Testul oficial de pregătire nr. 9 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dintre numerele $2020$, $2021$, $2022$ și $2023$, numărul divizibil cu $3$ este: a) $2020$ b) $2021$ c) $2022$ d) $2023$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cinci kilograme de mere costă $17,5$ lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă: a) $3,5$ lei b) $7$ lei c) $14$ lei d) $35$ de lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Maria lucrează la un proiect. Pentru acesta, ea măsoară temperatura pe parcursul unei zile, din două în două ore, de la ora $8:00$ până la ora $18:00$. Temperaturile măsurate sunt înregistrate în tabelul de mai jos:

Temperatura înregistrată la ora $14:00$ este mai mare decât temperatura înregistrată la ora $8:00$ cu: a) $-9^{\circ }$C b) $-6^{\circ }$C c) $8^{\circ }$C d) $10^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale: $x=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)$ și $y=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)$.

Dintre enunțurile de mai jos, propoziția adevărată este: a) $x=y$ b) $0>x>y$ c) $x>0>y$ d) $x>y>0$

Exercițiul 5 · 5 puncte Tudor, Ilinca, Maria și Mihai calculează produsul numerelor $a=\sqrt{2^2+2^2}$ și $b=\sqrt{2^4+2^4}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect este: a) Tudor b) Ilinca c) Maria d) Mihai

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama alăturată este reprezentată distribuția celor $100000$ de persoane ale unui oraș în funcție de grupa de vârstă din care fac parte.

Numărul de persoane cu vârsta cuprinsă între $30$ de ani și cel mult $50$ de ani este egal cu: a) $15000$ b) $20000$ c) $30000$ d) $35000$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$ și $C$, în această ordine. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Știind că $MN=5$ cm, lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

a) $2,5$ cm b) $5$ cm c) $10$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, paralelele $a$ și $b$ sunt intersectate de dreptele $c$ și $d$. Valoarea lui $x$ este de:

$120°$$x°$$60°$$40°$

a) $40$ b) $60$ c) $120$ d) $140$

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui loc de joacă pentru copii în care triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, unghiul $ABC$ are măsura de $60^{\circ }$, $BE$ este bisectoarea acestuia, $E\in AC$, iar $AE=3$ m. Eugen se deplasează în linie dreaptă din punctul $E$ până în punctul $F$ care este simetricul punctului $E$ față de dreapta $BC$, apoi iarăși în linie dreaptă, din punctul $F$ până în punctul $C$. Deplasându-se astfel, Eugen a parcurs un traseu de lungime egală cu:

a) $3$ m b) $6$ m c) $12$ m d) $18$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini, în formă de paralelogram $ABCD$. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $AD$. Suprafața corespunzătoare triunghiului $PBC$ este cultivată cu legume. Raportul dintre aria suprafeței cultivate cu legume și aria suprafeței grădinii este egal cu:

a) $\frac{1}{4}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $\frac{3}{4}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$ sunt situate, în această ordine, pe un cerc, astfel încât coardele $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ și $AE$ sunt congruente. Măsura unghiului $EAB$ este egală cu:

a) $72^{\circ }$ b) $108^{\circ }$ c) $144^{\circ }$ d) $288^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte Un acvariu are forma unei prisme drepte cu baza pătrat de latură $6$ dm, iar muchia laterală a prismei este de $4$ dm. Acvariul este umplut cu apă la jumătatea capacității maxime. Numărul de litri de apă din acvariu este egal cu:

a) $36$ de litri b) $72$ de litri c) $108$ litri d) $144$ de litri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un test conține $20$ de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă $4$ puncte, pentru fiecare răspuns greșit se scad $2$ puncte și nu se acordă puncte din oficiu. a) (2 p) Este posibil ca Mihai, după ce a parcurs integral testul și a răspuns la toate întrebările, să obțină $65$ de puncte? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Silvia a răspuns la toate întrebările testului și a obținut $50$ de puncte. Determină numărul de întrebări din test la care Silvia a răspuns corect.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(x\sqrt{2}-3\right)\left(x\sqrt{2}+3\right)-{\left(2x+3\right)}^2+2x\left(x+6,5\right)+18$, unde $x$ este număr real. a) (3 p) Demonstrează că $E(x)=x$, pentru orice număr real $x$. b) (2 p) Demonstrează că numărul $N=E(1)+E(2)+E(3)+\dots +E(49)$ este pătratul unui număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-x+4$. a) (2 p) Demonstrează că punctul $A(1,3)$ este punctul de intersecție a reprezentărilor geometrice ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$ în sistemul de axe ortogonale $xOy$.

b) (3 p) Demonstrează că, în sistemul de axe ortogonale $xOy$, distanța dintre punctele $B$ și $C$ care reprezintă intersecția reprezentării geometrice a graficului funcției $f$, respectiv $g$, cu axa $Ox$ este egală cu dublul distanței de la punctul $A(1,3)$ la axa $Ox$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AD=6$ cm, măsura unghiului $BCD$ este de $120^{\circ }$ și $DC=BC$. Punctul $E$ reprezintă proiecția punctului $D$ pe dreapta $BC$.

a) (2 p) Arată că $BD=12$ cm. b) (3 p) Punctul $O$ este mijlocul segmentului $BD$. Calculează perimetrul patrulaterului $AOED$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ isoscel, cu $AB=AC=10$ cm și $BC=8$ cm. Punctul $D$ aparține laturii $AC$ astfel încât $BD=BC$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{21}$ cm${}^2$. b) (3 p) Demonstrează că triunghiul $ABD$ are perimetrul mai mic decât $22$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ aparțin segmentelor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $AD$, astfel încât $AM=BN=CP=DQ=2$ cm.

a) (2 p) Demonstrează că unghiul dintre dreptele $MN$ și $AC$ are măsura de $30^{\circ }$. b) (3 p) Punctul $O$ este mijlocul segmentului $MP$. Demonstrează că dreapta $MP$ este perpendiculară pe planul $(NOQ)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Suma cifrelor lui $2022$ este $6$, divizibilă cu $3$; niciunul dintre celelalte trei numere nu are suma cifrelor divizibilă cu $3$.
2. b) $1$ kg costă $17,5:5=3,5$ lei, deci $2$ kg costă $2\cdot 3,5=7$ lei.
3. d) $6-(-4)=10^{\circ }$C.
4. d) $x=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{2}=2,5$ și $y=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25$, deci $x>y>0$.
5. a) $a\cdot b=\sqrt{8}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{256}=16$, rezultatul obținut de Tudor.
6. c) $100\%-15\%-20\%-35\%=30\%$ din $100000$ este $30000$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Notând $AM=MB=t$, $BN=NC=u$: $MN=MB+BN=t+u=5$, iar $AC=AB+BC=2t+2u=2(t+u)=10$ cm.
2. d) Unghiurile co-interioare (interne, de aceeași parte a secantei, între cele două paralele) sunt suplementare: pentru secanta $c$, $120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$ (verificare); pentru secanta $d$, $x^{\circ }+40^{\circ }=180^{\circ }$, deci $x=140$.
3. c) $BE$ bisectoare, deci $\angle ABE=\angle EBC=30^{\circ }$; în triunghiul dreptunghic $ABE$, $AB=AE\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}$; în triunghiul $ABC$, $AC=AB\cdot \sqrt{3}=9$, deci $EC=6$. Distanța de la $E$ la $BC$ este $EC\cdot \sin 30^{\circ }=3$, deci $EF=2\cdot 3=6$; cum $F$ e simetricul lui $E$ față de $BC$, $FC=EC=6$, iar traseul $EF+FC=6+6=12$ m.
4. c) Triunghiul $PBC$ are baza $BC$ și înălțimea egală cu înălțimea întregului paralelogram (căci $P\in AD$, la aceeași distanță de $BC$ ca și $A$ sau $D$), deci aria sa este jumătate din aria paralelogramului ($\text{arie}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h$, față de $BC\cdot h$).
5. b) Cele $5$ coarde congruente împart cercul în $5$ arce egale, de $72^{\circ }$ fiecare; unghiul înscris $EAB$ subîntinde arcul $BCDE$ (format din $3$ arce de $72^{\circ }$), deci $\angle EAB=\frac{3\cdot 72^{\circ }}{2}=108^{\circ }$.
6. b) Volumul total este $6\cdot 6\cdot 4=144$ litri; jumătate din capacitate este $72$ de litri.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $x$ numărul răspunsurilor corecte și cu $y$ numărul răspunsurilor greșite, $x+y=20$. Punctajul este $4x-2y=4x-2(20-x)=6x-40$ (1 p). Acest număr este întotdeauna par (pentru orice $x$ întreg), deci nu poate fi egal cu $65$ (număr impar); așadar nu este posibil ca Mihai să obțină $65$ de puncte (1 p). b) (3 p) Ecuația pentru punctajul Silviei este $6x-40=50$ (1 p), de unde $6x=90$ (1 p), deci $x=15$ (Silvia a răspuns corect la $15$ întrebări) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (3 p) $\left(x\sqrt{2}-3\right)\left(x\sqrt{2}+3\right)=2x^2-9$ (1 p); ${\left(2x+3\right)}^2=4x^2+12x+9$ (1 p); $E(x)=(2x^2-9)-(4x^2+12x+9)+(2x^2+13x)+18=(2-4+2)x^2+(-12+13)x+(-9-9+18)=x$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (2 p) $N=E(1)+E(2)+\dots +E(49)=1+2+\dots +49=\frac{49\cdot 50}{2}=1225$ (1 p); cum $1225=35^2$, $N$ este pătratul numărului natural $35$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=1+2=3=y_A$ (1 p); $g(1)=-1+4=3=y_A$, deci $A(1,3)$ aparține ambelor grafice, fiind punctul lor de intersecție (1 p). b) (3 p) Graficul lui $f$ intersectează $Ox$ în $B(-2,0)$ (din $x+2=0$) (1 p); graficul lui $g$ intersectează $Ox$ în $C(4,0)$ (din $-x+4=0$) (1 p); $BC=4-(-2)=6$, iar distanța de la $A(1,3)$ la $Ox$ este $3$, deci $BC=2\cdot 3$, adică dublul acestei distanțe (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $DC\parallel AB$ și $DC=CB$, deci triunghiul $DCB$ este isoscel cu $\angle CDB=\angle CBD=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$; cum $DC\parallel AB$, $\angle DBA=\angle CDB=30^{\circ }$ (unghiuri alterne interne) (1 p). În triunghiul dreptunghic $ABD$ (drept în $A$), cateta $AD$ este opusă unghiului de $30^{\circ }$, deci $BD=2\cdot AD=12$ cm (1 p). b) (3 p) $O$ fiind mijlocul ipotenuzei $BD$ în triunghiul dreptunghic $ABD$, $AO=\frac{BD}{2}=6$ cm (1 p). Triunghiurile dreptunghice $DAB$ și $DEB$ au ipotenuza comună $BD$ și $\angle DBA=\angle DBC=30^{\circ }$ (aceeași bisectoare, întrucât $\angle DBC=\angle DBA=30^{\circ }$), deci sunt congruente, de unde $DE=DA=6$ cm (1 p). Perimetrul $AOED=AO+OE+ED+DA=6+6+6+6=24$ cm (căci și $EO=\frac{BD}{2}=6$ cm, ca mediană în triunghiul dreptunghic $DEB$) (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $M$ mijlocul lui $BC$ ($AM\perp BC$, mediană=înălțime în triunghiul isoscel); $A{M}^2=A{B}^2-B{M}^2=100-16=84$ (1 p), deci $AM=2\sqrt{21}$ cm, iar aria $=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\sqrt{21}=8\sqrt{21}$ cm${}^2$ (1 p). b) (3 p) Cum $BD=BC$, triunghiul $BDC$ este isoscel, deci $\angle BDC=\angle BCD=\angle ACB$; triunghiurile $ABC$ și $BDC$ au unghiul $C$ comun și $\angle ABC=\angle BDC$ (ambele egale cu unghiul de bază al triunghiului isoscel $ABC$), deci sunt asemenea, cu $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$ (1 p). Obținem $\frac{10}{8}=\frac{8}{DC}$, deci $DC=6,4$ cm și $AD=AC-DC=10-6,4=3,6$ cm (1 p). Perimetrul $△ABD=AB+BD+AD=10+8+3,6=21,6$ cm $<22$ cm, deci triunghiul $ABD$ are perimetrul mai mic decât $22$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Fie $E$ mijlocul segmentului $NC$; cum $NC=BC-BN=6-2=4$ cm, $NE=EC=2$ cm, deci $BE=BN+NE=4$ cm $=BM$ ($BM=AB-AM=4$ cm); cum $\angle MBE=\angle ABC=60^{\circ }$ (unghi al feței echilaterale), triunghiul $MBE$ este echilateral (1 p). Cum $N$ este mijlocul lui $BE$ ($BN=NE=2$ cm), $MN$ este mediană, deci și bisectoare a unghiului de $60^{\circ }$ din $M$, adică $\angle NME=30^{\circ }$; cum $\frac{BM}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$, rezultă $ME\parallel AC$ (teorema fundamentală a asemănării), deci unghiul dintre $MN$ și $AC$ este $\angle NME=30^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Triunghiurile $BMN$, $CNP$, $DPQ$ și $AQM$ au câte o latură de $2$ cm, o latură de $4$ cm și unghiul dintre ele de $60^{\circ }$, deci sunt congruente (LUL), de unde $MN=NP=PQ=QM$ (1 p). În triunghiul isoscel $MNP$ ($MN=NP$), $NO$ este mediană (căci $O$ e mijlocul lui $MP$), deci și înălțime, adică $NO\perp MP$; analog, în triunghiul isoscel $MQP$ ($MQ=QP$), $QO\perp MP$ (1 p). Cum $NO\perp MP$ și $QO\perp MP$, iar $NO$ și $QO$ sunt drepte concurente (în $O$) conținute în planul $(NOQ)$, rezultă $MP\perp (NOQ)$ (1 p).

Testul 9 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE în anul școlar 2020-2021, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 9 din seria oficială de teste de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) în anul școlar 2020-2021. Este un test de antrenament oficial (nu proba efectivă susținută la examen), distribuit elevilor înainte de Evaluarea Națională, cu aceeași structură și același nivel de dificultate ca subiectele reale. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: divizibilitate, proporționalitate (preț pe kilogram), numere întregi (temperaturi), calcul cu fracții și comparație de numere reale, radicali și puteri, diagramă circulară cu procente; geometrie plană (puncte coliniare cu mijloace de segment, drepte paralele tăiate de secante, triunghi dreptunghic cu bisectoare și simetrie, paralelogram cu arie de triunghi, poligon regulat înscris în cerc) și geometrie în spațiu (prismă dreaptă cu bază pătrată); algebră (problemă cu punctaj și ecuație, expresie cu paranteze și sumă telescopică), funcția liniară cu distanță punct-dreaptă, trapez dreptunghic cu bisectoare, triunghi isoscel cu triunghiuri asemenea, tetraedru regulat cu unghi între drepte necoplanare și plan perpendicular.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiurile co-interioare formate de o secantă cu două drepte paralele au suma măsurilor $180^{\circ }$; un triunghi isoscel cu un unghi de bază de $60^{\circ }$ este echilateral; mediana dusă dintr-un vârf spre ipotenuză într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză; reflecția unui punct față de o dreaptă păstrează distanțele la punctele situate pe acea dreaptă.