OM}$, de unde $OM=\frac{VO}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=3\sqrt{3}\text{ m}$. $OM$ este apotema pătratului bazei $ABCD$, deci $AB=2\cdot OM=6\sqrt{3}\text{ m}$. b) (3 p) $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{9+27}=6\text{ m}$. Aria laterală a piramidei este $\frac{4\cdot AB\cdot VM}{2}=2\cdot AB\cdot VM=2\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=72\sqrt{3}{\text{ m}}^2$, care reprezintă suprafața de vopsit. Cum $1,73<\sqrt{3}<1,74$, rezultă $124,56<72\sqrt{3}<125,28$, deci sunt necesari între $10,38$ și $10,44$ litri de vopsea ($72\sqrt{3}:12$). Cum vopseaua se vinde la bidon de $3$ litri, $3$ bidoane ($9$ litri) nu ajung, deci sunt necesare minimum $4$ bidoane ($12$ litri), cu prețul de $4\cdot 125=500$ lei.

Notă de verificare: enunțul (reprodus din documentul oficial) indică explicit prețul de $125$ de lei pe bidonul de $3$ litri. Cu acest preț, calculul $4\cdot 125$ dă $500$ de lei. Sursa scanată a baremului oficial redă la acest pas cifra „$600$ de lei" — o valoare care ar corespunde unui preț de $150$ lei/bidon, în contradicție cu enunțul; păstrăm $500$ de lei ca fiind consistent cu prețul de $125$ lei precizat în subiect.

Testul 6 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 6 din seria de teste oficiale de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: calcul cu puteri și ordinea operațiilor, ecuații cu fracții, produsul numerelor întregi, procente cu reduceri succesive, mulțimi (litere comune), ordonarea numerelor reale cu radicali; geometrie plană (puncte pe un segment cu rapoarte, unghiuri adiacente complementare, triunghi dreptunghic isoscel cu linie mijlocie, o „morișcă" din patru triunghiuri dreptunghice congruente, cerc cu diametre perpendiculare) și geometrie în spațiu (prismă triunghiulară regulată); algebră (expresie cu paranteze și inegalitate, puteri ale lui 2 și divizibilitate), geometrie cu demonstrație (trapez dreptunghic cu bisectoare, triunghi dreptunghic cu linie mijlocie și trigonometrie, piramidă patrulateră regulată — acoperiș de casă).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: un patrulater cu laturile opuse două câte două paralele și egale este paralelogram; o bisectoare dintr-un vârf care este și perpendiculară pe latura opusă apare doar în triunghiuri isoscele; mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză.