Testul oficial de pregătire nr. 7 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Câtul împărțirii numărului $62$ la $12$ este numărul: a) $2$ b) $5$ c) $12$ d) $62$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $3a=2b$ și $b\ne 0$, atunci $\frac{a}{b}$ este egal cu: a) $\frac{3}{1}$ b) $\frac{2}{1}$ c) $\frac{3}{2}$ d) $\frac{2}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul $a$ este un element din mulțimea $\{-8,-5,0,1\}$. Cea mai mică valoare pe care o poate avea expresia $|a+3|$ este egală cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Diferența dintre numerele $\frac{3}{2}$ și $0,25$, în această ordine, este egală cu: a) $-1$ b) $1$ c) $\frac{5}{4}$ d) $\frac{7}{4}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid |x|\le 2\right\}$ este egală cu: a) $\left[2,+\infty \right)$ b) $\left(-\infty ,2\right]$ c) $\left(-\infty ,-2\right]$ d) $\left[-2,2\right]$

Exercițiul 6 · 5 puncte Andra, Sorin, Teo și Bogdan aleg câte un număr real, alegerile fiind evidențiate în tabelul de mai jos:

Toți cei care au ales număr mai mare decât $2$ sunt: a) Andra, Sorin și Teo b) Sorin, Teo și Bogdan c) Andra, Sorin și Bogdan d) Andra, Teo și Bogdan

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare, distincte, $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine. Punctul $D$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $C$, $AB=2$ cm și $BC=3$ cm. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $5$ cm c) $8$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată semidreptele $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele unghiurilor adiacente $AOB$, respectiv $BOC$, iar suma măsurilor unghiurilor $AOB$ și $BOC$ este egală cu $160^{\circ }$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $100^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, măsura unghiului $AOB$ este de $140^{\circ }$ și măsura unghiului $BOC$ este de $120^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este:

a) $50^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $70^{\circ }$ d) $80^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte Trapezul isoscel $ABCD$ din figura alăturată reprezintă schița unui parc, $AB\parallel CD$, $AB=2,5$ km, $BD=2$ km și $BC=1,5$ km. Segmentele $AD$, $BC$, $AC$, $BD$ și $AB$ reprezintă piste pentru biciclete. Tudor pornește din punctul $A$ și parcurge, o singură dată, traseul format din segmentele $AB$, $BC$ și $CA$, ajungând, la final, tot în punctul $A$. Lungimea traseului parcurs de Tudor este egală cu:

a) $4$ km b) $5,5$ km c) $6$ km d) $6,5$ km

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $D$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$. Unghiul $BAC$ are măsura de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BDC$ este de:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte Un acvariu este plin cu apă. În acvariu se scufundă complet $8$ cuburi de piatră cu muchia de $0,5$ dm. Din acvariu se varsă o cantitate de apă egală cu: a) $0,5$ litri b) $1$ litru c) $1,25$ litri d) $8$ litri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a$, $b$ și $c$ astfel încât suma lor este egală cu $1$, iar media aritmetică a numerelor $b$ și $c$ este egală cu $0,25$. a) (2 p) Arată că numărul $a$ este egal cu suma dintre $b$ și $c$. b) (3 p) Știind, în plus, că media geometrică a lui $a$ și $5b$ este $1$, determină suma pătratelor numerelor $a$, $b$ și $c$, exprimând rezultatul sub formă de fracție zecimală.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)={\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)}^2-x\left(\frac{x}{2}-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\left(1-\sqrt{2}\right)x$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(0)=2$. b) (3 p) Arată că numărul $N=E(n)+2\cdot E(2n)+1485$ este divizibil cu $7$, pentru orice număr întreg $n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}$ și $y=16^2:{\left(2^2\right)}^3:2$. a) (2 p) Arată că $x=1$. b) (3 p) Arată că ${\left(x-y\right)}^{2022}+{\left(x-y\right)}^{2021}=0$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=14$ cm și $AD=10$ cm. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $AM=AB$. Bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $E$.

a) (2 p) Arată că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $140$ cm². b) (3 p) Demonstrează că patrulaterul $AMEB$ este romb.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $AM=6$ cm și $\cos C=\frac{1}{2}$.

a) (2 p) Determină măsura unghiului $ABC$. b) (3 p) Arată că suma distanțelor de la vârfurile triunghiului $ABC$ la laturile opuse acestora este mai mare decât $21$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $AB=VA=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$.

a) (2 p) Arată că apotema piramidei $VABCD$ are lungimea de $3\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $M$ la planul $(VAB)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $62=12\cdot 5+2$, deci câtul este $5$.
2. d) Din $3a=2b$ rezultă $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$.
3. a) Pentru $a\in \{-8,-5,0,1\}$: $|a+3|\in \{5,2,3,4\}$; cea mai mică valoare este $2$ (pentru $a=-5$).
4. c) $\frac{3}{2}-0,25=1,5-0,25=1,25=\frac{5}{4}$.
5. d) $|x|\le 2\iff -2\le x\le 2$, deci $A=[-2,2]$.
6. a) $\sqrt{7}\approx 2,65>2$, $\sqrt{5}\approx 2,24>2$, $\sqrt{8}\approx 2,83>2$, $\sqrt{3}\approx 1,73<2$; deci Andra, Sorin și Teo.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=5$ cm; $D$ fiind simetricul lui $A$ față de $C$, $C$ este mijlocul lui $AD$, deci $AD=2\cdot AC=10$ cm.
2. b) Unghiurile $AOB$ și $BOC$ au suma $160^{\circ }$; $MON=m(\angle MOB)+m(\angle BON)=\frac{AOB}{2}+\frac{BOC}{2}=\frac{160^{\circ }}{2}=80^{\circ }$.
3. a) $m(\angle AOC)=360^{\circ }-140^{\circ }-120^{\circ }=100^{\circ }$; unghiul înscris $ABC$ subîntinde arcul $AC$ (care nu conține $B$), deci $m(\angle ABC)=\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }$.
4. c) $ABCD$ fiind trapez isoscel, diagonalele sunt congruente: $AC=BD=2$ km. Traseul $AB+BC+CA=2,5+1,5+2=6$ km.
5. b) $A$ și $D$ fiind de aceeași parte a dreptei $BC$, unghiurile înscrise $BAC$ și $BDC$ subîntind același arc $BC$, deci $m(\angle BDC)=m(\angle BAC)=60^{\circ }$.
6. b) Volumul de apă dezlocuit este egal cu volumul celor $8$ cuburi: $8\cdot (0,5\text{ dm}{)}^3=8\cdot 0,125=1$ dm³ $=1$ litru.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Din $\frac{b+c}{2}=0,25$ rezultă $b+c=0,5$ (1 p). Cum $a+b+c=1$, obținem $a=1-(b+c)=1-0,5=0,5=b+c$ (1 p). b) (3 p) Media geometrică a lui $a$ și $5b$ este $1$: $\sqrt{5ab}=1\Rightarrow 5ab=1\Rightarrow ab=0,2$ (1 p). Cum $a=0,5$, rezultă $b=\frac{0,2}{0,5}=0,4$, iar din $b+c=0,5$ obținem $c=0,1$ (1 p). $a^2+b^2+c^2=0,25+0,16+0,01=0,42$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Pentru $x=0$: $E(0)={\left(0-\sqrt{2}\right)}^2-0-0$ (1 p) $={\left(-\sqrt{2}\right)}^2=2$ (1 p). b) (3 p) Dezvoltând: ${\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)}^2=\frac{x^2}{2}-2x+2$, $-x\left(\frac{x}{2}-\sqrt{2}\right)=-\frac{x^2}{2}+\sqrt{2}x$ și $-\sqrt{2}(1-\sqrt{2})x=-\sqrt{2}x+2x$ (1 p). Adunând, termenii cu $x^2$ se reduc ($\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}=0$), termenii cu $x$ se reduc ($-2x+\sqrt{2}x-\sqrt{2}x+2x=0$), deci $E(x)=2$ pentru orice număr real $x$ (1 p). Atunci $N=E(n)+2\cdot E(2n)+1485=2+2\cdot 2+1485=1491$, și cum $1491=7\cdot 213$, rezultă că $N$ este divizibil cu $7$, oricare ar fi numărul întreg $n$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (1 p). Atunci $x=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$ (1 p). b) (3 p) $y=16^2:(2^2{)}^3:2=256:64:2=2$ (2 p), deci $x-y=1-2=-1$. ${\left(x-y\right)}^{2022}+{\left(x-y\right)}^{2021}=(-1{)}^{2022}+(-1{)}^{2021}=1+(-1)=0$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Aria dreptunghiului $ABCD$ este $AB\cdot AD$ (1 p) $=14\cdot 10=140$ cm² (1 p). b) (3 p) $ME\parallel AB$ (deoarece $M,E$ aparțin dreptei $CD$, paralelă cu $AB$), deci $m(\angle MEA)=m(\angle BAE)$ (unghiuri alterne interne, cu secanta $AE$) (1 p). Cum $AE$ este bisectoarea unghiului $BAM$, $m(\angle BAE)=m(\angle MAE)$, deci $m(\angle MEA)=m(\angle MAE)$, adică triunghiul $MAE$ este isoscel, cu $ME=AM$ (1 p). Din $AM=AB$ (dat) rezultă $ME=AB$; cum și $ME\parallel AB$, patrulaterul $AMEB$ este paralelogram cu laturile adiacente $AM$ și $ME$ egale, deci $AMEB$ este romb (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $\cos C=\frac{1}{2}\Rightarrow m(\angle C)=60^{\circ }$ (1 p). Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $m(\angle ABC)=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $M$ fiind mijlocul ipotenuzei, $BC=2\cdot AM=12$ cm (1 p). $AC=BC\cdot \cos C=12\cdot 0,5=6$ cm și $AB=BC\cdot \sin C=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, iar înălțimea din $A$ pe $BC$ este $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{12}=3\sqrt{3}$ cm — acestea sunt cele trei distanțe cerute (1 p). Suma este $CA+BA+AD=6+6\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6+9\sqrt{3}\approx 6+15,59=21,59$ cm, deci suma distanțelor de la vârfurile triunghiului la laturile opuse este mai mare decât $21$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $VM$ este mediană în triunghiul echilateral $VBC$ ($VB=VC=BC=6$ cm), deci $VM$ este și înălțime (1 p). $VM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, deci apotema piramidei are lungimea de $3\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) $O$ este centrul bazei, iar $OM\parallel AB$ (segment care unește centrul pătratului cu mijlocul unei laturi), cu $AB\subset (VAB)$ și $OM\not\subset (VAB)$, deci $d(M,(VAB))=d(O,(VAB))$ (1 p). Notând cu $E$ mijlocul lui $AB$: $OE\perp AB$, $VE\perp AB$ (căci $VE$ este apotema), deci $AB\perp (VOE)$; fie $Q$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $VE$ — cum $AB\perp (VOE)$ și $OQ\subset (VOE)$, rezultă $OQ\perp AB$, deci $OQ\perp (VAB)$ și $d(O,(VAB))=OQ$ (1 p). Triunghiul $VOE$ este dreptunghic în $O$, cu $VO=3\sqrt{2}$ cm (înălțimea piramidei), $OE=3$ cm și $VE=3\sqrt{3}$ cm (apotema); din $OQ=\frac{VO\cdot OE}{VE}$ obținem $O{Q}^2=\frac{18\cdot 9}{27}=6$, deci $OQ=\sqrt{6}$ cm, adică $d(M,(VAB))=\sqrt{6}$ cm (1 p).

Testul 7 dintr-o serie de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE pentru anul școlar 2020-2021, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 7 dintr-o serie de teste OFICIALE de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicate de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru absolvenții clasei a VIII-a, în anul școlar 2020-2021. Este o sursă publică, oficială (documentele oficiale de pregătire publicate de Minister), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: împărțire cu rest, rapoarte, modul, mulțimi scrise sub formă de interval, scăderea unei fracții supraunitare cu o fracție zecimală, compararea radicalilor; geometrie plană (puncte coliniare cu simetric față de un punct, bisectoare ale unor unghiuri adiacente, unghi la centru și unghi înscris în cercul circumscris unui triunghi, trapez isoscel cu diagonale, unghiuri înscrise care subîntind același arc) și geometrie în spațiu (volumul de apă dezlocuit de cuburi scufundate într-un acvariu); algebră (expresie care se reduce la o constantă, demonstrarea divizibilității cu 7, calcul cu puteri și paranteze), precum și trei probleme de geometrie cu rezolvare completă (dreptunghi cu bisectoare care determină un romb, triunghi dreptunghic cu mediana ipotenuzei și suma distanțelor de la vârfuri la laturile opuse, piramidă patrulateră regulată cu distanță de la un punct la un plan).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris într-un cerc este egal cu jumătatea unghiului la centru care subîntinde același arc; două puncte situate de aceeași parte a unei coarde „văd" acea coardă sub unghiuri înscrise egale.