Testul oficial de pregătire nr. 11 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $32:8+8\cdot 2$ este egal cu: a) $1$ b) $4$ c) $20$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{b}=\frac{c}{2}$, $b\cdot c=30$ și $b\ne 0$, valoarea numărului $a$ este egală cu: a) $60$ b) $30$ c) $15$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=3-(x+2)$, unde $x$ este număr real. Pentru $x=-2$, valoarea expresiei este egală cu: a) $3$ b) $0$ c) $-1$ d) $-3$

Exercițiul 4 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt trecute volumul unui pahar mic și volumul unui pahar mare.

Volumul a șase pahare mici și trei pahare mari, toate pline, este egal cu: a) $2$ litri b) $3$ litri c) $4$ litri d) $9$ litri

Exercițiul 5 · 5 puncte Cel mai mic număr natural mai mare decât $3\sqrt{2}$ este: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos sunt reprezentate rezultatele obținute la un test de matematică de elevii unei clase a VIII-a.

Conform graficului, numărul elevilor care au obținut cel puțin nota 8 la acest test este egal cu: a) $4$ b) $10$ c) $12$ d) $20$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$. Punctul $C$ aparține dreptei $AB$ și punctul $D$ nu aparține dreptei $AC$. Numărul dreptelor determinate de oricare două dintre punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ este egal cu:

a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată $AB\parallel CD$ și măsura unghiului $ABC$ este de $45^{\circ }$. Valoarea lui $x$ este egală cu:

a) $15$ b) $45$ c) $90$ d) $135$

Exercițiul 3 · 5 puncte Diametrul unui cerc este de $22$ cm. Lungimea cercului este egală cu: a) $11\pi$ cm b) $22\pi$ cm c) $44\pi$ cm d) $121\pi$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, $m(\angle BOC)=60^{\circ }$ și $AD=10$ m. Aria suprafeței $ABCD$ este egală cu:

a) $50\sqrt{3}$ m² b) $100$ m² c) $100\sqrt{3}$ m² d) $200$ m²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată $ABCD$ este un dreptunghi, punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și punctul $I$ este intersecția dreptelor $BD$ și $AM$. Raportul dintre aria triunghiului $DIM$ și aria dreptunghiului $ABCD$ este egal cu:

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{6}$ d) $\frac{1}{12}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată cubul $ABCDEFGH$ reprezintă o cutie confecționată din tablă care are muchia de $10$ cm. Afirmația „Pentru confecționarea cutiei este suficientă o foaie de tablă cu aria de $5{\text{dm}}^2$" este:

a) adevărată b) falsă

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-un bloc de locuințe sunt apartamente cu două, trei și patru camere, în total fiind $40$ de apartamente care au $122$ de camere. Numărul apartamentelor cu trei camere este de cinci ori mai mare decât al celor cu patru camere. a) (2 p) Este posibil ca în acest bloc să fie nouă apartamente cu trei camere? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele: $a=2021-2021^0-(-1{)}^{2021}$ și $b=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}$. a) (2 p) Arată că $a=2021$. b) (3 p) Arată că numărul $N=\left((a-b{)}^2-(a+b{)}^2\right)\cdot b$ este întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$. a) (2 p) Arată că $f(1)+f(3)=2\cdot f(2)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $M$, respectiv $N$. Determină coordonatele simetricului punctului $M$ față de punctul $N$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=10$ cm, $AC=24$ cm și $BC=26$ cm, punctul $D$ reprezintă proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$ și punctele $G$ și $G^{\prime }$ sunt centrele de greutate ale triunghiului $ADC$, respectiv $ADB$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $120{\text{cm}}^2$. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $G{G}^{\prime }$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AD\parallel CB$, măsura unghiului $DAB$ este de $90^{\circ }$, $AD=10$ cm și $AB=60$ cm. Punctul $T$ aparține segmentului $AB$, $AT=20$ cm și unghiurile $ATD$ și $BTC$ sunt congruente.

a) (2 p) Arată că sinusul unghiului $BTC$ este egal cu $\frac{\sqrt{5}}{5}$. b) (3 p) Demonstrează că triunghiul $BCD$ este isoscel.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ reprezintă un acvariu cu dimensiunile $AB=60$ cm, $BC=40$ cm și înălțimea $A{A}^{\prime }=60$ cm. Apa din acvariu are adâncimea de $50$ cm.

a) (2 p) Arată că în acvariu sunt $120$ de litri de apă. b) (3 p) Se consideră punctul $M$ pe muchia $B{B}^{\prime }$ a paralelipipedului, astfel încât perimetrul triunghiului $A^{\prime }MC$ să aibă cea mai mică valoare. Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $32:8+8\cdot 2=4+16=20$.
2. c) Din $\frac{a}{b}=\frac{c}{2}$ rezultă $a=\frac{bc}{2}=\frac{30}{2}=15$.
3. a) $E(-2)=3-(-2+2)=3-0=3$.
4. b) $6\cdot 0,25+3\cdot 0,5=1,5+1,5=3$ litri.
5. d) $3\sqrt{2}\approx 4,24$, deci cel mai mic număr natural mai mare decât $3\sqrt{2}$ este $5$.
6. b) Elevii cu cel puțin nota $8$: $4$ (nota $8$) $+4$ (nota $9$) $+2$ (nota $10$) $=10$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $A$, $C$, $B$ sunt coliniare (o singură dreaptă), iar $D$ determină, împreună cu fiecare dintre $A$, $B$, $C$, câte o dreaptă distinctă: $AD$, $BD$, $CD$. Total: $1+3=4$ drepte.
2. a) $AB\parallel CD$ cu transversala $BC$: unghiurile $ABC$ și $BCD$ sunt alterne interne, deci $m(\angle BCD)=m(\angle ABC)=45^{\circ }$. Cum $m(\angle BCD)=3x$, obținem $3x=45^{\circ }$, deci $x=15$.
3. b) Lungimea cercului $=\pi \cdot d=\pi \cdot 22=22\pi$ cm.
4. c) Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc în $O$, deci $OB=OC$; cu $m(\angle BOC)=60^{\circ }$, triunghiul $BOC$ este echilateral, deci $BC=OB=\frac{d}{2}$, unde $d$ este diagonala. Cum $BC=AD=10$ m, rezultă $d=20$ m. Din $A{B}^2=d^2-B{C}^2=400-100=300$, obținem $AB=10\sqrt{3}$ m, deci aria $=AB\cdot BC=10\sqrt{3}\cdot 10=100\sqrt{3}$ m².
5. d) Cu $A(0,0)$, $B(w,0)$, $C(w,h)$, $D(0,h)$ și $M\left(\frac{w}{2},h\right)$ mijlocul lui $DC$, dreptele $BD$ și $AM$ se intersectează în $I\left(\frac{w}{3},\frac{2h}{3}\right)$. Aria triunghiului $DIM=\frac{wh}{12}$, iar aria dreptunghiului $ABCD=wh$, deci raportul este $\frac{1}{12}$.
6. b) Aria totală a cubului este $6\cdot 10^2=600{\text{cm}}^2=6{\text{dm}}^2$. Cum $5{\text{dm}}^2<6{\text{dm}}^2$, o foaie de $5{\text{dm}}^2$ nu este suficientă, deci afirmația este falsă.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $y$ numărul apartamentelor cu trei camere și cu $z$ numărul apartamentelor cu patru camere; din enunț, $y=5z$ (1 p). Dacă $y=9$, atunci $z=\frac{9}{5}=1,8$, care nu este număr natural, deci nu este posibil ca în bloc să fie nouă apartamente cu trei camere (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu două camere: $x+y+z=40$ și $2x+3y+4z=122$, cu $y=5z$ (1 p). Din prima ecuație, $x=40-6z$; înlocuind în a doua, $2(40-6z)+15z+4z=122\Rightarrow 80+7z=122\Rightarrow z=6$ (1 p). Rezultă $y=5z=30$ și $x=40-6\cdot 6=4$, deci în bloc sunt patru apartamente cu două camere (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $2021^0=1$ și $(-1{)}^{2021}=-1$ (1 p), deci $a=2021-1-(-1)=2021-1+1=2021$ (1 p). b) (3 p) $b=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$ (1 p). Folosind identitatea $(a-b{)}^2-(a+b{)}^2=-4ab$, obținem $N=-4ab\cdot b=-4a{b}^2$ (1 p). Cu $a=2021$ și $b^2=2$, rezultă $N=-4\cdot 2021\cdot 2=-16168$, care este un număr întreg (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=2$, $f(3)=4$, deci $f(1)+f(3)=6$ (1 p). $2\cdot f(2)=2\cdot 3=6$, deci $f(1)+f(3)=2\cdot f(2)$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează $Ox$ în $M(-1,0)$ (din $f(x)=0$) și $Oy$ în $N(0,1)$ (din $f(0)$) (1 p). Simetricul $P$ al lui $M$ față de $N$ verifică $N$ = mijlocul segmentului $MP$, deci $P=2N-M$ (1 p). $P=(2\cdot 0-(-1),2\cdot 1-0)=(1,2)$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $A{B}^2+A{C}^2=10^2+24^2=100+576=676=26^2=B{C}^2$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (1 p). Aria $=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{100}{26}=\frac{50}{13}$ cm și $DC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{576}{26}=\frac{288}{13}$ cm (proiecțiile catetelor pe ipotenuză). Notând $N$ mijlocul lui $DC$ și $P$ mijlocul lui $DB$ (picioarele medianelor din $A$ ale triunghiurilor $ADC$, respectiv $ADB$), $NP=\frac{DC}{2}+\frac{DB}{2}=\frac{BC}{2}=13$ cm (1 p). Cum $G$ și $G^{\prime }$ sunt centrele de greutate, $AG=\frac{2}{3}AN$ și $A{G}^{\prime }=\frac{2}{3}AP$, deci triunghiurile $AG{G}^{\prime }$ și $ANP$ sunt asemenea, cu raportul $\frac{2}{3}$ (1 p). Rezultă $G{G}^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot NP=\frac{2}{3}\cdot 13=\frac{26}{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ADT$ este dreptunghic în $A$, deci $DT=\sqrt{A{D}^2+A{T}^2}=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$ cm (1 p). $\sin (\angle DTA)=\frac{AD}{DT}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$, și cum $\angle DTA\equiv \angle BTC$, rezultă $\sin (\angle BTC)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (1 p). b) (3 p) $TB=AB-AT=60-20=40$ cm. În triunghiul $BTC$ dreptunghic în $B$, $\sin (\angle BTC)=\frac{BC}{TC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$, deci $T{C}^2=5B{C}^2$; din Pitagora, $T{C}^2=T{B}^2+B{C}^2=1600+B{C}^2$ (1 p). Rezultă $5B{C}^2=1600+B{C}^2\Rightarrow 4B{C}^2=1600\Rightarrow B{C}^2=400\Rightarrow BC=20$ cm (1 p). Fie $S$ piciorul perpendicularei din $D$ pe $BC$; $ABSD$ este dreptunghi, deci $BS=AD=10$ cm și $SC=BC-BS=20-10=10$ cm $=BS$. Cum $DS$ este deopotrivă înălțime și mediană în triunghiul $DBC$ (S este mijlocul lui $BC$), triunghiul $DBC$ este isoscel, cu $DB=DC$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Volumul apei este $V=AB\cdot BC\cdot h_{ap\breve{a}}=60\cdot 40\cdot 50=120000{\text{cm}}^3$ (1 p). $120000{\text{cm}}^3=120$ litri, deci în acvariu sunt $120$ de litri de apă (1 p). b) (3 p) $A^{\prime }C$ este fixă, deci perimetrul triunghiului $A^{\prime }MC$ este minim când suma $A^{\prime }M+MC$ este minimă; desfășurând în plan cele două fețe laterale de-a lungul muchiei $B{B}^{\prime }$, minimul se realizează când punctele $A^{\prime }$, $M$ și $C$ sunt coliniare (1 p). Pe desfășurare, triunghiurile $CBM$ și $CA{A}^{\prime }$ sunt asemenea, deci $\frac{MB}{A{A}^{\prime }}=\frac{CB}{CB+BA}=\frac{40}{100}=0,4$ (1 p). Rezultă $MB=0,4\cdot A{A}^{\prime }=0,4\cdot 60=24$ cm; cum $M\in B{B}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, distanța de la $M$ la planul $(ABC)$ este $d(M,(ABC))=MB=24$ cm (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 11 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020–2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 11 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020–2021. Este un test oficial de antrenament (nu proba efectivă din iunie), pus la dispoziția școlilor și elevilor înainte de examen, dar cu aceeași structură, dificultate și mod de notare ca examenul real. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul acoperă integrat programa claselor V–VIII: ordinea operațiilor, proporții, expresii algebrice cu paranteze, unități de volum, radicali, citirea unui grafic cu bare; geometrie plană (puncte coliniare și numărul dreptelor determinate, unghiuri cu drepte paralele, lungimea cercului, dreptunghi cu diagonale și unghi la centru, raport de arii într-un dreptunghi, aria totală a unui cub) și algebră/funcții (probleme cu procente și proporții, expresii cu puteri și radicali, funcția liniară cu simetricul unui punct); geometrie cu rezolvare completă (triunghi dreptunghic cu proiecție și centre de greutate, trapez dreptunghic cu trigonometrie, paralelipiped dreptunghic cu volum și distanță minimă la un plan, prin desfășurarea în plan a corpului).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: identitatea $(a-b{)}^2-(a+b{)}^2=-4ab$ este utilă la calcule rapide cu numere întregi; centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport $2:3$ față de vârf; pentru drumul de lungime minimă între două puncte printr-o muchie, se desfășoară în plan fețele corpului și se caută punctele coliniare.